En geometría , un poliedro estrella es un poliedro que tiene alguna cualidad repetitiva de no convexidad que le da una calidad visual similar a una estrella.
Hay dos tipos generales de poliedro estrella:
Los estudios matemáticos de los poliedros estelares suelen centrarse en poliedros uniformes regulares o duales de los poliedros uniformes. Todas estas estrellas son del tipo que se cruzan entre sí.
Los poliedros de estrellas regulares son poliedros que se cruzan entre sí. Pueden tener caras que se cruzan entre sí o figuras de vértices que se cruzan entre sí .
Hay cuatro poliedros de estrellas regulares , conocidos como poliedros de Kepler-Poinsot . El símbolo de Schläfli { p , q } implica caras con p lados y figuras de vértices con q lados. Dos de ellos tienen caras pentagramáticas {5/2} y dos tienen figuras de vértices pentagramáticas.
Estas imágenes muestran cada forma con una sola cara de color amarillo para mostrar la parte visible de esa cara.
También hay un número infinito de digaros y hosoedros de estrellas regulares {2, p/q } y { p/q ,2} para cualquier polígono de estrellas { p/q }. Si bien son degenerados en el espacio euclidiano, pueden realizarse de forma esférica en forma no degenerada.
Hay muchos poliedros estelares uniformes que incluyen dos series infinitas, de prismas y de antiprismas , y sus duales .
Los poliedros estelares uniformes y duales también son poliedros que se intersecan a sí mismos. Pueden tener caras que se cruzan entre sí, o figuras de vértices que se cruzan entre sí, o ambas.
Los poliedros estelares uniformes tienen caras regulares o caras poligonales estelares regulares . Los poliedros estelares uniformes duales tienen caras regulares o figuras de vértices poligonales estelares regulares.
Más allá de las formas anteriores, existen clases ilimitadas de poliedros (estrellas) que se cruzan entre sí.
Dos clases importantes son las estelaciones de poliedros convexos y sus duales, las facetas de los poliedros duales.
Por ejemplo, la estelación completa del icosaedro (ilustrada) se puede interpretar como un poliedro que se intersecta a sí mismo y compuesto por 20 caras idénticas, cada una de las cuales es un polígono enrollado (9/4). A continuación se muestra una ilustración de este poliedro con una cara dibujada en amarillo.
Un politopo que se interseca de manera similar en cualquier número de dimensiones se llama politopo en estrella .
Un politopo regular { p , q , r ,..., s , t } es un politopo estrella si su faceta { p , q ,... s } o su figura de vértice { q , r ,..., s , t } es un politopo estrella.
En cuatro dimensiones, las policoras de 10 estrellas regulares se denominan policoras de Schläfli-Hess . De manera análoga a los poliedros de estrellas regulares, estos 10 están compuestos de facetas que son uno de los cinco sólidos platónicos regulares o uno de los cuatro poliedros de estrellas regulares de Kepler-Poinsot .
Por ejemplo, el gran gran estrellado de 120 celdas , proyectado ortogonalmente en 3 espacios, se ve así:
No hay politopos estelares regulares en dimensiones superiores a 4 [ cita requerida ] .
Un poliedro que no se cruza a sí mismo, de modo que todo el interior puede verse desde un punto interior, es un ejemplo de dominio estelar . Las porciones exteriores visibles de muchos poliedros estelares que se cruzan entre sí forman los límites de los dominios estelares, pero a pesar de su apariencia similar, como poliedros abstractos , son estructuras diferentes. Por ejemplo, el pequeño dodecaedro estrellado tiene 12 caras de pentagrama, pero el dominio estelar correspondiente tiene 60 caras de triángulo isósceles y, en consecuencia, diferentes números de vértices y aristas.
Los dominios estelares poliédricos aparecen en varios tipos de arquitectura, generalmente de naturaleza religiosa. Por ejemplo, se ven en muchas iglesias barrocas como símbolo del Papa que construyó la iglesia, en iglesias húngaras y en otros edificios religiosos. Estas estrellas también se pueden utilizar como decoración. Las estrellas de Moravia se utilizan para ambos fines y pueden construirse de diversas formas.