Un poliedro regular es un poliedro cuyo grupo de simetría actúa transitivamente sobre sus caras . Un poliedro regular es altamente simétrico, siendo todas ellas transitivas por las aristas , transitivas por los vértices y transitivas por las caras . En contextos clásicos, se utilizan muchas definiciones equivalentes diferentes; una común es que las caras son polígonos regulares congruentes que se ensamblan de la misma manera alrededor de cada vértice .
Un poliedro regular se identifica por su símbolo de Schläfli de la forma { n , m }, donde n es el número de lados de cada cara y m el número de caras que se encuentran en cada vértice. Hay 5 poliedros regulares convexos finitos (los sólidos platónicos ) y cuatro poliedros regulares en estrella (los poliedros de Kepler-Poinsot ), lo que hace un total de nueve poliedros regulares. Además, hay cinco compuestos regulares de los poliedros regulares.
Hay cinco poliedros regulares convexos , conocidos como sólidos platónicos ; cuatro poliedros regulares en estrella , los poliedros de Kepler-Poinsot ; y cinco compuestos regulares de poliedros regulares:
La propiedad de tener una disposición similar de caras alrededor de cada vértice puede reemplazarse por cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes en la definición:
Un poliedro regular convexo tiene tres esferas relacionadas (otros poliedros carecen de al menos un tipo) que comparten su centro:
Los poliedros regulares son los más simétricos de todos los poliedros. Se encuentran en sólo tres grupos de simetría , que reciben su nombre de los sólidos platónicos:
Cualquier forma con simetría icosaédrica u octaédrica también contendrá simetría tetraédrica.
Los cinco sólidos platónicos tienen una característica de Euler de 2. Esto simplemente refleja que la superficie es una 2-esfera topológica, y lo mismo es cierto, por ejemplo, de cualquier poliedro que tenga forma de estrella con respecto a algún punto interior.
La suma de las distancias desde cualquier punto en el interior de un poliedro regular a los lados es independiente de la ubicación del punto (esta es una extensión del teorema de Viviani ). Sin embargo, lo inverso no se cumple, ni siquiera para los tetraedros . [2]
En un par dual de poliedros, los vértices de un poliedro corresponden a las caras del otro, y viceversa.
Los poliedros regulares muestran esta dualidad de la siguiente manera:
El símbolo Schläfli del dual es simplemente el original escrito al revés, por ejemplo, el dual de {5, 3} es {3, 5}.
En Escocia se han encontrado piedras talladas en formas que se asemejan a racimos de esferas o protuberancias y que pueden tener hasta 4.000 años de antigüedad. Algunas de estas piedras muestran no solo las simetrías de los cinco sólidos platónicos, sino también algunas de las relaciones de dualidad entre ellos (es decir, que los centros de las caras del cubo dan los vértices de un octaedro). Ejemplos de estas piedras están en exhibición en la sala John Evans del Museo Ashmolean de la Universidad de Oxford . Por qué se hicieron estos objetos, o cómo sus creadores obtuvieron la inspiración para ellos, es un misterio. Hay dudas con respecto a la interpretación matemática de estos objetos, ya que muchos tienen formas no platónicas, y tal vez solo se haya encontrado uno que sea un icosaedro verdadero, en oposición a una reinterpretación del dual del icosaedro, el dodecaedro. [3]
También es posible que los etruscos precedieran a los griegos en su conocimiento de al menos algunos de los poliedros regulares, como lo demuestra el descubrimiento cerca de Padua (en el norte de Italia ) a fines del siglo XIX de un dodecaedro hecho de esteatita y que data de hace más de 2.500 años (Lindemann, 1987).
Los primeros registros escritos conocidos de los sólidos convexos regulares se originaron en la Grecia clásica. No se sabe cuándo se descubrieron todos estos sólidos ni quién lo hizo, pero Teeteto (un ateniense ) fue el primero en dar una descripción matemática de los cinco (Van der Waerden, 1954), (Euclides, libro XIII). HSM Coxeter (Coxeter, 1948, Sección 1.9) atribuye a Platón (400 a. C.) el haber hecho modelos de ellos, y menciona que uno de los primeros pitagóricos , Timeo de Locri , utilizó los cinco en una correspondencia entre los poliedros y la naturaleza del universo tal como se percibía entonces; esta correspondencia está registrada en el diálogo Timeo de Platón . La referencia de Euclides a Platón condujo a su descripción común como los sólidos platónicos .
La definición griega podría caracterizarse de la siguiente manera:
Esta definición descarta, por ejemplo, la pirámide cuadrada (ya que aunque todas las caras son regulares, la base cuadrada no es congruente con los lados triangulares), o la figura formada al unir dos tetraedros entre sí (ya que aunque todas las caras de esa bipirámide triangular serían triángulos equiláteros, es decir, congruentes y regulares, algunos vértices tienen 3 triángulos y otros 4).
Este concepto de poliedro regular permanecería indiscutido durante casi 2000 años.
Los antiguos griegos también conocían los polígonos estelares regulares, como el pentagrama (pentágono estelar); los pitagóricos utilizaban el pentagrama como signo secreto, pero no lo utilizaban para construir poliedros. No fue hasta principios del siglo XVII cuando Johannes Kepler se dio cuenta de que los pentagramas podían utilizarse como caras de los poliedros estelares regulares . Es posible que algunos de estos poliedros estelares fueran descubiertos por otros antes de la época de Kepler, pero Kepler fue el primero en reconocer que podían considerarse "regulares" si se eliminaba la restricción de que los poliedros regulares fueran convexos. Doscientos años después, Louis Poinsot también permitió las figuras de vértice estelar (circuitos alrededor de cada esquina), lo que le permitió descubrir dos nuevos poliedros estelares regulares junto con el redescubrimiento de Kepler. Estos cuatro son los únicos poliedros estelares regulares y se conocen como poliedros de Kepler-Poinsot . No fue hasta mediados del siglo XIX, varias décadas después de la publicación de Poinsot, que Cayley les dio sus nombres modernos en inglés: pequeño dodecaedro estrellado y gran dodecaedro estrellado (de Kepler), y gran icosaedro y gran dodecaedro (de Poinsot) .
Los poliedros de Kepler-Poinsot pueden construirse a partir de los sólidos platónicos mediante un proceso llamado estelación . El proceso recíproco de la estelación se llama facetado (o facetado). Cada estelación de un poliedro es dual , o recíproca, a algún facetado del poliedro dual. Los poliedros regulares en estrella también pueden obtenerse facetando los sólidos platónicos. Esto lo hizo por primera vez Bertrand aproximadamente en la misma época en que Cayley les dio nombre.
A finales del siglo XIX ya existían nueve poliedros regulares: cinco convexos y cuatro estrellados.
Cada uno de los sólidos platónicos se presenta de forma natural en una forma u otra.
El tetraedro, el cubo y el octaedro se presentan en forma de cristales . Estos no agotan en absoluto el número de formas posibles de cristales (Smith, 1982, pág. 212), de los cuales hay 48. Ni el icosaedro regular ni el dodecaedro regular se encuentran entre ellos, pero los cristales pueden tener la forma de un piritoedro , que es visualmente casi indistinguible de un dodecaedro regular. Los cristales verdaderamente icosaédricos pueden formarse a partir de materiales cuasicristalinos que son muy raros en la naturaleza, pero que se pueden producir en un laboratorio.
Un descubrimiento más reciente es el de una serie de nuevos tipos de moléculas de carbono , conocidas como fulerenos (véase Curl, 1991). Aunque el C 60 , el fulereno que se produce con mayor facilidad, parece más o menos esférico, se plantea la hipótesis de que algunas de las variedades más grandes (como el C 240 , el C 480 y el C 960 ) adoptan la forma de icosaedros ligeramente redondeados, de unos pocos nanómetros de diámetro.
Los poliedros regulares también aparecen en biología. El cocolitóforo Braarudosphaera bigelowii tiene una estructura dodecaédrica regular, de unos 10 micrómetros de diámetro. [4] A principios del siglo XX, Ernst Haeckel describió varias especies de radiolarios , algunas de cuyas conchas tienen forma de varios poliedros regulares. [5] Los ejemplos incluyen Circoporus octahedrus , Circogonia icosahedra , Lithocubus Geometricus y Circorrhegma dodecahedra ; las formas de estas criaturas se indican por sus nombres. [5] Las capas de proteínas externas de muchos virus forman poliedros regulares. Por ejemplo, el VIH está encerrado en un icosaedro regular, al igual que la cabeza de un miovirus típico . [6] [7]
En la antigüedad, los pitagóricos creían que existía una armonía entre los poliedros regulares y las órbitas de los planetas . En el siglo XVII, Johannes Kepler estudió los datos sobre el movimiento planetario recopilados por Tycho Brahe y durante una década intentó establecer el ideal pitagórico encontrando una correspondencia entre los tamaños de los poliedros y los tamaños de las órbitas de los planetas. Su búsqueda fracasó en su objetivo original, pero de esta investigación surgieron los descubrimientos de Kepler de los sólidos de Kepler como politopos regulares, la comprensión de que las órbitas de los planetas no son círculos y las leyes del movimiento planetario por las que ahora es famoso. En la época de Kepler solo se conocían cinco planetas (excluyendo la Tierra), lo que coincide con el número de sólidos platónicos. El trabajo de Kepler, y el descubrimiento posterior de Urano y Neptuno , han invalidado la idea pitagórica.
Casi al mismo tiempo que los pitagóricos, Platón describió una teoría de la materia en la que los cinco elementos (tierra, aire, fuego, agua y espíritu) comprendían cada uno copias diminutas de uno de los cinco sólidos regulares. La materia se construía a partir de una mezcla de estos poliedros, y cada sustancia tenía proporciones diferentes en la mezcla. Dos mil años después, la teoría atómica de Dalton demostraría que esta idea era correcta, aunque no estuviera relacionada directamente con los sólidos regulares.
El siglo XX fue testigo de una sucesión de generalizaciones de la idea de poliedro regular, que dieron lugar a varias clases nuevas.
En las primeras décadas, Coxeter y Petrie permitieron vértices en "silla de montar" con crestas y valles alternados, lo que les permitió construir tres superficies plegadas infinitas que llamaron poliedros oblicuos regulares . [8] Coxeter ofreció un símbolo de Schläfli modificado {l,m|n} para estas figuras, con {l,m} implicando la figura del vértice , con m l -gonos regulares alrededor de un vértice. La n define n -agujeros . Sus figuras de vértice son polígonos oblicuos regulares , vértices en zigzag entre dos planos.
Existen poliedros oblicuos regulares finitos en el espacio 4. Estos poliedros oblicuos regulares finitos en el espacio 4 pueden verse como un subconjunto de las caras de los 4-politopos uniformes . Tienen caras de polígonos regulares planas , pero figuras de vértices de polígonos oblicuos regulares .
Dos soluciones duales están relacionadas con el 5-cell , dos soluciones duales están relacionadas con el 24-cell y un conjunto infinito de duoprismas autoduales generan poliedros oblicuos regulares como {4, 4 | n}. En el límite infinito, estos se aproximan a un duocilindro y parecen un toro en sus proyecciones estereográficas en el espacio tridimensional.
Los estudios de espacios no euclidianos ( hiperbólicos y elípticos ) y otros espacios como los espacios complejos , descubiertos durante el siglo anterior, llevaron al descubrimiento de más poliedros nuevos, como poliedros complejos , que solo podían adoptar formas geométricas regulares en esos espacios.
En el espacio hiperbólico H 3 , los panales regulares paracompactos tienen facetas de teselaciones euclidianas y figuras de vértice que actúan como poliedros finitos. Tales teselaciones tienen un defecto de ángulo que se puede cerrar doblándose en un sentido u otro. Si la teselación se escala correctamente, se cerrará como un límite asintótico en un único punto ideal . Estas teselaciones euclidianas están inscritas en una horosfera al igual que los poliedros están inscritos en una esfera (que contiene cero puntos ideales). La secuencia se extiende cuando las teselaciones hiperbólicas se utilizan como facetas de teselaciones hiperbólicas no compactas, como en el panal de teselaciones heptagonales {7,3,3}; están inscritas en una superficie equidistante (un hiperciclo 2- ), que tiene dos puntos ideales.
Otro grupo de poliedros regulares comprende las teselas del plano proyectivo real . Entre ellas se encuentran el hemicubeoctaedro , el hemidodecaedro y el hemiicosaedro . Son poliedros proyectivos (globalmente) y son las contrapartes proyectivas de los sólidos platónicos . El tetraedro no tiene una contraparte proyectiva, ya que no tiene pares de caras paralelas que se puedan identificar, como los otros cuatro sólidos platónicos.
Estos se presentan como pares duales de la misma manera que los sólidos platónicos originales. Sus características de Euler son todas 1.
Para entonces, los poliedros se entendían firmemente como ejemplos tridimensionales de politopos más generales en cualquier número de dimensiones. La segunda mitad del siglo vio el desarrollo de ideas algebraicas abstractas como la combinatoria poliédrica , que culminó en la idea de un politopo abstracto como un conjunto parcialmente ordenado (conjunto parcial) de elementos. Los elementos de un poliedro abstracto son su cuerpo (el elemento máximo), sus caras, aristas, vértices y el politopo nulo o conjunto vacío. Estos elementos abstractos pueden mapearse en el espacio ordinario o realizarse como figuras geométricas. Algunos poliedros abstractos tienen realizaciones bien formadas o fieles , otros no. Una bandera es un conjunto conectado de elementos de cada dimensión: para un poliedro, es el cuerpo, una cara, una arista de la cara, un vértice de la arista y el politopo nulo. Se dice que un politopo abstracto es regular si sus simetrías combinatorias son transitivas en sus banderas, es decir, que cualquier bandera puede ser proyectada sobre cualquier otra bajo una simetría del poliedro. Los politopos abstractos regulares siguen siendo un área activa de investigación.
Cinco de estos poliedros abstractos regulares, que no pueden realizarse fielmente, fueron identificados por HSM Coxeter en su libro Regular Polytopes (1977) y nuevamente por JM Wills en su artículo "The combinatorially regular polyhedra of index 2" (1987). Los cinco tienen simetría C 2 × S 5 pero solo pueden realizarse con la mitad de la simetría, es decir C 2 × A 5 o simetría icosaédrica. [9] [10] [11] Todos son topológicamente equivalentes a toroides . Su construcción, al organizar n caras alrededor de cada vértice, puede repetirse indefinidamente como teselas del plano hiperbólico . En los diagramas siguientes, las imágenes de teselas hiperbólicas tienen colores correspondientes a los de las imágenes de poliedros.
El dual de Petrie de un poliedro regular es una función regular cuyos vértices y aristas corresponden a los vértices y aristas del poliedro original, y cuyas caras son el conjunto de polígonos de Petrie oblicuos . [12]
Los cinco poliedros regulares habituales también se pueden representar como teselas esféricas (teselas de la esfera ):
Para un poliedro regular cuyo símbolo de Schläfli es { m , n }, el número de caras poligonales se puede encontrar mediante:
Los sólidos platónicos conocidos hasta la antigüedad son las únicas soluciones enteras para m ≥ 3 y n ≥ 3. La restricción m ≥ 3 impone que las caras poligonales deben tener al menos tres lados.
Al considerar los poliedros como un mosaico esférico , esta restricción puede relajarse, ya que los digones (2-gonos) pueden representarse como lunas esféricos, que tienen un área distinta de cero . Permitir m = 2 admite una nueva clase infinita de poliedros regulares, que son los hosohedros . En una superficie esférica, el poliedro regular {2, n } se representa como n lunas contiguos, con ángulos interiores de 2 π / n . Todos estos lunas comparten dos vértices comunes. [13]
Un diedro regular , { n , 2} [13] (2-edro) en el espacio euclidiano tridimensional puede considerarse un prisma degenerado que consiste en dos polígonos (planares) de n lados conectados "espalda con espalda", de modo que el objeto resultante no tiene profundidad, de manera análoga a cómo se puede construir un dígono con dos segmentos de línea . Sin embargo, como teselación esférica , un diedro puede existir como forma no degenerada, con dos caras de n lados que cubren la esfera, siendo cada cara un hemisferio y vértices alrededor de un círculo máximo . Es regular si los vértices están espaciados de manera uniforme.
El hosoedro {2, n } es dual del diedro { n ,2}. Nótese que cuando n = 2, obtenemos el poliedro {2,2}, que es a la vez hosoedro y diedro. Todos ellos tienen característica de Euler 2.
