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Panal (geometría)

Panal cúbico

En geometría , un panal es un relleno de espacio o un empaquetamiento cerrado de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , de modo que no queden espacios. Es un ejemplo del mosaico o teselado matemático más general en cualquier número de dimensiones. Su dimensión se puede aclarar como n -panal para un panal de n -espacio dimensional.

Los panales suelen construirse en un espacio euclidiano ("plano") ordinario. También pueden construirse en espacios no euclidianos , como panales hiperbólicos. Cualquier politopo finito uniforme se puede proyectar a su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.

Es posible rellenar el plano con polígonos que no se encuentran en sus esquinas, por ejemplo usando rectángulos , como en un patrón de pared de ladrillos : este no es un mosaico adecuado porque las esquinas se encuentran parcialmente a lo largo del borde de un polígono vecino. De manera similar, en un panal adecuado, no debe haber bordes ni vértices a lo largo de la cara de una celda vecina. Interpretar cada cara de ladrillo como un hexágono que tiene dos ángulos interiores de 180 grados permite considerar el patrón como un mosaico adecuado. Sin embargo, no todos los geómetras aceptan tales hexágonos.

Clasificación

Hay infinitos panales que sólo han sido clasificados parcialmente. Los más habituales han atraído el mayor interés, mientras que se sigue descubriendo una rica y variada variedad de otros.

Los panales más sencillos de construir se forman a partir de capas apiladas o losas de prismas basadas en algunos mosaicos del plano. En particular, para cada paralelepípedo , las copias pueden llenar el espacio, siendo el panal cúbico especial porque es el único panal regular en el espacio ordinario (euclidiano). Otra familia interesante son los tetraedros de Hill y sus generalizaciones, que también pueden enlosar el espacio.

Uniforme de 3 panales

Un panal uniforme tridimensional es un panal en 3 espacios compuesto por celdas poliédricas uniformes y que tiene todos los vértices iguales (es decir, el grupo de [isometrías de 3 espacios que preservan el mosaico] es transitivo en los vértices ). Hay 28 ejemplos convexos en el espacio tridimensional euclidiano, [1] también llamados panales de Arquímedes .

Un panal se llama regular si el grupo de isometrías que preservan el mosaico actúa transitivamente sobre las banderas, donde una bandera es un vértice que se encuentra en un borde que se encuentra en una cara que se encuentra en una celda. Cada panal normal es automáticamente uniforme. Sin embargo, sólo hay un panal regular en el espacio tridimensional euclidiano, el panal cúbico . Dos son cuasiregulares (hechas de dos tipos de células regulares):

El panal tetraédrico-octaédrico y los panales tetraédrico-octaédrico giratorio se generan mediante 3 o 2 posiciones de capa de celdas en forma de losa, cada una de las cuales alterna tetraedros y octaedros. Se puede crear un número infinito de panales únicos mediante un orden superior de patrones de repetición de estas capas de losa.

Poliedros que llenan el espacio

Un panal que tiene todas las células idénticas dentro de sus simetrías se dice que es transitivo de células o isocórico . En el espacio euclidiano tridimensional, se dice que una celda de dicho panal es un poliedro que llena el espacio . [2] Una condición necesaria para que un poliedro sea un poliedro que llena el espacio es que su invariante de Dehn debe ser cero, [3] [4] descartando cualquiera de los sólidos platónicos distintos del cubo.

Cinco poliedros que llenan el espacio pueden teselar un espacio euclidiano tridimensional utilizando únicamente traslaciones. Se llaman paraleloedros :

  1. Panal cúbico (o variaciones: cuboide , hexaedro rómbico o paralelepípedo )
  2. Panal prismático hexagonal [5]
  3. Panal dodecaédrico rómbico
  4. Panal dodecaédrico alargado [6]
  5. Panal cúbico bitruncado u octaedro truncado [7]

Otros ejemplos conocidos de poliedros que llenan espacios incluyen:

Otros panales con dos o más poliedros

A veces, se pueden combinar dos [11] o más poliedros diferentes para llenar el espacio. Además de muchos de los panales uniformes, otro ejemplo bien conocido es la estructura Weaire-Phelan , adoptada de la estructura de los cristales de hidrato de clatrato [12].

3 panales no convexos

Los ejemplos documentados son raros. Se pueden distinguir dos clases:

Panales hiperbólicos

En el espacio hiperbólico tridimensional , el ángulo diédrico de un poliedro depende de su tamaño. Los panales hiperbólicos regulares incluyen, por tanto, dos con cuatro o cinco dodecaedros que se encuentran en cada borde; sus ángulos diédricos son, por tanto, π/2 y 2π/5, los cuales son menores que los de un dodecaedro euclidiano. Aparte de este efecto, los panales hiperbólicos obedecen a las mismas restricciones topológicas que los panales euclidianos y la policora.

Se han enumerado los 4 panales hiperbólicos regulares compactos y 11 paracompactos y muchos panales hiperbólicos uniformes compactos y paracompactos .

Dualidad de 3 panales

Por cada panal existe un panal dual, que se puede obtener intercambiando:

celdas para vértices.
caras para aristas.

Estas son solo las reglas para dualizar 4 politopos de cuatro dimensiones , excepto que el método finito habitual de reciprocidad alrededor de una hiperesfera concéntrica puede generar problemas.

Los panales más regulares se dualizan claramente:

Panales autodobles

Los panales también pueden ser autodobles . Todos los panales hipercúbicos de n dimensiones con símbolos de Schläfli {4,3 n −2,4 } son autoduales.

Ver también

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Honeycombs (geometría) .

Referencias

  1. ^ Grünbaum (1994). "Azulejos uniformes de 3 espacios". Geobinatoria 4(2)
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Poliedro que llena el espacio". MundoMatemático .
  3. ^ Debrunner, Hans E. (1980), "Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln", Archiv der Mathematik (en alemán), 35 (6): 583–587, doi :10.1007/BF01235384, MR  0604258, S2CID  121301319.
  4. ^ Lagarias, JC ; Moews, D. (1995), "Politopos que llenan y tijeran la congruencia", Geometría discreta y computacional , 13 (3–4): 573–583, doi : 10.1007/BF02574064 , SEÑOR  1318797.
  5. ^ [1] Relleno uniforme de espacios mediante prismas triangulares, cuadrados y hexagonales
  6. ^ [2] Relleno uniforme de espacios utilizando únicamente dodecaedros rombo-hexagonales
  7. ^ [3] Relleno uniforme de espacios utilizando únicamente octaedros truncados
  8. ^ John Conway (22 de diciembre de 2003). "Poliedro de Voronoi. Geometría. Rompecabezas". Grupo de noticias : geometría.puzzles. Usenet:  Pine.LNX.4.44.0312221226380.25139-100000@fine318a.math.Princeton.EDU.
  9. ^ X. Qian, D. Strahs y T. Schlick, J. Comput. Química. 22 (15) 1843–1850 (2001)
  10. ^ [4] O. Delgado-Friedrichs y M. O'Keeffe. Teselados simples isoédricos: binodales y por teselas de <16 caras. Acta Crystallogr. (2005) A61, 358-362
  11. ^ [5] Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine Gabbrielli, Ruggero. Un poliedro de trece caras que llena el espacio con su copia quiral.
  12. ^ Pauling, Linus. La naturaleza del enlace químico. Prensa de la Universidad de Cornell, 1960
  13. ^ Inchbald, Guy (julio de 1997), "Los duales en forma de panal de Arquímedes", The Mathematical Gazette , 81 (491): 213–219, doi :10.2307/3619198, JSTOR  3619198.

Otras lecturas

enlaces externos