Pelota (matemáticas)

En matemáticas , una pelota es la figura sólida delimitada por una esfera ; también se le llama esfera sólida . ^[1] Puede ser una bola cerrada (incluidos los puntos límite que constituyen la esfera) o una bola abierta (excluidos ellos).

Estos conceptos se definen no sólo en el espacio euclidiano tridimensional sino también para dimensiones inferiores y superiores, y para espacios métricos en general. Una bola en $n$ dimensiones se llama hiperbola o $n$ -bola y está limitada por una hiperesfera o ( $n -1$ ) -esfera . Así, por ejemplo, una pelota en el plano euclidiano es lo mismo que un disco , el área delimitada por un círculo . En el espacio tridimensional euclidiano , se considera que una bola es el volumen delimitado por una esfera bidimensional . En un espacio unidimensional , una pelota es un segmento de recta .

En otros contextos, como en la geometría euclidiana y el uso informal, esfera a veces se usa para significar bola . En el campo de la topología, la bola de dimensión cerrada a menudo se denota como o mientras que la bola de dimensión abierta es o . $n$ $B^{n}$ $D^{n}$ $n$ $\operatorname {Int} B^{n}$ $\operatorname {Int} D^{n}$

En el espacio euclidiano

$En el espacio n$ euclidiano , una bola $n$ (abierta) de radio $r$ y centro $x$ es el conjunto de todos los puntos a una distancia menor que $r$ de $x$ . Una $n$ -bola cerrada de radio $r$ es el conjunto de todos los puntos de distancia menor o igual a $r$ de $x$ .

$En el espacio n$ euclidiano , cada bola está limitada por una hiperesfera . La pelota es un intervalo acotado cuando $n = 1$ , es un disco acotado por un círculo cuando $n = 2$ y está acotado por una esfera cuando $n = 3$ .

Volumen

El volumen $n$ -dimensional de una bola euclidiana de radio $r$ en un espacio euclidiano $n$ -dimensional es: ^[2]

V_{n}(r)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n},

Γ

la función gamma Leonhard Euler factorial valores particulares de la función gamma

{\begin{aligned}V_{2k}(r)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}r^{2k}\,,\\[2pt]V_{2k+1}(r)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{\left(2k+1\right)!!}}r^{2k+1}={\frac {2\left(k!\right)\left(4\pi \right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}}r^{2k+1}\,.\end{aligned}}

En la fórmula para volúmenes de dimensiones impares, ¡¡el doble factorial $(2 k + 1)!!$ ¡ ¡Se define para enteros impares $2 k + 1$ como $(2 k + 1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 k - 1) \cdot (2 k + 1)$ .

En espacios métricos generales.

Sea $(M, d)$ un espacio métrico , es decir, un conjunto $M$ con una métrica (función de distancia) $d$ . La bola abierta (métrica) de radio $r > 0$ centrada en un punto $p$ en $M$ , generalmente denotada por $B r (p)$ o $B (p; r)$ , se define por

B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},

La bola cerrada (métrica), que puede denotarse por $B r [p]$ o $B [p; r]$ , se define por

B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.

Tenga en cuenta en particular que una bola (abierta o cerrada) siempre incluye $p$ en sí, ya que la definición requiere $r > 0$ .

Una bola unitaria (abierta o cerrada) es una bola de radio 1.

Una bola en un espacio métrico general no tiene por qué ser redonda. Por ejemplo, una bola en el espacio de coordenadas real bajo la distancia de Chebyshev es un hipercubo , y una bola bajo la distancia del taxi es un politopo cruzado .

Un subconjunto de un espacio métrico está acotado si está contenido en alguna bola. Un conjunto es totalmente acotado si, dado un radio positivo, está cubierto por un número finito de bolas de ese radio.

Las bolas abiertas de un espacio métrico pueden servir como base , dándole a este espacio una topología , cuyos conjuntos abiertos son todas las uniones posibles de bolas abiertas. Esta topología en un espacio métrico se llama topología inducida por la métrica $d$ .

Sea $B r (p)$ el cierre de la bola abierta $B r (p)$ en esta topología. Si bien siempre es el caso que $B r (p) \subseteq B r (p) \subseteq B r [p] ,$ no siempre es el caso que $B r (p) = B r [p]$ . Por ejemplo, en un espacio métrico $X$ con la métrica discreta , se tiene $B 1 (p) = {p}$ y $B 1 [p] = X$ , para cualquier $p \in X$ .

En espacios vectoriales normados

Cualquier espacio vectorial normado $V$ con norma es también un espacio métrico con la métrica. En tales espacios, una bola arbitraria de puntos alrededor de un punto con una distancia menor que puede verse como una copia escalada (por ) y traducida (por ) de un bola unitaria Estas bolas "centradas" con se denotan con $\|\cdot \|$ $d(x,y)=\|x-y\|.$ $B_{r}(y)$ $x$ $y$ $r$ $r$ $y$ $B_{1}(0).$ $y=0$ $B(r).$

Las bolas euclidianas analizadas anteriormente son un ejemplo de bolas en un espacio vectorial normado.

p -norma

En un espacio cartesiano $R n$ con la $p$ -norma $L p$ , es decir

\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p},

r

B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<r\right\}.

Para $n = 2$ , en un plano bidimensional , las "bolas" según la norma $L$ $1$ (a menudo llamada taxi o métrica de Manhattan ) están delimitadas por cuadrados con sus diagonales paralelas a los ejes de coordenadas; aquellos según la norma $L$ $\infty$ , también llamada métrica de Chebyshev , tienen como límites cuadrados con sus lados paralelos a los ejes de coordenadas. La norma $L$ $2$ , conocida como métrica euclidiana, genera los conocidos discos dentro de círculos, y para otros valores de $p$ , las bolas correspondientes son áreas delimitadas por curvas de Lamé (hipoelipsis o hiperelipsis). $\mathbb {R} ^{2}$

Para $n = 3$ , las bolas $L 1$ están dentro de octaedros con diagonales de cuerpo alineadas con los ejes , las bolas $L \infty$ están dentro de cubos con aristas alineadas con los ejes , y los límites de las bolas para $L p$ con $p > 2$ son superelipsoides . Obviamente, $p = 2$ genera el interior de las esferas habituales.

Norma convexa general

De manera más general, dado cualquier subconjunto $X$ centralmente simétrico , acotado , abierto y convexo de $R$ $n$ , se puede definir una norma en $R$ $n$ donde todas las bolas son copias trasladadas y escaladas uniformemente de $X.$ Tenga en cuenta que este teorema no se cumple si el subconjunto "abierto" se reemplaza por un subconjunto "cerrado", porque el punto de origen califica pero no define una norma en $R$ $n$ .

En espacios topológicos

Se puede hablar de bolas en cualquier espacio topológico $X$ , no necesariamente inducido por una métrica. Una bola topológica de $n$ dimensiones (abierta o cerrada) de $X$ es cualquier subconjunto de $X$ que sea homeomorfo a una bola $n$ euclidiana (abierta o cerrada) . $Las n$ -bolas topológicas son importantes en la topología combinatoria , como bloques de construcción de complejos celulares .

Cualquier $n$ -bola topológica abierta es homeomorfa al espacio cartesiano $R n$ y a la unidad abierta n -cubo (hipercubo) $(0, 1) n \subseteq R n$ . Cualquier $n$ -bola topológica cerrada es homeomorfa al $n$ -cubo cerrado $[0, 1] n$ .

Una $n$ -bola es homeomorfa a una $m$ -bola si y sólo si $n = m$ . Los homeomorfismos entre una $n$ -bola abierta $B$ y $R n$ se pueden clasificar en dos clases, que pueden identificarse con las dos posibles orientaciones topológicas de $B$ .

$Una n$ -ball topológica no tiene por qué ser suave ; si es suave, no es necesario que sea difeomorfo a una $n$ -bola euclidiana.

Regiones

Se pueden definir varias regiones especiales para una pelota:

gorra , delimitada por un plano
sector , delimitado por un límite cónico con vértice en el centro de la esfera
segmento , delimitado por un par de planos paralelos
caparazón , delimitado por dos esferas concéntricas de diferentes radios
cuña , delimitada por dos planos que pasan por el centro de una esfera y la superficie de la esfera

Ver también

Pelota – significado ordinario
Disco (matemáticas)
Bola formal , una extensión de los radios negativos.
Barrio (matemáticas)
Esfera , una forma geométrica similar.
3 esferas
$n$ -esfera o hiperesfera
Esfera con cuernos de Alejandro
Colector
Volumen de una $n$ -bola
Octaedro : 3 bolas en la métrica $l 1$ .

Referencias

^ Sūgakkai, Nihon (1993). Diccionario enciclopédico de matemáticas. Prensa del MIT . ISBN 9780262590204.
^ Ecuación 5.19.4, Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST . [1] Versión 1.0.6 del 6 de mayo de 2013.

Smith, DJ; Vamanamurthy, MK (1989). "¿Qué tan pequeña es una unidad de bola?". Revista Matemáticas . 62 (2): 101–107. doi :10.1080/0025570x.1989.11977419. JSTOR 2690391.
Dowker, JS (1996). "Condiciones de Robin en la bola euclidiana". Gravedad clásica y cuántica . 13 (4): 585–610. arXiv : hep-th/9506042 . Código Bib : 1996CQGra..13..585D. doi :10.1088/0264-9381/13/4/003. S2CID 119438515.
Gruber, Peter M. (1982). "Isometrías del espacio de cuerpos convexos contenidos en una bola euclidiana". Revista Israelí de Matemáticas . 42 (4): 277–283. doi :10.1007/BF02761407. S2CID 119483499.