600 celdas

En geometría , la celda 600 es el 4-politopo regular convexo (análogo cuatridimensional de un sólido platónico ) con símbolo de Schläfli {3,3,5}. También se lo conoce como C ₆₀₀ , hexacosicoron ^[1] y hexacosiedroide . ^[2] También se lo denomina tetraplex (abreviado de "complejo tetraédrico") y politetraedro , al estar limitado por celdas tetraédricas .

El límite de 600 celdas está compuesto por 600 celdas tetraédricas , de las cuales 20 se unen en cada vértice. Juntas forman 1200 caras triangulares, 720 aristas y 120 vértices. Es el análogo de 4 dimensiones del icosaedro , ya que tiene cinco tetraedros que se unen en cada arista, al igual que el icosaedro tiene cinco triángulos que se unen en cada vértice. Su politopo dual es el de 120 celdas .

Geometría

El politopo de 600 celdas es el quinto en la secuencia de 6 politopos regulares convexos de 4 celdas (en orden de complejidad y tamaño en el mismo radio). ^[a] Puede deconstruirse en veinticinco instancias superpuestas de su predecesor inmediato, el politopo de 24 celdas , ^[5] como el politopo de 24 celdas puede deconstruirse en tres instancias superpuestas de su predecesor, el teseracto (de 8 celdas) , y el politopo de 8 celdas puede deconstruirse en dos instancias superpuestas de su predecesor, el politopo de 16 celdas . ^[6]

El procedimiento inverso para construir cada uno de estos a partir de una instancia de su predecesor conserva el radio del predecesor, pero generalmente produce un sucesor con una longitud de arista más pequeña. La longitud de arista de la celda de 24 es igual a su radio, pero la longitud de arista de la celda de 600 es ~0,618 veces su radio, ^[7] que es la proporción áurea .

Coordenadas

Radio unitario en coordenadas cartesianas

Los vértices de una celda de 600 de radio unitario centrada en el origen del espacio 4, con aristas de longitud ⁠1/φ⁠ ≈ 0,618 (donde φ = ⁠1 + √ 5/2⁠ ≈ 1,618 es la proporción áurea), se puede dar ^[8] de la siguiente manera:

8 vértices obtenidos de

(0, 0, 0, ±1)

permutando coordenadas y 16 vértices de la forma:

(± ⁠12⁠ , ± ⁠12⁠ , ± ⁠12⁠ , ± ⁠12⁠ )

Los 96 vértices restantes se obtienen tomando permutaciones pares de

(± ⁠φ2⁠ , ± ⁠12⁠ , ± ⁠φ ⁻¹2⁠ , 0)

Nótese que los primeros 8 son los vértices de un teseracto de 16 celdas , los segundos 16 son los vértices de un teseracto y esos 24 vértices juntos son los vértices de un teseracto de 24 celdas . Los 96 vértices restantes son los vértices de un teseracto de 24 celdas romo , que se puede encontrar particionando cada una de las 96 aristas de otro teseracto de 24 celdas (dual al primero) en la proporción áurea de manera consistente. ^[9]

Cuando se interpretan como cuaterniones, ^[b] estos son los icosianos unitarios .

En el sistema de 24 celdas, hay cuadrados , hexágonos y triángulos que se encuentran en círculos máximos (en planos centrales a través de cuatro o seis vértices). ^[c] En el sistema de 600 celdas, hay veinticinco celdas de 24 inscritas superpuestas, con cada vértice y cuadrado compartido por cinco celdas de 24, y cada hexágono o triángulo compartido por dos celdas de 24. ^[e] En cada celda de 24 hay tres celdas de 16 disjuntas, por lo que en el sistema de 600 celdas hay 75 celdas de 16 inscritas superpuestas. ^[f] Cada celda de 16 constituye una base ortonormal distinta para la elección de un marco de referencia de coordenadas .

Los 60 ejes y 75 celdas de 16 de las 600 celdas constituyen una configuración geométrica , que en el lenguaje de las configuraciones se escribe como 60 ₅ 75 ₄ para indicar que cada eje pertenece a 5 celdas de 16, y cada celda de 16 contiene 4 ejes. ^[10] Cada eje es ortogonal a exactamente otros 15, y estos son simplemente sus compañeros en las 5 celdas de 16 en las que aparece.

Coordenadas esféricas de Hopf

En la celda 600 también hay pentágonos y decágonos de círculo máximo (en planos centrales a través de diez vértices). ^[11]

Sólo los bordes del decágono son elementos visibles de la celda 600 (porque son los bordes de la celda 600). Los bordes de los otros polígonos circulares máximos son cuerdas interiores de la celda 600, que no se muestran en ninguna de las representaciones de la celda 600 en este artículo (excepto donde se muestran como líneas discontinuas). ^[k]

Por simetría, un número igual de polígonos de cada tipo pasan por cada vértice; por lo tanto, es posible explicar los 120 vértices como la intersección de un conjunto de polígonos centrales de un solo tipo: decágonos, hexágonos, pentágonos, cuadrados o triángulos. Por ejemplo, los 120 vértices pueden verse como los vértices de 15 pares de cuadrados completamente ortogonales que no comparten ningún vértice, o como 100 pares duales de hexágonos no ortogonales entre los cuales todos los pares de ejes son ortogonales, o como 144 pentágonos no ortogonales, seis de los cuales se intersecan en cada vértice. Esta última simetría pentagonal de las 600 celdas se captura mediante el conjunto de coordenadas de Hopf ^[13] (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j ) ^[n] dado como:

({<10} ⁠𝜋5⁠ , {≤5} ⁠𝜋10⁠ , {<10} ⁠𝜋5⁠ )

donde {<10} es la permutación de los diez dígitos (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) y {≤5} es la permutación de los seis dígitos (0 1 2 3 4 5). Las coordenadas 𝜉 _i y 𝜉 _j se extienden sobre los 10 vértices de los decágonos de círculo máximo; los dígitos pares e impares etiquetan los vértices de los dos pentágonos de círculo máximo inscritos en cada decágono. ^[o]

Estructura

Secciones poliédricas

Las distancias mutuas de los vértices, medidas en grados de arco sobre la hiperesfera circunscrita , sólo tienen los valores 36° = ⁠𝜋/5⁠ , 60° = ⁠𝜋/3⁠ , 72° = ⁠2𝜋/5⁠ , 90° = ⁠𝜋/2⁠ , 108° = ⁠3𝜋/5⁠ , 120° = ⁠2𝜋/3⁠ , 144° = ⁠4𝜋/5⁠ , y 180° = 𝜋. Partiendo de un vértice arbitrario V se tienen en 36° y 144° los 12 vértices de un icosaedro , ^[p] en 60° y 120° los 20 vértices de un dodecaedro , en 72° y 108° los 12 vértices de un icosaedro mayor, en 90° los 30 vértices de un icosidodecaedro , y finalmente en 180° el vértice antípoda de V. ^[14]^[15]^[16] Estos pueden verse en las proyecciones del plano de Coxeter H3 con vértices superpuestos coloreados. ^[17]

Estas secciones poliédricas son sólidos en el sentido de que son tridimensionales, pero, por supuesto, todos sus vértices se encuentran en la superficie de la celda de 600 (son huecos, no sólidos). Cada poliedro se encuentra en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones como una sección transversal paralela a través de la celda de 600 (un hiperplano). En el espacio tridimensional curvo de la superficie límite de la celda de 600, el poliedro rodea el vértice V de la misma manera que rodea su propio centro. Pero su propio centro está en el interior de la celda de 600, no en su superficie. V no está en realidad en el centro del poliedro, porque está desplazado hacia afuera desde ese hiperplano en la cuarta dimensión, hacia la superficie de la celda de 600. Por lo tanto, V es el vértice de una pirámide de cuatro dimensiones basada en el poliedro.

Acordes dorados

Los 120 vértices se distribuyen ^[18] en ocho longitudes de cuerda diferentes entre sí. Estos bordes y cuerdas de la celda de 600 son simplemente los bordes y cuerdas de sus cinco polígonos de círculo máximo. ^[19] En orden ascendente de longitud, son √ 0.𝚫 , √ 1 , √ 1.𝚫 , √ 2 , √ 2.𝚽 , √ 3 , √ 3.𝚽 y √ 4 . ^[s]

Observe que las cuatro cuerdas hipercúbicas del sistema de 24 celdas ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) ^[c] se alternan con las cuatro nuevas cuerdas de los grandes círculos adicionales del sistema de 600 celdas, los decágonos y pentágonos. Las nuevas longitudes de las cuerdas áureas son necesariamente raíces cuadradas de fracciones, pero fracciones muy especiales relacionadas con la proporción áurea ^[q], incluidas las dos secciones áureas de √ 5 , como se muestra en el diagrama. ^[r]

Sobres de límites

Proyección 3D de un conjunto de 600 células que realizan una rotación simple . Se puede ver la superficie 3D formada por 600 tetraedros.

La celda de 600 redondea la de 24 celdas agregando 96 vértices más entre los 24 vértices existentes de la celda de 24, ^[u] agregando en efecto veinticuatro celdas de 24 superpuestas más inscritas en la celda de 600. ^[f] La nueva superficie así formada es una teselación de celdas más pequeñas y numerosas ^[v] y caras: tetraedros de longitud de arista ⁠1/φ⁠ ≈ 0,618 en lugar de octaedros con longitud de arista 1. Encierra las √ 1 aristas de las 24 celdas, que se convierten en cuerdas interiores invisibles en las 600 celdas, como las cuerdas √ 2 y √ 3 .

Proyección 3D de un sistema de 24 celdas que realiza una rotación simple . La superficie 3D formada por 24 octaedros es visible. También está presente en el sistema de 600 celdas, pero como una envoltura interior invisible.

Dado que los tetraedros están formados por aristas triangulares más cortas que los octaedros (por un factor de ⁠1/φ⁠ , la proporción áurea inversa), la celda de 600 no tiene una longitud de arista unitaria en un sistema de coordenadas de radio unitario como la de 24 celdas y el teseracto; a diferencia de estos dos, la celda de 600 no es radialmente equilátera . Como ellos, es radialmente triangular de una manera especial, ^[z] pero una en la que los triángulos áureos en lugar de triángulos equiláteros se encuentran en el centro. ^{[aa] Solo unos pocos politopos uniformes tienen esta propiedad, incluyendo la celda de 600 de cuatro dimensiones, el}icosidodecaedro tridimensional y el decágono bidimensional . (El icosidodecaedro es la sección transversal ecuatorial de la celda de 600, y el decágono es la sección transversal ecuatorial del icosidodecaedro). Los politopos radialmente áureos son aquellos que se pueden construir, con sus radios, a partir de triángulos áureos .

La envoltura límite de 600 pequeñas celdas tetraédricas envuelve las veinticinco envolturas de 24 celdas octaédricas (añadiendo algo de espacio de 4 dimensiones en algunos lugares entre estas envolturas tridimensionales curvas). La forma de esos intersticios debe ser una pirámide octaédrica de 4 dimensiones de algún tipo, pero en las 600 celdas no es regular. ^[ab]

Geodésicas

Las cuerdas de los vértices de las 600 celdas están dispuestas en polígonos geodésicos de gran círculo de cinco tipos: decágonos, hexágonos, pentágonos, cuadrados y triángulos. ^[22]

Las aristas √ 0.𝚫 = 𝚽 forman 72 decágonos centrales regulares planos , 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. ^[p] Así como el icosidodecaedro se puede dividir en 6 decágonos centrales (60 aristas = 6 × 10), las 600 celdas se pueden dividir en 72 decágonos (720 aristas = 72 × 10). Las 720 aristas √ 0.𝚫 dividen la superficie en 1200 caras triangulares y 600 celdas tetraédricas: una celda de 600. Las 720 aristas se presentan en 360 pares paralelos, separados por √ 3.𝚽 . Como en el decágono y el icosidodecaedro, las aristas se presentan en triángulos áureos que se encuentran en el centro del politopo. Los 72 grandes decágonos se pueden dividir en 6 conjuntos de 12 geodésicas paralelas de Clifford que no se intersecan, ^[af] tales que solo un gran círculo decagonal en cada conjunto pasa por cada vértice, y los 12 decágonos en cada conjunto alcanzan los 120 vértices. ^[24]

Las cuerdas √ 1 forman 200 hexágonos centrales (25 conjuntos de 16, con cada hexágono en dos conjuntos), ^[d] 10 de los cuales se cruzan en cada vértice ^[ag] (4 de cada una de las cinco celdas de 24 que se encuentran en el vértice, con cada hexágono en dos de esas celdas de 24). ^[i] Cada conjunto de 16 hexágonos consta de las 96 aristas y 24 vértices de una de las 25 celdas de 24 inscritas superpuestas. Las cuerdas √ 1 unen vértices que están separados por dos aristas √ 0.𝚫 . Cada cuerda √ 1 es el diámetro largo de un par de celdas tetraédricas unidas por caras (una bipirámide triangular ), y pasa por el centro de la cara compartida. Como hay 1200 caras, hay 1200 cuerdas √ 1 , en 600 pares paralelos, separados √ 3. Los planos hexagonales no son ortogonales (separados 60 grados) pero se presentan como 100 pares duales en los que los 3 ejes de un hexágono son ortogonales a los 3 ejes de su dual. ^[25] Los 200 grandes hexágonos se pueden dividir en 10 conjuntos de 20 geodésicas paralelas de Clifford que no se intersecan, de modo que solo un gran círculo hexagonal en cada conjunto pase por cada vértice, y los 20 hexágonos en cada conjunto alcancen los 120 vértices. ^[26]

Las cuerdas √ 1.𝚫 forman 144 pentágonos centrales, 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. ^[k] Las cuerdas √ 1.𝚫 discurren de vértice a vértice en los mismos planos que los 72 decágonos: dos pentágonos están inscritos en cada decágono. Las cuerdas √ 1.𝚫 unen vértices que están separados por dos aristas √ 0.𝚫 en un círculo geodésico máximo. Las 720 cuerdas √ 1.𝚫 se presentan en 360 pares paralelos, separados por √ 2.𝚽 = φ.

Las cuerdas √ 2 forman 450 cuadrados centrales, 15 de los cuales se cruzan en cada vértice (3 de cada una de las cinco celdas de 24 que se encuentran en el vértice). Las cuerdas √ 2 unen vértices que están separados por tres aristas √ 0.𝚫 (y dos cuerdas √ 1 ). Hay 600 cuerdas √ 2 , en 300 pares paralelos, separados por √ 2. Los 450 cuadrados mayores (225 pares completamente ortogonales ) se pueden dividir en 15 conjuntos de 30 geodésicas paralelas de Clifford que no se intersecan, de modo que solo un círculo mayor cuadrado en cada conjunto pasa por cada vértice, y los 30 cuadrados (15 pares completamente ortogonales) en cada conjunto alcanzan los 120 vértices. ^[27]

Las cuerdas √ 2.𝚽 = φ forman los catetos de 720 triángulos isósceles centrales (72 conjuntos de 10 inscritos en cada decágono), 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. La tercera arista (base) de cada triángulo isósceles tiene una longitud de √ 3.𝚽 . Las cuerdas √ 2.𝚽 corren de vértice a vértice en cada tercer vértice en los mismos planos que los 72 decágonos, uniendo vértices que están separados por tres aristas √ 0.𝚫 en un círculo geodésico máximo. Hay 720 cuerdas √ 2.𝚽 distintas , en 360 pares paralelos, separados por √ 1.𝚫 .

Las cuerdas √ 3 forman 400 triángulos centrales equiláteros (25 conjuntos de 32, con cada triángulo en dos conjuntos), 10 de los cuales se cruzan en cada vértice (4 de cada una de las cinco celdas de 24 , con cada triángulo en dos de las 24 celdas). Cada conjunto de 32 triángulos consta de las 96 cuerdas √ 3 y 24 vértices de una de las 25 celdas inscritas superpuestas de 24. Las cuerdas √ 3 corren de vértice a cada segundo vértice en los mismos planos que los 200 hexágonos: dos triángulos están inscritos en cada hexágono. Las cuerdas √ 3 unen vértices que están separados por cuatro aristas √ 0.𝚫 (y dos cuerdas √ 1 en un círculo máximo geodésico). Cada cuerda √ 3 es el diámetro largo de dos celdas cúbicas en el mismo grupo de 24 celdas. ^[ah] Hay 1200 cuerdas √ 3 , en 600 pares paralelos, separados √ 1 .

Las cuerdas √ 3.𝚽 (las diagonales de los pentágonos) forman los catetos de 720 triángulos isósceles centrales (144 conjuntos de 5 inscritos en cada pentágono), 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. La tercera arista (base) de cada triángulo isósceles es una arista del pentágono de longitud √ 1.𝚫 , por lo que estos son triángulos áureos . Las cuerdas √ 3.𝚽 corren de vértice a cada cuarto vértice en los mismos planos que los 72 decágonos, uniendo vértices que están separados por cuatro aristas √ 0.𝚫 en un círculo geodésico máximo. Hay 720 cuerdas √ 3.𝚽 distintas, en 360 pares paralelos, separados por √ 0.𝚫 .

Las √ 4 cuerdas se presentan como 60 diámetros largos (75 conjuntos de 4 ejes ortogonales con cada conjunto comprendiendo una celda de 16 ), los 120 radios largos de la celda de 600. Las √ 4 cuerdas unen vértices opuestos que están separados por cinco aristas de √ 0.𝚫 en un gran círculo geodésico. Hay 25 conjuntos distintos pero superpuestos de 12 diámetros, cada uno comprendiendo una de las 25 celdas de 24 inscritas. ^[j] Hay 75 conjuntos distintos pero superpuestos de 4 diámetros ortogonales, cada uno comprendiendo una de las 75 celdas de 16 inscritas.

La suma de las longitudes al cuadrado ^[ai] de todas estas cuerdas distintas de la celda de 600 es 14.400 = 120 ² . ^[aj] Todos estos son polígonos centrales que pasan por vértices, pero la celda de 600 tiene un círculo máximo notable que no pasa por ningún vértice (un 0-gono). ^[an] Además, en el espacio 4 hay geodésicas en la esfera 3 que no se encuentran en planos centrales en absoluto. Hay caminos geodésicos más cortos entre dos vértices de la celda de 600 que son helicoidales en lugar de simplemente circulares; corresponden a rotaciones isoclínicas (diagonales) en lugar de rotaciones simples. ^[ao]

Todos los polígonos geodésicos enumerados anteriormente se encuentran en planos centrales de solo tres tipos, cada uno caracterizado por un ángulo de rotación: planos decágonos (𝜋/5⁠ aparte), planos hexagonales ( ⁠𝜋/3⁠ aparte, también en las 25 celdas inscritas de 24) y planos cuadrados (𝜋/2⁠ aparte, también en las 75 celdas de 16 inscritas y las de 24 celdas). Estos planos centrales de las 600 celdas se pueden dividir en 4 hiperplanos centrales ortogonales (3-espacios) cada uno de los cuales forma un icosidodecaedro . Hay 450 grandes cuadrados separados por 90 grados; 200 grandes hexágonos separados por 60 grados; y 72 grandes decágonos separados por 36 grados. ^[at] Cada gran plano cuadrado es completamente ortogonal a otro gran plano cuadrado. Cada gran plano hexagonal es completamente ortogonal a un plano que interseca solo dos vértices (uno de √ 4 de diámetro largo): un gran plano digónico . ^[au] Cada gran plano decágono es completamente ortogonal a un plano que no interseca ningún vértice: un gran plano 0-gono. ^[al]

Fibraciones de polígonos de círculo máximo

Cada conjunto de polígonos circulares máximos similares (cuadrados, hexágonos o decágonos) se puede dividir en haces de círculos máximos paralelos de Clifford que no se intersecan (de 30 cuadrados, 20 hexágonos o 12 decágonos). ^[af] Cada haz de fibras de círculos máximos paralelos de Clifford ^[ap] es una fibración de Hopf discreta que llena las 600 celdas y visita los 120 vértices solo una vez. ^{[32] Cada fibración de Hopf discreta tiene su}base tridimensional , que es un poliedro distinto que actúa como un mapa o modelo a escala de la fibración. ^[av] Los polígonos circulares máximos de cada haz se espiralan entre sí, delineando anillos helicoidales de celdas unidas por caras que se anidan entre sí, pasan una a través de la otra sin intersecarse en ninguna celda y llenan exactamente las 600 celdas con sus conjuntos de celdas disjuntas. Los diferentes haces de fibras con sus anillos de células llenan cada uno el mismo espacio (las 600 células) pero sus fibras corren paralelas a Clifford en diferentes "direcciones"; los polígonos de círculo máximo en diferentes fibraciones no son paralelas a Clifford. ^[33]

Decágonos

Las fibraciones del núcleo de 600 células incluyen 6 fibraciones de sus 72 grandes decágonos: 6 haces de fibras de 12 grandes decágonos. ^[ae] Los 12 decágonos paralelos de Clifford en cada haz están completamente disjuntos. Los decágonos paralelos adyacentes están abarcados por las aristas de otros grandes decágonos.

Cada haz de fibras ^[aq] delinea 20 anillos helicoidales de 30 celdas tetraédricas cada uno, ^[ad] con cinco anillos anidados juntos alrededor de cada decágono. ^[34] El mapa de Hopf de esta fibración es el icosaedro , donde cada uno de los 12 vértices se eleva a un gran decágono, y cada una de las 20 caras triangulares se eleva a un anillo de 30 celdas. ^[av] Cada celda tetraédrica ocupa solo uno de los 20 anillos de celdas en cada una de las 6 fibraciones. La celda tetraédrica contribuye con cada una de sus 6 aristas a un decágono en una fibración diferente, pero contribuye con esa arista a cinco anillos de celdas distintos en la fibración. ^[ac]

Los 12 grandes círculos y anillos de 30 celdas de las 6 fibraciones de Hopf características de la celda 600 hacen de la celda 600 una configuración geométrica de 30 "puntos" y 12 "líneas" escrita como 30 ₂ 12 ₅ . Se llama configuración doble seis de Schläfli en honor a Ludwig Schläfli ^[36] , el matemático suizo que descubrió la celda 600 y el conjunto completo de politopos regulares en n dimensiones. ^[37]

Hexágonos

Las fibraciones de las 24 células incluyen 4 fibraciones de sus 16 grandes hexágonos: 4 haces de fibras de 4 grandes hexágonos. Los 4 hexágonos paralelos de Clifford en cada haz están completamente disjuntos. Los hexágonos paralelos adyacentes están abarcados por las aristas de otros grandes hexágonos. Cada haz de fibras delinea 4 anillos helicoidales de 6 células octaédricas cada uno, con tres anillos anidados juntos alrededor de cada hexágono. Cada célula octaédrica ocupa solo un anillo celular en cada una de las 4 fibraciones. La célula octaédrica contribuye con 3 de sus 12 aristas a 3 hexágonos paralelos de Clifford diferentes en cada fibración, pero contribuye con cada arista a tres anillos celulares distintos en la fibración.

La célula 600 contiene 25 células de 24 y puede verse (de 10 maneras diferentes) como un compuesto de 5 células de 24 disjuntas. ^[k] Tiene 10 fibraciones de sus 200 grandes hexágonos: 10 haces de fibras de 20 grandes hexágonos. Los 20 hexágonos paralelos de Clifford en cada haz son completamente disjuntos. Los hexágonos paralelos adyacentes están abarcados por aristas de grandes decágonos. ^[ar] Cada haz de fibras delinea 20 anillos helicoidales de 6 células octaédricas cada uno, con tres anillos anidados juntos alrededor de cada hexágono. El mapa de Hopf de esta fibración es el dodecaedro , donde los 20 vértices se elevan cada uno a un haz de grandes hexágonos. ^[26] Cada célula octaédrica ocupa solo uno de los 20 anillos de 6 octaedros en cada una de las 10 fibraciones. Los 20 anillos de 6 octaedros pertenecen a 5 celdas disjuntas de 24, de 4 anillos de 6 octaedros cada uno; cada fibración hexagonal de las 600 celdas consta de 5 celdas disjuntas de 24.

Cuadrícula

Las fibraciones de la célula de 16 incluyen 3 fibraciones de sus 6 grandes cuadrados: 3 haces de fibras de 2 grandes cuadrados. Los 2 cuadrados paralelos de Clifford en cada haz están completamente disjuntos. Los cuadrados paralelos adyacentes están abarcados por las aristas de otros grandes cuadrados. Cada haz de fibras delinea 2 anillos helicoidales de 8 células tetraédricas cada uno. Cada célula tetraédrica ocupa solo un anillo celular en cada una de las 3 fibraciones. La célula tetraédrica contribuye con cada una de sus 6 aristas a un cuadrado diferente (contribuyendo con dos aristas opuestas que no se intersecan a cada una de las 3 fibraciones), pero contribuye con cada arista a ambos anillos celulares distintos en la fibración.

La célula de 600 contiene 75 células de 16 y puede verse (de 10 maneras diferentes) como un compuesto de 15 células de 16 disjuntas. Tiene 15 fibraciones de sus 450 grandes cuadrados: 15 haces de fibras de 30 grandes cuadrados. Los 30 cuadrados paralelos de Clifford en cada haz son completamente disjuntos. Los cuadrados paralelos adyacentes están abarcados por aristas de grandes decágonos. ^[as] Cada haz de fibras delinea 30 anillos helicoidales disjuntos de células de 8 células tetraédricas cada uno. ^[ax] El mapa de Hopf de esta fibración es el icosidodecaedro , donde los 30 vértices se elevan cada uno a un haz de grandes cuadrados. ^[27] Cada célula tetraédrica ocupa solo uno de los 30 anillos de 8 tetraedros en cada una de las 15 fibraciones.

Anillos de células paralelas de Clifford

Los anillos celulares helicoidales densamente empaquetados ^[38]^[39]^[32] de las fibraciones son disjuntos entre sí, pero comparten vértices, aristas y caras. Cada fibración de las 600 células puede verse como un empaquetamiento denso de anillos celulares con las caras correspondientes de los anillos celulares adyacentes unidas entre sí. ^[ba] La misma fibración también puede verse como una disposición dispersa mínima de menos anillos celulares completamente disjuntos que no se tocan en absoluto. ^[g]

Las fibraciones de los grandes decágonos pueden verse (de cinco maneras diferentes) como 4 anillos de 30 celdas completamente disjuntos con espacios que los separan, en lugar de como 20 anillos de celdas unidos por caras, al dejar fuera todos menos un anillo de celdas de los cinco que se encuentran en cada decágono. ^[40] Las cinco maneras diferentes en que puede hacer esto son equivalentes, en el sentido de que las cinco corresponden a la misma fibración discreta (en el mismo sentido que las 6 fibraciones decagonales son equivalentes, en el sentido de que las 6 cubren las mismas 600 celdas). Los 4 anillos de celdas todavía constituyen la fibración completa: incluyen los 12 decágonos paralelos de Clifford, que visitan los 120 vértices. ^[bb] Este subconjunto de 4 de 20 anillos de celdas es dimensionalmente análogo ^[bc] al subconjunto de 12 de 72 decágonos, en el sentido de que ambos son conjuntos de politopos paralelos de Clifford completamente disjuntos que visitan los 120 vértices. ^[bd] El subconjunto de 4 de los 20 anillos celulares es una de las 5 fibraciones dentro de la fibración de 12 de los 72 decágonos: una fibración de una fibración. Todas las fibraciones tienen esta estructura de dos niveles con subfibraciones .

Las fibraciones de los grandes hexágonos de 24 células pueden verse (de tres maneras diferentes) como dos anillos de 6 células completamente disjuntos con espacios que los separan, en lugar de como cuatro anillos de células unidos por caras, omitiendo todos los anillos de células menos uno de los tres que se unen en cada hexágono. Por lo tanto, cada una de las 10 fibraciones de los grandes hexágonos de 600 células puede verse como dos anillos de células octaédricos completamente disjuntos.

Las fibraciones de los grandes cuadrados de 16 células pueden verse (de dos maneras diferentes) como un único anillo de 8 células tetraédricas con un espacio vacío adyacente del tamaño de un anillo celular, en lugar de como dos anillos celulares unidos por caras, omitiendo uno de los dos anillos celulares que se encuentran en cada cuadrado. Por lo tanto, cada una de las 15 fibraciones de los grandes cuadrados de 600 células puede verse como un único anillo celular tetraédrico. ^[ax]

Las construcciones dispersas de las fibraciones de 600 celdas corresponden a descomposiciones de simetría inferior de las 600 celdas, 24 celdas o 16 celdas con celdas de diferentes colores para distinguir los anillos de celdas de los espacios entre ellas. ^[be] La forma particular de simetría inferior de las 600 celdas correspondiente a la construcción dispersa de las fibraciones del gran decágono es dimensionalmente análoga ^[bc] a la forma de tetraedro romo del icosaedro (que es la base ^[av] de estas fibraciones en la 2-esfera). Cada uno de los 20 anillos de celdas de Boerdijk-Coxeter ^[ad] se levanta de una cara correspondiente del icosaedro. ^[bh]

Construcciones

El politopo de 600 celdas incorpora las geometrías de cada politopo regular convexo en las primeras cuatro dimensiones, excepto el de 5 celdas, el de 120 celdas y los polígonos {7} y superiores. ^[44] En consecuencia, existen numerosas formas de construir o deconstruir el politopo de 600 celdas, pero ninguna de ellas es trivial. La construcción del politopo de 600 celdas a partir de su predecesor regular, el de 24 celdas, puede ser difícil de visualizar.

La construcción de Gosset

Thorold Gosset descubrió los 4-politopos semirregulares , incluyendo el snub de 24 celdas con 96 vértices, que se encuentra entre el 24-cell y el 600-cell en la secuencia de 4-politopos convexos de tamaño y complejidad crecientes en el mismo radio. La construcción de Gosset del 600-cell a partir del 24-cell se realiza en dos pasos, utilizando el snub de 24 celdas como una forma intermedia. En el primer paso, más complejo (descrito en otra parte ), el snub de 24 celdas se construye mediante un truncamiento especial de un 24-cell en las secciones áureas de sus bordes. ^[9] En el segundo paso, el 600-cell se construye de manera sencilla añadiendo 4-pirámides (vértices) a las facetas del snub de 24 celdas. ^[45]

La pirámide de 24 celdas chata es una pirámide de 600 celdas reducida de la que se han truncado 24 vértices (y el grupo de 20 celdas tetraédricas alrededor de cada uno), ^[u] dejando una celda icosaédrica "plana" en lugar de cada pirámide icosaédrica eliminada. ^[p] La pirámide de 24 celdas chata tiene, por lo tanto, 24 celdas icosaédricas y las 120 celdas tetraédricas restantes. El segundo paso de la construcción de Gosset de la pirámide de 600 celdas es simplemente el reverso de esta reducción: se coloca una pirámide icosaédrica de 20 celdas tetraédricas sobre cada celda icosaédrica.

La construcción de la celda de radio unitario de 600 a partir de su precursora, la celda de radio unitario de 24, por el método de Gosset requiere en realidad tres pasos. La celda precursora de 24 celdas de la celda snub-24 no tiene el mismo radio: es más grande, ya que la celda snub-24 es su truncamiento. Comenzando con la celda de radio unitario de 24, el primer paso es hacerla recíproca alrededor de su esfera media para construir su dual canónico externo : una celda de 24 más grande, ya que la celda de 24 es autodual. Esa celda de 24 más grande puede entonces truncarse en una celda snub de 24 celdas con radio unitario.

Aglomerados de células

Como es tan indirecta, la construcción de Gosset puede no ayudarnos mucho a visualizar directamente cómo las 600 células tetraédricas encajan entre sí en una envoltura superficial tridimensional curva ^[v] , o cómo se encuentran en la envoltura superficial subyacente de las células octaédricas de las 24 células. Para eso es útil construir las 600 células directamente a partir de grupos de células tetraédricas.

La mayoría de nosotros tenemos dificultades para visualizar las 600 células desde el exterior en un espacio de 4 dimensiones, o para reconocer una vista exterior de las 600 células debido a nuestra total falta de experiencia sensorial en espacios de 4 dimensiones, ^[46] pero deberíamos poder visualizar la envoltura superficial de las 600 células desde el interior porque ese volumen es un espacio tridimensional en el que realmente podríamos "caminar" y explorar. ^[47] En estos ejercicios de construcción de las 600 células a partir de grupos de células, estamos completamente dentro de un espacio tridimensional, aunque sea un espacio curvo cerrado extrañamente pequeño , en el que podemos alejarnos apenas diez longitudes de arista en línea recta en cualquier dirección y regresar a nuestro punto de partida.

Icosaedro

La figura del vértice de la celda de 600 es el icosaedro . ^[p] Veinte celdas tetraédricas se unen en cada vértice, formando una pirámide icosaédrica cuyo vértice es el vértice, rodeado por su icosaedro de base. La celda de 600 tiene un ángulo diedro de ⁠𝜋/3⁠ + arcocos(− ⁠1/4⁠ ) ≈ 164,4775° .^[49]

Se puede formar un conjunto de 600 celdas a partir de 24 pirámides icosaédricas (unidas cara a cara en 8 de las 20 caras del icosaedro, de color amarillo en la ilustración), más 24 grupos de 5 celdas tetraédricas (cuatro celdas unidas por sus caras alrededor de una) que llenan los huecos que quedan entre los icosaedros. Cada icosaedro está unido por sus caras a cada grupo adyacente de 5 celdas mediante dos caras azules que comparten una arista (que también es una de las seis aristas del tetraedro central de los cinco). Seis grupos de 5 celdas rodean cada icosaedro, y seis icosaedros rodean cada grupo de 5 celdas. Cinco celdas tetraédricas rodean cada arista del icosaedro: dos desde el interior de la pirámide icosaédrica y tres desde el exterior de la misma. ^[bl]

Los vértices de las 24 pirámides icosaédricas son los vértices de una pirámide de 24 celdas inscrita en la pirámide de 600 celdas. Los otros 96 vértices (los vértices de los icosaedros) son los vértices de una pirámide de 24 celdas inscrita , que tiene exactamente la misma estructura de icosaedros y tetraedros descrita aquí, excepto que los icosaedros no son pirámides de 4 celdas llenas de celdas tetraédricas; son solo celdas icosaédricas tridimensionales "planas", porque falta el vértice apical central.

Las aristas de 24 celdas que unen los vértices de los vértices de la pirámide icosaédrica pasan por los centros de las caras amarillas. La coloración de los icosaedros con 8 caras amarillas y 12 azules se puede realizar de 5 formas distintas. ^[bm] Por lo tanto, el vértice del vértice de cada pirámide icosaédrica es un vértice de 5 celdas de 24 distintas, ^[i] y los 120 vértices comprenden 25 (no 5) celdas de 24. ^[f]

Los icosaedros están unidos por sus caras amarillas en "líneas rectas" geodésicas, dobladas en la cuarta dimensión en un anillo de 6 pirámides icosaédricas. Sus vértices son los vértices de un hexágono de gran círculo . Esta geodésica hexagonal atraviesa un anillo de 12 celdas tetraédricas, unidas alternativamente cara con cara y vértice con vértice. El diámetro largo de cada par de tetraedros unidos por sus caras (cada bipirámide triangular ) es una arista hexagonal (una arista de 24 celdas). Hay 4 anillos de 6 pirámides icosaédricas que se intersecan en cada vértice-vértice, así como hay 4 anillos entrelazados de 6 octaedros disjuntos en las 24 celdas (una fibración hexagonal). ^[bq]

Las células tetraédricas están unidas por sus caras en triples hélices , dobladas en la cuarta dimensión en anillos de 30 células tetraédricas. ^[ad] Las tres hélices son "líneas rectas" geodésicas de 10 aristas: decágonos de círculo máximo que corren paralelos a Clifford ^[af] entre sí. Cada tetraedro, que tiene seis aristas, participa en seis decágonos diferentes ^[ac] y, por lo tanto, en las 6 fibraciones decagonales de las 600 células.

La partición de las 600 células en grupos de 20 células y grupos de 5 células es artificial, ya que todas las células son iguales. Se puede empezar seleccionando un grupo de pirámides icosaédricas centrado en cualquier vértice elegido arbitrariamente, de modo que hay 120 icosaedros superpuestos en las 600 células. ^[bj] Sus 120 vértices son cada uno un vértice de cinco 24 células de 24 vértices, de modo que hay 5*120/24 = 25 24 células superpuestas. ^[k]

Octaedros

Hay otra forma útil de dividir la superficie de 600 células en 24 grupos de 25 células tetraédricas, que revela más estructura ^[55] y una construcción directa de las 600 células a partir de su predecesora, la de 24 células.

Comience con cualquiera de los grupos de 5 células (arriba) y considere que su célula central es el objeto central de un nuevo grupo más grande de células tetraédricas. La célula central es la primera sección del grupo de 600 células que comienza con una célula. Al rodearla con más células tetraédricas, podemos llegar a las secciones más profundas que comienzan con una célula.

En primer lugar, observe que un grupo de 5 celdas consta de 4 pares superpuestos de tetraedros unidos por caras ( bipirámides triangulares ) cuyo diámetro largo es una arista de 24 celdas (una arista hexagonal) de longitud √ 1 . Seis bipirámides triangulares más encajan en las concavidades de la superficie del grupo de 5, ^[br] por lo que las cuerdas exteriores que conectan sus 4 vértices apicales también son aristas de 24 celdas de longitud √ 1 . Forman un tetraedro de longitud de arista √ 1 , que es la segunda sección del comienzo de 600 celdas con una celda. ^[bs] Hay 600 de estas √ 1 secciones tetraédricas en el grupo de 600 celdas.

Con las seis dipirámides triangulares encajadas en las concavidades, hay 12 nuevas celdas y 6 nuevos vértices además de las 5 celdas y 8 vértices del grupo original. Los 6 nuevos vértices forman la tercera sección del grupo de 600 celdas comenzando con una celda, un octaedro de longitud de arista √ 1 , obviamente la celda de un grupo de 24 celdas. ^[bt] Como está parcialmente lleno hasta ahora (por 17 celdas tetraédricas), este octaedro √ 1 tiene caras cóncavas en las que encaja una pirámide triangular corta; tiene el mismo volumen que una celda tetraédrica regular pero una forma tetraédrica irregular. ^[bu] Cada octaedro rodea 1 + 4 + 12 + 8 = 25 celdas tetraédricas: 17 celdas tetraédricas regulares más 8 celdas tetraédricas volumétricamente equivalentes, cada una de las cuales consta de 6 fragmentos de un sexto de 6 celdas tetraédricas regulares diferentes que abarcan cada una tres celdas octaédricas adyacentes. ^[bv]

De esta manera, la celda de radio unitario de 600 puede construirse directamente a partir de su predecesora, ^[ab] la celda de radio unitario de 24, colocando en cada una de sus facetas octaédricas una pirámide octaédrica irregular truncada ^{[bw] de 14 vértices}^[bx] construida (de la manera anterior) a partir de 25 celdas tetraédricas regulares de longitud de arista ⁠1/φ⁠ ≈ 0,618.

Unión de dos toros

Existe otra forma útil de dividir la superficie de 600 células en grupos de células tetraédricas, que revela más estructura ^[56] y las fibraciones decagonales de las 600 células. Se pueden ensamblar 600 células enteras alrededor de dos anillos de 5 pirámides icosaédricas, unidas vértice a vértice en dos "líneas rectas" geodésicas.

La celda de 120 se puede descomponer en dos toros disjuntos . Dado que es dual de la celda de 600, esta misma estructura de toros duales existe en la celda de 600, aunque es algo más compleja. La trayectoria geodésica de 10 celdas en la celda de 120 corresponde a la trayectoria del decágono de 10 vértices en la celda de 600. ^[57]

Comience por ensamblar cinco tetraedros alrededor de un borde común. Esta estructura se parece un poco a un "platillo volante" angular. Apila diez de estos, vértice con vértice, estilo "panqueque". Rellena el anillo anular entre cada par de "platillos volantes" con 10 tetraedros para formar un icosaedro. Puedes ver esto como cinco pirámides icosaédricas apiladas en vértices , con los cinco espacios adicionales del anillo anular también rellenados. ^[bz] La superficie es la misma que la de diez antiprismas pentagonales apilados : una columna de caras triangulares con una sección transversal pentagonal. ^[58] Doblado en un anillo columnar, este es un toro que consta de 150 celdas, diez aristas de largo, con 100 caras triangulares expuestas, ^[ca] 150 aristas expuestas y 50 vértices expuestos. Apila otro tetraedro en cada cara expuesta. Esto le dará un toro algo irregular de 250 celdas con 50 vértices elevados, 50 vértices de valle y 100 aristas de valle. ^[cb] Los valles son caminos cerrados de 10 aristas de largo y corresponden a otras instancias del camino decágono de 10 vértices mencionado anteriormente (decágonos de círculo máximo). Estos decágonos giran en espiral alrededor del decágono central, ^[cc] pero matemáticamente todos son equivalentes (todos se encuentran en planos centrales).

Construya un segundo toro idéntico de 250 celdas que se interconecte con el primero. Esto representa 500 celdas. Estos dos toros se acoplan entre sí con los vértices del valle tocando los vértices elevados, dejando 100 huecos tetraédricos que se llenan con los 100 tetraedros restantes que se acoplan en los bordes del valle. Este último conjunto de 100 tetraedros está en el límite exacto del duocilindro y forma un toro de Clifford . ^[cd] Se pueden "desenrollar" en una matriz cuadrada de 10×10. Por cierto, esta estructura forma una capa tetraédrica en el panal tetraédrico-octaédrico . Hay exactamente 50 huecos y picos de "caja de huevos" en ambos lados que se acoplan con los toros de 250 celdas. ^[by] En este caso, en cada hueco, en lugar de un octaedro como en el panal, encaja una bipirámide triangular compuesta por dos tetraedros.

Esta descomposición de las 600 celdas tiene simetría [[10,2 ⁺ ,10]], orden 400, la misma simetría que el gran antiprisma . ^[59] El gran antiprisma es simplemente la celda de 600 con los dos toros de 150 celdas anteriores eliminados, dejando solo la capa intermedia de 300 tetraedros, dimensionalmente análoga ^[bc] al cinturón de 10 caras de un icosaedro con las 5 caras superiores y 5 inferiores eliminadas (un antiprisma pentagonal ). ^[ce]

Los dos toros de 150 celdas contienen cada uno 6 grandes decágonos paralelos de Clifford (cinco alrededor de uno), y los dos toros son paralelos de Clifford entre sí, por lo que juntos constituyen una fibración completa de 12 decágonos que alcanza los 120 vértices, a pesar de llenar solo la mitad de las 600 celdas con celdas.

Anillos helicoidales de Boerdijk-Coxeter

Las 600 células también se pueden dividir en 20 anillos entrelazados disjuntos de 30 células, ^[34] cada uno con diez aristas de largo, formando una fibración de Hopf discreta que llena las 600 células por completo. ^[60]^[61] Cada anillo de 30 tetraedros unidos por caras es una hélice cilíndrica de Boerdijk-Coxeter doblada en un anillo en la cuarta dimensión.

El anillo de 30 celdas es el espacio tridimensional ocupado por los 30 vértices de tres grandes decágonos paralelos de Clifford cian que se encuentran adyacentes entre sí, 36° = ⁠𝜋/5⁠ = una longitud de arista de 600 celdas separadas en todos sus pares de vértices. ^[cg] Las 30 aristas magenta que unen estos pares de vértices forman un triacontagrama helicoidal , una espiral sesgada de 30 gramos de 30 caras triangulares unidas por aristas, que es el polígono de Petrie de las 600 celdas. ^[cf] El dual del anillo de 30 celdas (el 30-gono sesgado formado al conectar los centros de sus celdas) es el polígono de Petrie de las 120 celdas , el politopo dual de las 600 celdas . ^[aw] El eje central del anillo de 30 celdas es una gran geodésica de 30 gonos que pasa por el centro de 30 caras, pero no interseca ningún vértice. ^[an]

Los 15 bordes naranjas y los 15 bordes amarillos forman hélices separadas de 15 gramos. Cada borde naranja o amarillo cruza entre dos grandes decágonos cian. Los bordes naranjas o amarillos sucesivos de estas hélices de 15 gramos no se encuentran en el mismo gran círculo; se encuentran en diferentes planos centrales inclinados a 36° = ⁠𝝅/5⁠ entre sí. ^[at] Cada hélice de 15 gramos es notable como la trayectoria del borde de una isoclina, la trayectoria geodésica de una rotación isoclínica. ^[ao] La isoclina es una curva circular que interseca cada segundo vértice de los 15 gramos, sin pasar por el vértice intermedio. Una sola isoclina corre dos veces alrededor de cada 15 gramos naranja (o amarillo) a través de cada otro vértice, tocando la mitad de los vértices en el primer bucle y la otra mitad de ellos en el segundo bucle. Los dos bucles conectados forman un solo bucle de Möbius , un pentadecagrama sesgado {15/2} . El pentadecagrama no se muestra en estas ilustraciones (pero vea más abajo), porque sus bordes son cuerdas invisibles entre vértices que están separados por dos bordes naranjas (o dos amarillos), y no se muestran cuerdas en estas ilustraciones. Aunque los 30 vértices del anillo de 30 celdas no se encuentran en un gran plano central de 30 gonos, ^[cg] estas isoclinas pentadecagramáticas invisibles son verdaderos círculos geodésicos de un tipo especial, que serpentean a través de las cuatro dimensiones en lugar de encontrarse en un plano bidimensional como lo hace un gran círculo geodésico ordinario. ^[ch]

Cinco de estas hélices de 30 celdas se anidan juntas y giran en espiral alrededor de cada una de las trayectorias decágono de 10 vértices, formando el toro de 150 celdas descrito en la gran descomposición del antiprisma anterior. ^[59] Por lo tanto, cada gran decágono es el decágono central de un toro de 150 celdas. ^[ci] Las 600 celdas se pueden descomponer en 20 anillos de 30 celdas, o en dos toros de 150 celdas y 10 anillos de 30 celdas, pero no en cuatro toros de 150 celdas de este tipo. ^[cj] Las 600 celdas se pueden descomponer en cuatro toros de 150 celdas de un tipo diferente. ^[40]

Triángulos radiales dorados

La celda 600 se puede construir radialmente a partir de 720 triángulos áureos de longitudes de arista √ 0.𝚫 √ 1 √ 1 que se encuentran en el centro del politopo 4, cada uno contribuyendo con dos radios √ 1 y una arista √ 0.𝚫 . Forman 1200 pirámides triangulares con sus vértices en el centro: tetraedros irregulares con bases equiláteras √ 0.𝚫 (las caras de la celda 600). Estas forman 600 pirámides tetraédricas con sus vértices en el centro: celdas 5 irregulares con bases tetraédricas regulares √ 0.𝚫 (las celdas de la celda 600).

Ortoesquema característico

Cada 4-politopo regular tiene su 4-ortosquema característico, un 5-cell irregular . ^[x] El 5-cell característico del 600-cell regular está representado por el diagrama de Coxeter-Dynkin , que puede leerse como una lista de los ángulos diedros entre sus facetas especulares. Es una pirámide tetraédrica irregular basada en el tetraedro característico del tetraedro regular . La pirámide regular de 600 celdas se subdivide por sus hiperplanos de simetría en 14400 instancias de su característica pirámide de 5 celdas que se encuentran todas en su centro. ^[ay]

La celda característica de 5 (4-ortosquema) tiene cuatro aristas más que su tetraedro característico de base (3-ortosquema), uniendo los cuatro vértices de la base a su vértice (el quinto vértice del 4-ortosquema, en el centro de la celda regular de 600). ^[cl] Si la celda regular de 600 tiene un radio y una longitud de arista unidad , las diez aristas de su celda característica de 5 tienen longitudes , , alrededor de su cara exterior de triángulo rectángulo (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[ck] más , , (las otras tres aristas del 3-ortosquema exterior hacen faceta del tetraedro característico, que son los radios característicos del tetraedro regular), más , , , (aristas que son los radios característicos de la celda de 600). La ruta de 4 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es , , , , primero desde un vértice de 600 celdas hasta un centro de arista de 600 celdas, luego gira 90° hasta un centro de cara de 600 celdas, luego gira 90° hasta un centro de celda tetraédrica de 600 celdas, luego gira 90° hasta el centro de 600 celdas. ${\text{𝒍}}={\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$ ${\sqrt {\tfrac {2}{3\phi ^{2}}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}$ ${\sqrt {\tfrac {3}{4\phi ^{2}}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{12\phi ^{2}}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}$ ${\sqrt {\tfrac {\phi ^{2}}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}$ ${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}$

Reflexiones

La celda 600 se puede construir por las reflexiones de su celda 5 característica en sus propias facetas (sus paredes de espejo tetraédricas). ^[cm] Las reflexiones y las rotaciones están relacionadas: una reflexión en un número par de espejos que se intersecan es una rotación. ^[67]^[68] Por ejemplo, una rotación isoclínica completa de la celda 600 en planos invariantes decagonales lleva a cada uno de los 120 vértices a través de 15 vértices y de regreso a sí mismo, en una isoclina geodésica pentadecagrama sesgado ₂ de circunferencia 5𝝅 que serpentea alrededor de la esfera 3, a medida que cada gran decágono gira (como una rueda) y también se inclina lateralmente (como una moneda lanzada) con el plano completamente ortogonal. ^[cn] Cualquier conjunto de cuatro pares ortogonales de vértices antípodas (los 8 vértices de una de las 75 celdas de 16 inscritas) ^[bb] que realicen dicha órbita visitan 15 * 8 = 120 vértices distintos y generan las 600 celdas secuencialmente en una rotación isoclínica completa, de la misma manera que cualquier celda de 5 características que se refleja en sus propias paredes de espejo genera los 120 vértices simultáneamente por reflexión. ^[bo]

Órbitas de Weyl

Otro método de construcción utiliza cuaterniones y la simetría icosaédrica de las órbitas del grupo de Weyl de orden 120. ^[70] Las siguientes son las órbitas de los pesos de D4 bajo el grupo de Weyl W(D4): $O(\Lambda )=W(H_{4})=I$

O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}

O(1000) : V1

O(0010) : V2

O(0001) : V3

Con cuaterniones donde es el conjugado de y y , entonces el grupo de Coxeter es el grupo de simetría de las 600 celdas y las 120 celdas de orden 14400. $(p,q)$ ${\bar {p}}$ $p$ $[p,q]:r\rightarrow r'=prq$ $[p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q$ $W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace$

Dado que y como un intercambio de dentro de , podemos construir: $p\in T$ ${\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p$ $p^{\dagger }$ $-1/\varphi \leftrightarrow \varphi$ $p$

El snub de 24 celdas $S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T$
Las 600 celdas $I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T$
Las 120 celdas $J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'$

Rotaciones

Los 4-politopos convexos regulares son una expresión de su simetría subyacente , conocida como SO(4) , el grupo de rotaciones ^[71] alrededor de un punto fijo en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. ^[cx]

La celda de 600 se genera mediante rotaciones isoclínicas ^[ao] de la celda de 24 por 36° = ⁠𝜋/5⁠ (el arco de una longitud de arista de 600 celdas). ^[da]

Veinticinco celdas de 24 celdas

Hay 25 celdas de 24 inscritas en las 600 celdas. ^[11]^[co] Por lo tanto, también hay 25 celdas de 24 inscritas, 75 teseractos inscritos y 75 celdas de 16 inscritas. ^[f]

La celda 16 de 8 vértices tiene 4 diámetros largos inclinados a 90° = ⁠𝜋/2⁠ entre sí, a menudo tomados como los 4 ejes ortogonales o base del sistema de coordenadas.

La celda de 24 vértices y 24 tiene 12 diámetros largos inclinados a 60° = ⁠𝜋/3⁠ entre sí: 3 conjuntos disjuntos de 4 ejes ortogonales, cada conjunto comprende los diámetros de una de las 3 celdas de 16 inscritas, rotadas isoclínicamente por ⁠𝜋/3⁠ con respecto a los demás. ^[db]

La celda 600 de 120 vértices tiene 60 diámetros largos: no sólo 5 conjuntos disjuntos de 12 diámetros, cada uno de los cuales comprende una de 5 celdas de 24 inscritas (como podríamos sospechar por analogía), sino 25 conjuntos distintos pero superpuestos de 12 diámetros, cada uno de los cuales comprende una de 25 celdas de 24 inscritas. [ ^76] Hay 5 celdas de 24 disjuntas en la celda 600, pero no sólo 5: hay 10 maneras diferentes de dividir la celda 600 en 5 celdas de 24 disjuntas. ^[j]

Al igual que las celdas de 16 y 8 inscritas en la celda de 24, las 25 celdas de 24 inscritas en la celda de 600 son politopos mutuamente isoclínicos . La distancia rotacional entre las celdas de 24 inscritas es siempre ⁠𝜋/5⁠ en cada plano invariante de rotación. ^[cy]

Cinco celdas de 24 son disjuntas porque son paralelas de Clifford: sus vértices correspondientes son𝜋/5⁠ separados por dos grandes círculos decagonales paralelos de Clifford ^[af] que no se intersecan (así como ⁠𝜋/5⁠ aparte en el mismo círculo máximo decagonal). ^[ae] Una rotación isoclínica de planos decagonales por ⁠𝜋/5⁠ lleva cada celda de 24 a una celda de 24 disjunta (tal como una rotación isoclínica de planos hexagonales por ⁠𝜋/3⁠ lleva cada 16 celdas a una 16 celdas disjuntas). ^[dc] Cada rotación isoclínica ocurre en dos formas quirales: hay 4 24 celdas disjuntas a la izquierda de cada 24 celdas, y otras 4 24 celdas disjuntas a su derecha . ^[de] Las rotaciones izquierda y derecha alcanzan diferentes 24 celdas; por lo tanto, cada 24 celdas pertenece a dos conjuntos diferentes de cinco 24 celdas disjuntas.

Todos los politopos paralelos de Clifford son isoclínicos, pero no todos los politopos isoclínicos son paralelos de Clifford (objetos completamente disjuntos). ^[df] Cada politopo de 24 celdas es isoclínico y paralelo de Clifford a otras 8, e isoclínico pero no paralelo de Clifford a otras 16. ^[d] Con cada una de las 16 comparte 6 vértices: un plano central hexagonal. ^[i] Los politopos de 24 celdas no disjuntos están relacionados por una rotación simple por ⁠𝜋/5⁠ en un plano invariante que interseca solo dos vértices de la celda 600, ^[au] una rotación en la que el plano fijo completamente ortogonal es su plano central hexagonal común. También están relacionados por una rotación isoclínica en la que ambos planos giran por ⁠𝜋/5⁠ . ^[dh]

Hay dos tipos de ⁠𝜋/5⁠ rotaciones isoclínicas que llevan cada celda de 24 a otra celda de 24. ^[dc] Las celdas de 24 disjuntas están relacionadas por una ⁠𝜋/5⁠ rotación isoclínica de una fibración completa de 12 planos invariantes decagonales paralelos de Clifford. (Hay 6 conjuntos de fibras de este tipo y una rotación isoclínica hacia la derecha o hacia la izquierda posible con cada conjunto, por lo que hay 12 rotaciones distintas de este tipo). ^[de] Las 24 células no disjuntas están relacionadas por una ⁠𝜋/5⁠ rotación isoclínica de una fibración completa de 20 planos invariantes hexagonales paralelos de Clifford. ^[dj] (Hay 10 conjuntos de fibras de este tipo, por lo que hay 20 rotaciones distintas de este tipo). ^[dg]

Por otra parte, cada uno de los 10 conjuntos de cinco 24 celdas disjuntas es paralelo de Clifford porque sus grandes hexágonos correspondientes son paralelos de Clifford. (Las 24 celdas no tienen grandes decágonos). Los 16 grandes hexágonos en cada 24 celdas se pueden dividir en 4 conjuntos de 4 geodésicas paralelas de Clifford no intersecantes , cada conjunto de las cuales cubre los 24 vértices de las 24 celdas. Los 200 grandes hexágonos en las 600 celdas se pueden dividir en 10 conjuntos de 20 geodésicas paralelas de Clifford no intersecantes, cada conjunto de las cuales cubre los 120 vértices y constituye una fibración hexagonal discreta. Cada uno de los 10 conjuntos de 20 hexágonos disjuntos se puede dividir en cinco conjuntos de 4 hexágonos disjuntos, cada conjunto de 4 cubre una 24 celda disjunta. De manera similar, los grandes cuadrados correspondientes de 24 celdas disjuntas son paralelos de Clifford.

Rotaciones sobre isoclinas de poligramas

Los 4-politopos convexos regulares tienen cada uno su tipo característico de rotación isoclínica derecha (e izquierda) , correspondiente a su tipo característico de fibración de Hopf discreta de los círculos mayores. ^[bg] Por ejemplo, la celda 600 se puede fibrar de seis maneras diferentes en un conjunto de grandes decágonos paralelos de Clifford, por lo que la celda 600 tiene seis rotaciones isoclínicas derechas (e izquierdas) distintas en las que esos planos de los grandes decágonos son planos invariantes de rotación . Decimos que estas rotaciones isoclínicas son características de la celda 600 porque los bordes de la celda 600 se encuentran en sus planos invariantes. Estas rotaciones solo surgen en la celda 600, aunque también se encuentran en politopos regulares más grandes (la celda 120) que contienen instancias inscritas de la celda 600.

Así como los polígonos geodésicos (decágonos o hexágonos o cuadrados) en los planos centrales de las 600 celdas forman haces de fibras de círculos mayores paralelos de Clifford, los poligramas sesgados geodésicos correspondientes (que trazan las trayectorias en el toro de Clifford de vértices bajo rotación isoclínica) ^[79] forman haces de fibras de isoclinas paralelas de Clifford : círculos helicoidales que serpentean a través de las cuatro dimensiones. ^[ao] Dado que las rotaciones isoclínicas son quirales y se producen en formas zurdas y diestras, cada haz de fibras poligonales tiene haces de fibras poligrámicas izquierdas y derechas correspondientes. ^{[80] Todos los haces de fibras son aspectos de la misma}fibración de Hopf discreta , porque la fibración son las diversas expresiones del mismo par distinto de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha.

Los anillos celulares son otra expresión de la fibración de Hopf. Cada fibración discreta tiene un conjunto de anillos celulares disjuntos que teselan el politopo de 4. ^[ba] Las isoclinas en cada haz quiral se enroscan en espiral unas alrededor de otras: son geodésicas axiales de los anillos de células unidas por caras. Los anillos celulares paralelos de Clifford de la fibración se anidan entre sí, pasan a través de cada uno de ellos sin intersecarse en ninguna célula y llenan exactamente las 600 células con sus conjuntos de células disjuntos.

Las rotaciones isoclínicas hacen girar los vértices de un objeto rígido a lo largo de trayectorias paralelas, cada vértice girando dentro de dos círculos máximos móviles ortogonales, de la misma manera que un telar teje una pieza de tela a partir de dos conjuntos ortogonales de fibras paralelas. Un haz de polígonos de círculos máximos paralelos de Clifford y un haz correspondiente de isoclinas de poligramas oblicuo paralelos de Clifford son la urdimbre y la trama de la misma rotación isoclínica izquierda o derecha distinta, que lleva a los polígonos de círculos máximos paralelos de Clifford entre sí, lanzándolos como monedas y rotándolos a través de un conjunto paralelo de planos centrales de Clifford. Mientras tanto, debido a que los polígonos también giran individualmente como ruedas, los vértices se desplazan a lo largo de isoclinas paralelas de Clifford helicoidales (cuyas cuerdas forman el poligrama oblicuo), a través de vértices que se encuentran en polígonos paralelos de Clifford sucesivos. ^[bf]

En la celda de 600, cada familia de poligramas isoclínicos sesgados (caminos de vértices móviles en las rotaciones de polígonos grandes de decágono {10}, hexágono {6} o cuadrado {4}) se puede dividir en haces de isoclinas de poligramas paralelos de Clifford que no se intersecan. ^[81] Los haces de isoclinas se presentan en pares de quiralidad izquierda y derecha ; las isoclinas en cada rotación actúan como objetos quirales , al igual que cada rotación isoclínica distinta en sí misma. ^[az] Cada fibración contiene un número igual de isoclinas izquierdas y derechas, en dos haces disjuntos, que trazan los caminos de los vértices de la celda de 600 durante la rotación isoclínica izquierda o derecha de la fibración respectivamente. Cada haz de fibras izquierdo o derecho de isoclinas por sí mismo constituye una fibración de Hopf discreta que llena la celda de 600 por completo, visitando los 120 vértices solo una vez. Se trata de un haz de fibras diferente del haz de círculos máximos de los polígonos paralelos de Clifford, pero los dos haces de fibras describen la misma fibración discreta porque enumeran esos 120 vértices juntos en la misma rotación isoclínica derecha (o izquierda) distinta, mediante su intersección como un tejido de fibras paralelas entrecruzadas.

Cada rotación isoclínica implica pares de planos centrales de rotación invariantes completamente ortogonales, que rotan en el mismo ángulo. Hay dos formas de hacerlo: rotando ambos en la "misma" dirección, o rotando en direcciones "opuestas" (de acuerdo con la regla de la mano derecha por la que convencionalmente decimos qué lado está "arriba" en cada uno de los 4 ejes de coordenadas). El poligrama derecho y la rotación isoclínica derecha corresponden convencionalmente a pares invariantes que rotan en la misma dirección; el poligrama izquierdo y la rotación isoclínica izquierda corresponden a pares que rotan en direcciones opuestas. ^[78] Las isoclinas izquierda y derecha son caminos diferentes que van a lugares diferentes. Además, cada rotación isoclínica distinta (izquierda o derecha) se puede realizar en una dirección positiva o negativa a lo largo de las fibras paralelas circulares.

Un haz de fibras de isoclinas paralelas de Clifford es el conjunto de círculos de vértice helicoidales descritos por una rotación isoclínica izquierda o derecha distinta. Cada vértice en movimiento se desplaza a lo largo de una isoclina contenida dentro de un anillo de celdas (en movimiento). Si bien las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha rotan cada una de ellas dos veces el mismo conjunto de planos de rotación invariantes paralelos de Clifford , pasan por diferentes conjuntos de polígonos de círculo máximo porque las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha golpean vértices alternativos del polígono de círculo máximo {2p} (donde p es un primo ≤ 5). ^[dl] La rotación izquierda y derecha comparten el mismo haz de Hopf de fibras de polígono {2p}, que es a la vez un haz izquierdo y derecho, pero tienen diferentes haces de polígonos {p} ^[82] porque las fibras discretas son polígonos {p} izquierdo y derecho opuestos inscritos en el polígono {2p}. ^[dm]

Una rotación simple es directa y local, y lleva algunos vértices a vértices adyacentes a lo largo de círculos máximos, y algunos planos centrales a otros planos centrales dentro del mismo hiperplano. (La celda de 600 tiene cuatro hiperplanos centrales ortogonales, cada uno de los cuales es un icosidodecaedro). En una rotación simple, hay solo un par de planos centrales de rotación invariantes completamente ortogonales; no constituye una fibración.

Una rotación isoclínica es diagonal y global, y lleva todos los vértices a vértices no adyacentes (distantes dos o más longitudes de arista) ^[cq] a lo largo de isoclinas diagonales, y todos los polígonos del plano central a polígonos paralelos de Clifford (del mismo tipo). Un par de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha constituye una fibración discreta. Todos los planos centrales paralelos de Clifford de la fibración son planos de rotación invariantes, separados por dos ángulos iguales y que se encuentran en diferentes hiperplanos. ^[at] La isoclina diagonal ^[cr] es una ruta más corta entre los vértices no adyacentes que las múltiples rutas simples entre ellos disponibles a lo largo de las aristas: es la ruta más corta en la 3-esfera, la geodésica .

Decágonos y pentadecagramas

Las fibraciones de las 600 células incluyen 6 fibraciones de sus 72 grandes decágonos: 6 haces de fibras de 12 grandes decágonos, ^[ae] cada uno de los cuales delinea 20 anillos celulares quirales de 30 células tetraédricas cada uno, ^[ad] con tres grandes decágonos que delimitan cada anillo celular y cinco anillos celulares anidados juntos alrededor de cada decágono. Los 12 decágonos paralelos de Clifford en cada haz están completamente disjuntos. Los decágonos paralelos adyacentes están abarcados por los bordes de otros grandes decágonos. ^[aq] Cada fibración corresponde a una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta de las 600 células en 12 planos invariantes del gran decágono en isoclinas de 5𝝅.

El haz de 12 fibras decágono paralelas de Clifford se divide en un haz de 12 fibras pentagonales izquierdas y un haz de 12 fibras pentagonales derechas, con cada par izquierdo-derecho de pentágonos inscrito en un decágono. ^[83] 12 grandes polígonos comprenden un haz de fibras que cubre los 120 vértices en una fibración de Hopf discreta . Hay 20 anillos de 30 celdas disjuntos en la fibración, pero solo 4 anillos de 30 celdas completamente disjuntos. ^[g] La de 600 celdas tiene seis de estas fibraciones decagonales discretas, y cada una es el dominio (contenedor) de un par único de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha (haces de fibras izquierdo y derecho de 12 grandes pentágonos). ^[dn] Cada gran decágono pertenece a una sola fibración, ^[82] pero cada anillo de 30 celdas pertenece a 5 de las seis fibraciones (y es completamente disjunto de otra 1 fibración). El de 600 celdas contiene 72 grandes decágonos, divididos entre seis fibraciones, cada una de las cuales es un conjunto de 20 anillos de 30 celdas disjuntos entre sí (4 anillos de 30 celdas completamente disjuntos), pero el de 600 celdas tiene solo 20 anillos de 30 celdas distintos en total. Cada anillo de 30 celdas contiene 3 de los 12 decágonos paralelos de Clifford en cada una de las 5 fibraciones y 30 de los 120 vértices.

En estas rotaciones isoclínicas decagonales , los vértices viajan a lo largo de isoclinas que siguen los bordes de los hexágonos , ^[26] avanzando una distancia pitagórica de un borde de hexágono en cada unidad rotacional doble de 36°×36°. ^[dj] En una rotación isoclínica, cada borde de hexágono sucesivo recorrido se encuentra en un gran hexágono diferente, por lo que la isoclina describe un poligrama oblicuo, no un polígono. En una rotación isoclínica de 60°×60° (como en la rotación hexagonal característica de 24 celdas , y a continuación en las rotaciones hexagonales de 600 celdas) este poligrama es un hexagrama : la rotación isoclínica sigue una trayectoria circular de 6 aristas, tal como lo hace una rotación hexagonal simple, aunque se necesitan dos revoluciones para enumerar todos los vértices en ella, porque la isoclina es un bucle doble que pasa por cada otro vértice, y sus cuerdas son √ 3 cuerdas del hexágono en lugar de √ 1 aristas del hexágono. ^{[dq] Pero en la rotación}decagonal característica de 36°×36° de 600 celdas , los grandes hexágonos sucesivos están más cerca entre sí y son más numerosos, y el poligrama isoclínico formado por sus 15 aristas de hexágono es un pentadecagrama (15-grama). ^[cn] No sólo no es el mismo período que el hexágono o la rotación decagonal simple, ni siquiera es un múltiplo entero del período del hexágono, o del decágono, o de la rotación simple de cualquiera de ellos. Sólo el triacontagrama compuesto {30/4}=2{15/2} (30 gramos), que son dos de 15 gramos que giran en paralelo (uno negro y uno blanco), es un múltiplo de todos ellos, y por lo tanto constituye la unidad rotacional de la rotación isoclínica decagonal. ^[dl]

En el anillo de 30 celdas, los vértices no adyacentes unidos por rotaciones isoclínicas están separados por dos longitudes de arista, con otros tres vértices del anillo que se encuentran entre ellos. ^[ds] Los dos vértices no adyacentes están unidos por una cuerda √ 1 de la isoclina que es una arista de hexágono mayor (una arista de 24 celdas). Las cuerdas √ 1 del anillo de 30 celdas (sin las aristas √ 0.𝚫 de 600 celdas) forman un triacontagrama oblicuo _{{30/4}=2{15/2}} que contiene 2 bucles dobles de Möbius disjuntos {15/2}, un par izquierdo-derecho de isoclinas de pentadecagrama _2. Cada haz izquierdo (o derecho) de 12 fibras pentagonales está atravesado por un haz izquierdo (o derecho) de 8 fibras de pentadecagrama paralelas de Clifford. Cada anillo distinto de 30 células tiene 2 isoclinas de pentadecagrama de doble bucle que recorren sus vértices pares o impares (negros o blancos) respectivamente. ^[cu] Las hélices del pentadecagrama no tienen quiralidad inherente, pero cada una actúa como una isoclina izquierda o derecha en cualquier rotación isoclínica distinta. ^[dk] Las 2 fibras del pentadecagrama pertenecen a los haces de fibras izquierdo y derecho de 5 fibraciones diferentes.

En cada vértice, hay seis grandes decágonos y seis isoclinas pentadecagramo (seis negras o seis blancas) que se cruzan en el vértice. ^[dv] Ocho isoclinas pentadecagramo (cuatro negras y cuatro blancas) comprenden un único haz de fibras derechas (o izquierdas) de isoclinas que cubre los 120 vértices en la rotación isoclínica derecha (o izquierda) distinta. Cada fibración tiene una rotación isoclínica izquierda y derecha única, y haces de fibras izquierdos y derechos únicos correspondientes de 12 pentágonos y 8 isoclinas pentadecagramo. Solo hay 20 isoclinas negras distintas y 20 isoclinas blancas distintas en las 600 celdas. Cada isoclina distinta pertenece a 5 haces de fibras.

Dos isoclinas de doble bucle de 15 gramos son axiales a cada anillo de 30 celdas. Los anillos de 30 celdas son quirales; cada fibración contiene 10 anillos derechos (en espiral en el sentido de las agujas del reloj) y 10 anillos izquierdos (en espiral en el sentido contrario a las agujas del reloj), pero las dos isoclinas en cada anillo de 3 celdas son directamente congruentes. ^[cv] Cada una actúa como una isoclina izquierda (o derecha) con una rotación hacia la izquierda (o hacia la derecha), pero no tiene quiralidad inherente. ^[dk] Los 20 15 gramos izquierdos y 20 derechos de la fibración contienen en total 120 pentagramas abiertos disjuntos (60 izquierdos y 60 derechos), cuyos extremos abiertos son vértices adyacentes de 600 celdas ( separados por una longitud de arista de √ 0,𝚫 ). Las 30 cuerdas que unen los 30 vértices de la isoclina son aristas de hexágono de √ 1 (aristas de 24 celdas), que conectan vértices de 600 celdas que son dos aristas de 600 celdas separadas por √ 0, 𝚫^{en un círculo máximo decágono. [cs]} Estas cuerdas de la isoclina son aristas de hexágono y aristas de pentagrama .

Las 20 isoclinas paralelas de Clifford (ejes de anillo de 30 celdas) de cada fibrado de isoclinas izquierda (o derecha) no se intersecan entre sí. Cualquier rotación isoclínica decagonal distinta (izquierda o derecha) rota los 120 vértices (y las 600 celdas), pero las isoclinas y los pentágonos del pentadecagrama están conectados de manera que los vértices se alternan como 60 vértices negros y 60 blancos (y 300 celdas negras y 300 blancas), como los cuadrados negros y blancos del tablero de ajedrez . ^[du] En el curso de la rotación, los vértices de una isoclina izquierda (o derecha) rotan dentro de la misma isoclina negra (o blanca) de 15 vértices, y las celdas rotan dentro del mismo anillo negro (o blanco) de 30 celdas.

Hexágonos y hexagramas

Las fibraciones de la célula 600 incluyen 10 fibraciones de sus 200 grandes hexágonos: 10 haces de fibras de 20 grandes hexágonos. Los 20 hexágonos paralelos de Clifford en cada haz están completamente disjuntos. Los hexágonos paralelos adyacentes están abarcados por aristas de grandes decágonos. ^[ar] Cada fibración corresponde a una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta de la célula 600 en 20 planos invariantes de grandes hexágonos en isoclinas de 4𝝅.

Cada haz de fibras delinea 20 anillos celulares disjuntos y directamente congruentes de 6 células octaédricas cada uno, con tres anillos celulares anidados juntos alrededor de cada hexágono. El haz de 20 fibras hexagonales paralelas de Clifford se divide en un haz de 20 fibras negras de triángulos mayores √ 3 y un haz de 20 fibras blancas de triángulos mayores, con un triángulo negro y uno blanco inscritos en cada hexágono y 6 triángulos negros y 6 blancos en cada anillo de 6 octaedros. Los triángulos negros o blancos están unidos por tres isoclinas negras o blancas que se cruzan, cada una de las cuales es un tipo especial de círculo máximo helicoidal ^[dq] a través de los vértices correspondientes en 10 triángulos mayores negros (o blancos) paralelos de Clifford. Las 10 cuerdas √ 1.𝚫 de cada isoclina forman un decagrama oblicuo {10/3} , 10 grandes aristas de pentágono unidas de extremo a extremo en un bucle helicoidal, que se enrolla 3 veces alrededor de la celda de 600 a través de las cuatro dimensiones en lugar de permanecer planas en un plano central. Cada par de isoclinas blancas y negras (vértices de grandes hexágonos antípodas que se intersecan) forma un icosagrama compuesto de 20 ágonos {20/6}=2{10/3} .

Nótese la relación entre la rotación característica de la celda de 24 en los grandes planos invariantes del hexágono (en las isoclinas del hexagrama) y la propia versión de la celda de 600 de la rotación de los grandes planos del hexágono (en las isoclinas del decagrama). Son exactamente la misma rotación isoclínica: tienen la misma isoclina. Tienen diferentes números de la misma isoclina, y la cuerda de la isoclina √ 1.𝚫 de la celda de 600 es más corta que la cuerda de la isoclina √ 3 de la celda de 24 porque la isoclina interseca más vértices en la celda de 600 (10) que en la de 24 (6), pero ambos poligramas de Clifford tienen una circunferencia de 4𝝅. ^[dp] Tienen diferentes poligramas de isoclina solo porque la curva de la isoclina interseca más vértices en la celda de 600 que en la de 24. ^[día]

Cuadrados y octagramas

Las fibraciones de la célula 600 incluyen 15 fibraciones de sus 450 grandes cuadrados: 15 haces de fibras de 30 grandes cuadrados. Los 30 cuadrados paralelos de Clifford en cada haz están completamente disjuntos. Los cuadrados paralelos adyacentes están abarcados por aristas de grandes decágonos. ^[as] Cada fibración corresponde a una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta de la célula 600 en 30 planos invariantes de grandes cuadrados (15 pares completamente ortogonales) en isoclinas de 4𝝅.

Cada haz de fibras delinea 30 anillos celulares quirales de 8 celdas tetraédricas cada uno, ^[ax] con un anillo celular izquierdo y derecho anidados juntos para llenar cada una de las 15 celdas disjuntas de 16 inscritas en la celda de 600. Axial a cada anillo de 8 tetraedros hay un tipo especial de gran círculo helicoidal, una isoclina. ^[ao] En una rotación isoclínica izquierda (o derecha) de la celda de 600 en planos invariantes de gran cuadrado, todos los vértices circulan en una de las 15 isoclinas paralelas de Clifford.

Los 30 cuadrados paralelos de Clifford en cada haz están unidos por cuatro isoclinas de 24 gramos paralelas de Clifford (una a través de cada vértice), cada una de las cuales interseca un vértice en 24 de los 30 cuadrados, y los 24 vértices de solo una de las 25 celdas de 24 de las 600 celdas. Cada isoclina es un circuito de 24 gramos que interseca las 25 celdas de 24, 24 de ellas solo una vez y una de ellas 24 veces. Los 24 vértices en cada isoclina de 24 gramos comprenden una única celda de 24; hay 25 isoclinas distintas de este tipo en las 600 celdas. Cada isoclina es una cuerda de 24 gramos torcida {24/5}, 24 φ = √ 2.𝚽 unidas de extremo a extremo en un bucle helicoidal, que se enrolla 5 veces alrededor de una celda de 24 a través de las cuatro dimensiones en lugar de permanecer plana en un plano central. Los vértices adyacentes de la celda de 24 están separados por una cuerda de √ 1 y por 5 cuerdas de φ en su isoclina. Una rotación isoclínica hacia la izquierda (o hacia la derecha) a través de 720° lleva cada celda de 24 a través de cada otra celda de 24.

Nótese las relaciones entre la rotación de la celda 16 de sólo 2 grandes planos cuadrados invariantes , la rotación de la celda 24 en 6 grandes cuadrados paralelos de Clifford , y esta rotación de la celda 600 en 30 grandes cuadrados paralelos de Clifford. Estas tres rotaciones son la misma rotación, teniendo lugar exactamente en el mismo tipo de círculos isoclinas, que intersecan más vértices en la celda 600 (24) que en la celda 16 (8). ^[dz] En la rotación de la celda 16 la distancia entre vértices en una curva isoclina es el diámetro √ 4. En la celda 600 los vértices están más cerca entre sí, y su √ 2.𝚽 = φ cuerda es la distancia entre vértices adyacentes en la misma isoclina, pero todas estas isoclinas tienen una circunferencia 4𝝅.

Como configuración

Esta matriz de configuración ^[87] representa las 600 celdas. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada tipo se encuentran en las 600 celdas. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en su interior.

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}120&12&30&20\\2&720&5&5\\3&3&1200&2\\4&6&4&600\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Aquí se muestra la configuración ampliada con elementos de k -caras y k -figuras. Los recuentos de elementos diagonales son la relación entre el orden completo del grupo de Coxeter , 14400, dividido por el orden del subgrupo con eliminación del espejo.

Simetrías

Los icosianos son un conjunto específico de cuaterniones hamiltonianos con la misma simetría que las 600 celdas. ^[88] Los icosianos se encuentran en el campo áureo , ( a + b √ 5 ) + ( c + d √ 5 ) i + ( e + f √ 5 ) j + ( g + h √ 5 ) k , donde las ocho variables son números racionales . ^[89] Las sumas finitas de los icosianos de 120 unidades se denominan anillo icosiano .

Cuando se interpretan como cuaterniones , ^[b] los 120 vértices de la celda 600 forman un grupo bajo multiplicación cuaterniónica. Este grupo a menudo se denomina grupo icosaédrico binario y se denota por 2I ya que es la doble cubierta del grupo icosaédrico ordinario I. ^[90] Aparece dos veces en el grupo de simetría rotacional RSG de la celda 600 como un subgrupo invariante , a saber, como el subgrupo 2I _L de multiplicaciones por la izquierda de cuaterniones y como el subgrupo 2I _R de multiplicaciones por la derecha de cuaterniones. Cada simetría rotacional de la celda 600 es generada por elementos específicos de 2I _L y 2I _R ; el par de elementos opuestos genera el mismo elemento de RSG . El centro de RSG consiste en la no rotación Id y la inversión central −Id . Tenemos el isomorfismo RSG ≅ (2I _L × 2I _R ) / {Id, -Id} . El orden de RSG es igual a ⁠120 × 120/2⁠ = 7200. Mebius describe el álgebra de cuaterniones como una herramienta para el tratamiento de rotaciones 3D y 4D, y como un camino hacia la comprensión completa de la teoría de rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones . ^[91]

El grupo icosaédrico binario es isomorfo a SL(2,5) .

El grupo de simetría completo de la celda 600 es el grupo de Coxeter H ₄ . ^[92] Este es un grupo de orden 14400. Consta de 7200 rotaciones y 7200 rotaciones-reflexiones. Las rotaciones forman un subgrupo invariante del grupo de simetría completo. El grupo de simetría rotacional fue descrito por primera vez por SL van Oss. ^[93] El grupo H ₄ y su construcción mediante álgebra de Clifford a partir de grupos de simetría tridimensionales por inducción es descrito por Dechant. ^[94]

Visualización

Las simetrías de la superficie 3-D de la celda 600 son algo difíciles de visualizar debido tanto a la gran cantidad de celdas tetraédricas, ^[v] como al hecho de que el tetraedro no tiene caras opuestas ni vértices. ^[az] Se puede empezar por darse cuenta de que la celda 600 es el dual de la celda 120. También se puede notar que la celda 600 también contiene los vértices de un dodecaedro, ^[44] que con algo de esfuerzo se puede ver en la mayoría de las proyecciones en perspectiva a continuación.

Proyecciones 2D

La proyección decagonal H3 muestra el plano del polígono de van Oss .

Proyecciones 3D

Un modelo tridimensional de la celda de 600, en la colección del Instituto Henri Poincaré , fue fotografiado en 1934-1935 por Man Ray , y formó parte de dos de sus pinturas posteriores "Ecuación de Shakespeare". ^[95]

600 células disminuidas

La celda snub de 24 se puede obtener a partir de la celda 600 eliminando los vértices de una celda 24 inscrita y tomando la envoltura convexa de los vértices restantes. ^[96] Este proceso es una disminución de la celda 600.

El gran antiprisma se puede obtener mediante otra disminución de las 600 celdas: eliminando 20 vértices que se encuentran en dos anillos mutuamente ortogonales y tomando la envoltura convexa de los vértices restantes. ^[59]

A un 600-cell bi-24-disminuido, con todas las celdas icosaédricas tri-disminuidas , se le han quitado 48 vértices, lo que deja 72 de los 120 vértices del 600-cell. El dual de un 600-cell bi-24-disminuido es un 600-cell tri-24-disminuido, con 48 vértices y 72 celdas hexaédricas.

En total, hay 314.248.344 disminuciones de la celda de 600 por vértices no adyacentes. Todas ellas consisten en celdas tetraédricas e icosaédricas regulares. ^[97]

Politopos y panales relacionados

La celda 600 es uno de los 15 politopos regulares y uniformes con la misma simetría H ₄ [3,3,5]: ^[11]

Es similar a tres 4-politopos regulares : el de 5 celdas {3,3,3}, el de 16 celdas {3,3,4} del 4-espacio euclidiano y el panal tetraédrico de orden 6 {3,3,6} del espacio hiperbólico. Todos ellos tienen celdas tetraédricas .

Este 4-politopo es parte de una secuencia de 4-politopos y panales con figuras de vértice icosaédricas :

Los polígonos complejos regulares ₃ {5} ₃ ,y ₅ {3} ₅ ,, tienen una representación real como 600 celdas en un espacio de 4 dimensiones. Ambos tienen 120 vértices y 120 aristas. El primero tiene un grupo de reflexión complejo ₃ [5] ₃ , orden 360, y el segundo tiene simetría ₅ [3] ₅ , orden 600. ^[98] $\mathbb {C} ^{2}$

Véase también

24-cell, the predecessor 4-polytope on which the 600-cell is based
120-cell, the dual 4-polytope to the 600-cell, and its successor
Uniform 4-polytope family with [5,3,3] symmetry
Regular 4-polytope
Polytope

Notes

^ a b c The convex regular 4-polytopes can be ordered by size as a measure of 4-dimensional content (hypervolume) for the same radius. This is their proper order of enumeration, the order in which they nest inside each other as compounds.^[3] Each greater polytope in the sequence is rounder than its predecessor, enclosing more content^[4] within the same radius. The 4-simplex (5-cell) is the limit smallest case, and the 120-cell is the largest. Complexity (as measured by comparing configuration matrices or simply the number of vertices) follows the same ordering. This provides an alternative numerical naming scheme for regular polytopes in which the 600-cell is the 120-point 4-polytope: fifth in the ascending sequence that runs from 5-point 4-polytope to 600-point 4-polytope.
^ a b In four-dimensional Euclidean geometry, a quaternion is simply a (w, x, y, z) Cartesian coordinate.
^ a b c
Vertex geometry of the radially equilateral 24-cell, showing the 3 great circle polygons and the 4 vertex-to-vertex chord lengths.
The 600-cell geometry is based on the 24-cell.
The 600-cell rounds out the 24-cell with 2 more great circle polygons (exterior decagon and interior pentagon), adding 4 more chord lengths which alternate with the 24-cell's 4 chord lengths.
^ a b c d e f A 24-cell contains 16 hexagons. In the 600-cell, with 25 24-cells, each 24-cell is disjoint from 8 24-cells and intersects each of the other 16 24-cells in six vertices that form a hexagon.^[12] A 600-cell contains 25・16/2 = 200 such hexagons.
^ In cases where inscribed 4-polytopes of the same kind occupy disjoint sets of vertices (such as the two 16-cells inscribed in the tesseract, or the three 16-cells inscribed in the 24-cell), their sets of vertex chords, central polygons and cells must likewise be disjoint. In the cases where they share vertices (such as the three tesseracts inscribed in the 24-cell, or the 25 24-cells inscribed in the 600-cell), they also share some vertex chords and central polygons.^[d]
^ a b c d e The 600-cell contains exactly 25 24-cells, 75 16-cells and 75 8-cells, with each 16-cell and each 8-cell lying in just one 24-cell.^[21]
^ a b c d e f g Polytopes are completely disjoint if all their element sets are disjoint: they do not share any vertices, edges, faces or cells. They may still overlap in space, sharing 4-content, volume, area, or lineage.
^ Each of the 25 24-cells of the 600-cell contains exactly one vertex of each great pentagon.^[12]Six pentagons intersect at each 600-cell vertex, so each 24-cell intersects all 144 great pentagons.
^ a b c d e f Five 24-cells meet at each icosahedral pyramid apex^[p] of the 600-cell. Each 24-cell shares not just one vertex but 6 vertices (one of its four hexagonal central planes) with each of the other four 24-cells.^[d]
^ a b c Schoute was the first to state (a century ago) that there are exactly ten ways to partition the 120 vertices of the 600-cell into five disjoint 24-cells. The 25 24-cells can be placed in a 5 x 5 array such that each row and each column of the array partitions the 120 vertices of the 600-cell into five disjoint 24-cells. The rows and columns of the array are the only ten such partitions of the 600-cell.^[21]
^ a b c d e The 600-cell contains 25 distinct 24-cells, bound to each other by pentagonal rings. Each pentagon links five completely disjoint^[g] 24-cells together, the collective vertices of which are the 120 vertices of the 600-cell. Each 24-point 24-cell contains one fifth of all the vertices in the 120-point 600-cell, and is linked to the other 96 vertices (which comprise a snub 24-cell) by the 600-cell's 144 pentagons. Each of the 25 24-cells intersects each of the 144 great pentagons at just one vertex.^[h]Five 24-cells meet at each 600-cell vertex,^[i] so all 25 24-cells are linked by each great pentagon. The 600-cell can be partitioned into five disjoint 24-cells (10 different ways),^[j] and also into 24 disjoint pentagons (inscribed in the 12 Clifford parallel great decagons of one of the 6 decagonal fibrations) by choosing a pentagon from the same fibration at each 24-cell vertex.
^ The angles 𝜉_i and 𝜉_j are angles of rotation in the two completely orthogonal invariant planes which characterize rotations in 4-dimensional Euclidean space. The angle 𝜂 is the inclination of both these planes from the polar axis, where 𝜂 ranges from 0 to ⁠𝜋/2⁠. The (𝜉_i, 0, 𝜉_j) coordinates describe the great circles which intersect at the north and south pole ("lines of longitude"). The (𝜉_i, ⁠𝜋/2⁠, 𝜉_j) coordinates describe the great circles orthogonal to longitude ("equators"); there is more than one "equator" great circle in a 4-polytope, as the equator of a 3-sphere is a whole 2-sphere of great circles. The other Hopf coordinates (𝜉_i, 0 < 𝜂 < ⁠𝜋/2⁠, 𝜉_j) describe the great circles (not "lines of latitude") which cross an equator but do not pass through the north or south pole.
^ The conversion from Hopf coordinates (𝜉_i, 𝜂, 𝜉_j) to unit-radius Cartesian coordinates (w, x, y, z) is:
w = cos 𝜉_i sin 𝜂
x = cos 𝜉_j cos 𝜂
y = sin 𝜉_j cos 𝜂
z = sin 𝜉_i sin 𝜂
The Hopf origin pole (0, 0, 0) is Cartesian (0, 1, 0, 0). The conventional "north pole" of Cartesian standard orientation is (0, 0, 1, 0), which is Hopf (⁠𝜋/2⁠, ⁠𝜋/2⁠, ⁠𝜋/2⁠). Cartesian (1, 0, 0, 0) is Hopf (0, ⁠𝜋/2⁠, 0).
^ The Hopf coordinates are triples of three angles:
(𝜉_i, 𝜂, 𝜉_j)
that parameterize the 3-sphere by numbering points along its great circles. A Hopf coordinate describes a point as a rotation from a polar point (0, 0, 0).^[l]Hopf coordinates are a natural alternative to Cartesian coordinates^[m] for framing regular convex 4-polytopes, because the group of 4-dimensional rotations, denoted SO(4), generates those polytopes.
^ There are 600 permutations of these coordinates, but there are only 120 vertices in the 600-cell. These are actually the Hopf coordinates of the vertices of the 120-cell, which has 600 vertices and can be seen (two different ways) as a compound of 5 disjoint 600-cells.
^ a b c d e f g h i In the curved 3-dimensional space of the 600-cell's boundary surface, at each vertex one finds the twelve nearest other vertices surrounding the vertex the way an icosahedron's vertices surround its center. Twelve 600-cell edges converge at the icosahedron's center, where they appear to form six straight lines which cross there. However, the center is actually displaced in the 4th dimension (radially outward from the center of the 600-cell), out of the hyperplane defined by the icosahedron's vertices. Thus the vertex icosahedron is actually a canonical icosahedral pyramid,^[bj] composed of 20 regular tetrahedra on a regular icosahedron base, and the vertex is its apex.^[bk]
^ a b c The fractional-root golden chords are irrational fractions that are functions of √5. They exemplify that the golden ratio φ = ⁠1 + √5/2⁠ ≈ 1.618 is a circle ratio related to 𝜋:^[20]
⁠𝜋/5⁠ = arccos (⁠φ/2⁠)
is one decagon edge, the 𝚽 = √0.𝚫 = √0.382~ ≈ 0.618 chord. Reciprocally, in this function discovered by Robert Everest expressing φ as a function of 𝜋 and the numbers 1, 2, 3 and 5 of the Fibonacci series:
φ = 1 – 2 cos (⁠3𝜋/5⁠)
⁠3𝜋/5⁠ is the arc length of the φ = √2.𝚽 = √2.618~ ≈ 1.618 chord.
^ a b The 600-cell edges are decagon edges of length √0.𝚫, which is 𝚽, the smaller golden section of √5; the edges are in the inverse golden ratio ⁠1/φ⁠ to the √1 hexagon chords (the 24-cell edges). The other fractional-root chords exhibit golden relationships as well. The chord of length √1.𝚫 is a pentagon edge. The next fractional-root chord is a decagon diagonal of length √2.𝚽 which is φ, the larger golden section of √5; it is in the golden ratio^[q] to the √1 chord (and the radius).^[t]The last fractional-root chord is the pentagon diagonal of length √3.𝚽. The diagonal of a regular pentagon is always in the golden ratio to its edge, and indeed φ√1.𝚫 is √3.𝚽.
^ The fractional square roots are given as decimal fractions where:
𝚽 ≈ 0.618 is the inverse golden ratio ${\tfrac {1}{\phi }}=\phi ^{-1}$
𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽² ≈ 0.382
For example:
𝚽 = √0.𝚫 = √0.382~ ≈ 0.618
^ Notice in the diagram how the φ chord (the larger golden section) sums with the adjacent 𝚽 edge (the smaller golden section) to √5, as if together they were a √5 chord bent to fit inside the √4 diameter.
^ a b Consider one of the 24-vertex 24-cells inscribed in the 120-vertex 600-cell. The other 96 vertices constitute a snub 24-cell. Removing any one 24-cell from the 600-cell produces a snub 24-cell.
^ a b c Each tetrahedral cell touches, in some manner, 56 other cells. One cell contacts each of the four faces; two cells contact each of the six edges, but not a face; and ten cells contact each of the four vertices, but not a face or edge.
^ The long radius (center to vertex) of the 24-cell is equal to its edge length; thus its long diameter (vertex to opposite vertex) is 2 edge lengths. Only a few uniform polytopes have this property, including the four-dimensional 24-cell and tesseract, the three-dimensional cuboctahedron, and the two-dimensional hexagon. (The cuboctahedron is the equatorial cross section of the 24-cell, and the hexagon is the equatorial cross section of the cuboctahedron.) Radially equilateral polytopes are those which can be constructed, with their long radii, from equilateral triangles which meet at the center of the polytope, each contributing two radii and an edge.
^ a b An orthoscheme is a chiral irregular simplex with right triangle faces that is characteristic of some polytope if it will exactly fill that polytope with the reflections of itself in its own facets (its mirror walls). Every regular polytope can be dissected radially into instances of its characteristic orthoscheme surrounding its center. The characteristic orthoscheme has the shape described by the same Coxeter-Dynkin diagram as the regular polytope without the generating point ring.
^ The orthoscheme is the generalization of the right triangle to simplex figures of any number of dimensions. Every regular polytope can be radially subdivided into identical characteristic orthoschemes which meet at its center.^[x]
^ All polytopes can be radially triangulated into triangles which meet at their center, each triangle contributing two radii and one edge. There are (at least) three special classes of polytopes which are radially triangular by a special kind of triangle. The radially equilateral polytopes can be constructed from identical equilateral triangles which all meet at the center.^[w] The radially golden polytopes can be constructed from identical golden triangles which all meet at the center. All the regular polytopes are radially right polytopes which can be constructed, with their various element centers and radii, from identical characteristic orthoschemes which all meet at the center, subdividing the regular polytope into characteristic right triangles which meet at the center.^[y]
^ The long radius (center to vertex) of the 600-cell is in the golden ratio to its edge length; thus its radius is φ if its edge length is 1, and its edge length is ⁠1/φ⁠ if its radius is 1.
^ a b Beginning with the 16-cell, every regular convex 4-polytope in the unit-radius sequence is inscribed in its successor.^[6]Therefore the successor may be constructed by placing 4-pyramids of some kind on the cells of its predecessor. Between the 16-cell and the tesseract, we have 16 right tetrahedral pyramids, with their apexes filling the corners of the tesseract. Between the tesseract and the 24-cell, we have 8 canonical cubic pyramids. But if we place 24 canonical octahedral pyramids on the 24-cell, we only get another tesseract (of twice the radius and edge length), not the successor 600-cell. Between the 24-cell and the 600-cell there must be 24 smaller, irregular 4-pyramids on a regular octahedral base.
^ a b c d e The six great decagons which pass by each tetrahedral cell along its edges do not all intersect with each other, because the 6 edges of the tetrahedron do not all share a vertex. Each decagon intersects four of the others (at 60 degrees), but just misses one of the others as they run past each other (at 90 degrees) along the opposite and perpendicular skew edges of the tetrahedron. Each tetrahedron links three pairs of decagons which do not intersect at a vertex of the tetrahedron. However, none of the six decagons are Clifford parallel;^[af] each belongs to a different Hopf fiber bundle of 12. Only one of the tetrahedron's six edges may be part of a helix in any one Boerdijk–Coxeter triple helix ring.^[ad]Incidentally, this footnote is one of a tetrahedron of four footnotes about Clifford parallel decagons^[ae] that all reference each other.
^ a b c d e f g h i j k Since tetrahedra^[ac] do not have opposing faces, the only way they can be stacked face-to-face in a straight line is in the form of a twisted chain called a Boerdijk-Coxeter helix. This is a Clifford parallel^[af] triple helix as shown in the illustration. In the 600-cell we find them bent in the fourth dimension into geodesic rings. Each ring has 30 cells and touches 30 vertices. The cells are each face-bonded to two adjacent cells, but one of the six edges of each tetrahedron belongs only to that cell, and these 30 edges form 3 Clifford parallel great decagons which spiral around each other.^[ae]5 30-cell rings meet at and spiral around each decagon (as 5 tetrahedra meet at each edge). A bundle of 20 such cell-disjoint rings fills the entire 600-cell, thus constituting a discrete Hopf fibration. There are 6 distinct such Hopf fibrations, covering the same space but running in different "directions".
^ a b c d e f g Two Clifford parallel^[af] great decagons don't intersect, but their corresponding vertices are linked by one edge of another decagon. The two parallel decagons and the ten linking edges form a double helix ring. Three decagons can also be parallel (decagons come in parallel fiber bundles of 12) and three of them may form a triple helix ring. If the ring is cut and laid out flat in 3-space, it is a Boerdijk–Coxeter helix^[ad] 30 tetrahedra^[ac] long. The three Clifford parallel decagons can be seen as the cyan edges in the triple helix illustration. Each magenta edge is one edge of another decagon linking two parallel decagons.
^ a b c d e f g h i j k l m n o p
Two Clifford parallel great circles spanned by a twisted annulus.
Clifford parallels are non-intersecting curved lines that are parallel in the sense that the perpendicular (shortest) distance between them is the same at each point. A double helix is an example of Clifford parallelism in ordinary 3-dimensional Euclidean space. In 4-space Clifford parallels occur as geodesic great circles on the 3-sphere.^[23] Whereas in 3-dimensional space, any two geodesic great circles on the 2-sphere will always intersect at two antipodal points, in 4-dimensional space not all great circles intersect; various sets of Clifford parallel non-intersecting geodesic great circles can be found on the 3-sphere. They spiral around each other in Hopf fiber bundles which, in the 600-cell, visit all 120 vertices just once. For example, each of the 600 tetrahedra participates in 6 great decagons^[ac] belonging to 6 discrete Hopf fibrations, each filling the whole 600-cell. Each fibration is a bundle of 12 Clifford parallel decagons which form 20 cell-disjoint intertwining rings of 30 tetrahedral cells,^[ad] each bounded by three of the 12 great decagons.^[ae]
^ The 10 hexagons which cross at each vertex lie along the 20 short radii of the icosahedral vertex figure.^[p]
^ a b The 25 inscribed 24-cells each have 3 inscribed tesseracts, which each have 8 √1 cubic cells. The 1200 √3 chords are the 4 long diameters of these 600 cubes. The three tesseracts in each 24-cell overlap, and each √3 chord is a long diameter of two different cubes, in two different tesseracts, in two different 24-cells. Each cube belongs to just one tesseract in just one 24-cell.
^ The sum of 0.𝚫・720 + 1・1200 + 1.𝚫・720 + 2・1800 + 2.𝚽・720 + 3・1200 + 3.𝚽・720 + 4・60 is 14,400.
^ The sum of the squared lengths of all the distinct chords of any regular convex n-polytope of unit radius is the square of the number of vertices.^[28]
^ A triacontagon or 30-gon is a thirty-sided polygon. The triacontagon is the largest regular polygon whose interior angle is the sum of the interior angles of smaller polygons: 168° is the sum of the interior angles of the equilateral triangle (60°) and the regular pentagon (108°).
^ a b c The 600-cell has 72 great 30-gons: 6 sets of 12 Clifford parallel 30-gon central planes, each completely orthogonal to a decagon central plane. Unlike the great circles of the unit-radius 600-cell that pass through its vertices, this 30-gon is not actually a great circle of the unit-radius 3-sphere. Because it passes through face centers rather than vertices, it has a shorter radius and lies on a smaller 3-sphere. Of course, there is also a unit-radius great circle in this central plane completely orthogonal to a decagon central plane, but as a great circle polygon it is a 0-gon, not a 30-gon, because it intersects none of the points of the 600-cell. In the 600-cell, the great circle polygon completely orthogonal to each great decagon is a 0-gon.
^ a b The 30 vertices and 30 edges of the 30-cell ring lie on a skew {30/11} star polygon with a winding number of 11 called a triacontagram₁₁, a continuous tight corkscrew helix bent into a loop of 30 edges (the magenta edges in the triple helix illustration), which winds 11 times around itself in the course of a single revolution around the 600-cell, accompanied by a single 360 degree twist of the 30-cell ring.^[34] The same 30-cell ring can also be characterized as the Petrie polygon of the 600-cell.^[cf]
^ a b c d e f Each great decagon central plane is completely orthogonal to a great 30-gon^[ak] central plane which does not intersect any vertices of the 600-cell. The 72 30-gons are each the center axis of a 30-cell Boerdijk–Coxeter triple helix ring,^[ad] with each segment of the 30-gon passing through a tetrahedron similarly. The 30-gon great circle resides completely in the curved 3-dimensional surface of its 3-sphere;^[al] its curved segments are not chords. It does not touch any edges or vertices, but it does hit faces. It is the central axis of a spiral skew 30-gram, the Petrie polygon of the 600-cell which links all 30 vertices of the 30-cell Boerdijk–Coxeter helix, with three of its edges in each cell.^[am]
^ a b c d e f g h i j k l m n A point under isoclinic rotation traverses the diagonal^[cr] straight line of a single isoclinic geodesic, reaching its destination directly, instead of the bent line of two successive simple geodesics. A geodesic is the shortest path through a space (intuitively, a string pulled taught between two points). Simple geodesics are great circles lying in a central plane (the only kind of geodesics that occur in 3-space on the 2-sphere). Isoclinic geodesics are different: they do not lie in a single plane; they are 4-dimensional spirals rather than simple 2-dimensional circles.^[bf]But they are not like 3-dimensional screw threads either, because they form a closed loop like any circle.^[cs]Isoclinic geodesics are 4-dimensional great circles, and they are just as circular as 2-dimensional circles: in fact, twice as circular, because they curve in a circle in two completely orthogonal directions at once.^[ch]They are true circles,^[cn] and even form fibrations like ordinary 2-dimensional great circles. These isoclines are geodesic 1-dimensional lines embedded in a 4-dimensional space. On the 3-sphere^[ct] they always occur in chiral pairs as Villarceau circles on the Clifford torus,^[cw] the geodesic paths traversed by vertices in an isoclinic rotation. They are helices bent into a Möbius loop in the fourth dimension, taking a diagonal winding route around the 3-sphere through the non-adjacent vertices of a 4-polytope's skew Clifford polygon.^[cv]
^ a b c d e In 4-space no more than 4 great circles may be Clifford parallel^[af] and all the same angular distance apart.^[30]Such central planes are mutually isoclinic: each pair of planes is separated by two equal angles, and an isoclinic rotation by that angle will bring them together. Where three or four such planes are all separated by the same angle, they are called equi-isoclinic.
^ a b c The decagonal planes in the 600-cell occur in equi-isoclinic^[ap] groups of 3, everywhere that 3 Clifford parallel decagons 36° (⁠𝝅/5⁠) apart form a 30-cell Boerdijk–Coxeter triple helix ring.^[ad]Also Clifford parallel to those 3 decagons are 3 equi-isoclinic decagons 72° (⁠2𝝅/5⁠) apart, 3 108° (⁠3𝝅/5⁠) apart, and 3 144° (⁠4𝝅/5⁠) apart, for a total of 12 Clifford parallel decagons (120 vertices) that comprise a discrete Hopf fibration. Because the great decagons lie in isoclinic planes separated by two equal angles, their corresponding vertices are separated by a combined vector relative to both angles. Vectors in 4-space may be combined by quaternionic multiplication, discovered by Hamilton.^[31]The corresponding vertices of two great polygons which are 36° (⁠𝝅/5⁠) apart by isoclinic rotation are 60° (⁠𝝅/3⁠) apart in 4-space. The corresponding vertices of two great polygons which are 108° (⁠3𝝅/5⁠) apart by isoclinic rotation are also 60° (⁠𝝅/3⁠) apart in 4-space. The corresponding vertices of two great polygons which are 72° (⁠2𝝅/5⁠) apart by isoclinic rotation are 120° (⁠2𝝅/3⁠) apart in 4-space, and the corresponding vertices of two great polygons which are 144° (⁠4𝝅/5⁠) apart by isoclinic rotation are also 120° (⁠2𝝅/3⁠) apart in 4-space.
^ a b c The hexagonal planes in the 600-cell occur in equi-isoclinic^[ap] groups of 4, everywhere that 4 Clifford parallel hexagons 60° (⁠𝝅/3⁠) apart form a 24-cell. Also Clifford parallel to those 4 hexagons are 4 equi-isoclinic hexagons 36° (⁠𝝅/5⁠) apart, 4 72° (⁠2𝝅/5⁠) apart, 4 108° (⁠3𝝅/5⁠) apart, and 4 144° (⁠4𝝅/5⁠) apart, for a total of 20 Clifford parallel hexagons (120 vertices) that comprise a discrete Hopf fibration.
^ a b c The square planes in the 600-cell occur in equi-isoclinic^[ap] groups of 2, everywhere that 2 Clifford parallel squares 90° (⁠𝝅/2⁠) apart form a 16-cell. Also Clifford parallel to those 2 squares are 4 equi-isoclinic groups of 4, where 3 Clifford parallel 16-cells 60° (⁠𝝅/3⁠) apart form a 24-cell. Also Clifford parallel are 4 equi-isoclinic groups of 3: 3 36° (⁠𝝅/5⁠) apart, 3 72° (⁠2𝝅/5⁠) apart, 3 108° (⁠3𝝅/5⁠) apart, and 3 144° (⁠4𝝅/5⁠) apart, for a total of 30 Clifford parallel squares (120 vertices) that comprise a discrete Hopf fibration.
^ a b c d e Two angles are required to fix the relative positions of two planes in 4-space.^[29]Since all planes in the same hyperplane are 0 degrees apart in one of the two angles, only one angle is required in 3-space. Great decagons are a multiple (from 0 to 4) of 36° (⁠𝝅/5⁠) apart in each angle, and may be the same angle apart in both angles.^[aq]Great hexagons may be 60° (⁠𝝅/3⁠) apart in one or both angles, and may be a multiple (from 0 to 4) of 36° (⁠𝝅/5⁠) apart in one or both angles.^[ar]Great squares may be 90° (⁠𝝅/2⁠) apart in one or both angles, may be 60° (⁠𝝅/3⁠) apart in one or both angles, and may be a multiple (from 0 to 4) of 36° (⁠𝝅/5⁠) apart in one or both angles.^[as]Planes which are separated by two equal angles are called isoclinic.^[ap]Planes which are isoclinic have Clifford parallel great circles.^[af]A great hexagon and a great decagon may be isoclinic, but more often they are separated by a ⁠𝝅/3⁠ (60°) angle and a multiple (from 1 to 4) of ⁠𝝅/5⁠ (36°) angle.
^ a b c d In the 24-cell each great square plane is completely orthogonal to another great square plane, and each great hexagon plane is completely orthogonal to a plane which intersects only two antipodal vertices: a great digon plane.
^ a b c d e Each Hopf fibration of the 3-sphere into Clifford parallel great circle fibers has a map (called its base) which is an ordinary 2-sphere.^[42]On this map each great circle fiber appears as a single point. The base of a great decagon fibration of the 600-cell is the icosahedron, in which each vertex represents one of the 12 great decagons.^[24]To a toplogist the base is not necessarily any part of the thing it maps: the base icosahedron is not expected to be a cell or interior feature of the 600-cell, it is merely the dimensionally analogous sphere,^[bc] useful for reasoning about the fibration. But in fact the 600-cell does have icosahedra in it: 120 icosahedral vertex figures,^[p] any of which can be seen as its base: a 3-dimensional 1:10 scale model of the whole 4-dimensional 600-cell. Each 3-dimensional vertex icosahedron is lifted to the 4-dimensional 600-cell by a 720 degree isoclinic rotation,^[ao] which takes each of its 4 disjoint triangular faces in a circuit around one of 4 disjoint 30-vertex rings of 30 tetrahedral cells (each braided of 3 Clifford parallel great decagons), and so visits all 120 vertices of the 600-cell. Since the 12 decagonal great circles (of the 4 rings) are Clifford parallel decagons of the same fibration, we can see geometrically how the icosahedron works as a map of a Hopf fibration of the entire 600-cell, and how the Hopf fibration is an expression of an isoclinic symmetry.^[43]
^ a b The regular skew 30-gon is the Petrie polygon of the 600-cell and its dual the 120-cell. The Petrie polygons of the 120-cell occur in the 600-cell as duals of the 30-cell Boerdijk–Coxeter helix rings: connecting their 30 cell centers together produces the Petrie polygons of the dual 120-cell, as noticed by Rolfdieter Frank (circa 2001). Thus he discovered that the vertex set of the 120-cell partitions into 20 non-intersecting Petrie polygons. This set of 20 disjoint Clifford parallel skew polygons is a discrete Hopf fibration of the 120-cell (just as their 20 dual 30-cell rings are a discrete fibration of the 600-cell).
^ a b c These are the √2 tetrahedral cells of the 75 inscribed 16-cells, not the √0.𝚫 tetrahedral cells of the 600-cell.
^ a b ‟The Petrie polygons of the Platonic solid $\{p,q\}$ correspond to equatorial polygons of the truncation $\{{\tfrac {p}{q}}\}$ and to equators of the simplicially subdivided spherical tessellation $\{p,q\}$ . This "simplicial subdivision" is the arrangement of $g=g_{p,q}$ right-angled spherical triangles into which the sphere is decomposed by the planes of symmetry of the solid. The great circles that lie in these planes were formerly called "lines of symmetry", but perhaps a more vivid name is reflecting circles. The analogous simplicial subdivision of the spherical honeycomb $\{p,q,r\}$ consists of the $g=g_{p,q,r}$ tetrahedra 0123 into which a hypersphere (in Euclidean 4-space) is decomposed by the hyperplanes of symmetry of the polytope $\{p,q,r\}$ . The great spheres which lie in these hyperplanes are naturally called reflecting spheres. Since the orthoscheme has no obtuse angles, it entirely contains the arc that measures the absolutely shortest distance 𝝅/h [between the] 2h tetrahedra [that] are strung like beads on a necklace, or like a "rotating ring of tetrahedra" ... whose opposite edges are generators of a helicoid. The two opposite edges of each tetrahedron are related by a screw-displacement.^[bo] Hence the total number of spheres is 2h.”^[66]
^ a b c The fibration's Clifford parallel cell rings may or may not be chiral objects, depending upon whether the 4-polytope's cells have opposing faces or not. The characteristic cell rings of the 16-cell and 600-cell (with tetrahedral cells) are chiral: they twist either clockwise or counterclockwise. Isoclines acting with either left or right chirality (not both) run through cell rings of this kind, though each fibration contains both left and right cell rings.^[dk]The characteristic cell rings of the tesseract, 24-cell and 120-cell (with cubical, octahedral, and dodecahedral cells respectively) are directly congruent, not chiral: there is only one kind of characteristic cell ring in each of these 4-polytopes, and it is not twisted (it has no torsion). Pairs of left-handed and right-handed isoclines run through cell rings of this kind. Note that all these 4-polytopes (except the 16-cell) contain fibrations of their inscribed predecessors' characteristic cell rings in addition to their own characteristic fibrations, so the 600-cell contains both chiral and directly congruent cell rings.
^ a b The choice of a partitioning of a regular 4-polytope into cell rings is arbitrary, because all of its cells are identical. No particular fibration is distinguished, unless the 4-polytope is rotating. In isoclinic rotations, one set of cell rings (one fibration) is distinguished as the unique container of that distinct left-right pair of rotations and its isoclines.
^ a b The only way to partition the 120 vertices of the 600-cell into 4 completely disjoint 30-vertex, 30-cell rings^[ad] is by partitioning each of 15 completely disjoint 16-cells similarly into 4 symmetric parts: 4 antipodal vertex pairs lying on the 4 orthogonal axes of the 16-cell. The 600-cell contains 75 distinct 16-cells which can be partitioned into sets of 15 completely disjoint 16-cells. In any set of 4 completely disjoint 30-cell rings, there is a set of 15 completely disjoint 16-cells, with one axis of each 16-cell in each 30-cell ring.
^ a b c d e f One might ask whether dimensional analogy "always works", or if it is perhaps "just guesswork" that might sometimes be incapable of producing a correct dimensionally analogous figure, especially when reasoning from a lower to a higher dimension. Apparently dimensional analogy in both directions has firm mathematical foundations. Dechant^[41] derived the 4D symmetry groups from their 3D symmetry group counterparts by induction, demonstrating that there is nothing in 4D symmetry that is not already inherent in 3D symmetry. He showed that neither 4D symmetry nor 3D symmetry is more fundamental than the other, as either can be derived from the other. This is true whether dimensional analogies are computed using Coxeter group theory, or Clifford geometric algebra. These two rather different kinds of mathematics contribute complementary geometric insights. Another profound example of dimensional analogy mathematics is the Hopf fibration, a mapping between points on the 2-sphere and disjoint (Clifford parallel) great circles on the 3-sphere.
^ Unlike their bounding decagons, the 20 cell rings themselves are not all Clifford parallel to each other, because only completely disjoint polytopes are Clifford parallel.^[g]The 20 cell rings have 5 different subsets of 4 Clifford parallel cell rings. Each cell ring is bounded by 3 Clifford parallel great decagons, so each subset of 4 Clifford parallel cell rings is bounded by a total of 12 Clifford parallel great decagons (a discrete Hopf fibration). In fact each of the 5 different subsets of 4 cell rings is bounded by the same 12 Clifford parallel great decagons (the same Hopf fibration); there are 5 different ways to see the same 12 decagons as a set of 4 cell rings (and equivalently, just one way to see them as a single set of 20 cell rings).
^ Note that the differently colored helices of cells are different cell rings (or ring-shaped holes) in the same fibration, not the different fibrations of the 4-polytope. Each fibration is the entire 4-polytope.
^ a b c d e In a double rotation each vertex can be said to move along two completely orthogonal great circles at the same time, but it does not stay within the central plane of either of those original great circles; rather, it moves along a helical geodesic that traverses diagonally between great circles. The two completely orthogonal planes of rotation are said to be invariant because the points in each stay in their places in the plane as the plane moves, rotating and tilting sideways by the angle that the other plane rotates.
^ a b c The poles of the invariant axis of a rotating 2-sphere are dimensionally analogous to the pair of invariant planes of a rotating 3-sphere. The poles of the rotating 2-sphere are dimensionally analogous to linked great circles on the 3-sphere. By dimensional analogy, each 1D point in 3D lifts to a 2D line in 4D, in this case a circle.^[av] The two antipodal rotation poles lift to a pair of circular Hopf fibers which are not merely Clifford parallel and interlinked,^[af] but also completely orthogonal. The invariant great circles of the 4D rotation are its poles. In the case of an isoclinic rotation, there is not merely one such pair of 2D poles (completely orthogonal Hopf great circle fibers), there are many such pairs: a finite number of circle-pairs if the 3-sphere fibration is discrete (e.g. a regular polytope with a finite number of vertices), or else an infinite number of orthogonal circle-pairs, entirely filling the 3-sphere. Every point in the curved 3-space of the 3-sphere lies on one such circle (never on two, since the completely orthogonal circles, like all the Clifford parallel Hopf great circle fibers, do not intersect). Where a 2D rotation has one pole, and a 3D rotation of a 2-sphere has 2 poles, an isoclinic 4D rotation of a 3-sphere has nothing but poles, an infinite number of them. In a discrete 4-polytope, all the Clifford parallel invariant great polygons of the rotation are poles, and they fill the 4-polytope, passing through every vertex just once. In one full revolution of such a rotation, every point in the space loops exactly once through its pole-circle. The circles are arranged with a surprising symmetry, so that each pole-circle links with every other pole-circle, like a maximally dense fabric of 4D chain mail in which all the circles are linked through each other, but no two circles ever intersect.
^ The 4 red faces of the snub tetrahedron correspond to the 4 completely disjoint cell rings of the sparse construction of the fibration (its subfibration). The red faces are centered on the vertices of an inscribed tetrahedron, and lie in the center of the larger faces of an inscribing tetrahedron.
^ a b Because the octahedron can be snub truncated yielding an icosahedron,^[48] another name for the icosahedron is snub octahedron. This term refers specifically to a lower symmetry arrangement of the icosahedron's faces (with 8 faces of one color and 12 of another).
^ a b c The 120-point 600-cell has 120 overlapping icosahedral pyramids.^[p]
^ The icosahedron is not radially equilateral in Euclidean 3-space, but an icosahedral pyramid is radially equilateral in the curved 3-space of the 600-cell's surface (the 3-sphere). In 4-space the 12 edges radiating from its apex are not actually its radii: the apex of the icosahedral pyramid is not actually its center, just one of its vertices. But in curved 3-space the edges radiating symmetrically from the apex are radii, so the icosahedron is radially equilateral in that curved 3-space. In Euclidean 4-space 24 edges radiating symmetrically from a central point make the radially equilateral 24-cell, and a symmetrical subset of 16 of those edges make the radially equilateral tesseract.
^ An icosahedron edge between two blue faces is surrounded by two blue-faced icosahedral pyramid cells and 3 cells from an adjacent cluster of 5 cells (one of which is the central tetrahedron of the five)
^ The pentagonal pyramids around each vertex of the "snub octahedron" icosahedron all look the same, with two yellow and three blue faces. Each pentagon has five distinct rotational orientations. Rotating any pentagonal pyramid rotates all of them, so the five rotational positions are the only five different ways to arrange the colors.
^ Notice that the contraction is chiral, since there are two choices of diagonal on which to begin folding the square faces.
^ a b c Let Q denote a rotation, R a reflection, T a translation, and let Q^q R^r T denote a product of several such transformations, all commutative with one another. Then RT is a glide-reflection (in two or three dimensions), QR is a rotary-reflection, QT is a screw-displacement, and Q² is a double rotation (in four dimensions). Every orthogonal transformation is expressible as
Q^q R^r
where 2q + r ≤ n, the number of dimensions. Transformations involving a translation are expressible as
Q^q R^r T
where 2q + r + 1 ≤ n.
For n = 4 in particular, every displacement is either a double rotation Q², or a screw-displacement QT (where the rotation component Q is a simple rotation). Every enantiomorphous transformation in 4-space (reversing chirality) is a QRT.^[69]
^ These transformations are not among the orthogonal transformations of the Coxeter groups generated by reflections.^[bo] They are transformations of the pyritohedral 3D symmetry group, the unique polyhedral point group that is neither a rotation group nor a reflection group.^[53]
^ There is a vertex icosahedron^[p] inside each 24-cell octahedral central section (not inside a √1 octahedral cell, but in the larger √2 octahedron that lies in a central hyperplane), and a larger icosahedron inside each 24-cell cuboctahedron. The two different-sized icosahedra are the second and fourth sections of the 600-cell (beginning with a vertex). The octahedron and the cuboctahedron are the central sections of the 24-cell (beginning with a vertex and beginning with a cell, respectively).^[50]The cuboctahedron, large icosahedron, octahedron, and small icosahedron nest like Russian dolls and are related by a helical contraction.^[51]The contraction begins with the square faces of the cuboctahedron folding inward along their diagonals to form pairs of triangles.^[bn]The 12 vertices of the cuboctahedron move toward each other to the points where they form a regular icosahedron (the large icosahedron); they move slightly closer together until they form a Jessen's icosahedron; they continue to spiral toward each other until they merge into the 8 vertices of the octahedron;^[52] and they continue moving along the same helical paths, separating again into the 12 vertices of the snub octahedron (the small icosahedron).^[bi]The geometry of this sequence of transformations^[bp] in S3 is similar to the kinematics of the cuboctahedron and the tensegrity icosahedron in R3. The twisting, expansive-contractive transformations between these polyhedra were named Jitterbug transformations by Buckminster Fuller.^[54]
^ These 12 cells are edge-bonded to the central cell, face-bonded to the exterior faces of the cluster of 5, and face-bonded to each other in pairs. They are blue-faced cells in the 6 different icosahedral pyramids surrounding the cluster of 5.
^ The √1 tetrahedron has a volume of 9 √0.𝚫 tetrahedral cells. In the curved 3-dimensional volume of the 600 cells, it encloses the cluster of 5 cells, which do not entirely fill it. The 6 dipyramids (12 cells) which fit into the concavities of the cluster of 5 cells overfill it: only one third of each dipyramid lies within the √1 tetrahedron. The dipyramids contribute one-third of each of 12 cells to it, a volume equivalent to 4 cells.
^ The 600-cell also contains 600 octahedra. The first section of the 600-cell beginning with a cell is tetrahedral, and the third section is octahedral. These internal octahedra are not cells of the 600-cell because they are not volumetrically disjoint, but they are each a cell of one of the 25 internal 24-cells. The 600-cell also contains 600 cubes, each a cell of one of its 75 internal 8-cell tesseracts.^[ah]
^ Each √1 edge of the octahedral cell is the long diameter of another tetrahedral dipyramid (two more face-bonded tetrahedral cells). In the 24-cell, three octahedral cells surround each edge, so one third of the dipyramid lies inside each octahedron, split between two adjacent concave faces. Each concave face is filled by one-sixth of each of the three dipyramids that surround its three edges, so it has the same volume as one tetrahedral cell.
^ A √1 octahedral cell (of any 24-cell inscribed in the 600-cell) has six vertices which all lie in the same hyperplane: they bound an octahedral section (a flat three-dimensional slice) of the 600-cell. The same √1 octahedron filled by 25 tetrahedral cells has a total of 14 vertices lying in three parallel three-dimensional sections of the 600-cell: the 6-point √1 octahedral section, a 4-point √1 tetrahedral section, and a 4-point √0.𝚫 tetrahedral section. In the curved three-dimensional space of the 600-cell's surface, the √1 octahedron surrounds the √1 tetrahedron which surrounds the √0.𝚫 tetrahedron, as three concentric hulls. This 14-vertex 4-polytope is a 4-pyramid with a regular octahedron base: not a canonical octahedral pyramid with one apex (which has only 7 vertices) but an irregular truncated octahedral pyramid. Because its base is a regular octahedron which is a 24-cell octahedral cell, this 4-pyramid lies on the surface of the 24-cell.
^ The apex of a canonical √1 octahedral pyramid has been truncated into a regular tetrahedral cell with shorter √0.𝚫 edges, replacing the apex with four vertices. The truncation has also created another four vertices (arranged as a √1 tetrahedron in a hyperplane between the octahedral base and the apex tetrahedral cell), and linked these eight new vertices with √0.𝚫 edges. The truncated pyramid thus has eight 'apex' vertices above the hyperplane of its octahedral base, rather than just one apex: 14 vertices in all. The original pyramid had flat sides: the five geodesic routes from any base vertex to the opposite base vertex ran along two √1 edges (and just one of those routes ran through the single apex). The truncated pyramid has rounded sides: five geodesic routes from any base vertex to the opposite base vertex run along three √0.𝚫 edges (and pass through two 'apexes').
^ The uniform 4-polytopes which this 14-vertex, 25-cell irregular 4-polytope most closely resembles may be the 10-vertex, 10-cell rectified 5-cell and its dual (it has characteristics of both).
^ a b How can a bumpy "egg crate" square of 100 tetrahedra lie on the smooth surface of the Clifford torus?^[cd] But how can a flat 10x10 square represent the 120-vertex 600-cell (where are the other 20 vertices)? In the isoclinic rotation of the 600-cell in great decagon invariant planes, the Clifford torus is a smooth Euclidean 2-surface which intersects the mid-edges of exactly 100 tetrahedral cells. Edges are what tetrahedra have 6 of. The mid-edges are not vertices of the 600-cell, but they are all 600 vertices of its equal-radius dual polytope, the 120-cell. The 120-cell has 5 disjoint 600-cells inscribed in it, two different ways. This distinct smooth Clifford torus (this rotation) is a discrete fibration of the 120-cell in 60 decagon invariant planes, and a discrete fibration of the 600-cell in 12 decagon invariant planes.
^ a b The annular ring gaps between icosahedra are filled by a ring of 10 face-bonded tetrahedra that all meet at the vertex where the two icosahedra meet. This 10-cell ring is shaped like a pentagonal antiprism which has been hollowed out like a bowl on both its top and bottom sides, so that it has zero thickness at its center. This center vertex, like all the other vertices of the 600-cell, is itself the apex of an icosahedral pyramid where 20 tetrahedra meet.^[bj]Therefore the annular ring of 10 tetrahedra is itself an equatorial ring of an icosahedral pyramid, containing 10 of the 20 cells of its icosahedral pyramid.
^ The 100-face surface of the triangular-faced 150-cell column could be scissors-cut lengthwise along a 10 edge path and peeled and laid flat as a 10×10 parallelogram of triangles.
^ Because the 100-face surface of the 150-cell torus is alternately convex and concave, 100 tetrahedra stack on it in face-bonded pairs, as 50 triangular bipyramids which share one raised vertex and bury one formerly exposed valley edge. The triangular bipyramids are vertex-bonded to each other in 5 parallel lines of 5 bipyramids (10 tetrahedra) each, which run straight up and down the outside surface of the 150-cell column.
^ 5 decagons spiral clockwise and 5 spiral counterclockwise, intersecting each other at the 50 valley vertices.
^ a b A Clifford torus is the Hopf fiber bundle of a distinct isoclinic rotation of a rigid 3-sphere, involving all of its points. The torus embedded in 4-space, like the double rotation, is the Cartesian product of two completely orthogonal great circles. It is a filled doughnut not a ring doughnut; there is no hole in the 3-sphere except the 4-ball it encloses. A regular 4-polytope has a distinct number of characteristic Clifford tori, because it has a distinct number of characteristic rotational symmetries. Each forms a discrete fibration that reaches all the discrete points once each, in an isoclinic rotation with a distinct set of pairs of completely orthogonal invariant planes.
^ The same 10-face belt of an icosahedral pyramid is an annular ring of 10 tetrahedra around the apex.^[bz]
^ a b c The 600-cell's Petrie polygon is a skew triacontagon {30}. It can be seen in orthogonal projection as the circumference of a triacontagram {30/3}=3{10} helix which zig-zags 60° left and right, bridging the space between the 3 Clifford parallel great decagons of the 30-cell ring. In the completely orthogonal plane it projects to the regular triacontagram {30/11}.^[62]
^ a b The 30 vertices of the Boerdijk–Coxeter triple-helix ring lie in 3 decagonal central planes which intersect only at one point (the center of the 600-cell), even though they are not completely orthogonal or orthogonal at all: they are ⁠ $π$ /5⁠ apart.^[at]Their decagonal great circles are Clifford parallel: one 600-cell edge-length apart at every point.^[af]They are ordinary 2-dimensional great circles, not helices, but they are linked Clifford parallel circles.
^ a b c Isoclinic geodesics are 4-dimensional great circles in the sense that they are 1-dimensional geodesic lines that curve in 4-space in two completely orthogonal planes at once. They should not be confused with great 2-spheres,^[73] which are the 4-space analogues^[bc] of 2-dimensional great circles in 3-space (great 1-spheres).
^ The 20 30-cell rings are chiral objects; they either spiral clockwise (right) or counterclockwise (left). The 150-cell torus (formed by five cell-disjoint 30-cell rings of the same chirality surrounding a great decagon) is not itself a chiral object, since it can be decomposed into either five parallel left-handed rings or five parallel right-handed rings. Unlike the 20-cell rings, the 150-cell tori are directly congruent with no torsion, like the octahedral 6-cell rings of the 24-cell. Each great decagon has five left-handed 30-cell rings surrounding it, and also five right-handed 30-cell rings surrounding it; but left-handed and right-handed 30-cell rings are not cell-disjoint and belong to different distinct rotations: the left and right rotations of the same fibration. In either distinct isoclinic rotation (left or right), the vertices of the 600-cell move along the axial 15-gram isoclines of 20 left 30-cell rings or 20 right 30-cell rings. Thus the great decagons, the 30-cell rings, and the 150-cell tori all occur as sets of Clifford parallel interlinked circles,^[af] although the exact way they nest together, avoid intersecting each other, and pass through each other to form a Hopf link is not identical for these three different kinds of Clifford parallel polytopes, in part because the linked pairs are variously of no inherent chirality (the decagons), the same chirality (the 30-cell rings), or no net torsion and both left and right interior organization (the 150-cell tori) but tracing the same chirality of interior organization in any distinct left or right rotation.
^ A point on the icosahedron Hopf map^[av] of the 600-cell's decagonal fibration lifts to a great decagon; a triangular face lifts to a 30-cell ring; and a pentagonal pyramid of 5 faces lifts to a 150-cell torus.^[58] In the grand antiprism decomposition, two completely disjoint 150-cell tori are lifted from antipodal pentagons, leaving an equatorial ring of 10 icosahedron faces between them: a Petrie decagon of 10 triangles, which lift to 10 30-cell rings. The two completely disjoint 150-cell tori contain 12 disjoint (Clifford parallel) decagons and all 120 vertices, so they comprise a complete Hopf fibration; there is no room for more 150-cell tori of this kind. To get a decomposition of the 600-cell into four 150-cell tori of this kind, the icosahedral map would have to be decomposed into four pentagons, centered at the vertices of an inscribed tetrahedron, and the icosahedron cannot be decomposed that way.
^ a b (Coxeter 1973) uses the greek letter 𝝓 (phi) to represent one of the three characteristic angles 𝟀, 𝝓, 𝟁 of a regular polytope. Because 𝝓 is commonly used to represent the golden ratio constant ≈ 1.618, for which Coxeter uses 𝝉 (tau), we reverse Coxeter's conventions, and use 𝝉 to represent the characteristic angle.
^ The four edges of each 4-orthoscheme which meet at the center of a regular 4-polytope are of unequal length, because they are the four characteristic radii of the regular 4-polytope: a vertex radius, an edge center radius, a face center radius, and a cell center radius. The five vertices of the 4-orthoscheme always include one regular 4-polytope vertex, one regular 4-polytope edge center, one regular 4-polytope face center, one regular 4-polytope cell center, and the regular 4-polytope center. Those five vertices (in that order) comprise a path along four mutually perpendicular edges (that makes three right angle turns), the characteristic feature of a 4-orthoscheme. The 4-orthoscheme has five dissimilar 3-orthoscheme facets.
^ The reflecting surface of a (3-dimensional) polyhedron consists of 2-dimensional faces; the reflecting surface of a (4-dimensional) polychoron consists of 3-dimensional cells.
^ a b c d e f g An isoclinic rotation by 36° is two simple rotations by 36° at the same time.^[dw] It moves all the vertices 60° at the same time, in various different directions. Fifteen successive diagonal rotational increments, of 36°×36° each, move each vertex 900° through 15 vertices on a Möbius double loop of circumference 5𝝅 called an isocline, winding around the 600-cell and back to its point of origin, in one-and-one-half the time (15 rotational increments) that it would take a simple rotation to take the vertex once around the 600-cell on an ordinary {10} great circle (in 10 rotational increments).^[cs] The helical double loop 5𝝅 isocline is just a special kind of single full circle, of 1.5 the period (15 chords instead of 10) as the simple great circle. The isocline is one true circle, as perfectly round and geodesic as the simple great circle, even through its chords are φ longer, its circumference is 5𝝅 instead of 2𝝅, it circles through four dimensions instead of two, and it acts in two chiral forms (left and right) even though all such circles of the same circumference are directly congruent. Nevertheless, to avoid confusion we always refer to it as an isocline and reserve the term great circle for an ordinary great circle in the plane.^[ao]
^ a b The 600-cell has 7200 distinct rotational displacements, each with its invariant rotation plane. The 7200 distinct central planes can be grouped into sets of Clifford parallel invariant rotation planes of 25 distinct isoclinic rotations, and are usually given as those sets.^[75]
^ a b c d e Any double rotation (including an isoclinic rotation) can be seen as the composition of two simple rotations a and b: the left double rotation as a then b, and the right double rotation as b then a. Simple rotations are not commutative; left and right rotations (in general) reach different destinations. The difference between a double rotation and its two composing simple rotations is that the double rotation is 4-dimensionally diagonal: each moving vertex reaches its destination directly without passing through the intermediate point touched by a then b, or the other intermediate point touched by b then a, by rotating on a single helical geodesic (so it is the shortest path).^[bf]Conversely, any simple rotation can be seen as the composition of two equal-angled double rotations (a left isoclinic rotation and a right isoclinic rotation), as discovered by Cayley; perhaps surprisingly, this composition is commutative, and is possible for any double rotation as well.^[72]
^ a b Isoclinic rotations take each vertex to a non-adjacent vertex at least two edge-lengths away. In the characteristic isoclinic rotations of the 5-cell, 16-cell, 24-cell and 600-cell, the non-adjacent vertex is exactly two edge-lengths away along one of several great circle geodesic routes: the opposite vertex of a neighboring cell. In the 8-cell it is three zig-zag edge-lengths away in the same cell: the opposite vertex of a cube. In the 120-cell it is four zig-zag edges away in the same cell: the opposite vertex of a dodecahedron.
^ a b c In an isoclinic rotation, each point anywhere in the 4-polytope moves an equal distance in four orthogonal directions at once, on a 4-dimensional diagonal.^[ao]The point is displaced a total Pythagorean distance equal to the square root of four times the square of that distance. All vertices are displaced to a vertex at least two edge-lengths away.^[cq]For example, when the unit-radius 600-cell rotates isoclinically 36 degrees in a decagon invariant plane and 36 degrees in its completely orthogonal invariant plane,^[an] each vertex is displaced to another vertex √1 (60°) distant, moving √1/4 = 1/2 unit radius in four orthogonal directions.
^ a b c Because the 600-cell's helical pentadecagram2 geodesic is bent into a twisted ring in the fourth dimension like a Möbius strip, its screw thread doubles back across itself after each revolution, without ever reversing its direction of rotation (left or right). The 30-vertex isoclinic path follows a Möbius double loop, forming a single continuous 15-vertex loop traversed in two revolutions. The Möbius helix is a geodesic "straight line" or isocline. The isocline connects the vertices of a lower frequency (longer wavelength) skew polygram than the Petrie polygon. The Petrie triacontagon has √0.𝚫 edges; the isoclinic pentadecagram₂ has √1 edges which join vertices which are two √0.𝚫 edges apart. Each √1 edge belongs to a different great hexagon, and successive √1 edges belong to different 24-cells, as the isoclinic rotation takes hexagons to Clifford parallel hexagons and passes through successive Clifford parallel 24-cells.
^ a b All isoclines are geodesics, and isoclines on the 3-sphere are circles (curving equally in each dimension), but not all isoclines on 3-manifolds in 4-space are circles.
^ a b c d Isoclinic rotations^[ao] partition the 600 cells (and the 120 vertices) of the 600-cell into two disjoint subsets of 300 cells (and 60 vertices), even and odd (or black and white), which shift places among themselves on black or white isoclines, in a manner dimensionally analogous^[bc] to the way the bishops' diagonal moves restrict them to the white or the black squares of the chessboard.^[du] The black and white subsets are also divided among black and white invariant great circle polygons of the isoclinic rotation. In a discrete rotation (as of a 4-polytope with a finite number of vertices) the black and white subsets correspond to sets of inscribed great polygons {p} in invariant great circle polygons {2p}. For example, in the 600-cell a black and a white great pentagon {5} are inscribed in an invariant great decagon {10} of the characteristic decagonal isoclinic rotation. Importantly, a black and white pair of polygons {p} of the same distinct isoclinic rotation are never inscribed in the same {2p} polygon; there is always a black and a white {p} polygon inscribed in each invariant {2p} polygon, but they belong to distinct isoclinic rotations: the left and right rotation of the same fibraton, which share the same set of invariant planes. Black (white) isoclines intersect only black (white) great {p} polygons, so each vertex is either black or white.
^ a b c d e The chord-path of an isocline may be called the 4-polytope's Clifford polygon, as it is the skew polygonal shape of the rotational circles traversed by the 4-polytope's vertices in its characteristic Clifford displacement.^[86]The isocline is a helical Möbius double loop which reverses its chirality twice in the course of a full double circuit. The two loops are both entirely contained within the same cell ring, where they both follow chords connecting even (odd) vertices: typically opposite vertices of adjacent cells, two edge lengths apart.^[cu]Both "halves" of the double loop pass through each cell in the cell ring, but intersect only two even (odd) vertices in each even (odd) cell. Each pair of intersected vertices in an even (odd) cell lie opposite each other on the Möbius strip, exactly one edge length apart. Thus each cell has two helices passing through it, which are Clifford parallels^[af] of opposite chirality at each pair of parallel points. Globally these two helices are a single connected circle of both chiralities,^[cn] with no net torsion. An isocline acts as a left (or right) isocline when traversed by a left (or right) rotation (of different fibrations).
^ a b Isoclines on the 3-sphere occur in non-intersecting pairs of even/odd coordinate parity.^[cu]A single black or white isocline forms a Möbius loop called the {1,1} torus knot or Villarceau circle^[74] in which each of two "circles" linked in a Möbius "figure eight" loop traverses through all four dimensions.^[cv]The double loop is a true circle in four dimensions.^[cn]Even and odd isoclines are also linked, not in a Möbius loop but as a Hopf link of two non-intersecting circles,^[af] as are all the Clifford parallel isoclines of a Hopf fiber bundle.
^ a b A rotation in 4-space is completely characterized by choosing an invariant plane and an angle and direction (left or right) through which it rotates, and another angle and direction through which its one completely orthogonal invariant plane rotates. Two rotational displacements are identical if they have the same pair of invariant planes of rotation, through the same angles in the same directions (and hence also the same chiral pairing of directions). Thus the general rotation in 4-space is a double rotation, characterized by two angles. A simple rotation is a special case in which one rotational angle is 0.^[cp]An isoclinic rotation is a different special case, similar but not identical to two simple rotations through the same angle.^[ao]
^ a b c There is a single invariant plane in each simple rotation, and a completely orthogonal fixed plane. There are an infinite number of pairs of completely orthogonal invariant planes in each isoclinic rotation, all rotating through the same angle;^[bg] nonetheless, not all central planes are invariant planes of rotation. The invariant planes of an isoclinic rotation constitute a fibration of the entire 4-polytope.^[77]In every isoclinic rotation of the 600-cell taking vertices to vertices either 12 Clifford parallel great decagons, or 20 Clifford parallel great hexagons or 30 Clifford parallel great squares are invariant planes of rotation.
^ In an isoclinic rotation each invariant plane is Clifford parallel to the plane it moves to, and they do not intersect at any time (except at the central point). In a simple rotation the invariant plane intersects the plane it moves to in a line, and moves to it by rotating around that line.
^ In a Clifford displacement, also known as an isoclinic rotation, all the Clifford parallel^[af] invariant planes^[cy] are displaced in four orthogonal directions (two completely orthogonal planes) at once: they are rotated by the same angle, and at the same time they are tilted sideways by that same angle. A Clifford displacement is 4-dimensionally diagonal.^[cr]Every plane that is Clifford parallel to one of the completely orthogonal planes is invariant under the isoclinic rotation: all the points in the plane rotate in circles but remain in the plane, even as the whole plane rotates sideways.^[cz]All central polygons (of every kind) rotate by the same angle (though not all do so invariantly), and are also displaced sideways by the same angle to a Clifford parallel polygon (of the same kind).
^ The three 16-cells in the 24-cell are rotated by 60° (⁠𝜋/3⁠) isoclinically with respect to each other. Because an isoclinic rotation is a rotation in two completely orthogonal planes at the same time, this means their corresponding vertices are 120° (⁠2𝜋/3⁠) apart. In a unit-radius 4-polytope, vertices 120° apart are joined by a √3 chord.
^ a b c Any isoclinic rotation by ⁠𝜋/5⁠ in decagonal invariant planes^[di] takes every central polygon, geodesic cell ring or inscribed 4-polytope^[f] in the 600-cell to a Clifford parallel polytope ⁠𝜋/5⁠ away.
^ a b Five 24-cells meet at each vertex of the 600-cell,^[i] so there are four different directions in which the vertices can move to rotate the 24-cell (or all the 24-cells at once in an isoclinic rotation^[dc]) directly toward an adjacent 24-cell.
^ a b A disjoint 24-cell reached by an isoclinic rotation is not any of the four adjacent 24-cells; the double rotation^[cx] takes it past (not through) the adjacent 24-cell it rotates toward,^[dd] and left or right to a more distant 24-cell from which it is completely disjoint.^[g]The four directions reach 8 different 24-cells^[d] because in an isoclinic rotation each vertex moves in a spiral along two completely orthogonal great circles at once. Four paths are right-hand threaded (like most screws and bolts), moving along the circles in the "same" directions, and four are left-hand threaded (like a reverse-threaded bolt), moving along the circles in what we conventionally say are "opposite" directions (according to the right hand rule by which we conventionally say which way is "up" on each of the 4 coordinate axes).^[78]
^ All isoclinic polygons are Clifford parallels (completely disjoint).^[g]Polyhedra (3-polytopes) and polychora (4-polytopes) may be isoclinic and not disjoint, if all of their corresponding central polygons are either Clifford parallel, or cocellular (in the same hyperplane) or coincident (the same object, shared). For example, the 24-cell, 600-cell and 120-cell contain pairs of inscribed tesseracts (8-cells) which are isoclinically rotated by ⁠𝜋/3⁠ with respect to each other, yet are not disjoint: they share a 16-cell (8 vertices, 6 great squares and 4 octahedral central hyperplanes), and some corresponding pairs of their great squares are cocellular (intersecting) rather than Clifford parallel (disjoint).
^ a b c At each vertex, a 600-cell has four adjacent (non-disjoint)^[g] 24-cells that can each be reached by a simple rotation in that direction.^[dd]Each 24-cell has 4 great hexagons crossing at each of its vertices, one of which it shares with each of the adjacent 24-cells; in a simple rotation that hexagonal plane remains fixed (its vertices do not move) as the 600-cell rotates around the common hexagonal plane. The 24-cell has 16 great hexagons altogether, so it is adjacent (non-disjoint) to 16 other 24-cells.^[d]In addition to being reachable by a simple rotation, each of the 16 can also be reached by an isoclinic rotation in which the shared hexagonal plane is not fixed: it rotates (non-invariantly) through ⁠𝜋/5⁠. The double rotation reaches an adjacent 24-cell directly as if indirectly by two successive simple rotations:^[cp] first to one of the other adjacent 24-cells, and then to the destination 24-cell (adjacent to both of them).
^ a b In the 600-cell, there is a simple rotation which will take any vertex directly to any other vertex, also moving most or all of the other vertices but leaving at most 6 other vertices fixed (the vertices that the fixed central plane intersects). The vertex moves along a great circle in the invariant plane of rotation between adjacent vertices of a great decagon, a great hexagon, a great square or a great digon,^[au] and the completely orthogonal fixed plane intersects 0 vertices (a 30-gon),^[an] 2 vertices (a digon), 4 vertices (a square) or 6 vertices (a hexagon) respectively. Two non-disjoint 24-cells are related by a simple rotation through ⁠𝜋/5⁠ of the digon central plane completely orthogonal to their common hexagonal central plane. In this simple rotation, the hexagon does not move. The two non-disjoint 24-cells are also related by an isoclinic rotation in which the shared hexagonal plane does move.^[dg]
^ Any isoclinic rotation in a decagonal invariant plane is an isoclinic rotation in 24 invariant planes: 12 Clifford parallel decagonal planes,^[cy] and the 12 Clifford parallel 30-gon planes completely orthogonal to each of those decagonal planes.^[an]As the invariant planes rotate in two completely orthogonal directions at once,^[bf] all points in the planes move with them (stay in their planes and rotate with them), describing helical isoclines^[ao] through 4-space. Note however that in a discrete decagonal fibration of the 600-cell (where 120 vertices are the only points considered), the 12 30-gon planes contain no points.
^ a b Notice the apparent incongruity of rotating hexagons by ⁠𝜋/5⁠, since only their opposite vertices are an integral multiple of ⁠𝜋/5⁠ apart. However, recall that 600-cell vertices which are one hexagon edge apart are exactly two decagon edges and two tetrahedral cells (one triangular dipyramid) apart. The hexagons have their own 10 discrete fibrations and cell rings, not Clifford parallel to the decagonal fibrations but also by fives^[k] in that five 24-cells meet at each vertex, each pair sharing a hexagon.^[i]Each hexagon rotates non-invariantly by ⁠𝜋/5⁠ in a hexagonal isoclinic rotation between non-disjoint 24-cells.^[dg] Conversely, in all ⁠𝜋/5⁠ isoclinic rotations in decagonal invariant planes, all the vertices travel along isoclines^[ao] which follow the edges of hexagons.
^ a b c d Each isocline has no inherent chirality but can act as either a left or right isocline; it is shared by a distinct left rotation and a distinct right rotation of different fibrations.
^ a b The analogous relationships among three kinds of {2p} isoclinic rotations, in Clifford parallel bundles of {4}, {6} or {10} great polygon invariant planes respectively, are at the heart of the complex nested relationship among the regular convex 4-polytopes.^[a]In the √1 hexagon {6} rotations characteristic of the 24-cell, the isocline chords (polygram edges) are simply √3 chords of the great hexagon, so the simple {6} hexagon rotation and the isoclinic {6/2} hexagram rotation both rotate circles of 6 vertices. The hexagram isocline, a special kind of great circle, has a circumference of 4𝝅 compared to the hexagon 2𝝅 great circle.^[dq]The invariant central plane completely orthogonal to each {6} great hexagon is a {2} great digon,^[au] so an isoclinic {6} rotation of hexagrams is also a {2} rotation of axes.^[dh]In the √2 square {4} rotations characteristic of the 16-cell, the isocline polygram is an octagram, and the isocline's chords are its √2 edges and its √4 diameters, so the isocline is a circle of circumference 4𝝅. In an isoclinic rotation, the eight vertices of the {8/3} octagram change places, each making one complete revolution through 720° as the isocline winds three times around the 3-sphere. The invariant central plane completely orthogonal to each {4} great square is another {4} great square √4 distant, so a right {4} rotation of squares is also a left {4} rotation of squares. The 16-cell's dual polytope the 8-cell tesseract inherits the same simple {4} and isoclinic {8/3} rotations, but its characteristic isoclinic rotation takes place in completely orthogonal invariant planes which contain a {4} great rectangle or a {2} great digon (from its successor the 24-cell). In the 8-cell this is a rotation of √1 × √3 great rectangles, and also a rotation of √4 axes, but it is the same isoclinic rotation as the 24-cell's characteristic rotation of {6} great hexagons (in which the great rectangles are inscribed), as a consequence of the unique circumstance that the 8-cell and 24-cell have the same edge length. In the √0.𝚫 decagon {10} rotations characteristic of the 600-cell, the isocline chords are √1 hexagon edges, the isocline polygram is a pentadecagram, and the isocline has a circumference of 5𝝅.^[cn]The isoclinic {15/2} pentadecagram rotation rotates a circle of {15} vertices in the same time as the simple decagon rotation of {10} vertices. The invariant central plane completely orthogonal to each {10} great decagon is a {0} great 0-gon,^[al] so a {10} rotation of decagons is also a {0} rotation of planes containing no vertices. The 600-cell's dual polytope the 120-cell inherits the same simple {10} and isoclinic {15/2} rotations, but its characteristic isoclinic rotation takes place in completely orthogonal invariant planes which contain {2} great digons (from its successor the 5-cell).^[dr] This is a rotation of irregular great hexagons {6} of two alternating edge lengths (analogous to the tesseract's great rectangles), where the two different-length edges are three 120-cell edges and three 5-cell edges.
^ Each discrete fibration of a regular convex 4-polytope is characterized by a unique left-right pair of isoclinic rotations and a unique bundle of great circle {2p} polygons (0 ≤ p ≤ 5) in the invariant planes of that pair of rotations. Each distinct rotation has a unique bundle of left (or right) {p} polygons inscribed in the {2p} polygons, and a unique bundle of skew {2p} polygrams which are its discrete left (or right) isoclines. The {p} polygons weave the {2p} polygrams into a bundle, and vice versa.
^ There are six congruent decagonal fibrations of the 600-cell. Choosing one decagonal fibration means choosing a bundle of 12 directly congruent Clifford parallel decagonal great circles, and a cell-disjoint set of 20 directly congruent 30-cell rings which tesselate the 600-cell. The fibration and its great circles are not chiral, but it has distinct left and right expressions in a left-right pair of isoclinic rotations. In the right (left) rotation the vertices move along a right (left) Hopf fiber bundle of Clifford parallel isoclines and intersect a right (left) Hopf fiber bundle of Clifford parallel great pentagons. The 30-cell rings are the only chiral objects, other than the bundles of isoclines or pentagons.^[82]A right (left) pentagon bundle contains 12 great pentagons, inscribed in the 12 Clifford parallel great decagons. A right (left) isocline bundle contains 20 Clifford parallel pentadecagrams, one in each 30-cell ring.
^ The composition of two simple 60° rotations in a pair of completely orthogonal invariant planes is a 60° isoclinic rotation in four pairs of completely orthogonal invariant planes.^[cp] Thus the isoclinic rotation is the compound of four simple rotations, and all 24 vertices rotate in invariant hexagon planes, versus just 6 vertices in a simple rotation.
^ a b The 24-cell rotates hexagons on hexagrams, while the 600-cell rotates hexagons on decagrams, but these are discrete instances of the same kind of isoclinic rotation in hexagon invariant planes. In particular, their congruent isoclines are all exactly the same geodesic circle of circumference 4𝝅.^[dx]
^ a b c An isoclinic rotation by 60° is two simple rotations by 60° at the same time.^[do] It moves all the vertices 120° at the same time, in various different directions. Six successive diagonal rotational increments, of 60°x60° each, move each vertex through 720° on a Möbius double loop called an isocline, twice around the 24-cell and back to its point of origin, in the same time (six rotational units) that it would take a simple rotation to take the vertex once around the 24-cell on an ordinary great circle. The helical double loop 4𝝅 isocline is just another kind of single full circle, of the same time interval and period (6 chords) as the simple great circle. The isocline is one true circle,^[ch] as perfectly round and geodesic as the simple great circle, even through its chords are √3 longer, its circumference is 4𝝅 instead of 2𝝅,^[dp] it circles through four dimensions instead of two,^[cw] and it acts in two chiral forms (left and right) even though all such circles of the same circumference are directly congruent.^[cv] Nevertheless, to avoid confusion we always refer to it as an isocline and reserve the term great circle for an ordinary great circle in the plane.
^ 120 regular 5-cells are inscribed in the 120-cell. The 5-cell has digon central planes, no two of which are orthogonal. It has 10 digon central planes, where each vertex pair is an edge, not an axis. The 5-cell is self-dual, so by reciprocation the 120-cell can be inscribed in a regular 5-cell of larger radius. Therefore the finite sequence of 6 regular 4-polytopes^[a] nested like Russian dolls can also be seen as an infinite sequence.
^ In the 30-cell ring, each isocline runs from a vertex to a non-adjacent vertex in the third shell of vertices surrounding it. Three other vertices between these two vertices can be seen in the 30-cell ring, two adjacent in the first surrounding shell, and one in the second surrounding shell.
^ Chirality and even/odd parity are distinct flavors. Things which have even/odd coordinate parity are black or white: the squares of the chessboard, cells, vertices and the isoclines which connect them by isoclinic rotation.^[ao] Everything else is black and white: e.g. adjacent face-bonded cell pairs, or edges and chords which are black at one end and white at the other. (Since it is difficult to color points and lines white, we sometimes use black and red instead of black and white. In particular, isocline chords are sometimes shown as black or red dashed lines.) Things which have chirality come in right or left enantiomorphous forms: isoclinic rotations and chiral objects which include characteristic orthoschemes, pairs of Clifford parallel great polygon planes,^[85] fiber bundles of Clifford parallel circles (whether or not the circles themselves are chiral), and the chiral cell rings found in the 16-cell and 600-cell. Things which have neither an even/odd parity nor a chirality include all edges and faces (shared by black and white cells), great circle polygons and their fibrations, and non-chiral cell rings such as the 24-cell's cell rings of octahedra. Some things have both an even/odd parity and a chirality: isoclines are black or white because they connect vertices which are all of the same color, and they act as left or right chiral objects when they are vertex paths in a left or right rotation, although they have no inherent chirality themselves.^[dk]Each left (or right) rotation traverses an equal number of black and white isoclines.^[cv]
^ a b Left and right isoclinic rotations partition the 600 cells (and 120 vertices) into black and white in the same way.^[17]The rotations of all fibrations of the same kind of great polygon use the same chessboard, which is a convention of the coordinate system based on even and odd coordinates.^[84] Left and right are not colors: in either a left (or right) rotation half the moving vertices are black, running along black isoclines through black vertices, and the other half are white vertices rotating among themselves.^[dt]
^ Each axis of the 600-cell touches a left isocline of each fibration at one end and a right isocline of the fibration at the other end. Each 30-cell ring's axial isocline passes through only one of the two antipodal vertices of each of the 30 (of 60) 600-cell axes that the isocline's 30-vertex, 30-cell ring touches (at only one end).
^ The composition of two simple 36° rotations in a pair of completely orthogonal invariant planes is a 36° isoclinic rotation in twelve pairs of completely orthogonal invariant planes.^[cp] Thus the isoclinic rotation is the compound of twelve simple rotations, and all 120 vertices rotate in invariant decagon planes, versus just 10 vertices in a simple rotation.
^ All 3-sphere isoclines^[ao] of the same circumference are directly congruent circles.^[ct] An ordinary great circle is an isocline of circumference 2𝝅; simple rotations take place on 2𝝅 isoclines. Double rotations may have isoclines of other than $2\pi r$ circumference. The characteristic rotation of a regular 4-polytope is the isoclinic rotation in which the central planes containing its edges are invariant planes of rotation. The 16-cell and 24-cell edge-rotate on isoclines of 4𝝅 circumference. The 600-cell edge-rotates on isoclines of 5𝝅 circumference.
^ The 600-cell's helical {20/6}=2{10/3} icosagram is a compound of the 24-cell's helical {6/2} hexagram, which is inscribed within it just as the 24-cell is inscribed in the 600-cell.
^ The 16-cell rotates squares on {8/3} octagrams, the 24-cell rotates squares on {24/9}=3{8/3} octagrams, and the 600 rotates squares on {24/5} 24-grams, but these are discrete instances of the same kind of isoclinic rotation in great square invariant planes. In particular, their congruent isoclines are all exactly the same geodesic circle of circumference 4𝝅. They have different isocline polygrams only because the isocline curve intersects more vertices in the 600-cell than it does in the 24-cell or the 16-cell. The 600-cell's helical {24/5} 24-gram is a compound of the 24-cell's helical {24/9} octagram, which is inscribed within the 600-cell just as the 16-cell's helical {8/3} octagram is inscribed within the 24-cell.

Citations

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${\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}$
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^ Schläfli 1858; this paper of Schläfli's describing the double six configuration was one of the only fragments of his discovery of the regular polytopes in higher dimensions to be published during his lifetime.^[35]
^ Coxeter 1973, pp. 141–144, §7. Ordinary Polytopes in Higher Space; §7.x. Historical remarks; "Practically all the ideas in this chapter ... are due to Schläfli, who discovered them before 1853 — a time when Cayley, Grassman and Möbius were the only other people who had ever conceived the possibility of geometry in more than three dimensions."
^ Coxeter 1970, studied cell rings in the general case of their geometry and group theory, identifying each cell ring as a polytope in its own right which fills a three-dimensional manifold (such as the 3-sphere) with its corresponding honeycomb.^[ay] He found that cell rings follow Petrie polygons and some (but not all) cell rings and their honeycombs are twisted, occurring in left- and right-handed chiral forms. Specifically, he found that the regular 4-polytopes with tetrahedral cells (5-cell, 16-cell, 600-cell) have twisted cell rings, and the others (whose cells have opposing faces) do not.^[az] Separately, he categorized cell rings by whether they form their honeycombs in hyperbolic or Euclidean space, the latter being those found in the 4-polytopes which can tile 4-space by translation to form Euclidean honeycombs (16-cell, 8-cell, 24-cell).
^ Banchoff 2013, studied the decomposition of regular 4-polytopes into honeycombs of tori tiling the Clifford torus, showed how the honeycombs correspond to Hopf fibrations, and made decompositions composed of meridian and equatorial cell rings with illustrations.
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^ Dechant 2017, pp. 410–419, §6. The Coxeter Plane; see p. 416, Table 1. Summary of the factorisations of the Coxeter versors of the 4D root systems; "Coxeter (reflection) groups in the Clifford framework ... afford a uniquely simple prescription for reflections. Via the Cartan-Dieudonné theorem, performing two reflections successively generates a rotation, which in Clifford algebra is described by a spinor that is simply the geometric product of the two vectors generating the reflections."
^ Coxeter 1973, pp. 217–218, §12.2 Congruent transformations.
^ Koca, Al-Ajmi & Ozdes Koca 2011, pp. 986–988, 6. Dual of the snub 24-cell.
^ Mamone, Pileio & Levitt 2010, pp. 1438–1439, §4.5 Regular Convex 4-Polytopes; the 600-cell has 14,400 symmetry operations (rotations and reflections) as enumerated in Table 2, symmetry group 𝛨₄.^[co]
^ Perez-Gracia & Thomas 2017.
^ Stillwell 2001, p. 24.
^ Dorst 2019, p. 44, §1. Villarceau Circles; "In mathematics, the path that the (1, 1) knot on the torus traces is also known as a Villarceau circle. Villarceau circles are usually introduced as two intersecting circles that are the cross-section of a torus by a well-chosen plane cutting it. Picking one such circle and rotating it around the torus axis, the resulting family of circles can be used to rule the torus. By nesting tori smartly, the collection of all such circles then form a Hopf fibration.... we prefer to consider the Villarceau circle as the (1, 1) torus knot rather than as a planar cut."
^ Mamone, Pileio & Levitt 2010, §4.5 Regular Convex 4-Polytopes, Table 2.
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^ Kim & Rote 2016, p. 12-16, §8 The Construction of Hopf Fibrations; see §8.3.
^ Perez-Gracia & Thomas 2017, §1. Introduction; "This article [will] derive a spectral decomposition of isoclinic rotations and explicit formulas in matrix and Clifford algebra for the computation of Cayley's [isoclinic] factorization."^[cp]
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^ Dechant 2021, Abstract; "[E]very 3D root system allows the construction of a corresponding 4D root system via an 'induction theorem'. In this paper, we look at the icosahedral case of H3 → H4 in detail and perform the calculations explicitly. Clifford algebra is used to perform group theoretic calculations based on the versor theorem and the Cartan-Dieudonné theorem ... shed[ding] light on geometric aspects of the H4 root system (the 600-cell) as well as other related polytopes and their symmetries ... including the construction of the Coxeter plane, which is used for visualising the complementary pairs of invariant polytopes.... This approach therefore constitutes a more systematic and general way of performing calculations concerning groups, in particular reflection groups and root systems, in a Clifford algebraic framework."
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External links

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Der 600-Zeller (600-cell) Marco Möller's Regular polytopes in R⁴ (German)
The 600-Cell Vertex centered expansion of the 600-cell