El morfismo de identidad ( mapeo de identidad ) se denomina automorfismo trivial en algunos contextos. Respectivamente, otros automorfismos (que no son de identidad) se denominan automorfismos no triviales .
La definición exacta de un automorfismo depende del tipo de "objeto matemático" en cuestión y de qué, precisamente, constituye un "isomorfismo" de ese objeto. El entorno más general en el que estas palabras tienen significado es una rama abstracta de las matemáticas llamada teoría de categorías . La teoría de categorías se ocupa de objetos abstractos y morfismos entre esos objetos.
En la teoría de categorías, un automorfismo es un endomorfismo (es decir, un morfismo de un objeto a sí mismo) que también es un isomorfismo (en el sentido categórico de la palabra, lo que significa que existe un endomorfismo inverso derecho e izquierdo).
Esta es una definición muy abstracta ya que, en la teoría de categorías, los morfismos no son necesariamente funciones y los objetos no son necesariamente conjuntos. Sin embargo, en la mayoría de los entornos concretos, los objetos serán conjuntos con alguna estructura adicional y los morfismos serán funciones que preservan esa estructura.
Grupo de automorfismo
Si los automorfismos de un objeto X forman un conjunto (en lugar de una clase propia ), entonces forman un grupo bajo composición de morfismos . Este grupo se llama grupo de automorfismos de X.
Por definición, todo isomorfismo tiene un inverso que también es un isomorfismo, y como el inverso también es un endomorfismo del mismo objeto, es un automorfismo.
El grupo de automorfismo de un objeto X en una categoría C se denota Aut C ( X ), o simplemente Aut( X ) si la categoría se desprende del contexto.
Ejemplos
En teoría de conjuntos , una permutación arbitraria de los elementos de un conjunto X es un automorfismo. El grupo de automorfismo de X también se llama grupo simétrico en X.
En aritmética elemental , el conjunto de números enteros , Z , considerados como un grupo bajo suma, tiene un automorfismo no trivial único: la negación. Sin embargo, considerado como un anillo, sólo tiene un automorfismo trivial. En términos generales, la negación es un automorfismo de cualquier grupo abeliano , pero no de un anillo o campo.
Un automorfismo de grupo es un isomorfismo de grupo de un grupo a sí mismo. Informalmente, es una permutación de los elementos del grupo de modo que la estructura permanece sin cambios. Para cada grupo G existe un homomorfismo de grupo natural G → Aut( G ) cuya imagen es el grupo Inn( G ) de automorfismos internos y cuyo núcleo es el centro de G . Por tanto, si G tiene un centro trivial , puede incluirse en su propio grupo de automorfismos. [1]
En álgebra lineal , un endomorfismo de un espacio vectorial V es un operador lineal V → V. Un automorfismo es un operador lineal invertible en V. Cuando el espacio vectorial es de dimensión finita, el grupo de automorfismo de V es el mismo que el grupo lineal general , GL( V ). (La estructura algebraica de todos los endomorfismos de V es en sí misma un álgebra sobre el mismo campo base que V , cuyos elementos invertibles consisten precisamente en GL( V ).)
Un automorfismo de campo es un homomorfismo de anillo biyectivo de un campo a sí mismo. En los casos de los números racionales ( Q ) y los números reales ( R ) no existen automorfismos de campo no triviales. Algunos subcampos de R tienen automorfismos de campo no triviales, que sin embargo no se extienden a todo R (porque no pueden preservar la propiedad de que un número tenga una raíz cuadrada en R ). En el caso de los números complejos , C , hay un automorfismo no trivial único que envía R a R : conjugación compleja , pero hay infinitos ( incontables ) muchos automorfismos "salvajes" (suponiendo el axioma de elección ). [2] [3] Los automorfismos de campo son importantes para la teoría de las extensiones de campo , en particular las extensiones de Galois . En el caso de una extensión de Galois L / K, el subgrupo de todos los automorfismos de L que fijan K puntualmente se denomina grupo de Galois de la extensión.
El grupo de automorfismos de los cuaterniones ( H ) como anillo son los automorfismos internos, según el teorema de Skolem-Noether : mapas de la forma a ↦ bab −1 . [4] Este grupo es isomorfo a SO(3) , el grupo de rotaciones en el espacio tridimensional.
En teoría de grafos, un automorfismo de un gráfico es una permutación de los nodos que preserva los bordes y los no bordes. En particular, si dos nodos están unidos por una arista, también lo están sus imágenes bajo la permutación.
En geometría , un automorfismo puede denominarse movimiento del espacio. También se utiliza terminología especializada:
Un automorfismo de una variedad diferenciable M es un difeomorfismo de M hacia sí mismo. El grupo de automorfismo a veces se denomina Diff( M ).
En topología , los morfismos entre espacios topológicos se denominan mapas continuos , y un automorfismo de un espacio topológico es un homeomorfismo del espacio respecto de sí mismo, o autohomeomorfismo (ver grupo de homeomorfismos ). En este ejemplo no basta con que un morfismo sea biyectivo para ser isomorfismo.
Historia
Uno de los primeros automorfismos de grupo (automorfismo de un grupo, no simplemente un grupo de automorfismos de puntos) fue dado por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1856, en su cálculo icosiano , donde descubrió un automorfismo de orden dos, [5] escribiendo :
de modo que se trata de una nueva raíz quinta de unidad, conectada con la raíz quinta anterior por relaciones de perfecta reciprocidad.
Automorfismos internos y externos.
En algunas categorías, en particular grupos , anillos y álgebras de Lie , es posible separar los automorfismos en dos tipos, llamados automorfismos "internos" y "externos".
En el caso de grupos, los automorfismos internos son las conjugaciones de los elementos del propio grupo. Para cada elemento a de un grupo G , la conjugación por a es la operación φ a : G → G dada por φ a ( g ) = aga −1 (o a −1 ga ; el uso varía). Se puede comprobar fácilmente que la conjugación por a es un automorfismo de grupo. Los automorfismos internos forman un subgrupo normal de Aut( G ), denotado por Inn( G ); esto se llama lema de Goursat .
Los demás automorfismos se denominan automorfismos externos . El grupo cociente Aut( G ) / Inn( G ) normalmente se denota por Out( G ); los elementos no triviales son las clases laterales que contienen los automorfismos externos.
^ PJ Pahl, R Damrath (2001). "§7.5.5 Automorfismos". Fundamentos matemáticos de la ingeniería computacional (edición de traducción de Felix Pahl). Saltador. pag. 376.ISBN 3-540-67995-2.
^ Yale, Paul B. (mayo de 1966). «Automorfismos de los Números Complejos» (PDF) . Revista Matemáticas . 39 (3): 135-141. doi :10.2307/2689301. JSTOR 2689301.
^ Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2ª ed.), Cambridge University Press, págs. 22-23, ISBN0-521-00551-5
^ Señor William Rowan Hamilton (1856). «Memorando sobre un nuevo Sistema de Raíces de Unidad» (PDF) . Revista Filosófica . 12 : 446. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
