En geometría , un sólido de Johnson es un poliedro estrictamente convexo, cada cara del cual es un polígono regular . No hay ningún requisito de que cada cara deba ser el mismo polígono , o que los mismos polígonos se unan alrededor de cada vértice . Un ejemplo de sólido de Johnson es la pirámide de base cuadrada con lados equiláteros ( J 1 ); tiene 1 cara cuadrada y 4 caras triangulares. Algunos autores exigen que el sólido no sea uniforme (es decir, no sea sólido platónico , sólido de Arquímedes , prisma uniforme o antiprisma uniforme ) antes de referirse a él como un "sólido de Johnson".
Como en cualquier sólido estrictamente convexo, al menos tres caras se encuentran en cada vértice y el total de sus ángulos es inferior a 360 grados. Dado que un polígono regular tiene ángulos de al menos 60 grados, se deduce que como máximo cinco caras se encuentran en cualquier vértice. La pirámide pentagonal ( J 2 ) es un ejemplo que tiene un vértice de grado 5.
Aunque no existe una restricción obvia de que cualquier polígono regular dado no pueda ser una cara de un sólido de Johnson, resulta que las caras de los sólidos de Johnson que no son uniformes (es decir, no son un sólido platónico , un sólido de Arquímedes , un prisma uniforme o un antiprisma uniforme). ) siempre tienen 3, 4, 5, 6, 8 o 10 lados.
En 1966, Norman Johnson publicó una lista que incluía los 92 sólidos de Johnson (excluyendo los 5 sólidos platónicos, los 13 sólidos de Arquímedes, los infinitos prismas uniformes y los infinitos antiprismas uniformes), y les dio sus nombres y números. No demostró que sólo fueran 92, pero sí conjeturó que no había más. Víctor Zalgaller demostró en 1969 que la lista de Johnson estaba completa.
De los sólidos de Johnson, la girobicúpula cuadrada alargada ( J 37 ), también llamada pseudorombicuboctaedro, [1] es única por ser localmente uniforme en los vértices: hay 4 caras en cada vértice, y su disposición es siempre la misma: 3 cuadrados y 1 triángulo. Sin embargo, no es transitivo de vértice , ya que tiene diferente isometría en diferentes vértices, lo que lo convierte en un sólido de Johnson en lugar de un sólido de Arquímedes .
87 de los 92 sólidos de Johnson tienen la propiedad de Rupert : una copia del sólido, de forma igual o mayor, puede pasar a través de un agujero en el sólido. [2]
La denominación de los sólidos de Johnson sigue una fórmula descriptiva flexible y precisa, de modo que muchos sólidos pueden denominarse de diferentes maneras sin comprometer su precisión como descripción. La mayoría de los sólidos de Johnson se pueden construir a partir de los primeros ( pirámides , cúpulas y rotondas ), junto con los sólidos, prismas y antiprismas platónicos y de Arquímedes ; el centro del nombre de un sólido en particular reflejará estos ingredientes. A partir de ahí, se adjuntan a la palabra una serie de prefijos para indicar adiciones, rotaciones y transformaciones:
Las últimas tres operaciones ( aumento , disminución y giro ) se pueden realizar varias veces para ciertos sólidos grandes. Bi- y Tri- indican una operación doble y triple respectivamente. Por ejemplo, un sólido bigirato tiene dos cúpulas rotadas y un sólido tridiminuido tiene tres pirámides o cúpulas eliminadas.
En ciertos sólidos grandes, se hace una distinción entre sólidos donde las caras alteradas son paralelas y sólidos donde las caras alteradas son oblicuas. Para- indica el primero, que el sólido en cuestión tiene caras paralelas alteradas, y meta- el segundo, caras oblicuas alteradas. Por ejemplo, a un sólido parabiaumentado se le han aumentado dos caras paralelas y a un sólido metabigirato se le han aumentado 2 caras oblicuas.
Los últimos sólidos de Johnson tienen nombres basados en ciertos complejos poligonales a partir de los cuales se ensamblan. Estos nombres están definidos por Johnson [3] con la siguiente nomenclatura:
Los primeros 6 sólidos de Johnson son pirámides, cúpulas o rotondas con como máximo 5 caras laterales. Las pirámides y cúpulas con 6 o más caras laterales son coplanares y, por tanto, no son sólidos de Johnson.
Los dos primeros sólidos de Johnson, J1 y J2, son pirámides . La pirámide triangular es el tetraedro regular , por lo que no es un sólido de Johnson. Representan secciones de poliedros regulares.
Los siguientes cuatro sólidos de Johnson son tres cúpulas y una rotonda . Representan secciones de poliedros uniformes.
Los sólidos de Johnson del 7 al 17 se derivan de las pirámides.
En la pirámide triangular giroelongada, tres pares de triángulos adyacentes son coplanares y forman rombos no cuadrados, por lo que no es un sólido de Johnson.
La bipirámide cuadrada es el octaedro regular , mientras que la bipirámide pentagonal giroelongada es el icosaedro regular , por lo que no son sólidos de Johnson. En la bipirámide triangular giroelongada, seis pares de triángulos adyacentes son coplanares y forman rombos no cuadrados, por lo que tampoco es un sólido de Johnson.
Los sólidos de Johnson 18 a 48 se derivan de cúpulas y rotondas.
La girobicúpula triangular es un sólido de Arquímedes (en este caso el cuboctaedro ), por lo que no es un sólido de Johnson.
La girobirotunda pentagonal es un sólido de Arquímedes (en este caso el icosidodecaedro ), por lo que no es un sólido de Johnson.
La ortobicúpula cuadrada alargada es un sólido de Arquímedes (en este caso el rombicuboctaedro ), por lo que no es un sólido de Johnson.
Estos sólidos de Johnson tienen 2 formas quirales.
Los sólidos de Johnson 49 a 57 se construyen aumentando los lados de los prismas con pirámides cuadradas.
J8 y J15 también encajarían aquí, como prisma cuadrado aumentado y prisma cuadrado biaumentado.
Los sólidos de Johnson 58 a 64 se construyen aumentando o disminuyendo los sólidos platónicos.
Los sólidos de Johnson 65 a 83 se construyen aumentando, disminuyendo o girando sólidos de Arquímedes.
J37 también aparecería aquí como un duplicado (es un rombicuboctaedro giratorio).
Otros sólidos de Arquímedes pueden girarse y disminuirse, pero todos dan como resultado sólidos previamente contados.
Los sólidos Johnson 84 a 92 no se derivan de manipulaciones de "cortar y pegar" de sólidos uniformes .
Los antiprismas chatos se pueden construir como una alternancia de un antiprisma truncado. Las girobianticúpulas son otra construcción de los antiprismas chatos. A partir de polígonos regulares sólo se pueden construir antiprismas chatos con un máximo de 4 lados. El antiprisma triangular chato es el icosaedro regular , por lo que no es un sólido de Johnson.
Cinco sólidos de Johnson son deltaedros , con todas las caras de triángulos equiláteros:
Veinticuatro sólidos de Johnson tienen sólo caras triangulares o cuadradas:
Once sólidos de Johnson tienen sólo caras de triángulo y pentágono:
Veinte sólidos de Johnson sólo tienen caras de triángulo, cuadrado y pentágono:
Ocho sólidos de Johnson sólo tienen caras de triángulo, cuadrado y hexágono:
Cinco sólidos de Johnson tienen sólo caras de triángulo, cuadrado y octágono:
Dos sólidos de Johnson sólo tienen caras de triángulo, pentágono y decágono:
Sólo un sólido de Johnson tiene caras de triángulo, cuadrado, pentágono y hexágono:
Dieciséis sólidos de Johnson tienen sólo caras de triángulo, cuadrado, pentágono y decágono:
25 de los sólidos de Johnson tienen vértices que existen en la superficie de una esfera : 1–6,11,19,27,34,37,62,63,72–83. Todos ellos pueden verse relacionados con un poliedro regular o uniforme por giro, disminución o disección. [4]
olyhedra." J. Math. Sci. 162, 710-729, 2009.