Cúpula triangular alargada

Poliedro con cúpula triangular y prisma hexagonal.

En geometría , la cúpula triangular alargada es un poliedro construido a partir de un prisma hexagonal uniendo una cúpula triangular . Es un ejemplo de sólido de Johnson .

Construcción

La cúpula triangular alargada se construye a partir de un prisma hexagonal uniendo una cúpula triangular a una de sus bases, un proceso conocido como alargamiento . ^[1] Esta cúpula cubre la cara hexagonal de modo que el poliedro resultante tiene cuatro triángulos equiláteros , nueve cuadrados y un hexágono regular . ^[2] Un poliedro convexo en el que todas las caras son polígonos regulares es el sólido de Johnson . La cúpula triangular alargada es uno de ellos, enumerado como el decimoctavo sólido de Johnson . ^[3] ${\displaystyle J_{18}}$

Propiedades

El área de superficie de una cúpula triangular alargada es la suma del área de todas las caras poligonales. El volumen de una cúpula triangular alargada se puede determinar diseccionándola en una cúpula y un prisma hexagonal, y luego sumando su volumen. Dada la longitud del borde , su superficie y volumen se pueden formular como: ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {18+5{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}&\approx 13.330a^{2},\\V&={\frac {5{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}}{6}}a^{3}&\approx 3.777a^{3}.\end{aligned}}}$$

Modelo 3D de una cúpula triangular alargada.

Tiene la misma simetría tridimensional que la cúpula triangular, el grupo cíclico de orden 6. Su ángulo diédrico se puede calcular sumando el ángulo de una cúpula triangular y un prisma hexagonal: ^[4] ${\displaystyle C_{3\mathrm {v} }}$

• el ángulo diédrico de una cúpula triangular alargada entre cuadrado y triángulo es el de una cúpula triangular entre aquellos: 125,3°;
• el ángulo diédrico de una cúpula triangular alargada entre dos cuadrados adyacentes es el de un prisma hexagonal, el ángulo interno de su base es de 120°;
• El ángulo diédrico de un prisma hexagonal entre cuadrado y hexágono es de 90°, el de una cúpula triangular entre cuadrado y hexágono es de 54,7° y el de una cúpula triangular entre triángulo y hexágono es de 70,5°. Por lo tanto, la cúpula triangular alargada entre cuadrado a cuadrado y triángulo a cuadrado, en el borde donde una cúpula triangular está unida a un prisma hexagonal, es 90° + 54,7° = 144,7° y 90° + 70,5° = 166,5 ° respectivamente.

Poliedro dual

El dual de la cúpula triangular alargada tiene 15 caras: 6 triángulos isósceles, 3 rombos y 6 cuadriláteros.

Poliedros y panales relacionados

La cúpula triangular alargada puede formar un mosaico del espacio con tetraedros y pirámides cuadradas . ^[5]

Referencias

1. Rajwade, AR (2001), Poliedros convexos con condiciones de regularidad y tercer problema de Hilbert, Textos y lecturas en matemáticas, Hindustan Book Agency, p. 84–89, doi :10.1007/978-93-86279-06-4, ISBN 978-93-86279-06-4.
2. Berman, Martin (1971), "Poliedros convexos de caras regulares", Journal of the Franklin Institute , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245.
3. Francis, Darryl (agosto de 2013), "Sólidos de Johnson y sus siglas", Word Ways , 46 (3): 177.
4. Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR  0185507, S2CID  122006114, Zbl  0132.14603.
5. "Panal J18".

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Cúpula triangular alargada" ("Sólido de Johnson") en MathWorld .