Icosaedro regular

Poliedro con 20 caras triangulares regulares.

En geometría , el icosaedro regular ^[1] (o simplemente icosaedro ) es un poliedro convexo que puede construirse a partir de un antiprisma pentagonal uniendo dos pirámides pentagonales con caras regulares a cada una de sus caras pentagonales, o poniendo puntos en el cubo. El poliedro resultante tiene 20 triángulos equiláteros como caras, 30 aristas y 12 vértices. Es un ejemplo del sólido platónico y del deltaedro . El gráfico icosaédrico representa el esqueleto de un icosaedro regular.

Muchos poliedros se construyen a partir del icosaedro regular. Por ejemplo, la mayor parte del poliedro de Kepler-Poinsot se construye mediante facetado . Algunos de los sólidos de Johnson se pueden construir quitando las pirámides pentagonales. El icosaedro regular tiene muchas relaciones con otros sólidos platónicos, una de ellas es el dodecaedro regular como su poliedro dual y tiene el trasfondo histórico de la medición comparativa. También tiene muchas relaciones con otros politopos .

La apariencia de icosaedro regular se puede encontrar en la naturaleza, como los virus con conchas y radiolarios en forma de icosaedro . Otras aplicaciones del icosaedro regular son el uso de su red en cartografía, dados de veinte caras que pueden haberse encontrado en la antigüedad y juegos de rol .

Construcción

El icosaedro regular puede construirse como otras bipirámides giroelongadas , partiendo de un antiprisma pentagonal uniendo a cada una de sus caras dos pirámides pentagonales de caras regulares . Estas pirámides cubren las caras pentagonales, reemplazándolas por cinco triángulos equiláteros , de modo que el poliedro resultante tiene como caras 20 triángulos equiláteros. ^[2] Este proceso de construcción se conoce como giroelongación , por lo que el poliedro resultante también se llama bipirámide pentagonal giroelongada . ^{[3] [ cita necesaria ]} .

Tres rectángulos de proporción áurea mutuamente perpendiculares , con bordes que conectan sus esquinas, forman un icosaedro regular.

Otra forma de construirlo es poniendo dos puntos en cada superficie de un cubo. En cada cara, dibuje una línea de segmento entre los puntos medios de dos bordes opuestos y ubique dos puntos con la distancia de proporción áurea desde cada punto medio. Estos doce vértices describen los tres planos mutuamente perpendiculares, con aristas dibujadas entre cada uno de ellos. ^[4] Debido a las construcciones anteriores, el icosaedro regular es un sólido platónico , una familia de poliedros con caras regulares . Un poliedro que tiene únicamente triángulos equiláteros como caras se llama deltaedro . Sólo hay ocho deltaedros convexos diferentes, uno de los cuales es el icosaedro regular. ^[5]

Un posible sistema de coordenadas cartesianas para los vértices de un icosaedro regular, que da una longitud de arista 2, es:

$${\displaystyle \left(0,\pm 1,\pm \varphi \right),\left(\pm 1,\pm \varphi ,0\right),\left(\pm \varphi ,0,\pm 1\right),}$$

proporción áurea^[6] ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$

Propiedades

Medición

Modelo 3D de un icosaedro regular.

La esfera interna de un poliedro convexo es una esfera dentro del poliedro, que toca todas sus caras. La circunsfera de un poliedro convexo es una esfera que contiene el poliedro y toca todos los bordes. La esfera media de un poliedro convexo es una esfera tangente a cada uno de sus bordes. Por lo tanto, dado que la longitud del borde de un icosaedro regular, el radio de la inesfera (inradius) , el radio de la circunsfera (circumradius) y el radio de la midsphere (midradius) son, respectivamente: ^[7] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r_{I}}$ ${\displaystyle r_{C}}$ ${\displaystyle r_{M}}$

$${\displaystyle r_{I}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}\approx 0.756a,\qquad r_{C}={\frac {\sqrt {\varphi ^{2}+1}}{2}}a\approx 0.951a,\qquad r_{M}={\frac {\varphi }{2}}a\approx 0.809a.}$$

El área de superficie de los poliedros es la suma de cada una de sus caras. Por tanto, el área de la superficie de los icosaedros regulares es igual al área de 20 triángulos equiláteros. El volumen de un icosaedro regular se obtiene calculando el volumen de todas las pirámides con base de caras triangulares y la altura con la distancia desde el centroide de una cara triangular hasta el centro dentro del icosaedro regular, el circunradio de un icosaedro regular. ^[8] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.660a^{2},\qquad V={\frac {5\varphi ^{2}}{6}}a^{3}\approx 2.182a^{3}.}$$

HeroPappusFibonacci^[9] Apolonio de Perge^[10]proporción áurea^[11][12]

El ángulo diédrico de un icosaedro regular se puede calcular sumando el ángulo de las pirámides pentagonales de caras regulares y un antiprisma pentagonal. El ángulo diédrico de un antiprisma pentagonal y una pirámide pentagonal entre dos caras triangulares adyacentes es aproximadamente . El ángulo diédrico de un antiprisma pentagonal entre un pentágono y un triángulo es , y el ángulo diédrico de una pirámide pentagonal entre las mismas caras es . Por lo tanto, para el icosaedro regular, el ángulo diédrico entre dos triángulos adyacentes, en el borde donde se unen la pirámide pentagonal y el antiprisma pentagonal es . ^[13] ${\displaystyle 138.2^{\circ }}$ ${\displaystyle 100.8^{\circ }}$ ${\displaystyle 37.4^{\circ }}$ ${\displaystyle 37.4^{\circ }+100.8^{\circ }=138.2^{\circ }}$

Simetría

La simetría icosaédrica completa tiene 15 planos especulares (vistos como grandes círculos cian en esta esfera) que se encuentran en ángulos de orden, dividiendo una esfera en 120 dominios fundamentales de triángulos . Hay 6 ejes de 5 pliegues (azul), 10 ejes de 3 pliegues (rojo) y 15 ejes de 2 pliegues (magenta). Los vértices del icosaedro regular existen en los puntos del eje de rotación quíntuple. ${\displaystyle \pi /5,\pi /3,\pi /2}$

El grupo de simetría rotacional del icosaedro regular es isomorfo al grupo alterno de cinco letras. Este grupo simple no abeliano es el único subgrupo normal no trivial del grupo simétrico de cinco letras. Dado que el grupo de Galois de la ecuación quíntica general es isomorfo al grupo simétrico de cinco letras, y este subgrupo normal es simple y no abeliano, la ecuación quíntica general no tiene solución en radicales. La prueba del teorema de Abel-Ruffini utiliza este hecho simple, y Felix Klein escribió un libro que utilizó la teoría de las simetrías icosaédricas para derivar una solución analítica a la ecuación quíntica general. ^[14]

El grupo de simetría total del icosaedro (incluidas las reflexiones) se conoce como grupo icosaédrico completo . Es isomorfo al producto del grupo de simetría rotacional y el grupo de tamaño dos, que se genera por la reflexión a través del centro del icosaedro. ${\displaystyle C_{2}}$

Gráfico icosaédrico

Gráfico icosaédrico

Todos los gráficos platónicos , incluido el gráfico icosaédrico , son gráficos poliédricos . Esto quiere decir que son gráficas planas , gráficas que se pueden dibujar en el plano sin cruzar sus aristas; y están conectados por 3 vértices , lo que significa que la eliminación de dos de sus vértices deja un subgrafo conectado. Según el teorema de Steinitz , el grafo icosaédrico dotado de estas propiedades hasta ahora representa el esqueleto de un icosaedro regular. ^[15]

El gráfico icosaédrico es hamiltoniano , lo que significa que contiene un ciclo hamiltoniano, o un ciclo que visita cada vértice exactamente una vez. ^[dieciséis]

Poliedros relacionados

En otros sólidos platónicos

Además de comparar las medidas entre el icosaedro regular y el dodecaedro regular, son duales entre sí. Un icosaedro se puede inscribir en un dodecaedro colocando sus vértices en los centros de las caras del dodecaedro y viceversa. ^[17]

Un icosaedro se puede inscribir en un octaedro colocando sus 12 vértices en los 12 bordes del octaedro de manera que dividan cada borde en sus dos secciones áureas . Debido a que las secciones áureas son desiguales, hay cinco formas diferentes de hacer esto de manera consistente, por lo que se pueden inscribir cinco icosaedros disjuntos en cada octaedro. ^[18]

Un icosaedro de longitud de arista se puede inscribir en un cubo de longitud unitaria de arista colocando seis de sus aristas (3 pares opuestos ortogonales) en las caras cuadradas del cubo, centradas en los centros de las caras y paralelas o perpendiculares a las aristas del cuadrado. ^[19] Debido a que hay cinco veces más aristas de icosaedro que caras de cubo, hay cinco maneras de hacer esto de manera consistente, por lo que se pueden inscribir cinco icosaedros disjuntos en cada cubo. Las longitudes de las aristas del cubo y del icosaedro inscrito están en la proporción áurea . ^[20] ${\textstyle {\frac {1}{\varphi }}\approx 0.618}$

estelación

El icosaedro tiene una gran cantidad de estelaciones . Coxeter et al. (1938) afirmaron que se identificaron 59 estelaciones para el icosaedro regular. La primera forma es el propio icosaedro. Uno es un poliedro regular de Kepler-Poinsot . Tres son poliedros compuestos regulares . ^[21]

facetas

El gran dodecaedro , el pequeño dodecaedro estrellado y el gran icosaedro .

El pequeño dodecaedro estrellado , el gran dodecaedro y el gran icosaedro son tres facetas del icosaedro regular. Comparten la misma disposición de vértices . Todos tienen 30 aristas. El icosaedro regular y el gran dodecaedro comparten la misma disposición de aristas pero difieren en las caras (triángulos frente a pentágonos), al igual que el pequeño dodecaedro estrellado y el gran icosaedro (pentagramas frente a triángulos).

Mengua

Los sólidos de Johnson son el poliedro cuyas caras son todas regulares, pero no uniformes. Esto significa que no incluyen los sólidos de Arquímedes , los sólidos catalanes , los prismas y los antiprismas . Algunos de ellos se construyen implicando la eliminación de parte de un icosaedro regular, proceso conocido como disminución . Son pirámide pentagonal giroelongada , icosaedro metabidiminuido e icosaedro tridiminuido , que eliminan una, dos y tres pirámides pentagonales del icosaedro, respectivamente. ^[3] El icosaedro regular disecado similar tiene 2 vértices adyacentes disminuidos, dejando dos caras trapezoidales, y un bifastigium tiene 2 conjuntos opuestos de vértices eliminados y 4 caras trapezoidales.

Relaciones con los politopos de 600 células y otros 4 politopos

El icosaedro es el análogo dimensional del politopo regular de 4 dimensiones de 600 células . Las 600 celdas tienen secciones transversales icosaédricas de dos tamaños, y cada uno de sus 120 vértices es una pirámide icosaédrica ; el icosaedro es la figura del vértice de las 600 celdas.

Las 600 celdas de radio unitario tienen celdas tetraédricas de longitud de borde , 20 de las cuales se unen en cada vértice para formar una pirámide icosaédrica (una pirámide de 4 con un icosaedro como base). Por tanto, las 600 celdas contienen 120 icosaedros de longitud de borde . Las 600 celdas también contienen cubos de longitud de arista unitaria y octaedros de longitud de arista unitaria como características interiores formadas por sus cuerdas de longitud unitaria . En el radio unitario de 120 celdas (otro politopo regular de 4 celdas que es a la vez dual del de 600 celdas y un compuesto de 5 600 celdas) encontramos los tres tipos de icosaedros inscritos (en un dodecaedro, en un octaedro, y en un cubo). ${\textstyle {\frac {1}{\varphi }}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\varphi }}}$

Un politopo semirregular de 4 células, el chato de 24 células , tiene células icosaédricas.

Relaciones con otros politopos uniformes

Como se mencionó anteriormente, el icosaedro regular es único entre los sólidos platónicos por poseer un ángulo diédrico de aproximadamente . Por lo tanto, así como los hexágonos tienen ángulos no menores de 120° y no pueden usarse como caras de un poliedro regular convexo porque tal construcción no cumpliría el requisito de que al menos tres caras se encuentren en un vértice y dejaría un defecto positivo para el plegado. En tres dimensiones, los icosaedros no pueden usarse como celdas de un policorón regular convexo porque, de manera similar, al menos tres celdas deben encontrarse en un borde y dejar un defecto positivo para el plegado en cuatro dimensiones (en general, para un politopo convexo en n dimensiones, en Al menos tres facetas deben encontrarse en un pico y dejar un defecto positivo para el plegado en el espacio n ). Sin embargo, cuando se combinan con celdas adecuadas que tienen ángulos diédricos más pequeños, los icosaedros se pueden usar como celdas en policoras semirregulares (por ejemplo, el chato de 24 celdas ), al igual que los hexágonos se pueden usar como caras en poliedros semirregulares (por ejemplo, el icosaedro truncado ). Finalmente, los politopos no convexos no conllevan los mismos requisitos estrictos que los politopos convexos, y los icosaedros son de hecho las células del icosaédrico de 120 células , una de las diez policoras regulares no convexas . ${\displaystyle 138.19^{\circ }}$

Hay distorsiones del icosaedro que, aunque ya no son regulares, son uniformes en los vértices . Estos son invariantes bajo las mismas rotaciones que el tetraedro, y son algo análogos al cubo chato y al dodecaedro chato , incluyendo algunas formas que son quirales y otras con simetría , es decir, tienen diferentes planos de simetría que los del tetraedro. ${\displaystyle T_{h}}$

Relación con el triacontaedro rómbico y de 6 cubos

El 6-demicubo de un número impar se proyecta al casco de un icosaedro

El icosaedro se puede proyectar en 3D desde el demicubo 6D utilizando los mismos vectores de base que forman el casco del triacontaedro rómbico del 6-cubo . Aquí se muestra incluyendo los 20 vértices interiores que no están conectados por los 30 bordes exteriores del casco de longitud normal 6D . Los vértices interiores forman un dodecaedro . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Los vectores base de proyección 3D [u,v,w] utilizados son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=(1,\varphi ,0,-1,\varphi ,0)\\v&=(\varphi ,0,1,\varphi ,0,-1)\\w&=(0,1,\varphi ,0,-1,\varphi )\\\end{aligned}}}$$

Aplicaciones y su forma natural.

Los dados son los objetos comunes con los diferentes poliedros, uno de ellos es el icosaedro regular. Los dados de veinte caras se encontraron en muchos tiempos antiguos. Un ejemplo son los dados ptolemaicos de Egipto, que más tarde fueron las letras griegas inscritas en las caras en el período griego y romano. ^[22] Otro ejemplo se encontró en el tesoro de Tipu Sultan , que estaba hecho de oro y con números escritos en cada cara. ^[23] En varios juegos de rol , como Dungeons & Dragons , el dado de veinte caras (etiquetado como d20 ) se usa comúnmente para determinar el éxito o el fracaso de una acción. Puede estar numerado del "0" al "9" dos veces, en cuya forma suele servir como un dado de diez caras ( d10 ); la mayoría de las versiones modernas están etiquetadas del "1" al "20". ^[24] Scattergories es otro juego de mesa, donde el jugador nombra las categorías en la tarjeta con un tiempo determinado. La denominación de dichas categorías se realiza inicialmente con las letras contenidas en cada dado de veinte caras. ^[25]

El icosaedro regular también puede aparecer en muchos campos de la ciencia. En virología , los virus del herpes tienen conchas icosaédricas . La capa proteica externa del VIH está encerrada en un icosaedro regular, al igual que la cabeza de un miovirus típico . ^[26] Varias especies de radiolarios descubiertas por Ernst Haeckel , describieron sus conchas como varios poliedros regulares de formas similares; uno de los cuales es Circogonia icosahedra , cuyo esqueleto tiene forma de icosaedro regular. ^[27] En química, los closo - carboranos son compuestos con una forma que se asemeja al icosaedro regular. ^[28] La macla icosaédrica también se produce en cristales, especialmente en nanopartículas . ^[29] Muchos boruros y alótropos de boro , como los romboédricos α y β, contienen icosaedro de boro B ₁₂ como unidad estructural básica. ^[30] En cartografía, R. Buckminster Fuller utilizó la red de un icosaedro regular para crear un mapa conocido como mapa Dymaxion , subdividiendo la red en triángulos, seguido de calcular la cuadrícula en la superficie de la Tierra y transfiriendo los resultados de la esfera. al poliedro. Esta proyección fue creada durante la época en que Fuller se dio cuenta de que Groenlandia es más pequeña que América del Sur . ^[31] En el problema de Thomson , relativo a la configuración de energía mínima de partículas cargadas en una esfera, y para el problema de Tammes de construir un código esférico que maximiza la distancia más pequeña entre los puntos, la solución mínima conocida para coloca los puntos en los vértices de un icosaedro regular, inscrito en una esfera . Se ha demostrado que esta configuración es óptima para el problema de Tammes, pero se desconoce una solución rigurosa para este caso del problema de Thomson. ^[32] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=12}$

Notas

1. Véase Jones 2003 para conocer la pronunciación: ( / ˌ aɪ k ɒ s ə ˈ h iː d r ən , - k ə -, - k oʊ -/ o / aɪ ˌ k ɒ s ə ˈ h iː d r ən / )
2. Silvester 2001, pag. 140–141; Cundy 1952.
3. Berman 1971.
4. Cromwell 1997, pág. 70.
5. Shavinina 2013, pag. 333; Cundy 1952.
6. Steeb, Hardy y Tanski 2012, pág. 211.
7. MacLean 2007, pág. 43–44; Coxeter 1973, Tabla I(i), págs. 292–293. Vea la columna " ", donde está la notación de Coxeter para el radio medio, observando también que Coxeter usa como longitud del borde (ver pág. 2). ${\displaystyle {}_{1}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle {}_{1}\!\mathrm {R} }$ ${\displaystyle 2\ell }$
8. MacLean 2007, pág. 43–44.
9. Herz-Fischler 2013, pág. 138–140.
10. Simmons 2007, pag. 50.
11. Sutton 2002, pag. 55.
12. Los valores numéricos de los volúmenes de los sólidos platónicos inscritos se pueden encontrar en Buker & Eggleton 1969.
13. Johnson 1966, consulte la tabla II, línea 4; MacLean 2007, pág. 43–44.
14. Klein 1884. Ver simetría icosaédrica: geometrías relacionadas para más historia y simetrías relacionadas en siete y once letras.
15. Bickle 2020, pag. 147.
16. Hopkins 2004.
17. Herrmann y Sally 2013, pag. 257.
18. Coxeter y col. 1938, pág. 4.
19. Borovik 2006, págs. 8–9, §5. Cómo dibujar un icosaedro en una pizarra.
20. Recíprocamente, la longitud de la arista de un cubo inscrito en un dodecaedro está en la proporción áurea con respecto a la longitud de la arista del dodecaedro. Las aristas del cubo se encuentran en planos de caras pentagonales del dodecaedro como diagonales de pentágono regulares , que siempre están en la proporción áurea con respecto a la arista del pentágono regular. Cuando un cubo está inscrito en un dodecaedro y un icosaedro está inscrito en el cubo, el dodecaedro y el icosaedro que no comparten ningún vértice tienen la misma longitud de arista.
21. Coxeter y col. 1938, pág. 8–26.
22. Smith 1958, pag. 295; Minas-Nerpel 2007.
23. Cromwell 1997, pág. 4.
24. "Dados de dragones y mazmorras". gmdice.com . Consultado el 20 de agosto de 2019 .
25. Flanagan y Gregory 2015, pag. 85.
26. Strauss y Strauss 2008, pag. 35–62.
27. Haeckel 1904; Cromwell 1997, pág. 6.
28. Spokoyny 2013.
29. Hofmeister 2004.
30. Dronskowski, Kikkawa y Stein 2017, pág. 435–436.
31. Cromwell 1997, pág. 7.
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enlaces externos

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• Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de los poliedros
• Tulane.edu Una discusión sobre la estructura viral y el icosaedro
• Origami Polyhedra – Modelos hechos con Modular Origami
• Vídeo de escultura de espejo icosaédrico.
• [1] Principio de la arquitectura viral