En geometría elemental , un politopo es un objeto geométrico con lados planos ( caras ). Los politopos son la generalización de poliedros tridimensionales a cualquier número de dimensiones. Los politopos pueden existir en cualquier número general de dimensiones n como un politopo de n dimensiones o un politopo de n . Por ejemplo, un polígono bidimensional es un politopo bidimensional y un poliedro tridimensional es un politopo tridimensional. En este contexto, "lados planos" significa que los lados de un ( k + 1) -politopo consisten en k -politopos que pueden tener ( k – 1) -politopos en común.
Algunas teorías generalizan aún más la idea para incluir objetos como apeirotopos y teselaciones ilimitados , descomposiciones o mosaicos de variedades curvas que incluyen poliedros esféricos y politopos abstractos de teoría de conjuntos .
Los politopos de más de tres dimensiones fueron descubiertos por primera vez por Ludwig Schläfli antes de 1853, quien llamó poliesquema a dicha figura . [1] El término alemán politopo fue acuñado por el matemático Reinhold Hoppe , y Alicia Boole Stott lo presentó a los matemáticos ingleses como politopo .
Hoy en día, el término politopo es un término amplio que cubre una amplia clase de objetos, y en la literatura matemática aparecen varias definiciones. Muchas de estas definiciones no son equivalentes entre sí, lo que da como resultado que diferentes conjuntos de objetos superpuestos se denominen politopos . Representan diferentes enfoques para generalizar los politopos convexos para incluir otros objetos con propiedades similares.
El enfoque original ampliamente seguido por Ludwig Schläfli , Thorold Gosset y otros comienza con la extensión por analogía a cuatro o más dimensiones, de la idea de un polígono y un poliedro respectivamente en dos y tres dimensiones. [2]
Los intentos de generalizar la característica de Euler de los poliedros a politopos de dimensiones superiores llevaron al desarrollo de la topología y al tratamiento de una descomposición o complejo CW como análogo a un politopo. [3] En este enfoque, un politopo puede considerarse como una teselación o descomposición de una variedad determinada . Un ejemplo de este enfoque define un politopo como un conjunto de puntos que admite una descomposición simple . En esta definición, un politopo es la unión de un número finito de simples , con la propiedad adicional de que, para dos simples cualesquiera que tengan una intersección no vacía, su intersección es un vértice, arista o cara de mayor dimensión de los dos. [4] Sin embargo, esta definición no permite politopos estelares con estructuras interiores, por lo que está restringida a ciertas áreas de las matemáticas.
El descubrimiento de poliedros estelares y otras construcciones inusuales llevó a la idea de un poliedro como superficie delimitadora, ignorando su interior. [5] En esta luz, los politopos convexos en el espacio p son equivalentes a mosaicos de la ( p −1 ) -esfera , mientras que otros pueden ser mosaicos de otras superficies elípticas , planas o toroidales ( p −1 ) - ver mosaico elíptico y poliedro toroidal . Se entiende por poliedro una superficie cuyas caras son polígonos , 4-politopo como una hipersuperficie cuyas facetas ( células ) son poliedros, etc.
La idea de construir un politopo superior a partir de aquellos de dimensión inferior también se extiende a veces hacia abajo en dimensión, con un ( borde ) visto como un politopo 1 limitado por un par de puntos, y un punto o vértice como un politopo 0. Este enfoque se utiliza, por ejemplo, en la teoría de los politopos abstractos .
En ciertos campos de las matemáticas, los términos "politopo" y "poliedro" se usan en un sentido diferente: un poliedro es el objeto genérico en cualquier dimensión (denominado politopo en este artículo) y politopo significa un poliedro acotado . [6] Esta terminología suele limitarse a politopos y poliedros que son convexos . Con esta terminología, un poliedro convexo es la intersección de un número finito de semiespacios y está definido por sus lados, mientras que un politopo convexo es el casco convexo de un número finito de puntos y está definido por sus vértices.
Los politopos con un número menor de dimensiones tienen nombres estándar:
Un politopo comprende elementos de diferente dimensionalidad, como vértices, aristas, caras, celdas, etc. La terminología para estos no es totalmente consistente entre los diferentes autores. Por ejemplo, algunos autores usan cara para referirse a un elemento ( n − 1) dimensional, mientras que otros usan cara para denotar específicamente una cara bidimensional. Los autores pueden utilizar j -face o j -facet para indicar un elemento de j dimensiones. Algunos usan borde para referirse a una cresta, mientras que HSM Coxeter usa celda para denotar un elemento dimensional ( n − 1). [8] [ cita necesaria ]
Los términos adoptados en este artículo se detallan en el siguiente cuadro:
Un politopo de n dimensiones está delimitado por una serie de facetas de ( n − 1) dimensiones . Estas facetas son en sí mismas politopos, cuyas facetas son crestas ( n − 2) dimensionales del politopo original. Cada cresta surge como la intersección de dos facetas (pero la intersección de dos facetas no tiene por qué ser una cresta). Las crestas son, una vez más, politopos cuyas facetas dan lugar a límites ( n - 3) dimensionales del politopo original, y así sucesivamente. Estos subpolitopos delimitadores pueden denominarse caras , o específicamente caras j -dimensionales o j -caras. Una cara de dimensión 0 se llama vértice y consta de un solo punto. Una cara unidimensional se llama arista y consta de un segmento de línea. Una cara bidimensional consta de un polígono y una cara tridimensional, a veces llamada celda , consta de un poliedro .
Un politopo puede ser convexo . Los politopos convexos son el tipo más simple de politopos y forman la base para varias generalizaciones diferentes del concepto de politopos. Un politopo convexo a veces se define como la intersección de un conjunto de semiespacios . Esta definición permite que un politopo no sea ni acotado ni finito. Los politopos se definen de esta manera, por ejemplo, en programación lineal . Un politopo está acotado si hay una bola de radio finito que lo contiene. Se dice que un politopo es puntiagudo si contiene al menos un vértice. Todo politopo acotado y no vacío es puntiagudo. Un ejemplo de politopo no puntiagudo es el conjunto . Un politopo es finito si se define en términos de un número finito de objetos, por ejemplo, como una intersección de un número finito de semiplanos. Es un politopo integral si todos sus vértices tienen coordenadas enteras.
Una cierta clase de politopos convexos son politopos reflexivos . Un politopo integral es reflexivo si para alguna matriz integral , , donde denota un vector de todos los unos, y la desigualdad es por componentes. De esta definición se desprende que es reflexiva si y sólo si para todos . En otras palabras, a -dilate of difiere, en términos de puntos de red enteros, de a -dilate of sólo en los puntos de red ganados en el límite. De manera equivalente, es reflexivo si y sólo si su politopo dual es un politopo integral. [9]
Los politopos regulares tienen el mayor grado de simetría de todos los politopos. El grupo de simetría de un politopo regular actúa transitivamente sobre sus banderas ; por tanto, el politopo dual de un politopo regular también es regular.
Hay tres clases principales de politopo regular que se presentan en cualquier número de dimensiones:
Las dimensiones dos, tres y cuatro incluyen figuras regulares que tienen simetrías quíntuples y algunas de las cuales son estrellas no convexas, y en dos dimensiones hay infinitos polígonos regulares de n simetría, tanto convexos como (para n ≥ 5) estrella. Pero en dimensiones superiores no existen otros politopos regulares. [2]
En tres dimensiones, los sólidos platónicos convexos incluyen el dodecaedro y el icosaedro con simetría quíntuple , y también hay poliedros de Kepler-Poinsot de cuatro estrellas con simetría quíntuple, lo que eleva el total a nueve poliedros regulares.
En cuatro dimensiones, los 4 politopos regulares incluyen un sólido convexo adicional con simetría cuádruple y dos con simetría quíntuple. Hay diez 4 politopos de Schläfli-Hess en estrella , todos con simetría quíntuple, lo que da en total dieciséis 4 politopos regulares.
Un politopo no convexo puede autointersectarse; esta clase de politopos incluyen los politopos estrella . Algunos politopos regulares son estrellas. [2]
Dado que un politopo convexo (relleno) P en dimensiones es contráctil hasta un punto, la característica de Euler de su límite ∂P viene dada por la suma alterna:
Esto generaliza la fórmula de Euler para los poliedros . [10]
El teorema de Gram-Euler generaliza de manera similar la suma alterna de ángulos internos de poliedros convexos a politopos de dimensiones superiores: [10]
No todas las variedades son finitas. Cuando un politopo se entiende como un mosaico o descomposición de una variedad, esta idea puede extenderse a variedades infinitas. Los mosaicos planos , los que llenan el espacio ( panales ) y los mosaicos hiperbólicos son en este sentido politopos y, a veces, se les llama apeirotopos porque tienen infinitas células.
Entre ellas, hay formas regulares que incluyen los poliedros sesgados regulares y la serie infinita de mosaicos representados por el apeirogon regular , el mosaico cuadrado, el panal cúbico, etc.
La teoría de los politopos abstractos intenta separar los politopos del espacio que los contiene, considerando sus propiedades puramente combinatorias. Esto permite ampliar la definición del término para incluir objetos para los que es difícil definir un espacio subyacente intuitivo, como las 11 celdas .
Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado de elementos o miembros, que obedece a ciertas reglas. Es una estructura puramente algebraica y la teoría se desarrolló para evitar algunos de los problemas que dificultan la conciliación de las diversas clases geométricas dentro de un marco matemático consistente. Se dice que un politopo geométrico es una realización en algún espacio real del politopo abstracto asociado. [11]
Existen estructuras análogas a los politopos en espacios complejos de Hilbert donde n dimensiones reales van acompañadas de n imaginarias . Los politopos complejos regulares se tratan más apropiadamente como configuraciones . [12]
Cada n -politopo tiene una estructura dual, obtenida intercambiando sus vértices por facetas, aristas por crestas, etc., generalmente intercambiando sus elementos ( j − 1)-dimensionales por ( n − j )-elementos dimensionales (para j = 1 a n − 1), manteniendo la conectividad o incidencia entre elementos.
Para un politopo abstracto, esto simplemente invierte el orden del conjunto. Esta inversión se ve en los símbolos de Schläfli para politopos regulares, donde el símbolo del politopo dual es simplemente el reverso del original. Por ejemplo, {4, 3, 3} es dual a {3, 3, 4}.
En el caso de un politopo geométrico, es necesaria alguna regla geométrica para la dualización; consulte, por ejemplo, las reglas descritas para poliedros duales . Dependiendo de las circunstancias, la figura dual puede ser o no otro politopo geométrico. [13]
Si se invierte el dual, se recupera el politopo original. Por tanto, los politopos existen en pares duales.
Si un politopo tiene el mismo número de vértices que facetas, de aristas que crestas, etc., y las mismas conectividades, entonces la figura dual será similar a la original y el politopo será autodual.
Algunos politopos autoduales comunes incluyen:
Los polígonos y poliedros se conocen desde la antigüedad.
Un primer indicio de dimensiones superiores se produjo en 1827, cuando August Ferdinand Möbius descubrió que dos sólidos en imagen especular se pueden superponer girando uno de ellos a través de una cuarta dimensión matemática. En la década de 1850, un puñado de otros matemáticos, como Arthur Cayley y Hermann Grassmann, también habían considerado dimensiones superiores.
Ludwig Schläfli fue el primero en considerar análogos de polígonos y poliedros en estos espacios superiores. Describió los seis 4 politopos regulares convexos en 1852, pero su trabajo no se publicó hasta 1901, seis años después de su muerte. En 1854, el Habilitationsschrift de Bernhard Riemann había establecido firmemente la geometría de dimensiones superiores y, por tanto, el concepto de politopos de n dimensiones se hizo aceptable. Los politopos de Schläfli fueron redescubiertos muchas veces en las décadas siguientes, incluso durante su vida.
En 1882 Reinhold Hoppe , escribiendo en alemán, acuñó la palabra politop para referirse a este concepto más general de polígonos y poliedros. A su debido tiempo, Alicia Boole Stott , hija del lógico George Boole , introdujo el politopo en inglés en el idioma inglés. [2] :vi
En 1895, Thorold Gosset no sólo redescubrió los politopos regulares de Schläfli, sino que también investigó las ideas de politopos semirregulares y teselaciones que llenan el espacio en dimensiones superiores. Los politopos también comenzaron a estudiarse en espacios no euclidianos como el espacio hiperbólico.
En 1948 se alcanzó un hito importante con el libro Regular Polytopes de HSM Coxeter , que resume el trabajo hasta la fecha y añade nuevos hallazgos propios.
Mientras tanto, el matemático francés Henri Poincaré había desarrollado la idea topológica de un politopo como la descomposición por partes (p. ej., complejo CW ) de una variedad . Branko Grünbaum publicó su influyente trabajo sobre los politopos convexos en 1967.
En 1952, Geoffrey Colin Shephard generalizó la idea de politopos complejos en un espacio complejo, donde cada dimensión real tiene una imaginaria asociada. Coxeter desarrolló aún más la teoría.
Las cuestiones conceptuales planteadas por los politopos complejos, la no convexidad, la dualidad y otros fenómenos llevaron a Grünbaum y otros al estudio más general de las propiedades combinatorias abstractas que relacionan vértices, aristas, caras, etc. Una idea relacionada fue la de los complejos de incidencia, que estudiaban la incidencia o conexión de los distintos elementos entre sí. Estos avances condujeron finalmente a la teoría de los politopos abstractos como conjuntos parcialmente ordenados, o posets, de dichos elementos. Peter McMullen y Egon Schulte publicaron su libro Abstract Regular Polytopes en 2002.
Enumerar los politopos uniformes , convexos y no convexos, en cuatro o más dimensiones sigue siendo un problema pendiente. Los 4 politopos uniformes convexos fueron enumerados completamente por John Conway y Michael Guy usando una computadora en 1965; [14] [15] en dimensiones superiores, este problema todavía estaba abierto en 1997. [16] La enumeración completa de politopos uniformes no convexos no se conoce en dimensiones cuatro y superiores en 2008. [17]
En los tiempos modernos, los politopos y conceptos relacionados han encontrado muchas aplicaciones importantes en campos tan diversos como los gráficos por computadora , la optimización , los motores de búsqueda , la cosmología , la mecánica cuántica y muchos otros campos. En 2013 se descubrió el amplituedro como una construcción simplificadora en ciertos cálculos de la física teórica.
En el campo de la optimización , la programación lineal estudia los máximos y mínimos de funciones lineales ; estos máximos y mínimos ocurren en el límite de un politopo n -dimensional. En la programación lineal, los politopos ocurren en el uso de coordenadas baricéntricas generalizadas y variables de holgura .
En la teoría de los twistores , una rama de la física teórica , se utiliza un politopo llamado amplituedro para calcular las amplitudes de dispersión de las partículas subatómicas cuando chocan. La construcción es puramente teórica sin manifestación física conocida, pero se dice que simplifica enormemente ciertos cálculos. [18]
