Lema de Lindelöf

En matemáticas , el lema de Lindelöf es un lema simple pero útil en topología sobre la recta real , llamado así en honor al matemático finlandés Ernst Leonard Lindelöf .

Declaración del lema

Dejemos que la línea real tenga su topología estándar. Entonces cada subconjunto abierto de la recta real es una unión contable de intervalos abiertos .

Declaración generalizada

El lema de Lindelöf también se conoce como la afirmación de que cada cubierta abierta en un segundo espacio contable tiene una subcubierta contable (Kelley 1955:49). Esto significa que cada segundo espacio contable es también un espacio de Lindelöf .

Prueba de la declaración generalizada

Sea una base contable de . Considere una cubierta abierta . Para prepararnos para la siguiente deducción, definimos dos conjuntos por conveniencia, , . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }}$ ${\displaystyle B_{\alpha }:=\left\{\beta \in B:\beta \subset U_{\alpha }\right\}}$ ${\displaystyle B':=\bigcup _{\alpha }B_{\alpha }}$

Una observación sencilla pero esencial es la que proviene de la definición de base. ^[1] Por lo tanto, podemos conseguir que, ${\displaystyle U_{\alpha }=\bigcup _{\beta \in B_{\alpha }}\beta }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }=\bigcup _{\alpha }\bigcup _{\beta \in B_{\alpha }}\beta =\bigcup _{\beta \in B'}\beta }$

donde , y por lo tanto es, como máximo, contable. A continuación, por construcción, para cada uno hay algo tal que . Por lo tanto podemos escribir ${\displaystyle B'\subset B}$ ${\displaystyle \beta \in B'}$ ${\displaystyle \delta _{\beta }}$ ${\displaystyle \beta \in U_{\delta _{\beta }}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\bigcup _{\beta \in B'}U_{\delta _{\beta }}}$

completando la prueba.

Referencias

1. Aquí utilizamos la definición de "base" en MAArmstrong, Topología básica, capítulo 2, §1, es decir, una colección de conjuntos abiertos tal que cada conjunto abierto es una unión de miembros de esta colección.

1. JL Kelley (1955), Topología general , van Nostrand.
2. MA Armstrong (1983), Topología básica , Springer.