En geometría , los semihipercubos (también llamados n-demicubos , n-hemicubos y politopos de media medida ) son una clase de n - politopos construidos a partir de la alternancia de un n - hipercubo , etiquetado como hγ n por ser la mitad de la familia de hipercubos, γ n . Se elimina la mitad de los vértices y se forman nuevas facetas. Las 2 n facetas se convierten en 2 n ( n −1)-demicubos , y se forman 2 n ( n −1) -facetas símplex en lugar de los vértices eliminados. [1]
Se les ha dado un prefijo semi- a cada nombre de hipercubo : semicubo , semiteseracto , etc. El semicubo es idéntico al tetraedro regular , y el semiteseracto es idéntico al tetraedro regular de 16 celdas . El semipenteracto se considera semirregular por tener solo facetas regulares. Las formas superiores no tienen todas las facetas regulares, sino que son todos politopos uniformes .
Los vértices y los bordes de un semihipercubo forman dos copias del gráfico del cubo dividido por la mitad .
Un n -demicubo tiene simetría de inversión si n es par .
Thorold Gosset describió el demipenteracto en su publicación de 1900, en la que enumeraba todas las figuras regulares y semirregulares de n dimensiones superiores a tres. Lo llamó semirregular 5-ico . También existe dentro de la familia de politopos semirregulares k 21 .
Los semihipercubos se pueden representar mediante símbolos Schläfli extendidos de la forma h{4,3,...,3} como la mitad de los vértices de {4,3,...,3}. Las figuras de vértices de los semihipercubos son n - símplex rectificados .
Se representan mediante diagramas de Coxeter-Dynkin de tres formas constructivas:
... (Como ortótopo alternado ) s{2 1,1,...,1 }
...(Como un hipercubo alternado ) h{4,3 n −1 }
.... (Como un semihipercubo) {3 1, n −3,1 }HSM Coxeter también etiquetó los terceros diagramas de bifurcación como 1 k 1, que representan las longitudes de las tres ramas y están lideradas por la rama anillada.
Un n-demicubo , n mayor que 2, tiene n ( n −1)/2 aristas que se encuentran en cada vértice. Los gráficos a continuación muestran menos aristas en cada vértice debido a la superposición de aristas en la proyección de simetría.
En general, los elementos de un semicubo se pueden determinar a partir del n -cubo original: (con C n , m = m -ésimo número de caras en el n -cubo = 2 n − m n !/( m !( n − m )!))
El estabilizador del semihipercubo en el grupo hiperoctaédrico (el grupo de Coxeter [4,3 n −1 ]) tiene índice 2. Es el grupo de Coxeter [3 n −3,1,1 ] de orden , y se genera por permutaciones de los ejes de coordenadas y reflexiones a lo largo de pares de ejes de coordenadas. [2]
Las construcciones como ortotopos alternados tienen la misma topología, pero pueden estirarse con diferentes longitudes en n ejes de simetría.
El disfenoide rómbico es el ejemplo tridimensional de cuboide alternado. Tiene tres conjuntos de longitudes de aristas y caras triangulares escalenas .
