cálculo icosiano

Estructura algebraica no conmutativa

El cálculo icosiano es una estructura algebraica no conmutativa descubierta por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1856. ^{[1] [2]} En términos modernos, hizo una presentación grupal del grupo de rotación icosaédrica mediante generadores y relaciones.

El descubrimiento de Hamilton derivó de sus intentos de encontrar un álgebra de "tripletes" o 3-tuplas que, según él, reflejaría los tres ejes cartesianos . Los símbolos del cálculo icosiano pueden equipararse a los movimientos entre vértices de un dodecaedro . El trabajo de Hamilton en esta área resultó indirectamente en los términos circuito hamiltoniano y camino hamiltoniano en teoría de grafos. ^[3] También inventó el juego icosiano como medio para ilustrar y popularizar su descubrimiento.

Definición informal

Proyección estereográfica del dodecaedro utilizada para el juego icosiano de Hamilton

El álgebra se basa en tres símbolos, cada uno de los cuales es raíz de la unidad , en el sentido de que la aplicación repetida de cualquiera de ellos produce el valor 1 después de un número particular de pasos. Ellos son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{2}&=1,\\\kappa ^{3}&=1,\\\lambda ^{5}&=1.\end{aligned}}}$

Hamilton también da otra relación entre los símbolos:

${\displaystyle \lambda =\iota \kappa .}$

(En términos modernos, este es el grupo de triángulos (2,3,5) .)

La operación es asociativa pero no conmutativa . Generan un grupo de orden 60, isomorfo al grupo de rotaciones de un icosaedro o dodecaedro regular , y por tanto al grupo alterno de grado cinco.

Aunque el álgebra existe como una construcción puramente abstracta, se puede visualizar más fácilmente en términos de operaciones en las aristas y vértices de un dodecaedro. El propio Hamilton utilizó un dodecaedro aplanado como base para su juego educativo.

Imagine un insecto arrastrándose a lo largo de un borde particular del dodecaedro etiquetado de Hamilton en una dirección determinada, digamos de a . Podemos representar este borde dirigido por . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle BC}$

Ilustración geométrica de la operación iota en cálculo icosiano.

• El símbolo icosiano equivale a cambiar de dirección en cualquier borde, por lo que el insecto se arrastra de a (siguiendo el borde dirigido ). ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle CB}$
• El símbolo icosiano equivale a girar el recorrido actual del insecto en el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del punto final. En nuestro ejemplo, esto significaría cambiar la dirección inicial para convertirse en . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle DC}$
• El símbolo icosiano equivale a girar a la derecha en el punto final, moviéndose de a . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CD}$

Legado

El cálculo icosiano es uno de los primeros ejemplos de muchas ideas matemáticas, que incluyen:

• presentar y estudiar un grupo por generadores y relaciones ;
• un grupo triangular , posteriormente generalizado a grupos de Coxeter ;
• visualización de un grupo mediante un gráfico, que condujo a la teoría combinatoria de grupos y más tarde a la teoría geométrica de grupos ;
• Circuitos hamiltonianos y caminos hamiltonianos en teoría de grafos; ^[3]
• dessin d'enfant ^{[4] [5]} - ver dessin d'enfant: historia para más detalles.

Ver también

• icosiano

Referencias

1. William Rowan Hamilton (1856). «Memorando respecto de un nuevo Sistema de Raíces de Unidad» (PDF) . Revista Filosófica . 12 : 446.
2. Thomas L. Hankins (1980). Sir William Rowan Hamilton . Baltimore: Prensa de la Universidad Johns Hopkins. pag. 474.ISBN​ 0-8018-6973-0.
3. Norman L. Biggs; E. Keith Lloyd; Robin J. Wilson (1976). Teoría de grafos 1736-1936 . Oxford: Prensa de Clarendon. pag. 239.ISBN​ 0-19-853901-0.
4. Jones, Gareth (1995). "Dessins d'enfants: mapas bipartitos y grupos de Galois". Seminario Lotharingien de Combinatoire . B35d : 4.
5. WR Hamilton, Carta a John T. Graves "Sobre el icosiano" (17 de octubre de 1856), artículos matemáticos, vol. III, Álgebra, eds. H. Halberstam y RE Ingram, Cambridge University Press, Cambridge, 1967, págs. 612–625.