En matemáticas , un asociaedro K n es un politopo convexo de ( n – 2) dimensiones en el que cada vértice corresponde a una forma de insertar correctamente los paréntesis de apertura y cierre en una cadena de n letras, y las aristas corresponden a una única aplicación de la regla de asociatividad . De manera equivalente, los vértices de un asociaedro corresponden a las triangulaciones de un polígono regular con n + 1 lados y las aristas corresponden a cambios de aristas en los que se elimina una única diagonal de una triangulación y se reemplaza por una diagonal diferente. Los asociaedros también se denominan politopos de Stasheff en honor al trabajo de Jim Stasheff , quien los redescubrió a principios de la década de 1960 [1] después de un trabajo anterior sobre ellos de Dov Tamari . [2]
El asociaedro unidimensional K 3 representa las dos paréntesis (( xy ) z ) y ( x ( yz )) de tres símbolos, o las dos triangulaciones de un cuadrado. Es en sí mismo un segmento de línea.
El asociaedro bidimensional K 4 representa las cinco paréntesis de cuatro símbolos, o las cinco triangulaciones de un pentágono regular. Es en sí mismo un pentágono y está relacionado con el diagrama de pentágonos de una categoría monoidal .
El asociaedro tridimensional K 5 es un eneaedro con nueve caras (tres cuadriláteros disjuntos y seis pentágonos) y catorce vértices, y su dual es el prisma triangular triaumentado .
Inicialmente, Jim Stasheff consideró estos objetos como politopos curvilíneos . Posteriormente, se les asignaron coordenadas como politopos convexos de varias maneras diferentes; véase la introducción de Ceballos, Santos y Ziegler (2015) para una descripción general. [3]
Un método para realizar el asociaedro es como el politopo secundario de un polígono regular. [3] En esta construcción, cada triangulación de un polígono regular con n + 1 lados corresponde a un punto en el espacio euclidiano ( n + 1)-dimensional , cuya i ésima coordenada es el área total de los triángulos incidentes al i ésimo vértice del polígono. Por ejemplo, las dos triangulaciones del cuadrado unitario dan lugar de esta manera a dos puntos de cuatro dimensiones con coordenadas (1, 1/2, 1, 1/2) y (1/2, 1, 1/2, 1). La envoltura convexa de estos dos puntos es la realización del asociaedro K 3 . Aunque vive en un espacio de cuatro dimensiones, forma un segmento de línea (un politopo de una dimensión) dentro de ese espacio. De manera similar, el asociaedro K 4 puede realizarse de esta manera como un pentágono regular en el espacio euclidiano pentadimensional, cuyas coordenadas de vértice son las permutaciones cíclicas del vector (1, 2 + φ, 1, 1 + φ, 1 + φ) donde φ denota la proporción áurea . Debido a que los posibles triángulos dentro de un hexágono regular tienen áreas que son múltiplos enteros entre sí, esta construcción puede usarse para dar coordenadas enteras (en seis dimensiones) al asociaedro tridimensional K 5 ; sin embargo (como ya muestra el ejemplo de K 4 ) esta construcción en general conduce a números irracionales como coordenadas.
Otra realización, debida a Jean-Louis Loday , se basa en la correspondencia de los vértices del asociaedro con árboles binarios con raíz de n hojas , y produce directamente coordenadas enteras en un espacio de dimensión ( n − 2). La i -ésima coordenada de la realización de Loday es a i b i , donde a i es el número de descendientes de hojas del hijo izquierdo del i -ésimo nodo interno del árbol (en orden de izquierda a derecha) y b i es el número de descendientes de hojas del hijo derecho. [4]
Es posible realizar el asociaedro directamente en el espacio de ( n − 2) dimensiones como un politopo para el cual todos los vectores normales a las caras tienen coordenadas que son 0, +1 o −1. Hay muchas formas combinatoriamente distintas de hacer esto. [3] [5]
Como K 5 es un poliedro solo con vértices en los que se juntan 3 aristas es posible que exista un hidrocarburo (similar a los hidrocarburos platónicos ) cuya estructura química está representada por el esqueleto de K 5 . [6] Este "asociaedro" C 14 H 14 tendría la notación SMILES : C12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78. Sus aristas serían de longitud aproximadamente igual, pero los vértices de cada cara no serían necesariamente coplanares.
De hecho, K 5 es un sólido de Johnson que se acerca mucho a lo normal : parece que se podría crear a partir de cuadrados y pentágonos regulares, pero no es así. O bien los vértices no serán del todo coplanares, o bien las caras tendrán que distorsionarse ligeramente para alejarlas de la regularidad.
El número de caras ( n − k )-dimensionales del asociaedro de orden n (K n +1 ) está dado por el triángulo numérico [7] ( n , k ), que se muestra a la derecha.
El número de vértices en K n +1 es el n -ésimo número de Catalan (diagonal recta del triángulo).
El número de facetas en K n +1 (para n ≥2) es el n -ésimo número triangular menos uno (segunda columna del triángulo), porque cada faceta corresponde a un 2- subconjunto de los n objetos cuyas agrupaciones forman la red de Tamari T n , excepto el 2-subconjunto que contiene el primer y el último elemento.
El número de caras de todas las dimensiones (incluido el propio asociaedro como cara, pero sin incluir el conjunto vacío) es un número de Schröder-Hipparchus (sumas de filas del triángulo). [8]
A finales de los años 1980, en relación con el problema de la distancia de rotación , Daniel Sleator , Robert Tarjan y William Thurston proporcionaron una prueba de que el diámetro del asociaedro n -dimensional K n + 2 es como máximo 2 n − 4 para una cantidad infinita de n y para todos los valores "suficientemente grandes" de n . [9] También demostraron que este límite superior es estricto cuando n es suficientemente grande, y conjeturaron que "suficientemente grande" significa "estrictamente mayor que 9". Esta conjetura fue demostrada en 2012 por Lionel Pournin. [10]
En 2017, Mizera [11] y Arkani-Hamed et al. [12] demostraron que el asociaedro desempeña un papel central en la teoría de amplitudes de dispersión para la teoría escalar cúbica biadjunta. En particular, existe un asociaedro en el espacio de la cinemática de dispersión, y la amplitud de dispersión a nivel de árbol es el volumen del asociaedro dual. [12] El asociaedro también ayuda a explicar las relaciones entre las amplitudes de dispersión de cuerdas abiertas y cerradas en la teoría de cuerdas . [11]