En geometría , un politopo (por ejemplo, un polígono o poliedro ) o un mosaico es isogonal o transitivo en sus vértices si todos sus vértices son equivalentes según las simetrías de la figura. Esto implica que cada vértice está rodeado por los mismos tipos de caras en el mismo orden o en orden inverso, y con los mismos ángulos entre las caras correspondientes.
Técnicamente, se dice que para dos vértices cualesquiera existe una simetría del politopo que proyecta el primero isométricamente sobre el segundo. Otras formas de decir esto son que el grupo de automorfismos del politopo actúa transitivamente sobre sus vértices, o que los vértices se encuentran dentro de una única órbita de simetría .
Todos los vértices de una figura isogonal finita de dimensión n existen en una ( n −1) -esfera . [1]
El término isogonal se ha utilizado desde hace mucho tiempo para los poliedros. Vértice-transitivo es un sinónimo tomado de ideas modernas como los grupos de simetría y la teoría de grafos .
El pseudorrombicuboctaedro –que no es isogonal– demuestra que simplemente afirmar que "todos los vértices parecen iguales" no es tan restrictivo como la definición utilizada aquí, que involucra al grupo de isometrías que preserva el poliedro o teselaje.
Todos los polígonos regulares , apeirógonos y polígonos regulares estrellados son isogonales . El dual de un polígono isogonal es un polígono isotoxal .
Algunos polígonos y apeirógonos de lados pares que alternan dos longitudes de aristas, por ejemplo un rectángulo , son isogonales .
Todos los 2 n -gonos isogonales planos tienen simetría diedra (D n , n = 2, 3, ...) con líneas de reflexión en los puntos del borde medio.
Un poliedro isogonal y un teselado 2D tienen un único tipo de vértice. Un poliedro isogonal con todas las caras regulares también es un poliedro uniforme y se puede representar mediante una notación de configuración de vértices que ordena las caras alrededor de cada vértice. Las variaciones geométricamente distorsionadas de poliedros uniformes y teselados también pueden recibir la configuración de vértices.
Los poliedros isogonales y los mosaicos 2D pueden clasificarse además:
Estas definiciones se pueden extender a politopos y teselaciones de dimensiones superiores . Todos los politopos uniformes son isogonales , por ejemplo, los 4-politopos uniformes y los panales de abejas uniformes convexos .
El dual de un politopo isogonal es una figura isoédrica , que es transitiva en sus facetas .
Un politopo o teselación puede ser llamado k -isogonal si sus vértices forman k clases de transitividad. Un término más restrictivo, k -uniforme, se define como una figura k-isogonal construida únicamente a partir de polígonos regulares . Pueden ser representados visualmente con colores mediante diferentes coloraciones uniformes .