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Gran dodecaedro

Modelo 3D de un gran dodecaedro

En geometría , el gran dodecaedro es uno de los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot . Está compuesto por 12 caras pentagonales (seis pares de pentágonos paralelos) que se intersecan entre sí formando una trayectoria pentagrámica , con cinco pentágonos que se encuentran en cada vértice.

Construcción

Una forma de construir un gran dodecaedro es mediante la facetación del icosaedro regular . En otras palabras, se construye a partir del icosaedro regular eliminando sus caras poligonales sin cambiar ni crear nuevos vértices. [1] Otra forma es formar un pentágono regular con cada uno de los cinco vértices que hay dentro de un icosaedro regular, y doce pentágonos regulares que se intersecan entre sí, formando un pentagrama como su figura de vértice . [2] [3]

El gran dodecaedro también puede interpretarse como la segunda estelación del dodecaedro . La construcción se inició a partir de un dodecaedro regular uniendo 12 pirámides pentagonales en cada una de sus caras, conocida como la primera estelación . La segunda estelación aparece cuando se le unen 30 cuñas . [4]

Fórmulas

Dado un gran dodecaedro con una longitud de arista . El radio circunscrito de un gran dodecaedro es: Su área superficial es: Su volumen es: [5]

Apariencia

Históricamente, el gran dodecaedro es uno de los dos sólidos descubiertos por Louis Poinsot en 1810, y algunas personas lo bautizaron en su honor como sólido de Poinsot . En cuanto a los antecedentes, Poinsot redescubrió otros dos sólidos que ya habían sido descubiertos por Johannes Kepler : el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro estrellado . [3] Sin embargo, el gran dodecaedro apareció en la Perspectiva Corporum Regularium de 1568 de Wenzel Jamnitzer , aunque su dibujo es algo similar. [6]

El gran dodecaedro apareció en la cultura popular y en los juguetes. Un ejemplo es el rompecabezas de la Estrella de Alexander , un cubo de Rubik que se basa en un gran dodecaedro. [7]

Poliedros relacionados

El compuesto del pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro es un compuesto poliédrico en el que el gran dodecaedro es interno a su dual , el pequeño dodecaedro estrellado . Esto puede verse como uno de los dos equivalentes tridimensionales del compuesto de dos pentagramas ({10/4} " decagramo "); esta serie continúa en la cuarta dimensión como compuestos de 4-politopos estelares .

Un proceso de truncamiento aplicado al gran dodecaedro produce una serie de poliedros uniformes no convexos . El truncamiento de las aristas hasta las puntas produce el dodecadodecaedro como un gran dodecaedro rectificado. El proceso se completa como una birectificación, reduciendo las caras originales hasta las puntas y produciendo el pequeño dodecaedro estrellado .

Comparte la misma disposición de aristas que el icosaedro regular convexo ; el compuesto con ambos es el icosidodecaedro complejo pequeño .

Referencias

  1. ^ Inchbald, Guy (2006). "Diagramas de facetado". The Mathematical Gazette . 90 (518): 253–261. JSTOR  40378613.
  2. ^ Pugh, Anthony (1976). Poliedros: un enfoque visual. University of California Press. pág. 85.
  3. ^ de Barnes, John (2012). Gemas de geometría (2.ª ed.). Springer. pág. 46. doi :10.1007/978-3-642-30964-9. ISBN 978-3-642-30964-9.
  4. ^ Cromwell, Peter (1997). Poliedros. Cambridge University Press . pág. 265.
  5. ^ French, Doug; Jordan, David (2010). "Cortes dodecaédricos y piezas poliédricas". The Mathematical Gazette . 92 (529): 5–17. JSTOR  27821883.
  6. ^ Scriba, Christoph; Schreiber, Peter (2015). 5000 años de geometría: matemáticas en la historia y la cultura. Springer. pág. 305. doi :10.1007/978-3-0348-0898-9. ISBN 978-3-0348-0898-9.
  7. ^ "La estrella de Alejandro". Juegos . N.º 32. Octubre de 1982. Pág. 56.

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