En geometría (poliédrica) , una bandera es una secuencia de caras de un politopo , cada una contenida en la siguiente, con exactamente una cara de cada dimensión .
Más formalmente, una bandera ψ de un n -politopo es un conjunto { F –1 , F 0 , ..., F n } tal que F i ≤ F i +1 (–1 ≤ i ≤ n – 1) y allí es precisamente un F i en ψ para cada i , (–1 ≤ i ≤ n ). Sin embargo, dado que la cara mínima F –1 y la cara máxima F n deben estar en cada bandera, a menudo se omiten de la lista de caras, a modo de abreviatura. Estas dos últimas se llaman caras impropias .
Por ejemplo, una bandera de un poliedro comprende un vértice , una arista incidente a ese vértice y una cara poligonal incidente a ambos, más las dos caras impropias.
Un politopo puede considerarse regular si, y sólo si, su grupo de simetría es transitivo en sus banderas. Esta definición excluye los politopos quirales .
En el escenario más abstracto de la geometría de incidencia , que es un conjunto que tiene una relación simétrica y reflexiva llamada incidencia definida en sus elementos, una bandera es un conjunto de elementos que son mutuamente incidentes. [1] Este nivel de abstracción generaliza tanto el concepto poliédrico dado anteriormente como el concepto de bandera relacionado del álgebra lineal.
Una bandera es máxima si no está contenida en una bandera más grande. Una geometría de incidencia (Ω, I ) tiene rango r si Ω se puede dividir en conjuntos Ω 1 , Ω 2 , ..., Ω r , de modo que cada bandera máxima de la geometría interseca cada uno de estos conjuntos en exactamente un elemento. En este caso, los elementos del conjunto Ω j se denominan elementos de tipo j .
En consecuencia, en una geometría de rango r , cada bandera máxima tiene exactamente r elementos.
Una geometría de incidencia de rango 2 se denomina comúnmente estructura de incidencia con elementos de tipo 1 llamados puntos y elementos de tipo 2 llamados bloques (o líneas en algunas situaciones). [2] Más formalmente,