Un cuboctaedro es un poliedro con 8 caras triangulares y 6 caras cuadradas. Un cuboctaedro tiene 12 vértices idénticos , con 2 triángulos y 2 cuadrados que se unen en cada uno, y 24 aristas idénticas , cada una de las cuales separa un triángulo de un cuadrado. Como tal, es un poliedro cuasiregular , es decir, un sólido de Arquímedes que no sólo es transitivo por vértices sino también transitivo por aristas . [1] Es radialmente equilátero.
Su poliedro dual es el dodecaedro rómbico .
El cuboctaedro probablemente era conocido por Platón : las Definiciones de Herón citan a Arquímedes diciendo que Platón conocía un sólido formado por 8 triángulos y 6 cuadrados. [2]
El cuboctaedro tiene cuatro proyecciones ortogonales especiales , centradas en un vértice, una arista y los dos tipos de caras, triangular y cuadrada. Los dos últimos corresponden a los aviones B 2 y A 2 Coxeter . Las proyecciones sesgadas muestran un cuadrado y un hexágono que pasan por el centro del cuboctaedro.
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El cuboctaedro también se puede representar como un mosaico esférico y proyectarse sobre el plano mediante una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando los ángulos pero no las áreas ni las longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.
Las coordenadas cartesianas para los vértices de un cuboctaedro (de longitud de arista ) centrado en el origen [4] son:
Se puede formar un conjunto alternativo de coordenadas en 4 espacios, como 12 permutaciones de:
Esta construcción existe como una de las 16 facetas orantes de las 16 celdas canteladas .
Los 12 vértices del cuboctaedro pueden representar los vectores raíz del grupo de Lie simple A 3 . Con la adición de 6 vértices del octaedro , estos vértices representan los 18 vectores raíz del grupo B 3 de Lie simple .
El área A y el volumen V del cuboctaedro de longitud de arista a son:
El cuboctaedro se puede dividir en 6 pirámides cuadradas y 8 tetraedros que se reúnen en un punto central. Esta disección se expresa en el panal tetraédrico-octaédrico donde se combinan pares de pirámides cuadradas en octaedros .
El cuboctaedro se puede dividir en dos cúpulas triangulares mediante un hexágono común que pasa por el centro del cuboctaedro. [a] Si estas dos cúpulas triangulares se tuercen de modo que los triángulos y los cuadrados se alineen, se crea el sólido de Johnson J 27 , la ortobicúpula triangular .
En un cuboctaedro, el radio largo (del centro al vértice) es igual a la longitud del borde; por lo tanto, su diámetro largo (de vértice a vértice opuesto) es de 2 longitudes de arista. Su centro es como el vértice apical de una pirámide canónica: a una arista de distancia de todos los demás vértices. (En el caso del cuboctaedro, el centro es en realidad el vértice de 6 pirámides cuadradas y 8 pirámides triangulares). Esta simetría radial equilátera es una propiedad de sólo unos pocos politopos uniformes, incluido el hexágono bidimensional , el cuboctaedro tridimensional y el teseracto tetradimensional de 24 y 8 celdas . Los politopos radialmente equiláteros son aquellos que pueden construirse, con sus radios largos, a partir de triángulos equiláteros que se encuentran en el centro del politopo, aportando cada uno de ellos dos radios y una arista. Por lo tanto, todos los elementos interiores que se encuentran en el centro de estos politopos tienen caras internas de triángulos equiláteros, como en la disección del cuboctaedro en 6 pirámides cuadradas y 8 tetraedros.
Cada uno de estos politopos radialmente equiláteros también se presenta como células de un mosaico característico que llena el espacio : el mosaico de hexágonos regulares, el panal cúbico rectificado (de cuboctaedros y octaedros alternados), el panal de 24 celdas y el panal teseractico , respectivamente. Cada teselación tiene una teselación dual ; los centros de celda en un teselado son vértices de celda en su teselado dual. El empaquetado de esferas regular más denso conocido en dos, tres y cuatro dimensiones utiliza los centros de las celdas de una de estas teselaciones como centros de esferas.
Un cuboctaedro tiene simetría octaédrica . Su primera estelación es el compuesto de un cubo y su octaedro dual , con los vértices del cuboctaedro situados en los puntos medios de las aristas de cualquiera de ellos.
Se puede obtener un cuboctaedro tomando una sección transversal ecuatorial de un cubo de cuatro dimensiones de 24 o 16 celdas . Se puede obtener un hexágono o un cuadrado tomando una sección transversal ecuatorial de un cuboctaedro.
El cuboctaedro es un cubo rectificado y también un octaedro rectificado .
También es un tetraedro cantelado . Con esta construcción se obtiene el símbolo de Wythoff : 3 3 | 2 .
Una cantelación sesgada del tetraedro produce un sólido con caras paralelas a las del cuboctaedro, es decir, ocho triángulos de dos tamaños y seis rectángulos. Si bien sus aristas son desiguales, este sólido permanece uniforme en los vértices : el sólido tiene el grupo de simetría tetraédrico completo y sus vértices son equivalentes bajo ese grupo.
Las aristas de un cuboctaedro forman cuatro hexágonos regulares . Si se corta el cuboctaedro en el plano de uno de estos hexágonos, cada mitad es una cúpula triangular , uno de los sólidos de Johnson ; Por lo tanto, el propio cuboctaedro también puede denominarse girobicúpula triangular , la más simple de una serie (aparte del girobifastigium o "girobicúpula digonal"). Si las mitades se vuelven a juntar con un giro, de modo que los triángulos se unan con los triángulos y los cuadrados se encuentren con los cuadrados, el resultado es otro sólido de Johnson, la ortobicúpula triangular , también llamada anticuboctaedro.
Ambas bicúpulas triangulares son importantes en el empaquetamiento de esferas . La distancia desde el centro del sólido hasta sus vértices es igual a la longitud de su arista. Cada esfera central puede tener hasta doce vecinos, y en una red cúbica centrada en las caras estos toman las posiciones de los vértices de un cuboctaedro. En una red hexagonal compacta, corresponden a las esquinas de la ortobicúpula triangular. En ambos casos la esfera central ocupa la posición del centro del sólido.
Los cuboctaedros aparecen como células en tres de los panales uniformes convexos y en nueve de los 4 politopos uniformes convexos .
El volumen del cuboctaedro es5/6del del cubo que lo encierra y5/8del del octaedro circundante.
Debido a que es radialmente equilátero, el centro del cuboctaedro está a una longitud de arista de distancia de los 12 vértices.
El cuboctaedro comparte sus aristas y disposición de vértices con dos poliedros uniformes no convexos : el cubohemioctaedro (que tiene las caras cuadradas en común) y el octahemioctaedro (que tiene las caras triangulares en común), ambos tienen cuatro hexágonos. También sirve como tetraedro cantelado , siendo un tetraedro rectificado .
El cuboctaedro 2-cubre al tetrahemihexaedro , [5] que en consecuencia tiene la misma figura abstracta de vértice (dos triángulos y dos cuadrados: 3.4.3.4) y la mitad de los vértices, aristas y caras. (La cifra real del vértice del tetrahemihexaedro es 3,4.3/2.4, con ela/2factor debido a la cruz.)
Cuando se interpreta como un marco de caras planas rígidas, conectadas a lo largo de los bordes mediante bisagras, el cuboctaedro es una estructura rígida, como lo son todos los poliedros convexos, según el teorema de Cauchy . Sin embargo, cuando se eliminan las caras, dejando sólo bordes rígidos conectados por uniones flexibles en los vértices, el resultado no es un sistema rígido (a diferencia de los poliedros cuyas caras son todas triángulos, a los que se aplica el teorema de Cauchy a pesar de las caras faltantes).
Al agregar un vértice central, conectado por aristas rígidas a todos los demás vértices, se subdivide el cuboctaedro en pirámides cuadradas y tetraedros, que se encuentran en el vértice central. A diferencia del propio cuboctaedro, el sistema resultante de aristas y uniones es rígido y forma parte de la estructura de celosía de octeto infinito .
El cuboctaedro pertenece a una familia de poliedros uniformes relacionados con el cubo y el octaedro regular.
El cuboctaedro también tiene simetría tetraédrica con dos colores de triángulos.
El cuboctaedro existe en una secuencia de simetrías de poliedros cuasiregulares y mosaicos con configuraciones de vértice (3. n ) 2 , progresando desde mosaicos de la esfera al plano euclidiano y al plano hiperbólico. Con simetría de notación orbifold de * n 32, todos estos mosaicos son construcciones de Wythoff dentro de un dominio de simetría fundamental, con puntos generadores en la esquina del ángulo recto del dominio. [6] [7]
Este poliedro está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros cantelados con figura de vértice (3.4.n.4 ) , y continúa como mosaicos del plano hiperbólico . Estas figuras transitivas de vértice tienen (* n 32) simetría reflexiva .
El cuboctaedro se puede descomponer en un octaedro regular y ocho octaedros irregulares pero iguales en forma de casco convexo de un cubo al que se le han eliminado dos vértices opuestos. Esta descomposición del cuboctaedro corresponde a la proyección paralela de la primera celda de las 24 celdas en tres dimensiones. Bajo esta proyección, el cuboctaedro forma la envoltura de proyección, que se puede descomponer en seis caras cuadradas, un octaedro regular y ocho octaedros irregulares. Estos elementos se corresponden con las imágenes de seis de las celdas octaédricas en las 24 celdas, las celdas más cercanas y más alejadas desde el punto de vista 4D, y los ocho pares de celdas restantes, respectivamente.
En el campo matemático de la teoría de grafos , un gráfico cuboctaédrico es la gráfica de vértices y aristas del cuboctaedro, uno de los sólidos de Arquímedes . También se puede construir como la gráfica lineal del cubo. Tiene 12 vértices y 24 aristas, es localmente lineal y es un gráfico de Arquímedes cuártico . [8]
