Topología sin sentido

En matemáticas , la topología sin puntos , también llamada topología sin puntos (o topología sin puntos ) y teoría de localidades , es un enfoque de la topología que evita mencionar puntos , y en el que las redes de conjuntos abiertos son las nociones primitivas. ^[1] En este enfoque se hace posible construir espacios topológicamente interesantes a partir de datos puramente algebraicos. ^[2]

Historia

Las primeras aproximaciones a la topología fueron geométricas, en las que se partía del espacio euclidiano y se iban uniendo elementos. Pero el trabajo de Marshall Stone sobre la dualidad de Stone en la década de 1930 demostró que la topología puede ser vista desde un punto de vista algebraico (teórico-reticular). Aparte de Stone, Henry Wallman fue la primera persona en explotar esta idea. Otros continuaron este camino hasta que Charles Ehresmann y su alumno Jean Bénabou (y simultáneamente otros), dieron el siguiente paso fundamental a finales de los años cincuenta. Sus ideas surgieron del estudio de las categorías "topológicas" y "diferenciables" . ^[2]

El enfoque de Ehresmann implicaba el uso de una categoría cuyos objetos eran redes completas que satisfacían una ley distributiva y cuyos morfismos eran aplicaciones que preservaban encuentros finitos y uniones arbitrarias . Llamó a estas redes "redes locales"; hoy se las llama "marcos" para evitar ambigüedades con otras nociones de la teoría de redes . ^[3]

La teoría de marcos y lugares en el sentido contemporáneo se desarrolló a lo largo de las décadas siguientes ( John Isbell , Peter Johnstone , Harold Simmons, Bernhard Banaschewski, Aleš Pultr, Till Plewe, Japie Vermeulen, Steve Vickers ) hasta convertirse en una rama activa de la topología, con aplicación en varios campos, en particular también en la informática teórica. Para obtener más información sobre la historia de la teoría de lugares, consulte la descripción general de Johnstone. ^[4]

Intuición

Tradicionalmente, un espacio topológico consiste en un conjunto de puntos junto con una topología , un sistema de subconjuntos llamados conjuntos abiertos que con las operaciones de unión (como join ) e intersección (como meet ) forman una red con ciertas propiedades. En concreto, la unión de cualquier familia de conjuntos abiertos es de nuevo un conjunto abierto, y la intersección de un número finito de conjuntos abiertos es de nuevo abierta. En la topología sin puntos tomamos estas propiedades de la red como fundamentales, sin exigir que los elementos de la red sean conjuntos de puntos de algún espacio subyacente y que la operación de red sea intersección y unión. En cambio, la topología sin puntos se basa en el concepto de un "punto realista" en lugar de un punto sin extensión. Estos "puntos" se pueden unir (símbolo ), similar a una unión, y también tenemos una operación de encuentro para los puntos (símbolo ), similar a una intersección. Utilizando estas dos operaciones, los puntos forman una red completa . Si un punto se encuentra con una unión de otros, tiene que encontrarse con algunos de los constituyentes, lo que, en términos generales, conduce a la ley distributiva. ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \land }$

${\displaystyle b\wedge \left(\bigvee _{i\in I}a_{i}\right)=\bigvee _{i\in I}\left(b\wedge a_{i}\right)}$

donde y son puntos y la familia de índices puede ser arbitrariamente grande. Esta ley distributiva también se satisface por la red de conjuntos abiertos de un espacio topológico. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$

Si y son espacios topológicos con retículos de conjuntos abiertos denotados por y , respectivamente, y es una función continua , entonces, puesto que la preimagen de un conjunto abierto bajo una función continua es abierta, obtenemos una función de retículos en la dirección opuesta: . Tales funciones reticulares de "dirección opuesta" sirven así como la generalización adecuada de funciones continuas en el entorno sin puntos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega (X)}$ ${\displaystyle \Omega (Y)}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}\colon \Omega (Y)\to \Omega (X)}$

Definiciones formales

El concepto básico es el de un marco , una red completa que satisface la ley distributiva general anterior. Los homomorfismos de marcos son aplicaciones entre marcos que respetan todas las uniones (en particular, el elemento menor de la red) y los encuentros finitos (en particular, el elemento mayor de la red). Los marcos, junto con los homomorfismos de marcos, forman una categoría .

La categoría opuesta de la categoría de los marcos se conoce como la categoría de los locales . Por lo tanto, un local no es más que un marco; si lo consideramos como un marco, lo escribiremos como . Un morfismo de local desde el local al local se da por un homomorfismo de marco . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O(X)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle O(Y)\to O(X)}$

Todo espacio topológico da lugar a un marco de conjuntos abiertos y, por tanto, a una localización. Una localización se denomina espacial si es isomorfa (en la categoría de las localizaciones) a una localización que surge de un espacio topológico de esta manera. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Omega (T)}$

Ejemplos de locales

• Como se mencionó anteriormente, cada espacio topológico da lugar a un marco de conjuntos abiertos y, por lo tanto, a un lugar, por definición espacial. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Omega (T)}$
• Dado un espacio topológico , también podemos considerar la colección de sus conjuntos abiertos regulares . Este es un marco que utiliza como unión el interior del cierre de la unión, y como encuentro la intersección. Obtenemos así otra configuración regional asociada a . Esta configuración regional normalmente no será espacial. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$
• Para cada uno y cada , utilice un símbolo y construya el marco libre sobre estos símbolos, módulo las relaciones ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U_{n,a}}$

${\displaystyle \bigvee _{a\in \mathbb {R} }U_{n,a}=\top \ {\text{ for every }}n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle U_{n,a}\land U_{n,b}=\bot \ {\text{ for every }}n\in \mathbb {N} {\text{ and all }}a,b\in \mathbb {R} {\text{ with }}a\neq b}$

${\displaystyle \bigvee _{n\in \mathbb {N} }U_{n,a}=\top \ {\text{ for every }}a\in \mathbb {R} }$

(donde denota el elemento más grande y el elemento más pequeño del marco). La configuración regional resultante se conoce como "configuración regional de funciones sobreyectivas ". Las relaciones están diseñadas para sugerir la interpretación de como el conjunto de todas aquellas funciones sobreyectivas con . Por supuesto, no existen tales funciones sobreyectivas y esta no es una configuración regional espacial. ${\displaystyle \top }$ ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U_{n,a}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(n)=a}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$

La teoría de los lugares

Hemos visto que tenemos un funtor de la categoría de espacios topológicos y aplicaciones continuas a la categoría de locales. Si restringimos este funtor a la subcategoría completa de espacios sobrios , obtenemos una incrustación completa de la categoría de espacios sobrios y aplicaciones continuas en la categoría de locales. En este sentido, los locales son generalizaciones de espacios sobrios. ${\displaystyle \Omega }$

Es posible traducir la mayoría de los conceptos de la topología de conjuntos puntuales al contexto de los lugares y demostrar teoremas análogos. Algunos hechos importantes de la topología clásica que dependen de principios de elección se vuelven libres de elección (es decir, constructivos , lo que es, en particular, atractivo para la ciencia informática). Así, por ejemplo, los productos arbitrarios de lugares compactos son compactos de manera constructiva (este es el teorema de Tichonoff en topología de conjuntos puntuales), o las compleciones de lugares uniformes son constructivas. Esto puede ser útil si uno trabaja en un topos que no tiene el axioma de elección. ^[5] Otras ventajas incluyen el comportamiento mucho mejor de la paracompacidad , con productos arbitrarios de lugares paracompactos siendo paracompactos, lo que no es cierto para espacios paracompactos, o el hecho de que los subgrupos de grupos locales siempre están cerrados.

Otro punto en el que la topología y la teoría de lugares divergen fuertemente son los conceptos de subespacios versus sublugares y densidad: dada cualquier colección de sublugares densos de un lugar , su intersección también es densa en . ^[6] Esto conduce al teorema de densidad de Isbell : cada lugar tiene un sublugar denso más pequeño. Estos resultados no tienen equivalente en el ámbito de los espacios topológicos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Álgebra de Heyting . Los marcos resultan ser los mismos que las álgebras de Heyting completas (aunque los homomorfismos de marcos no necesariamente son homomorfismos de álgebras de Heyting).
• Álgebra de Boole completa . Cualquier álgebra de Boole completa es un marco (es un marco espacial si y sólo si es atómico).
• Los detalles sobre la relación entre la categoría de espacios topológicos y la categoría de lugares, incluida la construcción explícita de la equivalencia entre espacios sobrios y lugares espaciales, se pueden encontrar en el artículo sobre la dualidad de Stone .
• Geometría libre de puntos de Whitehead .
• Mereotopología .

Referencias

1. Johnstone 1983, pág. 41.
2. Johnstone 1983, pág. 42.
3. Johnstone 1983, pág. 43.
4. Peter T. Johnstone, Elementos de la historia de la teoría de la configuración regional, en: Handbook of the History of General Topology, vol. 3, págs. 835-851, Springer, ISBN  978-0-7923-6970-7 , 2001.
5. Johnstone 1983.
6. Johnstone, Peter T. (2002). "C1.2 Localidades y espacios". Bocetos de un elefante .

Bibliografía

Una introducción general a la topología sin sentido es

• Johnstone, Peter T. (1983). "El sentido de la topología sin sentido". Boletín de la American Mathematical Society . Nueva serie. 8 (1): 41–53. doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15080-2 . ISSN  0273-0979 . Consultado el 9 de mayo de 2016 .

En sus propias palabras, esto debe leerse como un avance de la monografía de Johnstone y puede usarse como referencia básica:

• 1982: Johnstone, Peter T. (1982) Espacios de piedra , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33779-3 . 

Hay una monografía reciente

• 2012: Picado, Jorge, Pultr, Aleš Marcos y locales: Topología sin puntos, Frontiers in Mathematics, vol. 28, Springer, Basilea (bibliografía extensa)

Para las relaciones con la lógica:

• 1996: Vickers, Steven , Topología a través de la lógica , Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press.

Para una explicación más concisa véanse los capítulos respectivos en:

• 2003: Pedicchio, Maria Cristina, Tholen, Walter (editores) Fundamentos categóricos: temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de haces, Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones , vol. 97, Cambridge University Press, págs. 49-101.
• 2003: Hazewinkel, Michiel (editor) Manual de álgebra vol. 3, Holanda Septentrional, Ámsterdam, págs. 791–857.
• 2014: Grätzer, George, Wehrung, Friedrich (editores) Teoría de redes: temas especiales y aplicaciones vol. 1, Springer, Basilea, págs. 55–88.