Prisma triangular triaumentado

Poliedro convexo con 14 caras triangulares

El prisma triangular triaumentado , en geometría, es un poliedro convexo con 14 triángulos equiláteros como caras. Se puede construir a partir de un prisma triangular uniendo pirámides cuadradas equiláteras a cada una de sus tres caras cuadradas. La misma forma también se llama prisma tetrakis triangular , ^[1] prisma trigonal tricapped , ^[2] tetracaidecadeltahedro , ^{[3] [4]} o tetrakaidecadeltahedro ; ^[1] estos últimos nombres significan un poliedro con 14 caras triangulares. Es un ejemplo de deltaedro , poliedro compuesto y sólido de Johnson .

Las aristas y vértices del prisma triangular triaumentado forman un grafo plano maximalista con 9 vértices y 21 aristas, llamado grafo de Fritsch . Fue utilizado por Rudolf y Gerda Fritsch para demostrar que el intento de Alfred Kempe de demostrar el teorema de los cuatro colores era incorrecto. El grafo de Fritsch es uno de los únicos seis grafos en los que cada entorno es un ciclo de 4 o 5 vértices.

El poliedro dual del prisma triangular triaumentado es un asociaedro , un poliedro con cuatro caras cuadriláteras y seis pentágonos cuyos vértices representan las 14 triangulaciones de un hexágono regular . De la misma manera, los nueve vértices del prisma triangular triaumentado representan las nueve diagonales de un hexágono, con dos vértices conectados por una arista cuando las dos diagonales correspondientes no se cruzan. Otras aplicaciones del prisma triangular triaumentado aparecen en química como base de la geometría molecular prismática trigonal tricapped , y en optimización matemática como solución al problema de Thomson y al problema de Tammes .

Construcción

Modelo 3D del prisma triangular triaumentado

El prisma triangular triaumentado es un poliedro compuesto , lo que significa que se puede construir uniendo pirámides cuadradas equiláteras a cada una de las tres caras cuadradas de un prisma triangular , un proceso llamado aumento . ^{[5] [6]} Estas pirámides cubren cada cuadrado, reemplazándolo con cuatro triángulos equiláteros , de modo que el poliedro resultante tiene 14 triángulos equiláteros como caras. Un poliedro con solo triángulos equiláteros como caras se llama deltaedro . Solo hay ocho deltaedros convexos diferentes , uno de los cuales es el prisma triangular triaumentado. ^{[7] [8]} De manera más general, los poliedros convexos en los que todas las caras son polígonos regulares se denominan sólidos de Johnson , y cada deltaedro convexo es un sólido de Johnson. El prisma triangular triaumentado se numera entre los sólidos de Johnson como . ^[9] ${\displaystyle J_{51}}$

Un posible sistema de coordenadas cartesianas para los vértices de un prisma triangular triaumentado, dándole una longitud de arista de 2, es: ^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(0,{\frac {2}{\sqrt {3}}},\pm 1\right),\qquad &\left(\pm 1,-{\frac {1}{\sqrt {3}}},\pm 1\right),\\\left(0,-{\frac {1+{\sqrt {6}}}{\sqrt {3}}},0\right),\qquad &\left(\pm {\frac {1+{\sqrt {6}}}{2}},{\frac {1+{\sqrt {6}}}{2{\sqrt {3}}}},0\right).\\\end{aligned}}}$$

Propiedades

Un prisma triangular triaumentado con una longitud de arista tiene un área de superficie ^[10] igual al área de 14 triángulos equiláteros. Su volumen, ^[10] se puede obtener dividiendo el prisma en un prisma central y tres pirámides cuadradas, y sumando sus volúmenes. ^[10] ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\frac {7{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\approx 6.062a^{2},}$$ $${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}{4}}a^{3}\approx 1.140a^{3},}$$

Tiene el mismo grupo de simetría tridimensional que el prisma triangular, el grupo diedro de orden doce. Sus ángulos diedros se pueden calcular sumando los ángulos de las pirámides y el prisma componentes. El prisma en sí tiene ángulos diedros cuadrado-triángulo y ángulos cuadrado-cuadrado . Los ángulos triángulo-triángulo en la pirámide son los mismos que en el octaedro regular , y los ángulos cuadrado-triángulo son la mitad. Por lo tanto, para el prisma triangular triaumentado, los ángulos diedros incidentes a los vértices de grado cuatro, en las aristas de los triángulos del prisma y en las aristas de prisma cuadrado a cuadrado son, respectivamente, ^[11] ${\displaystyle D_{3\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle \pi /3}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&\approx 109.5^{\circ },\\{\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2}}\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&\approx 144.7^{\circ },\\{\frac {\pi }{3}}+\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&\approx 169.5^{\circ }.\\\end{aligned}}}$$

Gráfico de Fritsch

El grafo de Fritsch y su mapa dual. Para la coloración parcial de 4 colores que se muestra, las cadenas de Kempe rojo-verde y azul-verde se cruzan. No es posible liberar un color para la región central sin color intercambiando colores en una sola cadena, lo que contradice la prueba falsa de Alfred Kempe del teorema de los cuatro colores.

El gráfico del prisma triangular triaumentado tiene 9 vértices y 21 aristas. Fritsch y Fritsch (1998) lo utilizaron como un pequeño contraejemplo de la falsa demostración de Alfred Kempe del teorema de los cuatro colores utilizando cadenas de Kempe , y su mapa dual se utilizó como ilustración de portada de su libro. ^[12] Por lo tanto, este gráfico se ha denominado posteriormente gráfico de Fritsch . ^[13] Un contraejemplo aún más pequeño, llamado gráfico de Soifer, se obtiene eliminando una arista del gráfico de Fritsch (la arista inferior en la ilustración aquí). ^{[13] [14]}

El grafo de Fritsch es uno de los seis grafos conectados en los que el entorno de cada vértice es un ciclo de longitud cuatro o cinco. De manera más general, cuando cada vértice de un grafo tiene un ciclo de longitud al menos cuatro como su entorno, los triángulos del grafo se unen automáticamente para formar una superficie topológica llamada triangulación de Whitney . Estos seis grafos provienen de las seis triangulaciones de Whitney que, cuando sus triángulos son equiláteros, tienen un defecto angular positivo en cada vértice. Esto los convierte en un análogo combinatorio de las superficies suaves de curvatura positiva. Provienen de seis de los ocho deltaedros, excluyendo los dos que tienen un vértice con un entorno triangular. Además del grafo de Fritsch, los otros cinco son los grafos del octaedro regular , el icosaedro regular , la bipirámide pentagonal , el disfenoide romo y la bipirámide cuadrada giroelongada . ^[15]

Asociaedro dual

Poliedro dual del prisma triangular triaumentado

El poliedro dual del prisma triangular triaumentado tiene una cara por cada vértice del prisma triangular triaumentado, y un vértice por cada cara. Es un eneaedro (es decir, un poliedro de nueve lados) ^[16] que se puede realizar con tres caras cuadradas no adyacentes , y seis caras más que son pentágonos irregulares congruentes . ^[17] También se conoce como un asociaedro de orden 5 , un poliedro cuyos vértices representan las 14 triangulaciones de un hexágono regular . ^[16] Una forma menos simétrica de este poliedro dual, obtenida al cortar un octaedro truncado en cuatro cuartos congruentes por dos planos que bisecan perpendicularmente dos familias paralelas de sus aristas, es un poliedro que llena el espacio . ^[18]

En términos más generales, cuando un politopo es el dual de un asociaedro, su límite (un complejo simplicial de triángulos, tetraedros o símplices de dimensiones superiores) se denomina "complejo de cúmulos". En el caso del prisma triangular triaumentado, se trata de un complejo de cúmulos de tipo , asociado con el diagrama de Dynkin. ${\displaystyle A_{3}}$ ${\displaystyle A_{3}}$ , el sistema de raíces y el álgebra de grupos . ^[19] La conexión con el asociaedro proporciona una correspondencia entre los nueve vértices del prisma triangular triaumentado y las nueve diagonales de un hexágono. Los bordes del prisma triangular triaumentado corresponden a pares de diagonales que no se cruzan, y las caras triangulares del prisma triangular triaumentado corresponden a las triangulaciones del hexágono (que consisten en tres diagonales que no se cruzan). Las triangulaciones de otros polígonos regulares corresponden a politopos de la misma manera, con dimensión igual al número de lados del polígono menos tres. ^[16] ${\displaystyle A_{3}}$ ${\displaystyle A_{3}}$

Aplicaciones

En la geometría de los compuestos químicos , es común visualizar un grupo de átomos que rodea a un átomo central como un poliedro, la envoltura convexa de las ubicaciones de los átomos circundantes. La geometría molecular prismática trigonal tricapped describe grupos para los cuales este poliedro es un prisma triangular triaumentado, aunque no necesariamente uno con caras de triángulos equiláteros. ^[2] Por ejemplo, los lantánidos desde el lantano hasta el disprosio se disuelven en agua para formar cationes rodeados por nueve moléculas de agua dispuestas como un prisma triangular triaumentado. ^[20]

En el problema de Thomson , relativo a la configuración de energía mínima de partículas cargadas sobre una esfera, y para el problema de Tammes de construir un código esférico que maximice la distancia más pequeña entre los puntos, la solución mínima conocida para coloca los puntos en los vértices de un prisma triangular triaumentado con caras no equiláteras, inscrito en una esfera . Se ha demostrado que esta configuración es óptima para el problema de Tammes, pero no se conoce una solución rigurosa para esta instancia del problema de Thomson. ^[21] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=9}$

Véase también

• Poliedro de Császár  - Poliedro toroidal con 14 caras triangulares
• Poliedro de Steffen  : poliedro flexible con 14 caras triangulares

Referencias

1. Sloane, NJA ; Hardin, RH; Duff, TDS; Conway, JH (1995), "Cúmulos de esferas duras de energía mínima", Geometría discreta y computacional , 14 (3): 237–259, doi : 10.1007/BF02570704 , MR  1344734, S2CID  26955765
2. Kepert, David L. (1982), "Poliedros", Conceptos de química inorgánica , vol. 6, Springer, págs. 7-21, doi :10.1007/978-3-642-68046-5_2, ISBN 978-3-642-68048-9
3. Burgiel, Heidi (2015), "Unidad de origami: construcción de estrellas sobre deltaedros", en Delp, Kelly; Kaplan, Craig S.; McKenna, Douglas; Sarhangi, Reza (eds.), Proceedings of Bridges 2015: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture , Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, págs. 585–588, ISBN 978-1-938664-15-1
4. Pugh, Anthony (1976), Poliedros: un enfoque visual , University of California Press, pág. 31, ISBN 9780520030565; ver tabla, línea 35
5. Timofeenko, AV (2009), "Poliedros convexos con caras de parquet" (PDF) , Docklady Mathematics , 80 (2): 720–723, doi :10.1134/S1064562409050238
6. Trigg, Charles W. (1978), "Una clase infinita de deltaedros", Mathematics Magazine , 51 (1): 55–57, doi :10.1080/0025570X.1978.11976675, JSTOR  2689647, MR  1572246
7. Freudenthal, H .; van der Waerden, BL (1947), "Sobre una afirmación de Euclides", Simon Stevin , 25 : 115–121, SEÑOR  0021687
8. Cundy, H. Martyn (diciembre de 1952), "Deltahedra", The Mathematical Gazette , 36 (318): 263–266, doi :10.2307/3608204, JSTOR  3608204, MR  0051525, S2CID  250435684
9. Francis, Darryl (agosto de 2013), "Sólidos de Johnson y sus acrónimos", Word Ways , 46 (3): 177
10. Berman, Martin (1971), "Poliedros convexos de caras regulares", Journal of the Franklin Institute , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245; véase el cuadro IV, línea 71, pág. 338
11. Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Revista canadiense de matemáticas , 18 : 169-200, doi : 10.4153/CJM-1966-021-8 , MR  0185507, S2CID  122006114; ver Tabla III, línea 51
12. Fritsch, Rudolf; Fritsch, Gerda (1998), El teorema de los cuatro colores: historia, fundamentos topológicos e idea de prueba , Nueva York: Springer-Verlag, págs. 175-176, doi : 10.1007/978-1-4612-1720-6 , ISBN 0-387-98497-6, Sr.  1633950
13. Gethner, Ellen ; Kallichanda, Bopanna; Mentis, Alexander; Braudrick, Sarah; Chawla, Sumeet; Clune, Andrew; Drummond, Rachel; Evans, Panagiota; Roche, William; Takano, Nao (octubre de 2009), "¿Qué tan falsa es la prueba de Kempe del teorema de los cuatro colores? Parte II", Involve: A Journal of Mathematics , 2 (3), Mathematical Sciences Publishers: 249–265, doi : 10.2140/involve.2009.2.249
14. Soifer, Alexander (2008), El libro para colorear matemático , Springer-Verlag, págs. 181-182, ISBN 978-0-387-74640-1
15. Knill, Oliver (2019), Un teorema de esfera simple para gráficos , arXiv : 1910.02708
16. Fomin, Sergey; Reading, Nathan (2007), "Sistemas de raíces y asociaedros generalizados", en Miller, Ezra; Reiner, Victor; Sturmfels, Bernd (eds.), Combinatoria geométrica , IAS/Park City Mathematics Series, vol. 13, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, págs. 63–131, arXiv : math/0505518 , doi :10.1090/pcms/013/03, MR  2383126, S2CID  11435731; ver Definición 3.3, Figura 3.6 y discusión relacionada
17. Amir, Yifat; Séquin, Carlo H. (2018), "Toroides modulares construidos a partir de nonahedros", en Torrence, Eve ; Torrence, Bruce; Séquin, Carlo ; Fenyvesi, Kristóf (eds.), Proceedings of Bridges 2018: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture , Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, págs. 131–138, ISBN 978-1-938664-27-4
18. Goldberg, Michael (1982), "Sobre los eneaedros que llenan el espacio", Geometriae Dedicata , 12 (3): 297–306, doi :10.1007/BF00147314, MR  0661535, S2CID  120914105; véase poliedro 9-IV, pág. 301
19. Barcelo, Hélène ; Severs, Christopher; White, Jacob A. (2013), "El grupo fundamental discreto del asociaedro y el módulo de intercambio", International Journal of Algebra and Computation , 23 (4): 745–762, arXiv : 1012.2810 , doi :10.1142/S0218196713400079, MR  3078054, S2CID  14722555
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21. Whyte, LL (1952), "Disposiciones únicas de puntos en una esfera", The American Mathematical Monthly , 59 (9): 606–611, doi :10.1080/00029890.1952.11988207, JSTOR  2306764, MR  0050303