En topología , un segundo espacio contable , también llamado espacio completamente separable , es un espacio topológico cuya topología tiene una base contable . Más explícitamente, un espacio topológico es contable en segundo lugar si existe alguna colección contable de subconjuntos abiertos de tal que cualquier subconjunto abierto de pueda escribirse como una unión de elementos de alguna subfamilia de . Se dice que un segundo espacio contable satisface el segundo axioma de contabilidad . Al igual que otros axiomas de contabilidad , la propiedad de ser contable en segundo lugar restringe el número de conjuntos abiertos que puede tener un espacio.
Muchos espacios de " buen comportamiento " en matemáticas son contables en segundo lugar. Por ejemplo, el espacio euclidiano ( R n ) con su topología habitual es contable en segundo lugar. Aunque la base habitual de las bolas abiertas es incontable , se puede restringir a la colección de todas las bolas abiertas con radios racionales y cuyos centros tengan coordenadas racionales. Este conjunto restringido es contable y todavía forma una base.
La segunda contabilización es una noción más fuerte que la primera contabilización . Un espacio es primero contable si cada punto tiene una base local contable . Dada una base para una topología y un punto x , el conjunto de todos los conjuntos de bases que contienen x forma una base local en x . Por lo tanto, si uno tiene una base contable para una topología, entonces tiene una base local contable en cada punto y, por lo tanto, cada segundo espacio contable es también un primer espacio contable. Sin embargo, cualquier espacio discreto incontable es contable en primer lugar, pero no en segundo contable.
La segunda contabilización implica ciertas otras propiedades topológicas. Específicamente, cada segundo espacio contable es separable (tiene un subconjunto denso contable) y Lindelöf ( cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable). Las implicaciones inversas no se cumplen. Por ejemplo, la topología del límite inferior en la línea real es contable en primer lugar, separable y Lindelöf, pero no contable en segundo lugar. Para los espacios métricos , sin embargo, las propiedades de segundo contable, separable y Lindelöf son todas equivalentes. [1] Por lo tanto, la topología del límite inferior en la línea real no es metrizable.
En espacios contables en segundos, como en espacios métricos, la compacidad , la compacidad secuencial y la compacidad contable son propiedades equivalentes.
El teorema de metrización de Urysohn establece que cada segundo espacio regular de Hausdorff contable es metrizable . De ello se deduce que cada uno de estos espacios es completamente normal y paracompacto . Por lo tanto, la segunda contabilización es una propiedad bastante restrictiva en un espacio topológico, que solo requiere un axioma de separación para implicar metrizabilidad.
![{\displaystyle X=[0,1]\taza [2,3]\taza [4,5]\taza \dots \taza [2k,2k+1]\taza \dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/420c3ddd8b98f0aeda00bd0116fd172b1c4b803e)