Espacio Lindelöf

En matemáticas , un espacio de Lindelöf ^{[1] [2]} es un espacio topológico en el que cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable . La propiedad de Lindelöf es un debilitamiento de la noción más comúnmente utilizada de compacidad , que requiere la existencia de una subcubierta finita .

Ahereditariamente el espacio de Lindelöf ^[3]es un espacio topológico tal que cada subespacio del mismo es Lindelöf. A un espacio así a veces se le llamafuertemente Lindelöf, pero de manera confusa esa terminología a veces se usa con un significado completamente diferente. ^[4]El términohereditariamente Lindelöfes más común e inequívoco.

Los espacios de Lindelöf llevan el nombre del matemático finlandés Ernst Leonard Lindelöf .

Propiedades de los espacios de Lindelöf

• Todo espacio compacto , y más generalmente todo espacio σ-compacto , es Lindelöf. En particular, cada espacio contable es Lindelöf.
• Un espacio de Lindelöf es compacto si y sólo si es contablemente compacto .
• Cada segundo espacio contable es Lindelöf, ^[5] pero no a la inversa. Por ejemplo, hay muchos espacios compactos que no son contables en segundo lugar.
• Un espacio métrico es Lindelöf si y sólo si es separable , y si y sólo si es contable en segundo lugar . ^[6]
• Todo espacio regular de Lindelöf es normal . ^[7]
• Todo espacio regular de Lindelöf es paracompacto . ^[8]
• Una unión contable de subespacios de Lindelöf de un espacio topológico es Lindelöf.
• Todo subespacio cerrado de un espacio de Lindelöf es Lindelöf. ^[9] En consecuencia, cada F _σ establecido en un espacio de Lindelöf es Lindelöf.
• Los subespacios arbitrarios de un espacio de Lindelöf no tienen por qué ser Lindelöf. ^[10]
• La imagen continua de un espacio de Lindelöf es Lindelöf. ^[11]
• El producto de un espacio Lindelöf y un espacio compacto es Lindelöf. ^[12]
• El producto de un espacio de Lindelöf y un espacio σ-compacto es Lindelöf. Este es un corolario de la propiedad anterior.
• El producto de dos espacios de Lindelöf no tiene por qué ser Lindelöf. Por ejemplo, la línea Sorgenfrey es Lindelöf, pero el avión Sorgenfrey no es Lindelöf. ^[13] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\times S}$
• En un espacio de Lindelöf, cada familia localmente finita de subconjuntos no vacíos es, como máximo, contable.

Propiedades de los espacios hereditariamente Lindelöf

• Un espacio es hereditariamente Lindelöf si y sólo si cada subespacio abierto del mismo es Lindelöf. ^[14]
• Hereditariamente, los espacios de Lindelöf están cerrados al aceptar uniones contables, subespacios e imágenes continuas.
• Un espacio regular de Lindelöf es hereditariamente Lindelöf si y sólo si es perfectamente normal . ^{[15] [16]}
• Cada segundo espacio contable es hereditariamente Lindelöf.
• Todo espacio contable es hereditariamente Lindelöf.
• Cada espacio de Suslin es hereditariamente Lindelöf.
• Cada medida de radón en un espacio hereditariamente Lindelöf está moderada.

Ejemplo: el avión de Sorgenfrey no es Lindelöf

El producto de los espacios de Lindelöf no es necesariamente Lindelöf. El ejemplo habitual de esto es el plano de Sorgenfrey , que es el producto de la línea real bajo la topología de intervalo semiabierto consigo misma. Los conjuntos abiertos en el plano de Sorgenfrey son uniones de rectángulos semiabiertos que incluyen los bordes sur y oeste y omiten los bordes norte y este, incluidas las esquinas noroeste, noreste y sureste. La antidiagonal de es el conjunto de puntos tales que ${\displaystyle \mathbb {S} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x+y=0.}$

Considere la cubierta abierta que consta de: ${\displaystyle \mathbb {S} }$

1. El conjunto de todos los rectángulos que están en la antidiagonal. ${\displaystyle (-\infty ,x)\times (-\infty ,y),}$ ${\displaystyle (x,y)}$
2. El conjunto de todos los rectángulos que están en la antidiagonal. ${\displaystyle [x,+\infty )\times [y,+\infty ),}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Lo que hay que tener en cuenta aquí es que cada punto de la antidiagonal está contenido exactamente en un conjunto de cobertura, por lo que se necesitan todos los (incontables) conjuntos del elemento (2) anterior.

Otra forma de ver que no es Lindelöf es notar que la antidiagonal define un subespacio discreto cerrado e incontable de Este subespacio no es Lindelöf, por lo que todo el espacio tampoco puede ser Lindelöf (ya que los subespacios cerrados de espacios de Lindelöf también son Lindelöf). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Generalización

La siguiente definición generaliza las definiciones de compacto y Lindelöf: un espacio topológico es -compacto (o -Lindelöf ), donde es cualquier cardinal , si cada cubierta abierta tiene una subcubierta de cardinalidad estrictamente menor que . Entonces compacto es -compacto y Lindelöf es entonces -compacto. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

ElEl grado de Lindelöf , onúmero de Lindelöf, es el cardinal más pequeñotal que cada cubierta abierta del espaciotiene una subcubierta de tamaño como máximo.En esta notación,es Lindelöf siEl número de Lindelöf, tal como se define anteriormente, no distingue entre espacios compactos y espacios no compactos de Lindelöf. . Algunos autores dieron el nombre denúmero de Lindelöfa una noción diferente: el cardinal más pequeñotal que cada cubierta abierta del espaciotiene una subcubierta de tamaño estrictamente menor que^[17]En este último (y menos utilizado) sentido, el número de Lindelöf es el cardinal más pequeñotal que un espacio topológicoescompacto. Esta noción a veces también se denomina ${\displaystyle l(X),}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle l(X)=\aleph _{0}.}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa .}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$grado de compacidad del espacio^[18] ${\displaystyle X.}$

Ver también

• Axiomas de contabilidad  : propiedad de ciertos objetos matemáticos (generalmente en una categoría) que afirma la existencia de un conjunto contable con ciertas propiedades. Sin tal axioma, tal conjunto probablemente no existiría.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Lema de Lindelöf  : lema de que todo subconjunto abierto de los reales es una unión contable de intervalos abiertosPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Notas

1. Steen y Seebach, pag. 19
2. Willard, definidor. 16.5, pág. 110
3. Willard, 16E, pág. 114
4. Ganster, M. (1989). "Una nota sobre los espacios fuertemente Lindelöf" (PDF) . Universidad Técnica de Graz . S2CID  208002077.
5. Willard, teorema 16.9, pág. 111
6. Willard, teorema 16.11, pág. 112
7. Willard, teorema 16.8, pág. 111
8. Michael, Ernesto (1953). "Una nota sobre los espacios paracompactos". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 4 (5): 831–838. doi : 10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8 . SEÑOR  0056905.
9. Willard, teorema 16.6, pág. 110
10. "Ejemplos de espacios Lindelof que no son hereditariamente Lindelof". 15 de abril de 2012.
11. Willard, teorema 16.6, pág. 110
12. "El lema del tubo". 2 de mayo de 2011.
13. "Una nota sobre la línea Sorgenfrey". 27 de septiembre de 2009.
14. Engelking, 3.8.A (b), pág. 194
15. Engelking, 3.8.A (c), pág. 194
16. "Topología general: otra pregunta sobre el espacio hereditario de Lindelöf".
17. Mary Ellen Rudin, Conferencias sobre topología teórica de conjuntos, Conference Board of the Mathematical Sciences, American Mathematical Society, 1975, p. 4, recuperable en Google Books [1]
18. Hušek, Miroslav (1969). "La clase de espacios k-compactos es simple". Mathematische Zeitschrift . 110 (2): 123–126. doi : 10.1007/BF01124977 . SEÑOR  0244947. S2CID  120212653..

Referencias

• Engelking, Ryszard, Topología general , Heldermann Verlag Berlín, 1989. ISBN 3-88538-006-4 
• I. Juhász (1980). Funciones cardinales en topología, diez años después . Matemáticas. Centre Tracts, Ámsterdam. ISBN 90-6196-196-3.
• Munkres, James . Topología, 2ª ed .
• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. SEÑOR  0507446.
• Willard, Stephen. Topología general , Publicaciones de Dover (2004) ISBN 0-486-43479-6