Hipercubo

Politopo convexo, el análogo n-dimensional de un cuadrado y un cubo

En geometría , un hipercubo es un análogo n -dimensional de un cuadrado ( n = 2 ) y un cubo ( n = 3 ). Es una figura cerrada , compacta , convexa , cuyo 1- esqueleto está formado por grupos de segmentos rectos paralelos opuestos alineados en cada una de las dimensiones del espacio , perpendiculares entre sí y de la misma longitud. La diagonal más larga de un hipercubo unitario en n dimensiones es igual a . ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

Un hipercubo de n dimensiones se conoce más comúnmente como cubo de n o, a veces, como cubo de n dimensiones . ^{[ cita necesaria ]} El término politopo de medida (originalmente de Elte, 1912) ^[1] también se utiliza, notablemente en el trabajo de HSM Coxeter , quien también etiqueta los hipercubos como politopos γ n . ^[2]

El hipercubo es el caso especial de un hiperrectángulo (también llamado n-ortotopo ).

Un hipercubo unitario es un hipercubo cuyo lado tiene una longitud de una unidad . A menudo, el hipercubo cuyas esquinas (o vértices ) son los 2 ⁿ puntos en R ⁿ con cada coordenada igual a 0 o 1 se llama hipercubo unitario.

Construcción

Un diagrama que muestra cómo crear un teseracto desde un punto.

Una animación que muestra cómo crear un teseracto desde un punto.

Un hipercubo se puede definir aumentando el número de dimensiones de una forma:

0 – Un punto es un hipercubo de dimensión cero.

1 - Si uno mueve este punto una unidad de longitud, barrerá un segmento de línea, que es una unidad de hipercubo de dimensión uno.

2 – Si se mueve esta línea, segmente su longitud en dirección perpendicular a sí misma; barre un cuadrado bidimensional.

3 – Si uno mueve el cuadrado una unidad de longitud en la dirección perpendicular al plano en el que se encuentra, generará un cubo tridimensional.

4 – Si uno mueve el cubo una unidad de longitud hacia la cuarta dimensión, genera un hipercubo unitario de 4 dimensiones (un teseracto unitario ).

Esto se puede generalizar a cualquier número de dimensiones. Este proceso de barrido de volúmenes puede formalizarse matemáticamente como una suma de Minkowski : el hipercubo d -dimensional es la suma de Minkowski de d segmentos de línea de longitud unitaria mutuamente perpendiculares y, por lo tanto, es un ejemplo de zonótopo .

El esqueleto 1 de un hipercubo es un gráfico de hipercubo .

Coordenadas de vértice

Proyección de un teseracto giratorio .

Un hipercubo unitario de dimensión es el casco convexo de todos los puntos cuyas coordenadas cartesianas son iguales a o . Este hipercubo es también el producto cartesiano de copias del intervalo unitario . A partir de éste se puede obtener mediante una traslación otro hipercubo unitario, centrado en el origen del espacio ambiental . Es la cáscara convexa de los puntos cuyos vectores de coordenadas cartesianas son ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\cdots ,\pm {\frac {1}{2}}\right)\!\!.}$

Aquí el símbolo significa que cada coordenada es igual o igual a . Este hipercubo unitario es también el producto cartesiano . Cualquier hipercubo unitario tiene una longitud de arista y un volumen dimensional de . ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle -1/2}$ ${\displaystyle [-1/2,1/2]^{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$

El hipercubo de dimensiones obtenido como la cáscara convexa de los puntos con coordenadas o, de manera equivalente, como el producto cartesiano, también se considera a menudo debido a la forma más simple de sus coordenadas de vértice. La longitud de su arista es y su volumen dimensional es . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)}$ ${\displaystyle [-1,1]^{n}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Caras

Todo hipercubo admite como caras hipercubos de dimensión inferior contenidos en su límite. Un hipercubo de dimensión admite facetas o caras de dimensión : un segmento de línea (-dimensional) tiene puntos finales; un cuadrado ( -dimensional) tiene lados o aristas; un cubo de dimensiones tiene caras cuadradas; un teseracto (-dimensional) tiene cubos tridimensionales como facetas. El número de vértices de un hipercubo de dimensión es (un cubo habitual de dimensiones tiene vértices, por ejemplo). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2^{3}=8}$

El número de hipercubos dimensionales (de ahora en adelante denominados simplemente cubos) contenidos en el límite de un cubo es ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}}$, ^[3]     donde y denota el factorial de . ${\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$

El vector f extendido para un n -cubo se puede calcular mediante (2, 1 ) ⁿ , como los coeficientes de los productos polinomiales . Por ejemplo, un teseracto es (2, 1 ) ⁴ = (4, 1 ) ² = (16,32,24,8, 1 ).

Por ejemplo, el límite de un cubo ( ) contiene cubos ( -cubos), cuadrados ( -cubos), segmentos de línea ( -cubos) y vértices ( -cubos). Esta identidad puede demostrarse mediante un argumento combinatorio simple: para cada uno de los vértices del hipercubo, hay formas de elegir una colección de aristas incidentes en ese vértice. Cada una de estas colecciones define una de las caras dimensionales incidentes en el vértice considerado. Al hacer esto para todos los vértices del hipercubo, cada una de las caras dimensionales del hipercubo se cuenta veces ya que tiene esa cantidad de vértices, y debemos dividir por este número. ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 24}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 32}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 2^{m}}$ ${\displaystyle 2^{n}{\tbinom {n}{m}}}$

El número de facetas del hipercubo se puede utilizar para calcular el volumen -dimensional de su límite: ese volumen es multiplicado por el volumen de un hipercubo -dimensional; es decir, ¿ dónde está la longitud de las aristas del hipercubo? ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle 2ns^{n-1}}$ ${\displaystyle s}$

Estos números también pueden generarse mediante la relación de recurrencia lineal.

${\displaystyle E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!}$, con , y cuando , , o . ${\displaystyle E_{0,0}=1}$ ${\displaystyle E_{m,n}=0}$ ${\displaystyle n<m}$ ${\displaystyle n<0}$ ${\displaystyle m<0}$

Por ejemplo, extender un cuadrado a través de sus 4 vértices agrega un segmento de línea adicional (arista) por vértice. Agregar el cuadrado opuesto para formar un cubo proporciona segmentos de línea. ${\displaystyle E_{1,3}=12}$

Graficos

Se puede proyectar un n -cubo dentro de un polígono regular de 2 n -gonales mediante una proyección ortogonal sesgada , que se muestra aquí desde el segmento de línea hasta el cubo de 16.

Familias relacionadas de politopos

Los hipercubos son una de las pocas familias de politopos regulares que se representan en cualquier número de dimensiones.

La familia de hipercubos (desplazados) es una de las tres familias de politopos regulares , denominadas por Coxeter como γ _n . Los otros dos son la familia dual del hipercubo, los politopos cruzados , etiquetados como β _n, y los simples , etiquetados como α _n . Una cuarta familia, las infinitas teselaciones de hipercubos , la denominó δ _n .

_{Otra familia} relacionada de politopos semirregulares y uniformes son los demihipercubos , que se construyen a partir de hipercubos con vértices alternos eliminados y facetas simples agregadas en los espacios, etiquetadas como hγn .

Los n -cubos se pueden combinar con sus duales (los politopos cruzados ) para formar politopos compuestos:

• En dos dimensiones obtenemos la figura de estrella octagrámica {8/2},
• En tres dimensiones obtenemos el compuesto de cubo y octaedro ,
• En cuatro dimensiones obtenemos el compuesto de tesseract y 16 celdas .

Relación con ( n −1 ) -simplices

La gráfica de las aristas del n -hipercubo es isomorfa al diagrama de Hasse de la red de caras del ( n −1) -simplex . Esto se puede ver orientando el n -hipercubo de modo que dos vértices opuestos se encuentren verticalmente, correspondientes al ( n −1) -símplex y al politopo nulo, respectivamente. Cada vértice conectado al vértice superior se asigna de forma única a una de las facetas del ( n −1)-simplex ( n −2 caras), y cada vértice conectado a esos vértices se asigna a una de las n −3 caras del simplex, y así sucesivamente. , y los vértices conectados al vértice inferior se asignan a los vértices del simplex.

Esta relación se puede utilizar para generar la red de caras de un ( n −1 ) -símplex de manera eficiente, ya que los algoritmos de enumeración de redes de caras aplicables a politopos generales son más costosos computacionalmente.

Hipercubos generalizados

Los politopos complejos regulares se pueden definir en el espacio complejo de Hilbert llamados hipercubos generalizados , γ^pn
_{_}= _p {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ , o... Las soluciones reales existen con p = 2, es decir γ²
_norte= γ _n = ₂ {4} ₂ {3}.... ₂ {3} ₂ = {4,3,...,3}. Para p > 2, existen en . Las facetas son cubos ( n −1) generalizados y la figura del vértice son símplex regulares . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

El perímetro del polígono regular que se ve en estas proyecciones ortogonales se llama polígono de Petrie . Los cuadrados generalizados ( n = 2) se muestran con bordes delineados como p -bordes de color rojo y azul alternados, mientras que los n -cubos superiores se dibujan con p -bordes delineados en negro.

El número de m -elementos de caras en un p -n -cubo generalizado es: . Esto es p ⁿ vértices y pn facetas. ^[5] ${\displaystyle p^{n-m}{n \choose m}}$

Relación con la exponenciación

Cualquier número entero positivo elevado a otra potencia entera positiva producirá un tercer número entero, siendo este tercer número entero un tipo específico de número figurado correspondiente a un n -cubo con un número de dimensiones correspondientes al exponencial. Por ejemplo, el exponente 2 producirá un número cuadrado o "cuadrado perfecto", que se puede organizar en forma de cuadrado con una longitud de lado correspondiente a la de la base. De manera similar, el exponente 3 producirá un cubo perfecto , un número entero que se puede organizar en forma de cubo con un lado de longitud de la base. Como resultado, el acto de elevar un número a 2 o 3 se conoce más comúnmente como " elevar al cuadrado " y "cubicar", respectivamente. Sin embargo, los nombres de hipercubos de orden superior no parecen ser de uso común para poderes superiores.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Red de interconexión de hipercubos de arquitectura informática.
• Grupo hiperoctaédrico , el grupo de simetría del hipercubo
• hiperesfera
• simplex
• Paralelotopo
• Crucifixión (Corpus Hypercubus) (obra de arte famosa)

Notas

1. Elte, EL (1912). "IV, politopo semirregular de cinco dimensiones". Los politopos semirregulares de los hiperespacios . Países Bajos: Universidad de Groningen . ISBN 141817968X.
2. Coxeter 1973, págs. 122-123, §7.2 ver ilustración Fig. 7.2 C.
3. Coxeter 1973, pag. 122, §7·25.
4. Johnson, Norman W.; Geometrías y transformaciones , Cambridge University Press, 2018, p.224.
5. Coxeter, HSM (1974), Politopos complejos regulares , Londres y Nueva York: Cambridge University Press , p. 180, señor  0370328.

Referencias

• Bowen, JP (abril de 1982). "Hipercubo". Computación práctica . 5 (4): 97–99. Archivado desde el original el 30 de junio de 2008 . Consultado el 30 de junio de 2008 .
• Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3ª ed.). §7.2. consulte la ilustración Fig. 7-2 C : Dover . págs. 122-123. ISBN 0-486-61480-8.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)pag. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n dimensiones ( n  ≥ 5)
• Colina, Federico J.; Gerald R. Peterson (1974). Introducción a la teoría del cambio y al diseño lógico: segunda edición . Nueva York: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-39882-9.Cf. Capítulo 7.1 "Representación cúbica de funciones booleanas", donde se introduce la noción de "hipercubo" como un medio para demostrar un código de distancia 1 (código Gray ) como los vértices de un hipercubo, y luego el hipercubo con sus vértices así etiquetados es aplastado en dos dimensiones para formar un diagrama de Veitch o un mapa de Karnaugh .

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Hipercubo". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Gráficos de hipercubo". MundoMatemático .
• Girando un Hipercubo de Enrique Zeleny, Proyecto de Demostraciones Wolfram .
• Descargas del hipercubo de Rudy Rucker y Farideh Dormishian
• A001787 Número de aristas en un hipercubo de n dimensiones. en OEIS