En topología , el plano de Sorgenfrey es un contraejemplo citado con frecuencia para muchas conjeturas que de otro modo parecerían plausibles. Consiste en el producto de dos copias de la línea de Sorgenfrey , que es la línea real bajo la topología de intervalo semiabierto . La línea y el plano de Sorgenfrey llevan el nombre del matemático estadounidense Robert Sorgenfrey .
Por lo tanto, una base para el plano de Sorgenfrey, que se indicará a partir de ahora, es el conjunto de rectángulos que incluyen el borde oeste, la esquina suroeste y el borde sur, y omiten la esquina sureste, el borde este, la esquina noreste, el borde norte y la esquina noroeste. Los conjuntos abiertos son uniones de tales rectángulos.
es un ejemplo de un espacio que es producto de espacios de Lindelöf y que no es en sí mismo un espacio de Lindelöf. La llamada antidiagonal es un subconjunto discreto incontable de este espacio, y este es un subconjunto no separable del espacio separable . Muestra que la separabilidad no se hereda de subespacios cerrados . Tenga en cuenta que y son conjuntos cerrados; se puede demostrar que no pueden separarse mediante conjuntos abiertos, lo que demuestra que eso no es normal . Por tanto, sirve como contraejemplo de la noción de que el producto de espacios normales es normal; de hecho, muestra que incluso el producto finito de espacios perfectamente normales no tiene por qué ser normal.
