En geometría , las 16 celdas son los 4 politopos convexos regulares (análogo de cuatro dimensiones de un sólido platónico) con el símbolo de Schläfli {3,3,4}. Es uno de los seis 4 politopos convexos regulares descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX. [1] También se le llama C 16 , hexadecachoron , [2] o hexdecaedroide [ sic ? ] . [3]
Es el miembro tetradimensional de una familia infinita de politopos llamados politopos cruzados , ortoplexos o hiperoctaedros que son análogos al octaedro en tres dimensiones. Es el politopo de Coxeter. [4] El politopo dual es el teseracto (4 cubos ), con el que se puede combinar para formar una figura compuesta . Las celdas de las 16 celdas son duales a los 16 vértices del teseracto.
Geometría
El de 16 celdas es el segundo en la secuencia de 6 4 politopos regulares convexos (en orden de tamaño y complejidad). [a]
Cada uno de sus 4 politopos regulares convexos sucesores se puede construir como la cáscara convexa de un politopo compuesto de múltiples 16 celdas: el teseracto de 16 vértices como un compuesto de dos de 16 celdas, el de 24 vértices y 24 celdas como un compuesto de tres 16 celdas, el de 120 vértices de 600 celdas como un compuesto de quince de 16 celdas y el de 600 vértices de 120 celdas como un compuesto de setenta y cinco de 16 celdas. [b]
Coordenadas
El de 16 celdas es el politopo cruzado de 4 dimensiones (4-ortoplex) , lo que significa que sus vértices se encuentran en pares opuestos en los 4 ejes de un sistema de coordenadas cartesiano (w, x, y, z).
Los ocho vértices son (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1). Todos los vértices están conectados por aristas excepto los pares opuestos. La longitud del borde es √ 2 .
Las coordenadas de los vértices forman 6 cuadrados centrales ortogonales que se encuentran en los 6 planos de coordenadas. Los cuadrados en planos opuestos que no comparten un eje (por ejemplo, en los planos xy y wz ) son completamente disjuntos (no se cruzan en ningún vértice). [C]
Las 16 celdas constituyen una base ortonormal para la elección de un sistema de referencia de 4 dimensiones, porque sus vértices definen exactamente los cuatro ejes ortogonales.
Las 16 celdas están delimitadas por 16 celdas , todas las cuales son tetraedros regulares . [e] Tiene 32 caras triangulares , 24 aristas y 8 vértices . Los 24 bordes unen 6 cuadrados centrales ortogonales que se encuentran en grandes círculos en los 6 planos de coordenadas (3 pares de grandes cuadrados completamente ortogonales [f] ). En cada vértice se cruzan perpendicularmente 3 grandes cuadrados. Las 6 aristas se encuentran en el vértice de la misma manera que 6 aristas se encuentran en el vértice de una pirámide octaédrica canónica . [d] Los 6 planos centrales ortogonales de las 16 celdas se pueden dividir en 4 hiperplanos centrales ortogonales (3 espacios), cada uno de los cuales forma un octaedro con 3 grandes cuadrados ortogonales.
Rotaciones
Las rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones pueden verse como la composición de dos rotaciones de 2 dimensiones en planos completamente ortogonales. [6] El de 16 celdas es un marco simple en el que observar rotaciones de 4 dimensiones, porque cada uno de los 6 grandes cuadrados del de 16 celdas tiene otro gran cuadrado completamente ortogonal (hay 3 pares de cuadrados completamente ortogonales). [c] Muchas rotaciones de las 16 celdas se pueden caracterizar por el ángulo de rotación en uno de sus grandes planos cuadrados (por ejemplo, el plano xy ) y otro ángulo de rotación en el gran plano cuadrado completamente ortogonal (el plano wz ). [j] Los grandes cuadrados completamente ortogonales tienen vértices disjuntos: 4 de los 8 vértices de las 16 celdas giran en un plano y los otros 4 giran de forma independiente en el plano completamente ortogonal. [gramo]
En 2 o 3 dimensiones una rotación se caracteriza por un único plano de rotación; este tipo de rotación que tiene lugar en el espacio 4 se denomina rotación simple , en la que sólo gira uno de los dos planos completamente ortogonales (el ángulo de rotación en el otro plano es 0). En las 16 celdas, una simple rotación en uno de los 6 planos ortogonales mueve sólo 4 de los 8 vértices; los otros 4 permanecen fijos. (En la animación de rotación simple anterior, los 8 vértices se mueven porque el plano de rotación no es uno de los 6 planos de base ortogonales).
En una doble rotación ambos conjuntos de 4 vértices se mueven, pero de forma independiente: los ángulos de rotación pueden ser diferentes en los 2 planos completamente ortogonales. Si los dos ángulos son iguales, se produce una rotación isoclínica de máxima simetría. [q] En las 16 celdas, una rotación isoclínica de 90 grados de cualquier par de planos cuadrados completamente ortogonales lleva cada plano cuadrado a su plano cuadrado completamente ortogonal. [r]
Construcciones
Dipirámide octaédrica
La construcción más simple de las 16 celdas se encuentra en el politopo cruzado tridimensional, el octaedro . El octaedro tiene 3 ejes perpendiculares y 6 vértices en 3 pares opuestos (su polígono de Petrie es el hexágono ). Agrega otro par de vértices, en un cuarto eje perpendicular a los 3 otros ejes. Conecte cada nuevo vértice a los 6 vértices originales, agregando 12 nuevas aristas. Esto eleva dos pirámides octaédricas sobre una base de octaedro compartida que se encuentra en el hiperplano central de 16 celdas. [10]
Proyección estereográfica de los 6 cuadrados centrales ortogonales de las 16 celdas sobre sus grandes círculos. Cada círculo se divide en 4 arcos en las intersecciones donde 3 círculos se cruzan perpendicularmente. Observe que cada círculo tiene un círculo paralelo de Clifford que no intersecta . Esos dos círculos se atraviesan como eslabones adyacentes de una cadena.
El octaedro con el que comienza la construcción tiene tres cuadrados perpendiculares que se cruzan (que aparecen como rectángulos en las proyecciones hexagonales). Cada cuadrado se cruza con cada uno de los otros cuadrados en dos vértices opuestos, y dos de los cuadrados se cruzan en cada vértice. Luego se agregan dos puntos más en la cuarta dimensión (arriba y debajo del hiperplano tridimensional). Estos nuevos vértices están conectados a todos los vértices del octaedro, creando 12 nuevas aristas y tres cuadrados más (que aparecen de canto como los 3 diámetros del hexágono en la proyección), y tres octaedros más. [h]
También se ha creado algo sin precedentes. Observe que cada cuadrado ya no se cruza con todos los demás cuadrados: se cruza con cuatro de ellos ( ahora tres de los cuadrados se cruzan en cada vértice), pero cada cuadrado tiene otro cuadrado con el que no comparte vértices: es No está directamente conectado a ese cuadrado en absoluto. Estos dos cuadrados perpendiculares separados (hay tres pares de ellos) son como los bordes opuestos de un tetraedro : perpendiculares, pero que no se cruzan. Se encuentran uno frente al otro (paralelos en cierto sentido) y no se tocan, pero también se atraviesan como dos eslabones perpendiculares de una cadena (pero a diferencia de los eslabones de una cadena, tienen un centro común). Son un ejemplo de planos paralelos de Clifford , y el de 16 celdas es el politopo regular más simple en el que se encuentran. El paralelismo de Clifford [l] de objetos de más de una dimensión (más que simplemente líneas curvas ) emerge aquí y ocurre en todos los politopos regulares de 4 dimensiones posteriores, donde puede verse como la relación definitoria entre 4 politopos regulares concéntricos disjuntos y sus partes correspondientes. Puede ocurrir entre politopos congruentes (similares) de 2 o más dimensiones. [11] Por ejemplo, como se señaló anteriormente, todos los 4 politopos regulares convexos posteriores son compuestos de múltiples 16 células; esas 16 células son politopos paralelos de Clifford .
Construcciones tetraédricas
El de 16 celdas tiene dos construcciones de Wythoff a partir de tetraedros regulares, una forma regular y una forma alternada, que se muestran aquí como redes , la segunda representada por celdas tetraédricas de dos colores alternos. La forma alternativa es una construcción de simetría inferior de 16 celdas llamada demitesseract .
Las 5 celdas características de las 16 celdas normales están representadas por el diagrama de Coxeter-Dynkin., que puede leerse como una lista de los ángulos diédricos entre sus facetas especulares. Es una pirámide tetraédrica irregular basada en el tetraedro característico del tetraedro regular . Las 16 celdas regulares están subdivididas por sus hiperplanos de simetría en 384 instancias de sus 5 celdas características que se encuentran en su centro.
El característico de 5 celdas (4-ortosquema) tiene cuatro aristas más que su base tetraedro característico (3-ortosquema), uniendo los cuatro vértices de la base a su vértice (el quinto vértice del 4-ortosquema, en el centro del normal de 16 celdas). [v] Si el cuadrado regular de 16 celdas tiene una arista de radio unitario y una longitud de arista 𝒍 = , sus diez aristas características de 5 celdas tienen longitudes , , alrededor de su cara exterior del triángulo rectángulo (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁) , [u] más , , (los otros tres bordes de la faceta exterior del 3-ortoesquema del tetraedro característico, que son los radios característicos del tetraedro regular), más , , , (bordes que son los radios característicos del tetraedro regular de 16- celúla). El camino de 4 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es , , , , primero desde un vértice de 16 celdas hasta un centro de arista de 16 celdas, luego gira 90° hasta un centro de cara de 16 celdas y luego gira 90° hasta un centro de cara de 16 celdas. -centro de celda tetraédrico, luego girando 90° hacia el centro de 16 celdas.
Construcción helicoidal
Un anillo de 4 dimensiones de 8 tetraedros unidos por caras, visto en la hélice de Boerdijk-Coxeter , delimitado por tres trayectorias circulares de ocho aristas de diferentes colores, cortadas y dispuestas planas en un espacio tridimensional. Contiene un eje isoclino (no se muestra), un círculo helicoidal de circunferencia 4𝝅 que gira en las cuatro dimensiones y visita los 8 vértices. [o] Los dos triángulos azul, azul y amarillo en cada extremo del anillo cortado son el mismo objeto.Proyección neta y ortogonal
Se puede construir una celda de 16 (de tres maneras diferentes) a partir de dos hélices de Boerdijk-Coxeter de ocho tetraedros encadenados, cada uno de ellos doblado en la cuarta dimensión formando un anillo. [16] [17] Las dos hélices circulares giran en espiral entre sí, se anidan entre sí y se atraviesan formando un enlace de Hopf . Las 16 caras del triángulo se pueden ver en una red 2D dentro de un mosaico triangular , con 6 triángulos alrededor de cada vértice. Los bordes morados representan el polígono de Petrie de 16 celdas. El anillo de tetraedros de ocho celdas contiene tres octagramas de diferentes colores, trayectorias circulares de ocho aristas que giran dos veces alrededor de las 16 celdas en cada tercer vértice del octagrama. Los bordes naranja y amarillo son dos mitades de cuatro bordes de un octagrama, que unen sus extremos para formar una tira de Möbius .
Por lo tanto, las 16 celdas se pueden descomponer en dos cadenas circulares separadas de ocho tetraedros cada una, de cuatro aristas de largo, una en espiral hacia la derecha (en el sentido de las agujas del reloj) y la otra en espiral hacia la izquierda (en el sentido contrario a las agujas del reloj). Los anillos de células zurdos y diestros encajan entre sí, encajando entre sí y llenando por completo las 16 células, aunque sean de quiralidad opuesta. Esta descomposición se puede ver en una construcción de 4-4 duoantiprismas de 16 celdas:o, Símbolo de Schläfli {2}⨂{2} o s{2}s{2}, simetría [4,2 + ,4], orden 64.
Tres caminos de ocho bordes (de diferentes colores) giran en espiral a lo largo de cada anillo de ocho celdas, formando ángulos de 90° en cada vértice. (En la hélice de Boerdijk-Coxeter antes de doblarse formando un anillo, los ángulos en diferentes trayectorias varían, pero no son 90°). Tres trayectorias (con tres colores y ángulos aparentes diferentes) pasan por cada vértice. Cuando la hélice se dobla formando un anillo, los segmentos de cada camino de ocho aristas (de varias longitudes) unen sus extremos, formando una tira de Möbius de ocho aristas de largo a lo largo de su circunferencia unilateral de 4𝝅 y una arista de ancho. [p] Las seis mitades de cuatro aristas de los tres caminos de ocho aristas forman cada una cuatro ángulos de 90°, pero no son los seis grandes cuadrados ortogonales: son cuadrados abiertos, hélices de 360° de cuatro aristas cuyos extremos abiertos son vértices antípodas . Las cuatro aristas provienen de cuatro grandes cuadrados diferentes y son mutuamente ortogonales. Combinados de extremo a extremo en pares de la misma quiralidad , los seis caminos de cuatro aristas forman tres bucles de Möbius de ocho aristas, octagramas helicoidales . Cada octagrama es a la vez un polígono de Petrie de las 16 celdas y la pista helicoidal a lo largo de la cual los ocho vértices giran juntos, en una de las distintas rotaciones isoclínicas de las 16 celdas. [w]
Cada hélice de ocho aristas es un octagrama sesgado {8/3} que gira tres veces alrededor de las 16 celdas y visita cada vértice antes de cerrarse en un bucle. Sus ocho √ 2 aristas son cuerdas de una isoclina , un arco helicoidal sobre el cual giran los 8 vértices durante una rotación isoclínica. [p] Los ocho vértices de 16 celdas están separados por √ 2 , excepto los vértices opuestos (antipodales), que están separados por √ 4 . Un vértice que se mueve en la isoclina visita otros tres vértices que están a √ 2 de distancia antes de llegar al cuarto vértice que está a √ 4 de distancia. [o]
El anillo de ocho celdas es quiral : hay una forma diestra que gira en espiral en el sentido de las agujas del reloj y una forma zurda que gira en espiral en el sentido contrario a las agujas del reloj. Las 16 celdas contienen una de cada, por lo que también contiene una isoclina izquierda y una derecha; la isoclina es el eje circular alrededor del cual gira el anillo de ocho celdas. Cada isoclina visita los ocho vértices de las 16 celdas. [ab] Cada anillo de ocho celdas contiene la mitad de las 16 celdas, pero los 8 vértices; los dos anillos comparten los vértices, ya que se anidan entre sí y encajan. También comparten los 24 bordes, aunque las hélices de octagrama izquierda y derecha son caminos de ocho bordes diferentes. [C.A]
Debido a que hay tres pares de grandes cuadrados completamente ortogonales, [c] hay tres formas congruentes de componer un anillo de 16 celdas a partir de dos anillos de ocho celdas. El de 16 celdas contiene tres pares de izquierda a derecha de anillos de ocho celdas en diferentes orientaciones, y cada anillo de celda contiene su isoclina axial. [w] Cada par de isoclinas izquierda-derecha es la trayectoria de un par izquierda-derecha de rotaciones isoclínicas distintas: las rotaciones en un par de planos de rotación invariantes completamente ortogonales. [g] En cada vértice, hay tres grandes cuadrados y seis isoclinas de octagrama que se cruzan en el vértice y comparten una cuerda de eje de 16 celdas. [anuncio]
Como configuración
Esta matriz de configuración representa las 16 celdas. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales indican cuántos de cada elemento se encuentran en las 16 celdas completas. Los números no diagonales dicen cuántos elementos de la columna ocurren en o en el elemento de la fila.
Teselados
Se puede teselar el espacio euclidiano de 4 dimensiones mediante 16 celdas regulares. Esto se llama panal de 16 celdas y tiene el símbolo de Schläfli {3,3,4,3}. Por tanto, las 16 celdas tienen un ángulo diédrico de 120°. [21] Cada 16 celdas tiene 16 vecinos con los que comparte un tetraedro, 24 vecinos con los que comparte solo una arista y 72 vecinos con los que comparte solo un punto. Veinticuatro 16 celdas se encuentran en cualquier vértice dado de este teselado.
Sobres de proyección de las 16 celdas. (Cada celda se dibuja con caras de diferentes colores, las celdas invertidas no se dibujan)
La proyección paralela de la primera celda de las 16 celdas en el espacio 3 tiene una envoltura cúbica . Las celdas más cercanas y más alejadas se proyectan como tetraedros inscritos dentro del cubo, lo que corresponde a las dos formas posibles de inscribir un tetraedro regular en un cubo. Alrededor de cada uno de estos tetraedros hay otros 4 volúmenes tetraédricos (no regulares) que son imágenes de las 4 celdas tetraédricas circundantes, llenando el espacio entre el tetraedro inscrito y el cubo. Las 6 celdas restantes se proyectan sobre las caras cuadradas del cubo. En esta proyección de las 16 celdas, todas sus aristas se encuentran en las caras de la envoltura cúbica.
La proyección en perspectiva de la primera celda de las 16 celdas en el espacio 3 tiene una envoltura tetraédrica triakis . La disposición de las celdas dentro de esta envoltura es análoga a la de la proyección paralela de la primera celda.
La proyección paralela del primer vértice de las 16 celdas en el espacio tridimensional tiene una envoltura octaédrica . Este octaedro se puede dividir en 8 volúmenes tetraédricos, cortando a lo largo de los planos coordenados. Cada uno de estos volúmenes es la imagen de un par de celdas en las 16 celdas. El vértice más cercano de las 16 celdas al espectador se proyecta hacia el centro del octaedro.
Finalmente, la proyección paralela de primer borde tiene una envoltura octaédrica acortada, y la proyección paralela de primera cara tiene una envoltura bipiramidal hexagonal .
Diagrama de Venn de 4 esferas
Una proyección tridimensional de las 16 celdas y las 4 esferas que se cruzan (un diagrama de Venn de 4 conjuntos) son topológicamente equivalentes.
Hay una forma de simetría inferior de las 16 celdas , llamada demitesseract o 4-demicube , un miembro de la familia de los demihipercubos , y representada por h{4,3,3} y diagramas de Coxeter.o. Se puede dibujar bicolor con celdas tetraédricas alternas .
También se puede ver en forma de simetría inferior como un antiprisma tetraédrico , construido por 2 tetraedros paralelos en configuraciones duales, conectados por 8 tetraedros (posiblemente alargados). Está representado por s{2,4,3} y diagrama de Coxeter:.
También puede verse como un 4- ortotopo chato , representado por s{2 1,1,1 }, y el diagrama de Coxeter:o.
Con el teseracto construido como un duoprisma 4-4 , el de 16 células puede verse como su dual, una duopirámide 4-4 .
El polígono regular complejo, 2 {4} 4 ,, tiene una representación real como un espacio de 16 celdas en un espacio de 4 dimensiones con 8 vértices, 16 de 2 aristas, solo la mitad de las aristas de las 16 celdas. Su simetría es 4 [4] 2 , orden 32. [24]
^ Los 4 politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida de contenido de 4 dimensiones (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor de la secuencia es más redondo que su predecesor y encierra más contenido [5] dentro del mismo radio. El 4-simplex (5 celdas) es el caso límite más pequeño y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida comparando matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden. Esto proporciona un esquema de denominación numérica alternativa para politopos regulares en el que las 16 celdas son los 4 politopos de 8 puntos: el segundo en la secuencia ascendente que va desde los 4 politopos de 5 puntos hasta los 4 politopos de 600 puntos.
^ Hay 2 y solo 2 de 16 celdas inscritas en el de 8 celdas (teseracto), 3 y solo 3 de 16 celdas inscritas en el de 24 celdas, 75 16 celdas distintas (pero solo 15 de 16 celdas disjuntas) inscritas en las de 600 celdas y 675 de 16 celdas distintas (pero solo 75 de 16 celdas separadas) inscritas en las de 120 celdas.
^ abcdefg En un espacio de 4 dimensiones podemos construir 4 ejes perpendiculares y 6 planos perpendiculares que pasan por un punto. Sin pérdida de generalidad, podemos tomarlos como los ejes y planos centrales ortogonales de un sistema de coordenadas cartesiano (w, x, y, z). En 4 dimensiones tenemos los mismos 3 planos ortogonales (xy, xz, yz) que tenemos en 3 dimensiones, y también otros 3 más (wx, wy, wz). Cada uno de los 6 planos ortogonales comparte eje con 4 de los demás, y es opuesto o completamente ortogonal a sólo uno de los demás: el único con el que no comparte eje. Así, hay 3 pares de planos completamente ortogonales: xy y wz se cruzan sólo en el origen; xz y wy se cruzan sólo en el origen; yz y wx se cruzan sólo en el origen.
^ abc Cada vértice de las 16 celdas es el vértice de una pirámide octaédrica , cuya base es el octaedro formado por los otros 6 vértices a los que el vértice está conectado por aristas. Las 16 celdas se pueden deconstruir (de cuatro maneras diferentes) en dos pirámides octaédricas cortándolas por la mitad a través de uno de sus cuatro hiperplanos centrales octaédricos. Observado desde el interior del volumen tridimensional curvo de su superficie límite de 16 tetraedros unidos por caras, la figura del vértice de las 16 celdas es un octaedro. En 4 dimensiones, el vértice octaedro es en realidad una pirámide octaédrica. El vértice de la pirámide octaédrica (el vértice donde se encuentran las 6 aristas) no está en realidad en el centro del octaedro: está desplazado radialmente hacia afuera en la cuarta dimensión, fuera del hiperplano definido por los 6 vértices del octaedro. Los 6 bordes alrededor del vértice forman una cruz ortogonal de 3 ejes en 3 dimensiones (y en la proyección tridimensional de la 4 pirámide ), pero las 3 líneas en realidad están dobladas 90 grados en la cuarta dimensión donde se encuentran en un vértice. .
^ La superficie límite de 16 celdas es un espacio tridimensional finito que consta de 16 tetraedros dispuestos cara a cara (cuatro alrededor de uno). Es un espacio tridimensional cerrado, fuertemente curvado (no euclidiano), dentro del cual podemos movernos directamente a través de 4 tetraedros en cualquier dirección y regresar al tetraedro donde comenzamos. Podemos visualizarnos moviéndonos dentro de este gimnasio de jungla tetraédrico , trepando de un tetraedro a otro sobre sus 24 puntales (sus bordes), y nunca pudiendo salir (o ver fuera) de los 16 tetraedros sin importar en qué dirección vayamos (o mirar). Siempre estamos sobre (o dentro) de la superficie de las 16 celdas, nunca dentro de las 16 celdas mismas (ni fuera de ellas). Podemos ver que los 6 bordes alrededor de cada vértice irradian simétricamente en 3 dimensiones y forman una cruz ortogonal de 3 ejes, tal como lo hacen los radios de un octaedro (por eso decimos que la figura del vértice de las 16 celdas es el octaedro). [d]
^ abc Dos planos A y B de un espacio euclidiano de cuatro dimensiones se llaman completamente ortogonales si y solo si cada línea en A es ortogonal a cada línea en B. En ese caso, los planos A y B se cruzan en un solo punto O, de modo que si una línea en A se cruza con una línea en B, se cruzan en O. A y B son perpendiculares y Clifford paralelos. [C]
^ abcd Los grandes cuadrados completamente ortogonales no se cruzan y giran de forma independiente porque los grandes círculos en los que se encuentran sus vértices son paralelos a Clifford . [l] Están separados por √ 2 en cada par de vértices más cercanos (y en las 16 celdas todos los pares, excepto los pares antípodas, son los más cercanos). Los dos cuadrados no pueden cruzarse en absoluto porque se encuentran en planos que se cruzan en un solo punto: el centro de las 16 celdas. [c] Debido a que son perpendiculares y comparten un centro común, los dos cuadrados obviamente no son paralelos y están separados en la forma habitual de los cuadrados paralelos en 3 dimensiones; más bien, están conectados como eslabones cuadrados adyacentes en una cadena, cada uno de los cuales pasa a través del otro sin cruzarse en ningún punto, formando un eslabón de Hopf .
^ ab Tres grandes cuadrados se encuentran en cada vértice (y en su vértice opuesto) en las 16 celdas. Cada uno de ellos tiene un cuadrado diferente completamente ortogonal. [f] Así pues, existen tres grandes cuadrados completamente ortogonales a cada vértice y a su vértice opuesto (cada eje). Forman un octaedro (un hiperplano central). Cada línea de eje en las 16 celdas es completamente ortogonal a un hiperplano octaédrico central, como todo plano gran cuadrado es completamente ortogonal a otro gran plano cuadrado. [c] El eje y el octaedro se cruzan solo en un punto (el centro de las 16 celdas), ya que cada par de grandes cuadrados completamente ortogonales se cruza solo en un punto (el centro de las 16 celdas). Cada octaedro central es también la figura de vértice octaédrico de dos de los ocho vértices: los dos sobre su eje completamente ortogonal.
^ Los tres grandes cuadrados incompletamente ortogonales que se cruzan en cada vértice de las 16 celdas forman la figura de vértice octaédrico del vértice . [d] Dos de ellos cualesquiera, junto con el cuadrado completamente ortogonal del tercero, también forman un octaedro: un hiperplano octaédrico central. [h] En las 16 celdas, cada figura de vértice octaédrico es también un hiperplano octaédrico central.
^ Cada vértice del gran cuadrado está a √ 2 de distancia de dos de los otros vértices del cuadrado y a √ 4 de su vértice opuesto. Los otros cuatro vértices de las 16 celdas (también a √ 2 de distancia) son los vértices del cuadrado completamente ortogonal del cuadrado. [g] Cada vértice de 16 celdas es un vértice de tres grandes cuadrados ortogonales que se cruzan allí. Cada uno de ellos tiene un cuadrado diferente completamente ortogonal. Así, hay tres grandes cuadrados completamente ortogonales a cada vértice: cuadrados de los que el vértice no forma parte. [i]
^ abcd Cada gran plano cuadrado es isoclínico (paralelo de Clifford) a otros cinco planos cuadrados, pero completamente ortogonal [f] a solo uno de ellos. Cada par de planos completamente ortogonales tiene círculos máximos paralelos de Clifford, pero no todos los círculos máximos paralelos de Clifford son ortogonales. También hay otra forma en la que los planos completamente ortogonales se encuentran en una categoría distinguida de planos paralelos de Clifford: no son quirales . Un par de planos isoclínicos (paralelo de Clifford) es un par izquierdo o un par derecho a menos que estén separados por dos ángulos de 90° (planos completamente ortogonales) o 0° (planos coincidentes). [20] La mayoría de los planos isoclínicos se unen sólo mediante una rotación isoclínica izquierda o una rotación isoclínica derecha, respectivamente. Los planos completamente ortogonales son especiales: el par de planos es a la vez izquierdo y derecho, por lo que una rotación isoclínica izquierda o derecha los unirá. Debido a que los planos separados por una rotación isoclínica de 90° están separados por 180°, el plano de la izquierda y el plano de la derecha son el mismo plano. [r]
^ abc Los paralelos de Clifford son líneas curvas que no se cruzan y que son paralelas en el sentido de que la distancia perpendicular (más corta) entre ellas es la misma en cada punto. [7] Una doble hélice es un ejemplo del paralelismo de Clifford en el espacio euclidiano tridimensional ordinario. En los 4 espacios, los paralelos de Clifford ocurren como grandes círculos geodésicos en las 3 esferas . [8] En las 16 celdas, los vértices correspondientes de los cuadrados del gran círculo completamente ortogonales están separados por √ 2 , por lo que estos cuadrados son polígonos paralelos de Clifford. [k] Tenga en cuenta que sólo los vértices de los grandes cuadrados (los puntos del gran círculo) están separados por √ 2 ; los puntos en los bordes de los cuadrados (en las cuerdas del círculo) están más juntos.
^ Los vértices opuestos en un politopo de 4 radios unitarios corresponden a los vértices opuestos de un hipercubo de 8 celdas (tesseract). La diagonal larga de este 4-cubo radialmente equilátero es √ 4 . En una rotación isoclínica de 90°, cada vértice de las 16 celdas se desplaza a su vértice antípoda, viajando a lo largo de un arco geodésico helicoidal de longitud 𝝅 (180°), hasta un vértice a √ 4 de distancia a lo largo del diámetro largo del radio unitario 4 -politopo (16 celdas o teseracto), el mismo desplazamiento total que si se hubiera desplazado √ 1 cuatro veces viajando a lo largo de un camino de cuatro bordes ortogonales sucesivos del teseracto.
^ Hay seis caminos diferentes de dos aristas que conectan un par de vértices antípodas a lo largo de los bordes de un gran cuadrado. La rotación isoclínica izquierda discurre diagonalmente entre tres de ellos, y la rotación isoclínica derecha discurre diagonalmente entre los otros tres. Estas diagonales son líneas rectas (geodésicas) que conectan vértices opuestos de celdas tetraédricas unidas por caras en el anillo de ocho celdas de la izquierda y el anillo de ocho celdas de la derecha, respectivamente.
^ abc En las 16 celdas, dos vértices antípodas son vértices opuestos de dos celdas tetraédricas unidas por caras. Los dos vértices antípodas están conectados por (tres diferentes) caminos de círculo máximo de dos aristas a lo largo de los bordes de las celdas tetraédricas, por varios caminos de tres aristas y por caminos de cuatro aristas en isoclinas y polígonos de Petrie. [pag]
^ abcd Una isoclina es un círculo de tipo especial correspondiente a un par de círculos de Villarceau unidos en un bucle de Möbius . Se curva en cuatro dimensiones en lugar de solo dos. Todos los círculos ordinarios tienen una circunferencia de 2𝝅, pero la isoclina de 16 celdas es un círculo con una circunferencia de 4𝝅 (sobre ocho cuerdas de 90°). Una isoclina es un círculo que no se encuentra en un plano, pero para evitar confusiones siempre nos referimos a ella como isoclina y reservamos el término círculo para un círculo ordinario en el plano.
^ ab En una rotación isoclínica, los 6 planos ortogonales se desplazan en dos direcciones ortogonales a la vez: giran en el mismo ángulo y, al mismo tiempo, se inclinan hacia los lados en ese mismo ángulo. Un desplazamiento isoclínico (también conocido como desplazamiento de Clifford ) es una diagonal de 4 dimensiones. Los puntos se desplazan una distancia igual en cuatro direcciones ortogonales a la vez, y se desplazan una distancia pitagórica total igual a la raíz cuadrada de cuatro veces el cuadrado de esa distancia. Todos los vértices de un politopo regular de 4 se desplazan a un vértice al menos a dos longitudes de borde de distancia. Por ejemplo, cuando las 16 celdas de radio unitario gira isoclínicamente 90° en un plano invariante del gran cuadrado, también gira 90° en el plano invariante del gran cuadrado completamente ortogonal. [c] El gran plano cuadrado también se inclina hacia los lados 90° para ocupar su plano completamente ortogonal. (Por simetría isoclínica, cada gran cuadrado gira 90° y se inclina hacia los lados 90° en su plano completamente ortogonal). Cada vértice (en cada gran cuadrado) se desplaza a su vértice antípoda, a una distancia de √ 1 en cada una de las cuatro direcciones ortogonales. , una distancia total de √ 4 . [m] El vértice original y el desplazado están separados por dos longitudes de arista por tres [n] caminos diferentes a lo largo de dos aristas de un gran cuadrado. Pero la isoclina (el arco helicoidal que sigue el vértice durante la rotación isoclínica) no corre a lo largo de los bordes: corre entre estos diferentes caminos de borde en diagonal, en una geodésica (arco más corto) entre los vértices original y desplazado. [o] Este arco geodésico isoclínico no es un segmento de un gran círculo ordinario; no se encuentra en el plano de ningún gran cuadrado. Es un arco helicoidal de 180° que se curva formando un círculo en dos planos completamente ortogonales a la vez. Este círculo de Möbius no se encuentra en ningún plano ni intersecta ningún vértice entre el vértice original y el desplazado. [pag]
^ abc La rotación isoclínica de 90 grados de dos planos completamente ortogonales los acerca entre sí. En tal rotación de un rígido de 16 celdas, los 6 planos ortogonales giran 90 grados y también se inclinan lateralmente 90 grados hasta su plano completamente ortogonal (paralelo de Clifford) [l] . [9] Los vértices correspondientes de los dos grandes cuadrados completamente ortogonales están separados por √ 4 (180°); los grandes cuadrados (politopos paralelos de Clifford) están separados por √ 4 (180°); pero los dos planos completamente ortogonales están separados 90°, en los dos ángulos ortogonales que los separan. Si la rotación isoclínica continúa otros 90°, cada vértice completa una rotación de 360° y cada gran cuadrado vuelve a su plano original, pero en una orientación diferente (ejes intercambiados): se ha puesto "boca abajo" en la superficie de el de 16 celdas (que ahora está "al revés"). Continuando por una segunda rotación isoclínica de 360° (a través de cuatro pasos isoclínicos de 90° por 90°, una rotación de 720°) se devuelve todo a su lugar y orientación original.
^ Un ortosquema es un simplex quiral irregular con caras de triángulo rectángulo que es característico de algún politopo si llena exactamente ese politopo con los reflejos de sí mismo en sus propias facetas (sus paredes de espejo ). Cada politopo regular puede diseccionarse radialmente en instancias de su ortosquema característico que rodea su centro. El ortosquema característico tiene la forma descrita por el mismo diagrama de Coxeter-Dynkin que el politopo regular sin el anillo del punto generador .
^ Un politopo regular de dimensión k tiene un k -ortosquema característico , y también un característico ( k -1) -ortosquema. Un 4-politopo regular tiene un característico 5 celdas (4-ortosquema) en el cual está subdividido por sus hiperplanos de simetría (tridimensionales), y también un tetraedro característico (3-ortosquema) en el cual su superficie está subdividida por sus planos de simetría (bidimensionales) de las células. Después de subdividir su superficie (tridimensional) en tetraedros característicos que rodean el centro de cada celda, su interior (cuatridimensional) se puede subdividir en 5 celdas características agregando radios que unen los vértices de los tetraedros característicos de la superficie al centro del politopo de 4. [12] Los tetraedros interiores y los triángulos así formados también serán ortoesquemas.
^ ab (Coxeter 1973) usa la letra griega (phi) para representar uno de los tres ángulos característicos 𝟀, 𝝓, 𝟁 de un politopo regular. Debido a que 𝝓 se usa comúnmente para representar la constante de proporción áurea ≈ 1.618, para la cual Coxeter usa 𝝉 (tau), invertimos las convenciones de Coxeter y usamos 𝝉 para representar el ángulo característico.
^ Los cuatro bordes de cada 4-ortosquema que se encuentran en el centro de un 4-politopo regular tienen una longitud desigual, porque son los cuatro radios característicos del 4-politopo regular: un radio de vértice, un radio del centro del borde, una cara radio central y un radio central de celda. Los cinco vértices del 4-ortosquema siempre incluyen un vértice regular de 4 politopos, un centro de borde regular de 4 politopos, un centro de cara regular de 4 politopos, un centro de celda regular de 4 politopos y el centro regular de 4 politopos. Esos cinco vértices (en ese orden) comprenden un camino a lo largo de cuatro bordes mutuamente perpendiculares (que forman tres giros en ángulo recto), el rasgo característico de un 4-ortosquema. El 4-ortosquema tiene cinco facetas diferentes del 3-ortosquema.
^ ab Las 16 celdas se pueden construir a partir de dos anillos de ocho celdas separados de tres maneras diferentes; tiene tres orientaciones de su par de anillos. Cada orientación "contiene" un par distinto de rotaciones isoclínicas de izquierda a derecha, y también un par de grandes cuadrados completamente ortogonales (fibras paralelas de Clifford), por lo que cada orientación es una fibración discreta de las 16 celdas. Cada anillo de ocho celdas contiene tres octagramas axiales que tienen diferentes orientaciones (intercambian roles) en las tres fibraciones discretas y seis rotaciones isoclínicas distintas (tres a la izquierda y tres a la derecha) a través de los anillos de celdas. En la ilustración de un anillo unicelular se pueden ver tres octagramas (de diferentes colores), uno en el papel del polígono de Petrie, otro como isoclina derecha y otro como isoclina izquierda. Debido a que cada octagrama desempeña tres funciones, hay exactamente seis isoclinas distintas en las 16 celdas, no en las 18.
^ Las cinco vistas son la misma proyección ortogonal del cilindro anular de 16 celdas en el mismo plano (una sección transversal circular del cilindro anular de ocho celdas), mirando a lo largo del eje central del cilindro anular cortado que se muestra arriba, desde un extremo de el cilindro. La única diferencia es qué √ 2 aristas y √ 4 cuerdas se omiten para enfocar. Los diferentes colores de √ 2 bordes parecen tener diferentes longitudes porque son oblicuos para el espectador en diferentes ángulos. Los vértices están numerados del 1 (arriba) al 8 en orden antihorario.
^ ab Cada isoclina tiene ocho cuerdas √ 2 de su trayectoria de borde, y también cuatro cuerdas √ 4 de diámetro que conectan cada cuarto vértice del hexagrama {8/3} . Los vértices antípodas también tienen un camino retorcido de cuatro aristas √ 2 mutuamente ortogonales que los conectan. Entre los vértices antípodas, la isoclina se curva suavemente en una hélice sobre las √ 2 cuerdas de su trayectoria de borde, golpeando tres vértices intermedios. Cada arista √ 2 es una arista de un gran cuadrado, que es completamente ortogonal a otro gran cuadrado, en el que la cuerda √ 4 es una diagonal.
^ ab Para ver otro ejemplo de las isoclinas izquierda y derecha de una rotación que visita el mismo conjunto de vértices, consulte la rotación isoclínica característica de las 5 celdas . Aunque en estos dos casos especiales las isoclinas izquierda y derecha de la misma rotación visitan el mismo conjunto de vértices, siguen tomando trayectorias de rotación muy diferentes porque visitan los mismos vértices en secuencias diferentes.
^ ab Excepto en las celdas de 5 y 16 celdas, [z] un par de círculos isoclinos izquierdo y derecho tienen vértices separados: las hélices isoclinas izquierda y derecha son paralelas que no se cruzan pero giran en sentido contrario, formando un tipo especial de doble hélice que no puede ocurrir en tres dimensiones (donde las hélices contrarrotativas del mismo radio deben cruzarse).
^ ab En las 16 celdas, cada isoclina pasa por los 8 vértices: una fibración completa de dos grandes cuadrados completamente ortogonales. [k] Los de 5 celdas y los de 16 celdas son los únicos 4 politopos regulares donde cada fibración discreta tiene solo una fibra isoclina. [Automóvil club británico]
^ Las isoclinas izquierda y derecha se cruzan en cada vértice. Son secuencias diferentes de un mismo conjunto de 8 vértices. Con respecto únicamente al conjunto de 4 pares de vértices que están separados por √ 2 , se puede considerar que son paralelos de Clifford. Sólo con respecto al conjunto de 4 pares de vértices que están separados por √ 4 , se pueden considerar completamente ortogonales. [k]
^ Esto es atípico para las rotaciones isoclínicas en general; normalmente, las isoclinas izquierda y derecha no ocurren en el mismo vértice: hay dos conjuntos disjuntos de vértices a los que sólo se puede acceder mediante la rotación izquierda o derecha respectivamente. [aa] Las isoclinas izquierda y derecha de las 16 celdas forman una doble hélice muy especial: inusual no sólo porque es circular, sino porque sus diferentes hélices izquierda y derecha se giran entre sí a través del mismo conjunto de vértices antípodas, [ab ] no a través de los dos subconjuntos disjuntos de vértices antípodas, como lo hacen los pares de isoclinas en la mayoría de las rotaciones isoclínicas que se encuentran en la naturaleza. [z] Las rotaciones isoclínicas en planos invariantes completamente ortogonales son especiales. [k] Para ver cómo y por qué son especiales, visualice dos planos de rotación invariantes completamente ortogonales, cada uno de los cuales gira en algún ángulo de rotación e inclinándose hacia los lados en el mismo ángulo de rotación hacia un plano completamente diferente. [q] Solo cuando el ángulo de rotación es de 90 °, ese plano diferente en el que aterriza el plano invariante de inclinación será el propio plano invariante completamente ortogonal. El plano de destino de la rotación es el plano invariante completamente ortogonal. La rotación isoclínica de 90° es la única rotación que acerca los planos invariantes completamente ortogonales entre sí. [r] Esta reciprocidad es la razón por la que las rotaciones hacia la izquierda y hacia la derecha van al mismo lugar.
^ NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11,5 grupos esféricos de Coxeter , p.249
^ Matila Ghyka, La geometría del arte y la vida (1977), p.68
^ Coxeter 1973, págs. 120 = 121, § 7.2. Consulte la ilustración Fig . 7.2 B.
^ Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I (ii): Los dieciséis politopos regulares { p,q,r } en cuatro dimensiones; Una tabla invaluable que proporciona las 20 métricas de cada 4 politopos en unidades de longitud de borde. Deben convertirse algebraicamente para comparar politopos de radio unitario.
^ Kim y Rote 2016, pag. 6, § 5. Rotaciones cuatridimensionales.
^ Tyrrell & Semple 1971, págs. 5–6, § 3. Definición original de paralelismo de Clifford.
^ Kim & Rote 2016, págs. 7-10, § 6. Ángulos entre dos planos en 4 espacios.
^ Kim & Rote 2016, págs. 8-10, Relaciones con el paralelismo de Clifford.
^ Coxeter 1973, pag. 121, § 7.21. Véase la ilustración Fig. 7.2 B : " es una bipirámide de cuatro dimensiones basada en (con sus dos ápices en direcciones opuestas a lo largo de la cuarta dimensión)".
^ Coxeter 1970, pag. 45, Tabla 2: Panales flexibles y sus grupos; El panal [3,3,4] 4 es un mosaico de 3 esferas por 2 anillos de 8 celdas tetraédricas.
^ Banchoff 2013.
^ Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I (ii); 24 celdas h 1 .
^ Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I (ii); 24 celdas h 2 .
^ Kim & Rote 2016, págs. 7–8, § 6 Ángulos entre dos planos en 4 espacios; Pares izquierdo y derecho de planos isoclínicos.
^ Coxeter 1973, pag. 293.
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Referencias
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Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter | wiley
(Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semiregulares I , [Math. Tiempo. 46 (1940) 380-407, SEÑOR 2,10]
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Coxeter, HSM (1970), "Twisted Honeycombs", Junta de Conferencias de la Serie de Conferencias Regionales de Ciencias Matemáticas en Matemáticas , Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense, 4
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26. págs. 409: Hemicubos: 1 n1 )
Banchoff, Thomas F. (2013). "Descomposiciones toroidales de politopos regulares en 4 espacios". En Senechal, Marjorie (ed.). Dando forma al espacio . Springer Nueva York. págs. 257–266. doi :10.1007/978-0-387-92714-5_20. ISBN 978-0-387-92713-8.
.
, comparte los mismos vértices que el de 16 celdas. Tiene 8 vértices y 8 3 aristas. [22] [23]
, tiene una representación real como un espacio de 16 celdas en un espacio de 4 dimensiones con 8 vértices, 16 de 2 aristas, solo la mitad de las aristas de las 16 celdas. Su simetría es 4 [4] 2 , orden 32. [24]
