En matemáticas , un politopo regular es un politopo cuyo grupo de simetría actúa transitivamente sobre sus banderas , dándole así el mayor grado de simetría. En particular, todos sus elementos o j -caras (para todo 0 ≤ j ≤ n , donde n es la dimensión del politopo) (celdas, caras, etc.) también son transitivos en las simetrías del politopo y son en sí mismos regulares. politopos de dimensión j ≤ n .
Los politopos regulares son el análogo generalizado en cualquier número de dimensiones de los polígonos regulares (por ejemplo, el cuadrado o el pentágono regular) y los poliedros regulares (por ejemplo, el cubo ). La fuerte simetría de los politopos regulares les confiere una cualidad estética que interesa tanto a los matemáticos como a los no matemáticos.
Clásicamente, un politopo regular en n dimensiones puede definirse como si tuviera facetas regulares ( [ n –1] -caras) y figuras de vértices regulares . Estas dos condiciones son suficientes para garantizar que todas las caras y todos los vértices sean iguales. Tenga en cuenta, sin embargo, que esta definición no funciona para politopos abstractos .
Un politopo regular puede representarse mediante un símbolo de Schläfli de la forma {a, b, c, ..., y, z}, con facetas regulares como {a, b, c, ..., y} y vértice regular . figura como {b, c, ..., y, z}.
Los politopos regulares se clasifican principalmente según su dimensión.
Existen tres clases de politopos regulares en cada dimensión:
Cualquier otro politopo regular se considera excepcional.
En una dimensión, el segmento de línea sirve simultáneamente como 1-síplex, 1-hipercubo y 1-ortoplex.
En dos dimensiones, hay infinitos polígonos regulares , es decir, el polígono regular de n lados para n ≥ 3. El triángulo es el 2-símplex. El cuadrado es a la vez el 2-hipercubo y el 2-ortoplex. Los polígonos de n lados para n ≥ 5 son excepcionales.
En tres y cuatro dimensiones, hay varios poliedros regulares y 4 politopos más excepcionales .
En cinco dimensiones y más, el simplex, el hipercubo y el ortoplex son los únicos politopos regulares. No existen politopos regulares excepcionales en estas dimensiones.
Véase también la lista de politopos regulares .
Los politopos regulares se pueden clasificar además según la simetría . Por ejemplo, el cubo y el octaedro regular comparten la misma simetría, al igual que el dodecaedro y el icosaedro regulares . Dos politopos regulares distintos con la misma simetría son duales entre sí. De hecho, los grupos de simetría a veces reciben nombres de politopos regulares, por ejemplo, las simetrías tetraédrica e icosaédrica.
La idea de politopo a veces se generaliza para incluir tipos relacionados de objetos geométricos. Algunos de estos tienen ejemplos habituales, como se analiza en la sección sobre descubrimiento histórico a continuación.
Ludwig Schläfli desarrolló una representación simbólica concisa para politopos regulares en el siglo XIX, y una forma ligeramente modificada se ha convertido en estándar. La notación se explica mejor agregando una dimensión a la vez.
El dual de un politopo regular también es un politopo regular. El símbolo de Schläfli para el politopo dual es simplemente el símbolo original escrito al revés: {3, 3} es autodual, {3, 4} es dual con {4, 3}, {4, 3, 3} con {3, 3, 4} y así sucesivamente.
La figura del vértice de un politopo regular es el dual de la faceta del politopo dual. Por ejemplo, la figura del vértice de {3, 3, 4} es {3, 4}, cuyo dual es {4, 3}, una celda de {4, 3, 3}.
Los politopos medidos y cruzados en cualquier dimensión son duales entre sí.
Si el símbolo de Schläfli es palindrómico , es decir, se lee igual hacia adelante y hacia atrás, entonces el poliedro es autodual. Los politopos regulares autoduales son:
Comience con un punto A. Marque el punto B a una distancia r de él y únalo para formar un segmento de línea . Marque el punto C en una segunda dimensión, ortogonal , a una distancia r de ambos, y únalo a A y B para formar un triángulo equilátero . Marque el punto D en una tercera dimensión, ortogonal, a una distancia r de los tres, y únalos para formar un tetraedro regular . Y así sucesivamente para dimensiones superiores.
Estos son los simples simples o simplex regulares . Sus nombres son, en orden de dimensión:
Comience con un punto A. Extienda una línea hasta el punto B a una distancia r y únala para formar un segmento de línea. Extender una segunda línea de longitud r , ortogonal a AB , de B a C , y también de A a D , para formar un cuadrado ABCD . Extienda líneas de longitud r respectivamente desde cada esquina, ortogonales a AB y BC (es decir, hacia arriba). Marca nuevos puntos E , F , G , H para formar el cubo ABCDEFGH . Y así sucesivamente para dimensiones superiores.
Estos son los politopos de medida o hipercubos . Sus nombres son, en orden de dimensión:
Comience con un punto O. Extienda una línea en direcciones opuestas hasta los puntos A y B a una distancia r de O y a 2 r de distancia. Dibuja una línea COD de longitud 2 r , centrada en O y ortogonal a AB . Une los extremos para formar un cuadrado ACBD . Dibuje una línea EOF de la misma longitud y centrada en 'O', ortogonal a AB y CD (es decir, hacia arriba y hacia abajo). Une los extremos al cuadrado para formar un octaedro regular . Y así sucesivamente para dimensiones superiores.
Estos son los politopos cruzados u ortoplexos . Sus nombres son, en orden de dimensionalidad:
Los politopos regulares se pueden clasificar por su grupo de isometría . Estos son grupos de Coxeter finitos , pero no todos los grupos de Coxeter finitos pueden realizarse como el grupo de isometría de un politopo regular. Los politopos regulares están en biyección con grupos de Coxeter con diagrama lineal de Coxeter-Dynkin (sin punto de ramificación) y una numeración creciente de los nodos. Al invertir la numeración se obtiene el politopo dual.
La clasificación de grupos finitos de Coxeter, que se remonta a (Coxeter 1935), implica por tanto la clasificación de politopos regulares:
La biyección entre politopos regulares y grupos de Coxeter con diagrama lineal de Coxeter-Dynkin se puede entender de la siguiente manera. Considere un politopo regular de dimensión y tome su subdivisión baricéntrica . El dominio fundamental de acción del grupo de isometría está dado por cualquier simplex en la subdivisión baricéntrica. El simplex tiene vértices que pueden numerarse desde 0 hasta por la dimensión de la cara correspondiente (la cara de la que son baricentro). El grupo de isometría se genera por las reflexiones alrededor de los hiperplanos que contienen el número de vértice (ya que el baricentro de todo el politopo está fijado por cualquier isometría). Estos hiperplanos se pueden numerar por el vértice que no contienen. Lo que queda por comprobar es que dos hiperplanos cualesquiera con números adyacentes no pueden ser ortogonales, mientras que los hiperplanos con números no adyacentes son ortogonales. Esto se puede hacer mediante inducción (ya que todas las facetas de son nuevamente politopos regulares). Por lo tanto, el diagrama de Coxeter-Dynkin del grupo de isometría tiene vértices numerados de 0 a tal que los números adyacentes están vinculados por al menos un borde y los números no adyacentes no están vinculados.
El tratamiento matemático más antiguo que se conserva de los polígonos y poliedros regulares nos llega de los antiguos matemáticos griegos . Conocían los cinco sólidos platónicos . Pitágoras conocía al menos tres de ellos y Teeteto (c. 417 a. C. - 369 a. C.) describió los cinco. Posteriormente, Euclides escribió un estudio sistemático de las matemáticas, publicándolo con el título Elementos , en el que construyó una teoría lógica de la geometría y la teoría de números . Su trabajo concluyó con descripciones matemáticas de los cinco sólidos platónicos .
Nuestra comprensión permaneció estática durante muchos siglos después de Euclides. La historia posterior de los politopos regulares se puede caracterizar por una ampliación gradual del concepto básico, permitiendo que cada vez se consideren más objetos entre ellos. Thomas Bradwardine (Bradwardinus) fue el primero en registrar un estudio serio de los polígonos estelares. En el arte renacentista aparecen varios poliedros estelares, pero no fue hasta que Johannes Kepler estudió el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro estrellado en 1619 que se dio cuenta de que estos dos eran regulares. Louis Poinsot descubrió el gran dodecaedro y el gran icosaedro en 1809, y Augustin Cauchy demostró que la lista estaba completa en 1812. Estos poliedros se conocen colectivamente como poliedros de Kepler-Poinsot .
No fue hasta el siglo XIX que un matemático suizo, Ludwig Schläfli , examinó y caracterizó los politopos regulares en dimensiones superiores. Sus esfuerzos se publicaron íntegramente por primera vez en Schläfli (1901), seis años póstumamente, aunque partes de ellos se publicaron en Schläfli (1855) y Schläfli (1858). Entre 1880 y 1900, los resultados de Schläfli fueron redescubiertos de forma independiente por al menos otros nueve matemáticos; véase Coxeter (1973, págs. 143-144) para más detalles. Schläfli llamó a tal figura "polisquema" (en inglés, "polisquema" o "polisquema"). El término "politopo" fue introducido por Reinhold Hoppe , uno de los redescubridores de Schläfli, en 1882, y utilizado por primera vez en inglés por Alicia Boole Stott unos veinte años después. El término "poliedroide" también se utilizó en la literatura anterior (Hilbert, 1952).
Coxeter (1973) es probablemente el tratamiento impreso más completo de los resultados de Schläfli y similares hasta la fecha. Schläfli demostró que existen seis politopos convexos regulares en 4 dimensiones . Cinco de ellos pueden considerarse análogos a los sólidos platónicos: el 4-simplex (o pentacoron) al tetraedro , el hipercubo (o tesseract ) al cubo , el 4-orthoplex (o hexadecachoron o 16 celdas ) al octaedro , el de 120 celdas al dodecaedro y el de 600 celdas al icosaedro . El sexto, el de 24 celdas , puede verse como una forma de transición entre el hipercubo y el de 16 celdas, de forma análoga a la forma en que el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico son formas de transición entre el cubo y el octaedro.
En cinco y más dimensiones, hay exactamente tres politopos regulares, que corresponden al tetraedro, al cubo y al octaedro: estos son los politopos regulares simples, de medida y politopos cruzados. Las descripciones de estos se pueden encontrar en la lista de politopos regulares . También son de interés los 4 politopos regulares de la estrella , parcialmente descubiertos por Schläfli.
A finales del siglo XIX, matemáticos como Arthur Cayley y Ludwig Schläfli habían desarrollado la teoría de los politopos regulares en cuatro dimensiones y superiores, como el teseracto y el de 24 celdas .
Estos últimos son difíciles (aunque no imposibles) de visualizar a través de un proceso de analogía dimensional , ya que conservan la simetría familiar de sus análogos de dimensiones inferiores. El teseracto contiene 8 celdas cúbicas. Consta de dos cubos en hiperplanos paralelos con sus correspondientes vértices conectados entre sí de tal manera que las 8 aristas transversales sean iguales en longitud y ortogonales a las 12+12 aristas situadas en cada cubo. Las caras correspondientes de los dos cubos están conectadas para formar las 6 caras cúbicas restantes del teseracto . Las 24 celdas se pueden derivar del teseracto uniendo los 8 vértices de cada una de sus caras cúbicas a un vértice adicional para formar el análogo de cuatro dimensiones de una pirámide. Ambas figuras, así como otras figuras de 4 dimensiones, se pueden visualizar y representar directamente mediante estereografías de 4 dimensiones. [1]
Aún más difíciles de imaginar son los politopos regulares abstractos más modernos , como el de 57 celdas o el de 11 celdas . Sin embargo, desde el punto de vista matemático, estos objetos tienen las mismas cualidades estéticas que sus parientes bidimensionales y tridimensionales más familiares.
A principios del siglo XX, la definición de politopo regular era la siguiente.
Ésta es una definición "recursiva". Define la regularidad de figuras de dimensiones superiores en términos de figuras regulares de dimensiones inferiores. Existe una definición equivalente (no recursiva), que establece que un politopo es regular si tiene un grado suficiente de simetría.
Así, por ejemplo, el cubo es regular porque si elegimos un vértice del cubo, y una de las tres aristas en las que está, y una de las dos caras que contiene la arista, entonces este triplete, conocido como bandera , (vértice, borde, cara) se puede asignar a cualquier otra bandera mediante una simetría adecuada del cubo. Así podemos definir un politopo regular de manera muy sucinta:
En el siglo XX se produjeron algunos avances importantes. Los grupos de simetría de los politopos regulares clásicos se generalizaron en lo que ahora se denominan grupos de Coxeter . Los grupos de Coxeter también incluyen los grupos de simetría de teselados regulares del espacio o del plano. Por ejemplo, el grupo de simetría de un tablero de ajedrez infinito sería el grupo de Coxeter [4,4].
En la primera parte del siglo XX, Coxeter y Petrie descubrieron tres estructuras infinitas {4, 6}, {6, 4} y {6, 6}. Los llamaron poliedros sesgados regulares porque parecían satisfacer la definición de poliedro regular: todos los vértices, aristas y caras son iguales, todos los ángulos son iguales y la figura no tiene aristas libres. Hoy en día se les llama poliedros infinitos o apeiroedros. Los mosaicos regulares del plano {4, 4}, {3, 6} y {6, 3} también pueden considerarse poliedros infinitos.
En la década de 1960, Branko Grünbaum hizo un llamado a la comunidad geométrica para que considerara tipos más abstractos de politopos regulares a los que llamó poliestromas . Desarrolló la teoría de los polistromas, mostrando ejemplos de nuevos objetos a los que llamó apeirotopos regulares , es decir, politopos regulares con infinitas caras. Un ejemplo simple de apeirogon sesgado sería un zig-zag. Parece satisfacer la definición de polígono regular: todas las aristas tienen la misma longitud, todos los ángulos son iguales y la figura no tiene cabos sueltos (porque nunca se pueden alcanzar). Quizás lo más importante sea que existen simetrías del zig-zag que pueden mapear cualquier par de vértices y aristas adjuntas a cualquier otro. Desde entonces, se han seguido descubriendo otros apeirogons regulares y apeirotopos superiores.
Un número complejo tiene una parte real, que es el bit que todos conocemos, y una parte imaginaria, que es un múltiplo de la raíz cuadrada de menos uno. Un espacio de Hilbert complejo tiene sus coordenadas x, y, z, etc. como números complejos. Esto efectivamente duplica el número de dimensiones. Un politopo construido en tal espacio unitario se llama politopo complejo . [2]
Grünbaum también descubrió las 11 células , un objeto autodual de cuatro dimensiones cuyas facetas no son icosaedros, sino "hemi-icosaedros", es decir, son la forma que uno obtiene si considera que las caras opuestas del icosaedro son en realidad la misma cara (Grünbaum 1976). El hemiicosaedro tiene sólo 10 caras triangulares y 6 vértices, a diferencia del icosaedro que tiene 20 y 12.
Este concepto puede resultar más fácil de comprender para el lector si se considera la relación entre el cubo y el hemicubo. Un cubo ordinario tiene 8 esquinas, podrían etiquetarse de la A a la H, con A opuesta a H, B opuesta a G, y así sucesivamente. En un hemicubo, A y H serían tratados como la misma esquina. También lo harían B y G, y así sucesivamente. La arista AB pasaría a ser la misma arista que GH, y la cara ABEF pasaría a ser la misma cara que CDGH. La nueva forma tiene sólo tres caras, 6 aristas y 4 esquinas.
Las 11 celdas no se pueden formar con geometría regular en un hiperespacio plano (euclidiano), sino sólo en un hiperespacio curvado positivamente (elíptico).
Unos años después del descubrimiento de las 11 células por parte de Grünbaum , HSM Coxeter descubrió de forma independiente la misma forma. Anteriormente había descubierto un politopo similar, el de 57 células (Coxeter 1982, 1984).
En 1994, Grünbaum consideraba los politopos de forma abstracta como conjuntos combinatorios de puntos o vértices, y no le preocupaba si las caras eran planas. A medida que él y otros refinaron estas ideas, estos conjuntos pasaron a denominarse politopos abstractos . Un politopo abstracto se define como un conjunto parcialmente ordenado (poset), cuyos elementos son las caras del politopo (vértices, aristas, caras, etc.) ordenadas por contención . Se imponen ciertas restricciones al conjunto que son similares a las propiedades que satisfacen los politopos regulares clásicos (incluidos los sólidos platónicos). Las restricciones, sin embargo, son lo suficientemente flexibles como para que los teselados regulares, los hemicubos e incluso objetos tan extraños como los de 11 celdas o más extraños sean ejemplos de politopos regulares.
Se entiende por politopo geométrico una realización del politopo abstracto, de modo que existe un mapeo uno a uno de los elementos abstractos a las caras correspondientes de la realización geométrica. Por tanto, cualquier politopo geométrico puede describirse mediante el poset abstracto apropiado, aunque no todos los politopos abstractos tienen realizaciones geométricas adecuadas.
Desde entonces, la teoría ha sido desarrollada aún más, en gran parte por McMullen y Schulte (2002), pero otros investigadores también han hecho contribuciones.
La regularidad tiene un significado relacionado, aunque diferente, para los politopos abstractos , ya que los ángulos y las longitudes de las aristas no tienen significado.
La definición de regularidad en términos de transitividad de banderas dada en la introducción se aplica a politopos abstractos.
Cualquier politopo regular clásico tiene un equivalente abstracto que es regular, obtenido tomando el conjunto de caras. Pero los politopos clásicos no regulares pueden tener equivalentes abstractos regulares, ya que los politopos abstractos no retienen información sobre ángulos y longitudes de bordes, por ejemplo. Y un politopo abstracto regular puede no ser realizable como un politopo clásico.
Todos los polígonos son regulares en el mundo abstracto, por ejemplo, mientras que sólo aquellos que tienen ángulos iguales y aristas de igual longitud son regulares en el mundo clásico.
El concepto de figura de vértice también se define de forma diferente para un politopo abstracto . La figura de vértice de un n -politopo abstracto dado en un vértice V dado es el conjunto de todas las caras abstractas que contienen V , incluido el propio V. Más formalmente, es la sección de resúmenes.
donde F n es la cara máxima, es decir, la cara n nocional que contiene todas las demás caras. Tenga en cuenta que cada i -cara, i ≥ 0 del politopo original se convierte en una ( i − 1) -cara de la figura del vértice.
A diferencia del caso de los politopos euclidianos, un politopo abstracto con facetas regulares y figuras de vértices puede o no ser regular en sí mismo; por ejemplo, la pirámide cuadrada, todas cuyas facetas y figuras de vértices son polígonos abstractos regulares.
La figura de vértice clásica será, sin embargo, una realización de la abstracta.
La forma tradicional de construir un polígono regular, o incluso cualquier otra figura en el plano, es mediante compás y regla . Construir algunos polígonos regulares de esta manera es muy simple (el más fácil quizás sea el triángulo equilátero), algunos son más complejos y otros son imposibles ("no construibles"). Los polígonos regulares más simples que son imposibles de construir son los polígonos de n lados con n igual a 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21,...
La constructibilidad en este sentido se refiere sólo a construcciones ideales con herramientas ideales. Por supuesto, se pueden construir aproximaciones razonablemente precisas mediante una variedad de métodos; mientras que las construcciones teóricamente posibles pueden resultar poco prácticas.
Los Elementos de Euclides dieron lo que equivalen a construcciones de regla y compás para los cinco sólidos platónicos. [3] Sin embargo, la cuestión meramente práctica de cómo se podría dibujar una línea recta en el espacio, incluso con una regla, podría llevar a uno a preguntarse qué significa exactamente "construir" un poliedro regular. (Por supuesto, se podría hacer la misma pregunta sobre los polígonos).
La palabra inglesa "construct" tiene la connotación de construir sistemáticamente lo construido. La forma más común presentada para construir un poliedro regular es mediante una red desplegable . Para obtener una red desplegable de un poliedro, se toma la superficie del poliedro y se corta a lo largo de los bordes suficientes para que la superficie pueda quedar plana. Esto da un plano para la red del poliedro desplegado. Dado que los sólidos platónicos sólo tienen como caras triángulos, cuadrados y pentágonos, y todos ellos se pueden construir con regla y compás, existen métodos con regla y compás para dibujar estas redes desplegables. Lo mismo se aplica a los poliedros estelares, aunque aquí debemos tener cuidado de hacer la red sólo para la superficie exterior visible.
Si esta red está dibujada sobre cartón o material plegable similar (por ejemplo, lámina de metal), la red se puede cortar, doblar a lo largo de los bordes sin cortar, unir a lo largo de los bordes cortados apropiados y formar así el poliedro para el cual se creó la red. diseñado. Para un poliedro determinado pueden existir muchas redes desplegables. Por ejemplo, hay 11 para el cubo y más de 900.000 para el dodecaedro. [4]
Numerosos juguetes infantiles, generalmente dirigidos al grupo de edad adolescente o preadolescente, permiten experimentar con polígonos y poliedros regulares. Por ejemplo, klikko ofrece conjuntos de triángulos, cuadrados, pentágonos y hexágonos de plástico que se pueden unir de borde a borde de muchas maneras diferentes. Un niño que jugara con un juguete de este tipo podría redescubrir los sólidos platónicos (o los sólidos de Arquímedes ), especialmente si recibe un poco de orientación de un adulto con conocimientos.
En teoría, se puede utilizar casi cualquier material para construir poliedros regulares. [5] Pueden ser tallados en madera, modelados en alambre, formados a partir de vidrieras. La imaginación es el límite.
En dimensiones superiores, resulta más difícil decir qué se entiende por "construir" los objetos. Claramente, en un universo tridimensional, es imposible construir un modelo físico de un objeto que tenga 4 o más dimensiones. Normalmente se adoptan varios enfoques para solucionar este problema.
El primer enfoque, adecuado para cuatro dimensiones, utiliza la estereografía de cuatro dimensiones. [1] La profundidad en una tercera dimensión se representa con un desplazamiento relativo horizontal, la profundidad en una cuarta dimensión con un desplazamiento relativo vertical entre las imágenes izquierda y derecha de la estereografía.
El segundo enfoque consiste en incrustar los objetos de dimensiones superiores en un espacio tridimensional, utilizando métodos análogos a la forma en que se dibujan los objetos tridimensionales en el plano. Por ejemplo, las redes desplegables mencionadas en la sección anterior tienen equivalentes de dimensiones superiores. [6] Incluso se podría imaginar construir un modelo de esta red desplegable, como se dibuja la red desplegable de un poliedro en una hoja de papel. Lamentablemente, nunca pudimos realizar el plegado necesario de la estructura tridimensional para obtener el politopo de 4 dimensiones debido a las limitaciones del universo físico. Otra forma de "dibujar" las formas de dimensiones superiores en 3 dimensiones es mediante algún tipo de proyección, por ejemplo, la análoga a la proyección ortográfica o en perspectiva . El famoso libro de Coxeter sobre politopos (Coxeter 1973) tiene algunos ejemplos de tales proyecciones ortográficas. [7] Tenga en cuenta que sumergir incluso una policora de 4 dimensiones directamente en dos dimensiones es bastante confuso. Más fáciles de entender son los modelos tridimensionales de las proyecciones. Estos modelos se encuentran ocasionalmente en museos de ciencias o departamentos de matemáticas de universidades (como el de la Universidad Libre de Bruselas ).
La intersección de un politopo regular de cuatro (o más) dimensiones con un hiperplano tridimensional será un politopo (no necesariamente regular). Si el hiperplano se mueve a través de la forma, los cortes tridimensionales se pueden combinar y animar en una especie de objeto de cuatro dimensiones, donde la cuarta dimensión se considera el tiempo. De esta manera, podemos ver (si no comprender completamente) la estructura tetradimensional completa de los politopos regulares de cuatro dimensiones, a través de dichas secciones transversales recortadas. Esto es análogo a la forma en que una tomografía computarizada vuelve a ensamblar imágenes bidimensionales para formar una representación tridimensional de los órganos que se escanean. Lo ideal sería un holograma animado de algún tipo; sin embargo, incluso una animación simple como la que se muestra ya puede dar una idea limitada de la estructura del politopo.
Otra forma en que un espectador tridimensional puede comprender la estructura de un politopo de cuatro dimensiones es "sumergiéndose" en el objeto, tal vez mediante alguna forma de tecnología de realidad virtual . Para entender cómo podría funcionar esto, imaginemos lo que veríamos si el espacio estuviera lleno de cubos. El espectador estaría dentro de uno de los cubos y podría ver los cubos delante, detrás, arriba, abajo, a la izquierda y a la derecha de él mismo. Si uno pudiera viajar en estas direcciones, podría explorar el conjunto de cubos y comprender su estructura geométrica. Un conjunto infinito de cubos no es un politopo en el sentido tradicional. De hecho, es un mosaico del espacio tridimensional ( euclidiano ). Sin embargo, un politopo de 4 dimensiones puede considerarse una teselación de un espacio no euclidiano tridimensional , es decir, una teselación de la superficie de una esfera de cuatro dimensiones (un mosaico esférico de cuatro dimensiones ).
Localmente, este espacio se parece al que conocemos y, por lo tanto, se podría, en principio, programar un sistema de realidad virtual para permitir la exploración de estos "teselados", es decir, de los politopos regulares de 4 dimensiones. El departamento de matemáticas de la UIUC tiene varias imágenes de lo que se vería si estuviera incrustado en un mosaico de espacio hiperbólico con dodecaedros. Tal teselación forma un ejemplo de un politopo regular abstracto infinito.
Normalmente, para politopos regulares abstractos, un matemático considera que el objeto está "construido" si se conoce la estructura de su grupo de simetría . Esto se debe a un teorema importante en el estudio de politopos regulares abstractos, que proporciona una técnica que permite construir el politopo regular abstracto a partir de su grupo de simetría de una manera estándar y sencilla.
Para ver ejemplos de polígonos en la naturaleza, consulte:
Cada uno de los sólidos platónicos se presenta naturalmente de una forma u otra:
