En geometría, el doble seis de Schläfli es una configuración de 30 puntos y 12 líneas en el espacio euclidiano tridimensional , introducida por Ludwig Schläfli en 1858. [1] Las líneas de la configuración se pueden dividir en dos subconjuntos de seis líneas: cada línea está separado de ( sesgado con ) las líneas en su propio subconjunto de seis líneas, e intersecta todas menos una de las líneas en el otro subconjunto de seis líneas. Cada una de las 12 líneas de la configuración contiene cinco puntos de intersección, y cada uno de estos 30 puntos de intersección pertenece exactamente a dos líneas, una de cada subconjunto, por lo que en la notación de configuraciones el doble seis de Schläfli se escribe 30 2 12 5 . [2]
Como demostró Schläfli, el doble seis puede construirse a partir de cinco líneas cualesquiera a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , que están todas intersecadas por una línea común b 6 , pero que por lo demás están en posición general (en particular, cada dos líneas a i y a j deben estar sesgadas , y no cuatro de las líneas a i deben estar en una superficie reglada común ). Para cada una de las cinco rectas a i , el conjunto complementario de cuatro de las cinco rectas tiene dos cuadrisecantes : b 6 y una segunda recta b i . Las cinco líneas b 1 , b 2 , b 3 , b 4 y b 5 formadas de esta manera están a su vez intersecadas por otra línea, a 6 . Las doce líneas a i y b i forman un doble seis: cada línea a i tiene un punto de intersección con cinco de las otras líneas, las líneas b j para las cuales i ≠ j , y viceversa. [3]
Una construcción alternativa, que se muestra en la ilustración, consiste en colocar doce líneas a través de los seis centros de las caras de un cubo , cada una en el plano de su cara y todas formando los mismos ángulos con respecto a las aristas del cubo. [4] Una vez construido de cualquiera de estas formas, el doble seis se puede proyectar en el plano, formando un sistema bidimensional de puntos y líneas con el mismo patrón de incidencia.
Una superficie cúbica genérica contiene 27 líneas, entre las que se encuentran 36 configuraciones Schläfli doble seis. Puede que sea necesario utilizar coordenadas de números complejos para representar todas estas líneas; Las superficies cúbicas pueden tener menos de 27 líneas sobre los números reales . En cualquier conjunto de 27 líneas, las 15 líneas complementarias a un doble seis, junto con los 15 planos tangentes a través de triples de estas líneas, tienen el patrón de incidencia de otra configuración, la configuración Cremona-Richmond . [5]
El gráfico de intersección de las doce líneas de la configuración del doble seis es un gráfico de corona de doce vértices , un gráfico bipartito en el que cada vértice es adyacente a cinco de los seis vértices del color opuesto. [6] El gráfico de Levi del doble seis se puede obtener reemplazando cada borde del gráfico de la corona por una trayectoria de dos bordes. La gráfica de intersección de todo el conjunto de 27 líneas sobre una superficie cúbica es el complemento de la gráfica de Schläfli . [7]