avión moore

En matemáticas , el plano de Moore , también llamado a veces plano de Niemytzki (o plano de Nemytskii , topología de disco tangente de Nemytskii ), es un espacio topológico . Se trata de un espacio de Hausdorff completamente regular (es decir, un espacio de Tychonoff ) que no es normal . Es un ejemplo de un espacio de Moore que no es metrizable . Lleva el nombre de Robert Lee Moore y Viktor Vladimirovich Nemytskii .

Definición

Vecindad abierta del plano de Niemytzki, tangente al eje x

Si es el semiplano superior (cerrado) , entonces se puede definir una topología tomando una base local de la siguiente manera: ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma =\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|y\geq 0\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p,q)}$

• Los elementos de la base local en los puntos con son los discos abiertos en el plano que son lo suficientemente pequeños como para estar dentro . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle y>0}$ ${\displaystyle \Gamma }$
• Los elementos de la base local en puntos son conjuntos donde A es un disco abierto en el semiplano superior que es tangente al eje x en p . ${\displaystyle p=(x,0)}$ ${\displaystyle \{p\}\cup A}$

Es decir, la base local está dada por

${\displaystyle {\mathcal {B}}(p,q)={\begin{cases}\{U_{\epsilon }(p,q):=\{(x,y):(x-p)^{2}+(y-q)^{2}<\epsilon ^{2}\}\mid \epsilon >0\},&{\mbox{if }}q>0;\\\{V_{\epsilon }(p):=\{(p,0)\}\cup \{(x,y):(x-p)^{2}+(y-\epsilon )^{2}<\epsilon ^{2}\}\mid \epsilon >0\},&{\mbox{if }}q=0.\end{cases}}}$

Por tanto, la topología subespacial heredada por es la misma que la topología subespacial heredada de la topología estándar del plano euclidiano. ${\displaystyle \Gamma \backslash \{(x,0)|x\in \mathbb {R} \}}$

Representación gráfica del plano de Moore

Propiedades

• El plano de Moore es separable , es decir, tiene un subconjunto denso contable. ${\displaystyle \Gamma }$
• El plano de Moore es un espacio de Hausdorff completamente regular (es decir, el espacio de Tychonoff ), lo cual no es normal .
• El subespacio de tiene, como topología subespacial , la topología discreta . Por tanto, el plano de Moore muestra que un subespacio de un espacio separable no tiene por qué ser separable. ${\displaystyle \{(x,0)\in \Gamma |x\in R\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$
• El plano de Moore es el primero contable , pero no el segundo contable ni el de Lindelöf .
• El avión de Moore no es localmente compacto .
• El plano de Moore es contablemente metacompacto pero no metacompacto .

Prueba de que el avión de Moore no es normal

El hecho de que este espacio no es normal puede establecerse mediante el siguiente argumento de conteo (que es muy similar al argumento de que el plano de Sorgenfrey no es normal): ${\displaystyle \Gamma }$

1. Por un lado, el conjunto contable de puntos con coordenadas racionales es denso en ; por lo tanto, cada función continua está determinada por su restricción a , por lo que puede haber como máximo muchas funciones continuas de valor real en . ${\displaystyle S:=\{(p,q)\in \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} :q>0\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle f:\Gamma \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |\mathbb {R} |^{|S|}=2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$
2. Por otro lado, la recta real es un subespacio discreto cerrado con muchos puntos. Entonces hay muchas funciones continuas desde L hasta . No todas estas funciones se pueden ampliar a funciones continuas en . ${\displaystyle L:=\{(p,0):p\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}>2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Gamma }$
3. Por lo tanto , no es normal, porque según el teorema de extensión de Tietze todas las funciones continuas definidas en un subespacio cerrado de un espacio normal pueden extenderse a una función continua en todo el espacio. ${\displaystyle \Gamma }$

De hecho, si X es un espacio topológico separable que tiene un subespacio discreto cerrado incontable, X no puede ser normal.

Ver también

• espacio erizo

Referencias

• Esteban Willard. Topología general , (1970) Addison-Wesley ISBN  0-201-08707-3 .
• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, señor  0507446 (Ejemplo 82)
• "Avión Niemytzki". PlanetMath .