En matemáticas , un politopo abstracto es un conjunto algebraico parcialmente ordenado que captura la propiedad diádica de un politopo tradicional sin especificar propiedades puramente geométricas como puntos y líneas.
Se dice que un politopo geométrico es una realización de un politopo abstracto en un espacio real de N dimensiones , típicamente euclidiano . Esta definición abstracta permite estructuras combinatorias más generales que las definiciones tradicionales de un politopo, lo que permite nuevos objetos que no tienen contrapartida en la teoría tradicional.
En la geometría euclidiana, dos formas que no son similares pueden, no obstante, compartir una estructura común. Por ejemplo, un cuadrado y un trapezoide están formados por una cadena alternada de cuatro vértices y cuatro lados, lo que los convierte en cuadriláteros . Se dice que son isomorfos o que “conservan la estructura”.
Esta estructura común puede representarse en un politopo abstracto subyacente, un conjunto parcialmente ordenado puramente algebraico que captura el patrón de conexiones (o incidencias) entre los diversos elementos estructurales. Las propiedades mensurables de los politopos tradicionales, como los ángulos, las longitudes de las aristas, la asimetría, la rectitud y la convexidad, no tienen ningún significado para un politopo abstracto.
Lo que es cierto para los politopos tradicionales (también llamados politopos clásicos o geométricos) puede no serlo para los abstractos, y viceversa. Por ejemplo, un politopo tradicional es regular si todas sus facetas y figuras de vértices son regulares, pero esto no es necesariamente así para un politopo abstracto. [1]
Se dice que un politopo tradicional es una realización del politopo abstracto asociado. Una realización es una proyección o inyección del objeto abstracto en un espacio real, típicamente euclidiano , para construir un politopo tradicional como una figura geométrica real.
Los seis cuadriláteros que se muestran son realizaciones distintas del cuadrilátero abstracto, cada uno con propiedades geométricas diferentes. Algunos de ellos no se ajustan a las definiciones tradicionales de cuadrilátero y se dice que son realizaciones infieles . Un politopo convencional es una realización fiel.
En un politopo abstracto, cada elemento estructural (vértice, arista, celda, etc.) está asociado con un miembro correspondiente del conjunto. El término cara se utiliza para referirse a cualquier elemento de este tipo, por ejemplo, un vértice (cara 0), una arista (cara 1) o una cara k general , y no solo una cara 2 poligonal.
Las caras se clasifican según su dimensión real asociada: los vértices tienen rango 0, las aristas rango 1 y así sucesivamente.
Las caras incidentes de diferentes rangos, por ejemplo, un vértice F de una arista G, se ordenan por la relación F < G. Se dice que F es una subcara de G.
Se dice que F, G son incidentes si F = G o F < G o G < F. Este uso de "incidencia" también se da en geometría finita , aunque difiere de la geometría tradicional y algunas otras áreas de las matemáticas. Por ejemplo, en el cuadrado ABCD , las aristas AB y BC no son incidentes de manera abstracta (aunque ambas son incidentes con el vértice B). [ cita requerida ]
Un politopo se define entonces como un conjunto de caras P con una relación de orden < . Formalmente, P (con < ) será un conjunto parcialmente ordenado (estricto) o poset .
Así como el número cero es necesario en matemáticas, también todo conjunto tiene como subconjunto el conjunto vacío ∅. En un politopo abstracto, ∅ se identifica por convención como la cara menor o nula y es una subcara de todas las demás. [ ¿Por qué? ] Como la cara menor está un nivel por debajo de los vértices o caras 0, su rango es −1 y puede denotarse como F −1 . Por lo tanto, F −1 ≡ ∅ y el politopo abstracto también contiene como elemento al conjunto vacío. [2] No suele realizarse.
También hay una única cara de la cual todas las demás son subcaras. Esta se llama la cara más grande . En un politopo n -dimensional, la cara más grande tiene rango = n y puede denotarse como F n . A veces se realiza como el interior de la figura geométrica.
A estas caras más pequeñas y más grandes a veces se las llama caras impropias , mientras que todas las demás son caras propias . [3]
Las caras del cuadrilátero o cuadrado abstracto se muestran en la siguiente tabla:
La relación < comprende un conjunto de pares, que aquí incluyen
Las relaciones de orden son transitivas , es decir, F < G y G < H implica que F < H. Por lo tanto, para especificar la jerarquía de caras, no es necesario dar todos los casos de F < H, solo los pares donde uno es el sucesor del otro, es decir, donde F < H y ningún G satisface F < G < H.
Las aristas W, X, Y y Z a veces se escriben como ab , ad , bc y cd respectivamente, pero dicha notación no siempre es apropiada.
Las cuatro aristas son estructuralmente similares y lo mismo sucede con los vértices. Por lo tanto, la figura tiene las simetrías de un cuadrado y se la suele denominar así.
Los polítopos más pequeños, y en particular los politopos, suelen visualizarse mejor en un diagrama de Hasse , como se muestra. Por convención, las caras de igual rango se colocan en el mismo nivel vertical. Cada "línea" entre caras, por ejemplo F, G, indica una relación de orden < tal que F < G donde F está debajo de G en el diagrama.
El diagrama de Hasse define el conjunto único de elementos y, por lo tanto, captura por completo la estructura del politopo. Los politopos isomorfos dan lugar a diagramas de Hasse isomorfos y viceversa. En general, no ocurre lo mismo con la representación gráfica de los politopos.
El rango de una cara F se define como ( m − 2), donde m es el número máximo de caras en cualquier cadena (F', F", ... , F) que satisface F' < F" < ... < F. F' es siempre la cara menor, F −1 .
El rango de un politopo abstracto P es el rango máximo n de cualquier cara. Siempre es el rango de la cara más grande F n .
El rango de una cara o politopo generalmente corresponde a la dimensión de su contraparte en la teoría tradicional.
Para algunos rangos, sus tipos de rostro se nombran en la siguiente tabla.
† Tradicionalmente, "rostro" ha significado un rostro de rango 2 o 2-rostros. En teoría abstracta, el término "rostro" denota un rostro de cualquier rango.
En geometría, una bandera es una cadena máxima de caras, es decir, un conjunto (totalmente) ordenado Ψ de caras, cada una de las cuales es una subcara de la siguiente (si la hay) y tal que Ψ no es un subconjunto de ninguna cadena mayor. Dadas dos caras distintas F, G en una bandera, F < G o F > G.
Por ejemplo, { ø , a , ab , abc } es una bandera en el triángulo abc .
Para un politopo determinado, todas las banderas contienen el mismo número de caras. Otros conjuntos de elementos, en general, no satisfacen este requisito.
Cualquier subconjunto P' de un poset P es un poset (con la misma relación <, restringida a P').
En un politopo abstracto, dadas dos caras F , H de P con F ≤ H , el conjunto { G | F ≤ G ≤ H } se llama sección de P , y se denota H / F . (En teoría de órdenes, una sección se llama intervalo cerrado del conjunto parcial y se denota [ F , H ].
Por ejemplo, en el prisma abcxyz (ver diagrama) la sección xyz / ø (resaltada en verde) es el triángulo
Una sección k es una sección de rango k .
P es entonces una sección de sí mismo.
Este concepto de sección no tiene el mismo significado que en la geometría tradicional.
La faceta de una j -cara F dada es la ( j − 1 )-sección F /∅, donde F j es la cara más grande.
Por ejemplo, en el triángulo abc , la faceta en ab es ab / ∅ = { ∅, a, b, ab }, que es un segmento de línea.
La distinción entre F y F /∅ no suele ser significativa y a menudo se las trata como idénticas.
La figura del vértice en un vértice dado V es la sección ( n −1) F n / V , donde F n es la cara más grande.
Por ejemplo, en el triángulo abc , la figura del vértice en b es abc / b = { b, ab, bc, abc }, que es un segmento de línea. Las figuras del vértice de un cubo son triángulos.
Un conjunto posesivo P está conexo si P tiene rango ≤ 1, o, dadas dos caras propias F y G, existe una secuencia de caras propias
de modo que F = H 1 , G = H k , y cada H i , i < k, es incidente con su sucesor.
La condición anterior garantiza que un par de triángulos disjuntos abc y xyz no sea un politopo (único).
Un conjunto posesivo P está fuertemente conectado si cada sección de P (incluido el propio P) está conectada.
Con este requisito adicional, también se excluyen dos pirámides que comparten sólo un vértice. Sin embargo, dos pirámides cuadradas, por ejemplo, pueden "pegarse" por sus caras cuadradas, dando lugar a un octaedro. La "cara común" no es entonces una cara del octaedro.
Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado , cuyos elementos llamamos caras , que satisface los 4 axiomas: [ cita requerida ]
Un n -politopo es un politopo de rango n . El politopo abstracto asociado con un politopo convexo real también se conoce como su red de caras . [4]
Solo hay un conjunto parcial para cada rango −1 y 0. Estos son, respectivamente, la cara nula y el punto. No siempre se consideran politopos abstractos válidos.
Solo hay un politopo de rango 1, que es el segmento de línea. Tiene una cara menor, solo dos caras 0 y una cara mayor, por ejemplo {ø, a, b, ab }. De ello se deduce que los vértices a y b tienen rango 0, y que la cara mayor ab y, por lo tanto, el conjunto parcial, ambos tienen rango 1.
Para cada p , 3 ≤ p < , tenemos (el equivalente abstracto de) el polígono tradicional con p vértices y p aristas, o un p -gono. Para p = 3, 4, 5, ... tenemos el triángulo, cuadrado, pentágono, ....
Para p = 2, tenemos el dígono , y p = obtenemos el apeirógono .
Un dígono es un polígono con sólo dos aristas. A diferencia de cualquier otro polígono, ambas aristas tienen los mismos dos vértices. Por esta razón, es degenerado en el plano euclidiano .
Las caras a veces se describen utilizando la "notación de vértices", por ejemplo, { ø , a , b , c , ab , ac , bc , abc } para el triángulo abc . Este método tiene la ventaja de implicar la relación < .
Con el digon no se puede utilizar esta notación de vértices . Es necesario dar símbolos individuales a las caras y especificar los pares de subcaras F < G.
Así, un digón se define como un conjunto { ø , a , b , E', E", G} con la relación < dada por
donde E' y E" son las dos aristas, y G la cara mayor.
Esta necesidad de identificar cada elemento del politopo con un símbolo único se aplica a muchos otros politopos abstractos y, por lo tanto, es una práctica común.
Un politopo solo se puede describir completamente mediante la notación de vértices si cada cara incide sobre un conjunto único de vértices . Se dice que un politopo que posee esta propiedad es atomístico .
El conjunto de j -caras (−1 ≤ j ≤ n ) de un n -politopo tradicional forma un n -politopo abstracto .
El concepto de politopo abstracto es más general y también incluye:
El dígón se generaliza mediante el hosoedro y los hosótopos de dimensiones superiores, que pueden realizarse como poliedros esféricos : teselan la esfera.
Cuatro ejemplos de poliedros abstractos no tradicionales son el hemicubo (mostrado), el hemioctaedro , el hemidodecaedro y el hemiicosaedro . Estos son los equivalentes proyectivos de los sólidos platónicos y pueden realizarse como poliedros proyectivos (globalmente) : teselan el plano proyectivo real .
El hemicubo es otro ejemplo de un caso en el que no se puede utilizar la notación de vértices para definir un politopo: todas las caras 2 y 3 tienen el mismo conjunto de vértices.
Todo politopo geométrico tiene un gemelo dual . En abstracto, el dual es el mismo politopo pero con la clasificación invertida en orden: el diagrama de Hasse difiere solo en sus anotaciones. En un n -politopo, cada una de las k -caras originales se asigna a una ( n − k − 1)-cara en el dual. Así, por ejemplo, la n -cara se asigna a la (−1)-cara. El dual de un dual es ( isomorfo al) original.
Un politopo es autodual si es igual a su dual, es decir, isomorfo a él. Por lo tanto, el diagrama de Hasse de un politopo autodual debe ser simétrico respecto del eje horizontal situado a medio camino entre la parte superior y la inferior. La pirámide cuadrada del ejemplo anterior es autodual.
La figura del vértice en un vértice V es el dual de la faceta a la que V se asigna en el politopo dual.
Formalmente, un politopo abstracto se define como "regular" si su grupo de automorfismos actúa transitivamente sobre el conjunto de sus banderas. En particular, dos k -caras F , G cualesquiera de un n -politopo son "iguales", es decir, que existe un automorfismo que mapea F a G . Cuando un politopo abstracto es regular, su grupo de automorfismos es isomorfo a un cociente de un grupo de Coxeter .
Todos los politopos de rango ≤ 2 son regulares. Los poliedros regulares más famosos son los cinco sólidos platónicos. El hemicubo (mostrado en la imagen) también es regular.
De manera informal, para cada rango k , esto significa que no hay forma de distinguir ninguna cara k de ninguna otra: las caras deben ser idénticas y deben tener vecinos idénticos, y así sucesivamente. Por ejemplo, un cubo es regular porque todas las caras son cuadrados, los vértices de cada cuadrado están unidos a tres cuadrados y cada uno de estos cuadrados está unido a disposiciones idénticas de otras caras, aristas y vértices, y así sucesivamente.
Esta condición por sí sola es suficiente para garantizar que cualquier politopo abstracto regular tenga ( n −1) caras regulares isomorfas y figuras de vértices regulares isomorfas.
Esta es una condición más débil que la regularidad para los politopos tradicionales, ya que se refiere al grupo de automorfismos (combinatorios), no al grupo de simetría (geométrico). Por ejemplo, cualquier polígono abstracto es regular, ya que los ángulos, las longitudes de las aristas, la curvatura de las aristas, la asimetría, etc. no existen para los politopos abstractos.
Hay varios otros conceptos más débiles, algunos aún no completamente estandarizados, como semirregular , cuasirregular , uniforme , quiral y arquimediano , que se aplican a politopos que tienen algunas, pero no todas, sus caras equivalentes en cada rango.
Un conjunto de puntos V en un espacio euclidiano equipado con una sobreyección del conjunto de vértices de un politopo abstracto P tal que los automorfismos de P inducen permutaciones isométricas de V se denomina una realización de un politopo abstracto. [5] [6] Dos realizaciones se denominan congruentes si la biyección natural entre sus conjuntos de vértices es inducida por una isometría de sus espacios euclidianos ambientales. [7] [8]
Si se realiza un n -politopo abstracto en un espacio n -dimensional, de modo que la disposición geométrica no rompa ninguna regla para los politopos tradicionales (como caras curvas o crestas de tamaño cero), entonces se dice que la realización es fiel . En general, solo un conjunto restringido de politopos abstractos de rango n puede realizarse fielmente en cualquier n -espacio dado. La caracterización de este efecto es un problema pendiente.
Para un politopo abstracto regular, si los automorfismos combinatorios del politopo abstracto se realizan mediante simetrías geométricas, entonces la figura geométrica será un politopo regular.
El grupo G de simetrías de una realización V de un politopo abstracto P se genera mediante dos reflexiones, cuyo producto traslada cada vértice de P al siguiente. [9] [10] El producto de las dos reflexiones se puede descomponer como un producto de una traslación distinta de cero, un número finito de rotaciones y, posiblemente, una reflexión trivial. [11] [10]
En general, el espacio de módulos de realizaciones de un politopo abstracto es un cono convexo de dimensión infinita. [12] [13] El cono de realización del politopo abstracto tiene una dimensión algebraica infinitamente incontable y no puede cerrarse en la topología euclidiana . [11] [14]
Una cuestión importante en la teoría de los politopos abstractos es el problema de la amalgama . Se trata de una serie de preguntas como:
Por ejemplo, si K es el cuadrado y L es el triángulo, las respuestas a estas preguntas son
Se sabe que si la respuesta a la primera pregunta es 'Sí' para algunos K y L regulares , entonces existe un único politopo cuyas facetas son K y cuyas figuras de vértice son L , llamado politopo universal con estas facetas y figuras de vértice, que cubre todos los demás politopos de este tipo. Es decir, supongamos que P es el politopo universal con facetas K y figuras de vértice L. Entonces cualquier otro politopo Q con estas facetas y figuras de vértice se puede escribir Q = P / N , donde
Q = P / N se llama cociente de P , y decimos que P cubre a Q.
Dado este hecho, la búsqueda de politopos con facetas y figuras de vértice particulares suele ser la siguiente:
Estos dos problemas son, en general, muy difíciles.
Volviendo al ejemplo anterior, si K es el cuadrado y L es el triángulo, el politopo universal { K , L } es el cubo (también escrito {4,3}). El hemicubo es el cociente {4,3}/ N , donde N es un grupo de simetrías (automorfismos) del cubo con sólo dos elementos: la identidad y la simetría que asigna cada esquina (o arista o cara) a su opuesto.
Si L es, en cambio, también un cuadrado, el politopo universal { K , L } (es decir, {4,4}) es la teselación del plano euclidiano por cuadrados. Esta teselación tiene infinitos cocientes con caras cuadradas, cuatro por vértice, algunos regulares y otros no. A excepción del propio politopo universal, todos ellos corresponden a diversas formas de teselar con cuadrados ya sea un toro o un cilindro infinitamente largo .
El politopo de 11 celdas , descubierto independientemente por HSM Coxeter y Branko Grünbaum , es un politopo abstracto de 4 celdas. Sus facetas son hemi-icosaedros. Puesto que sus facetas son, topológicamente, planos proyectivos en lugar de esferas, el politopo de 11 celdas no es una teselación de ninguna variedad en el sentido habitual. En cambio, el politopo de 11 celdas es un politopo proyectivo local . Es autodual y universal: es el único politopo con facetas hemi-icosaédricas y figuras de vértice hemi-dodecaédricas.
El politopo de 57 celdas es también autodual, con facetas hemidodecaédricas. Fue descubierto por HSM Coxeter poco después del descubrimiento del politopo de 11 celdas. Al igual que el politopo de 11 celdas, también es universal, siendo el único politopo con facetas hemidodecaédricas y figuras de vértices hemiicosaédricas. Por otra parte, existen muchos otros politopos con facetas hemidodecaédricas y tipo Schläfli {5,3,5}. El politopo universal con facetas hemidodecaédricas y figuras de vértices icosaédricas (no hemiicosaédricas) es finito, pero muy grande, con 10006920 facetas y la mitad de vértices.
El problema de la amalgama se ha abordado históricamente según la topología local . Es decir, en lugar de restringir que K y L sean politopos particulares, se permite que sean cualquier politopo con una topología dada , es decir, cualquier politopo que tesele una variedad dada . Si K y L son esféricos (es decir, teselaciones de una esfera topológica ), entonces P se llama localmente esférico y se corresponde a una teselación de alguna variedad. Por ejemplo, si K y L son ambos cuadrados (y por lo tanto topológicamente son lo mismo que los círculos), P será una teselación del plano, toro o botella de Klein por cuadrados. Una teselación de una variedad n -dimensional es en realidad un politopo de rango n + 1. Esto está en consonancia con la intuición común de que los sólidos platónicos son tridimensionales, aunque pueden considerarse como teselaciones de la superficie bidimensional de una pelota.
En general, un politopo abstracto se denomina localmente X si sus facetas y figuras de vértice son, topológicamente, esferas o X , pero no ambas esferas. Los politopos de 11 celdas y de 57 celdas son ejemplos de politopos localmente proyectivos de rango 4 (es decir, de cuatro dimensiones) , ya que sus facetas y figuras de vértice son teselaciones de planos proyectivos reales . Sin embargo, esta terminología tiene una debilidad. No permite una forma sencilla de describir un politopo cuyas facetas son toros y cuyas figuras de vértice son planos proyectivos, por ejemplo. Peor aún si las diferentes facetas tienen diferentes topologías, o ninguna topología bien definida en absoluto. Sin embargo, se ha avanzado mucho en la clasificación completa de los politopos regulares localmente toroidales [15]
Sea Ψ una bandera de un politopo abstracto de n elementos y sea −1 < i < n . A partir de la definición de un politopo abstracto, se puede demostrar que existe una única bandera que difiere de Ψ en un elemento de rango i , y lo mismo en el resto de los casos. Si llamamos a esta bandera Ψ ( i ) , entonces esto define una colección de mapas en las banderas de los politopos, digamos φ i . Estos mapas se denominan mapas de intercambio , ya que intercambian pares de banderas : ( Ψφ i ) φ i = Ψ siempre. Algunas otras propiedades de los mapas de intercambio :
Los mapas de intercambio y la acción de la bandera en particular se pueden usar para demostrar que cualquier politopo abstracto es un cociente de algún politopo regular.
Un politopo también se puede representar tabulando sus incidencias .
La siguiente matriz de incidencia es la de un triángulo:
La tabla muestra un 1 dondequiera que una cara sea una subcara de otra, o viceversa (por lo que la tabla es simétrica respecto de la diagonal); de hecho, la tabla tiene información redundante ; bastaría con mostrar solo un 1 cuando la cara de la fila ≤ la cara de la columna.
Dado que tanto el cuerpo como el conjunto vacío son incidentes con todos los demás elementos, la primera fila y columna, así como la última fila y columna, son triviales y pueden omitirse convenientemente.
Se obtiene más información contando cada ocurrencia. Este uso numérico permite una agrupación por simetría , como en el diagrama de Hasse de la pirámide cuadrada : Si los vértices B, C, D y E se consideran simétricamente equivalentes dentro del politopo abstracto, entonces las aristas f, g, h y j se agruparán juntas, y también las aristas k, l, m y n, y finalmente también los triángulos P , Q , R y S. Por lo tanto, la matriz de incidencia correspondiente de este politopo abstracto puede mostrarse como:
En esta representación de la matriz de incidencia acumulada, las entradas diagonales representan los recuentos totales de cada tipo de elemento.
Los elementos de diferente tipo del mismo rango claramente nunca son incidentes, por lo que el valor siempre será 0; sin embargo, para ayudar a distinguir dichas relaciones, se utiliza un asterisco (*) en lugar de 0.
Las entradas subdiagonales de cada fila representan los recuentos de incidencia de los subelementos relevantes, mientras que las entradas superdiagonales representan los respectivos recuentos de elementos de la figura del vértice, del borde o lo que sea.
Esta sencilla pirámide cuadrada ya muestra que las matrices de incidencia acumulada por simetría ya no son simétricas. Pero todavía hay una relación de entidad simple (además de las fórmulas de Euler generalizadas para la diagonal, respectivamente las entidades subdiagonales de cada fila, respectivamente los elementos superdiagonales de cada fila - al menos cuando no se consideran agujeros o estrellas, etc.), como para cualquier matriz de incidencia de este tipo :
En la década de 1960, Branko Grünbaum hizo un llamamiento a la comunidad geométrica para que considerara generalizaciones del concepto de politopos regulares , a los que llamó polistromas . Desarrolló una teoría de los polistromas, mostrando ejemplos de nuevos objetos, entre ellos el de 11 celdas .
El politopo de 11 celdas es un politopo dual automutilar cuyas facetas no son icosaedros , sino " hemiicosaedros ", es decir, son la forma que se obtiene si se consideran las caras opuestas del icosaedro como si fueran en realidad la misma cara (Grünbaum, 1977). Unos años después del descubrimiento del politopo de 11 celdas por parte de Grünbaum , HSM Coxeter descubrió un politopo similar, el de 57 celdas (Coxeter 1982, 1984), y luego redescubrió de forma independiente el politopo de 11 celdas.
Tras haber sentado las bases los trabajos previos de Branko Grünbaum , HSM Coxeter y Jacques Tits , la teoría básica de las estructuras combinatorias conocidas hoy como politopos abstractos fue descrita por primera vez por Egon Schulte en su tesis doctoral de 1980. En ella definió los "complejos de incidencia regular" y los "politopos de incidencia regular". Posteriormente, él y Peter McMullen desarrollaron los fundamentos de la teoría en una serie de artículos de investigación que luego se recopilaron en un libro. Desde entonces, numerosos investigadores han hecho sus propias contribuciones, y los primeros pioneros (incluido Grünbaum) también han aceptado la definición de Schulte como la "correcta".
Desde entonces, la investigación en la teoría de politopos abstractos se ha centrado principalmente en los politopos regulares , es decir, aquellos cuyos grupos de automorfismos actúan transitivamente sobre el conjunto de banderas del politopo.
