En geometría , un icosaedro ( / ˌ aɪ k ɒ s ə ˈ h iː d r ən , - k ə -, - k oʊ -/ o / aɪ ˌ k ɒ s ə ˈ h iː d r ən / [1] ) es un poliedro de 20 caras. El nombre proviene del griego antiguo εἴκοσι (eíkosi) 'veinte' y ἕδρα (hédra) 'asiento'. El plural puede ser "icosaedros" ( /- d r ə / ) o "icosaedros".
Hay infinitas formas de icosaedros no similares , algunas de las cuales son más simétricas que otras. El más conocido es el icosaedro regular ( convexo , no estrellado ) —uno de los sólidos platónicos— cuyas caras son 20 triángulos equiláteros .
Hay dos objetos, uno convexo y otro no convexo, que pueden denominarse icosaedros regulares. Cada uno tiene 30 aristas y 20 caras de triángulos equiláteros , cinco de los cuales se encuentran en cada uno de sus doce vértices. Ambos tienen simetría icosaédrica . El término "icosaedro regular" generalmente se refiere a la variedad convexa, mientras que a la forma no convexa se le llama gran icosaedro .
El icosaedro regular convexo generalmente se denomina simplemente icosaedro regular , uno de los cinco sólidos platónicos regulares , y está representado por su símbolo de Schläfli {3, 5}, que contiene 20 caras triangulares, con 5 caras que se encuentran alrededor de cada vértice.
Su poliedro dual es el dodecaedro regular {5, 3} que tiene tres caras pentagonales regulares alrededor de cada vértice.
El gran icosaedro es uno de los cuatro poliedros de estrellas regulares de Kepler-Poinsot . Su símbolo Schläfli es {3,5/2}. Al igual que la forma convexa, también tiene 20 caras de triángulos equiláteros, pero su figura de vértice es un pentagrama en lugar de un pentágono, lo que lleva a caras que se cruzan geométricamente. Las intersecciones de los triángulos no representan nuevas aristas.
Su poliedro dual es el gran dodecaedro estrellado {5/2, 3}, que tiene tres caras pentagonales de estrella regular alrededor de cada vértice.
La estelación es el proceso de extender las caras o aristas de un poliedro hasta que se unen para formar un nuevo poliedro. Se hace simétricamente para que la figura resultante conserve la simetría general de la figura principal.
En su libro Los cincuenta y nueve icosaedros , Coxeter et al. enumeró 58 estelas de este tipo del icosaedro regular.
De estos, muchos tienen una sola cara en cada uno de los 20 planos faciales y, por lo tanto, también son icosaedros. El gran icosaedro se encuentra entre ellos.
Otras estelaciones tienen más de una cara en cada plano o forman compuestos de poliedros más simples. Estos no son estrictamente icosaedros, aunque a menudo se los denomina como tales.
Un icosaedro regular puede distorsionarse o marcarse como una simetría piritoédrica inferior , [2] [3] y se llama octaedro chato , tetraedro chato , tetraedro chato y pseudoicosaedro . [4] Esto puede verse como un octaedro truncado alternado . Si todos los triángulos son equiláteros , la simetría también se puede distinguir coloreando los conjuntos de 8 y 12 triángulos de manera diferente.
La simetría piritoédrica tiene el símbolo (3*2), [3 + ,4], de orden 24. La simetría tetraédrica tiene el símbolo (332), [3,3] + , de orden 12. Estas simetrías inferiores permiten distorsiones geométricas de 20 caras triangulares equiláteras, en lugar de tener 8 triángulos equiláteros y 12 triángulos isósceles congruentes .
Estas simetrías ofrecen diagramas de Coxeter :
yrespectivamente, cada uno de los cuales representa la simetría inferior del icosaedro regular 
, (*532), [5,3] simetría icosaédrica de orden 120.
Las coordenadas de los 12 vértices pueden definirse mediante los vectores definidos por todas las posibles permutaciones cíclicas y cambios de signo de coordenadas de la forma (2, 1, 0). Estas coordenadas representan el octaedro truncado con vértices alternos eliminados.
Esta construcción se denomina tetraedro chato en su forma de icosaedro regular, generado por las mismas operaciones realizadas a partir del vector ( ϕ , 1, 0), donde ϕ es la proporción áurea . [3]
En el icosaedro de Jessen, a veces llamado icosaedro ortogonal de Jessen , las 12 caras isósceles están dispuestas de manera diferente de modo que la figura no es convexa y tiene ángulos diédricos rectos .
Son tijeras congruentes con un cubo, lo que significa que se pueden cortar en trozos poliédricos más pequeños que se pueden reorganizar para formar un cubo sólido.
Un icosaedro regular es topológicamente idéntico a un cuboctaedro con sus 6 caras cuadradas divididas en diagonales con simetría piritoédrica. Los icosaedros con simetría piritoédrica constituyen una familia infinita de poliedros que incluyen el cuboctaedro, el icosaedro regular, el icosaedro de Jessen y el octaedro de doble cubierta . Existen transformaciones cinemáticas cíclicas entre los miembros de esta familia.
El icosaedro rómbico es un zonoedro formado por 20 rombos congruentes. Se puede derivar del triacontaedro rómbico eliminando 10 caras intermedias. Aunque todas las caras son congruentes, el icosaedro rómbico no es transitivo de caras .
Los icosaedros comunes con simetrías de pirámide y prisma incluyen:
Varios sólidos de Johnson son icosaedros: [5]
