Este artículo enumera los politopos regulares en espacios euclidianos , esféricos e hiperbólicos .
Esta tabla muestra un resumen de los recuentos de politopos regulares por rango.
No existen teselados de estrellas euclidianas regulares en ningún número de dimensiones.
Sólo hay un politopo de rango 1 (1-politopo), el segmento de línea cerrada delimitado por sus dos puntos finales. Cada realización de este politopo 1 es regular. Tiene el símbolo de Schläfli { }, [2] [3] o un diagrama de Coxeter con un solo nodo anillado,
. Norman Johnson lo llama dion [4] y le asigna el símbolo de Schläfli { }.
Aunque trivial como politopo, aparece como los bordes de polígonos y otros politopos de dimensiones superiores. [5] Se utiliza en la definición de prismas uniformes como el símbolo de Schläfli { }×{p} o el diagrama de Coxeter.
como producto cartesiano de un segmento de recta y un polígono regular. [6]
Los politopos de rango 2 (2-politopos) se denominan polígonos . Los polígonos regulares son equiláteros y cíclicos . Un polígono regular p -gonal está representado por el símbolo de Schläfli {p}.
Muchas fuentes sólo consideran polígonos convexos , pero los polígonos estrella , como el pentagrama , cuando se consideran, también pueden ser regulares. Usan los mismos vértices que las formas convexas, pero se conectan en una conectividad alternativa que pasa alrededor del círculo más de una vez para completarse.
El símbolo de Schläfli {p} representa un p -gon regular .
El digon regular {2} puede considerarse un polígono regular degenerado . Puede realizarse de forma no degenerada en algunos espacios no euclidianos, como en la superficie de una esfera o un toroide . Por ejemplo, digon se puede realizar de forma no degenerada como una luna esférica . Un monógono {1} también podría realizarse en la esfera como un solo punto con un gran círculo atravesándolo. [7] Sin embargo, un monógono no es un politopo abstracto válido porque su único borde incide solo en un vértice en lugar de dos.
Existen infinitos politopos estelares regulares en dos dimensiones, cuyos símbolos de Schläfli consisten en números racionales { n / m } . Se llaman polígonos en estrella y comparten la misma disposición de vértices que los polígonos regulares convexos.
En general, para cualquier número natural n , existen estrellas regulares de n puntas con símbolos de Schläfli { n / m } para todos los m tales que m < n /2 (estrictamente hablando { n / m } = { n /( n − m )} ) y myn son coprimos ( como tales, todas las estelaciones de un polígono con un número primo de lados serán estrellas regulares). Se pueden utilizar símbolos donde m y n no son coprimos para representar polígonos compuestos.
Pueden existir polígonos en estrella que solo pueden existir como mosaicos esféricos, de manera similar al monógono y al digon (por ejemplo: {3/2}, {5/3}, {5/4}, {7/4}, {9/ 5}), sin embargo estos no parecen haber sido estudiados en detalle.
También existen polígonos de estrellas fallidas, como el piangle , que no cubren la superficie de un círculo un número finito de veces. [8]
Además de los polígonos regulares planos, hay infinitos polígonos regulares sesgados . Se pueden crear polígonos sesgados mediante la operación de fusión.
La combinación de dos polígonos P y Q , escrita P # Q , se puede construir de la siguiente manera:
Alternativamente, la combinación es el polígono ⟨ ρ 0 σ 0 , ρ 1 σ 1 ⟩ donde ρ y σ son los espejos generadores de P y Q colocados en subespacios ortogonales. [9] La operación de combinación es conmutativa, asociativa e idempotente.
Cada polígono sesgado regular se puede expresar como la combinación de un conjunto único [a] de polígonos planos. [9] Si P y Q no comparten factores, entonces Dim( P # Q ) = Dim( P ) + Dim( Q ) .
Los polígonos finitos regulares en 3 dimensiones son exactamente las mezclas de los polígonos planos (dimensión 2) con el digon (dimensión 1). Tienen vértices correspondientes a un prisma ( { n / m }#{} donde n es impar) o un antiprisma ( { n / m }#{} donde n es par). Todos los polígonos en 3 espacios tienen un número par de vértices y aristas.
Varios de ellos aparecen como polígonos de Petrie de poliedros regulares.
Los polígonos finitos regulares en 4 dimensiones son exactamente los polígonos formados como una combinación de dos polígonos planos distintos. Tienen vértices que se encuentran sobre un toro de Clifford y están relacionados por un desplazamiento de Clifford . A diferencia de los polígonos tridimensionales, los polígonos sesgados en rotaciones dobles pueden incluir un número impar de lados.
Los politopos de rango 3 se denominan poliedros :
Un poliedro regular con símbolo de Schläfli { p , q } , diagramas de Coxeter
, tiene un tipo de cara regular { p } y una figura de vértice regular {1} .
Una figura de vértice (de un poliedro) es un polígono, visto conectando aquellos vértices que están a un borde de distancia de un vértice dado. Para los poliedros regulares , esta figura de vértice es siempre un polígono regular (y plano).
La existencia de un poliedro regular { p , q } está limitada por una desigualdad, relacionada con el defecto del ángulo de la figura del vértice :
Al enumerar las permutaciones , encontramos cinco formas convexas, cuatro formas de estrella y tres mosaicos planos, todas con polígonos { p } y { q } limitados a: {3}, {4}, {5}, {5/2}, y {6}.
Más allá del espacio euclidiano, hay un conjunto infinito de mosaicos hiperbólicos regulares.
Los cinco poliedros regulares convexos se denominan sólidos platónicos . La figura del vértice se proporciona con cada recuento de vértices. Todos estos poliedros tienen una característica de Euler (χ) de 2.
En la geometría esférica existen poliedros esféricos regulares ( tejidos de la esfera ) que de otro modo degenerarían como politopos. Estos son los hosoedros {2,n} y su dualedra { n,2}. Coxeter llama a estos casos teselados "incorrectos". [10]
Los primeros casos (n de 2 a 6) se enumeran a continuación.
Los dihedras estelares y los hosohedras { p / q , 2} y {2, p / q } también existen para cualquier polígono estelar { p / q } .
Los poliedros estelares regulares se denominan poliedros de Kepler-Poinsot y hay cuatro, según la disposición de los vértices del dodecaedro {5,3} y el icosaedro {3,5}:
Como mosaicos esféricos , estas formas estelares se superponen a la esfera varias veces, lo que se denomina densidad , siendo 3 o 7 para estas formas. Las imágenes en mosaico muestran una única cara de polígono esférico en amarillo.
Hay infinitos poliedros de estrellas fallidas. También se trata de mosaicos esféricos con polígonos de estrellas en sus símbolos de Schläfli, pero no cubren una esfera un número finito de veces. Algunos ejemplos son {5/2,4}, {5/2,9}, {7/2,3}, {5/2,5/2}, {7/2,7/3}, {4, 5/2} y {3,7/3}.
Los poliedros sesgados regulares son generalizaciones al conjunto de poliedros regulares que incluyen la posibilidad de figuras de vértices no planas .
Para poliedros sesgados de 4 dimensiones, Coxeter ofreció un símbolo de Schläfli modificado {l,m|n} para estas figuras, donde {l,m} implica la figura del vértice , m l-gons alrededor de un vértice y n -agujeros angulares. Sus figuras de vértices son polígonos sesgados , que zigzaguean entre dos planos.
Los poliedros sesgados regulares, representados por {l,m|n}, siguen esta ecuación:
Cuatro de ellos pueden verse en 4 dimensiones como un subconjunto de caras de cuatro 4 politopos regulares , que comparten la misma disposición de vértices y de aristas :
Los 4 politopos regulares con símbolo de Schläfli tienen celdas de tipo , caras de tipo , figuras de aristas y figuras de vértices .
La existencia de un 4-politopo regular está limitada por la existencia de los poliedros regulares . Un nombre sugerido para los 4 politopos es "polichoron". [11]
Cada uno existirá en un espacio que depende de esta expresión:
Estas restricciones permiten 21 formas: 6 son convexas, 10 son no convexas, una es un panal euclidiano de 3 espacios y 4 son panales hiperbólicos.
La característica de Euler para 4 politopos convexos es cero:
Los 6 4 politopos regulares convexos se muestran en la siguiente tabla. Todos estos 4 politopos tienen una característica de Euler (χ) de 0.
Los di-4-topos y hoso-4-topos existen como teselados regulares de las 3 esferas .
Los di-4-topos regulares (2 facetas) incluyen: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2 }, {p,2,2}, y sus duales hoso-4-topos (2 vértices): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2, 3,5}, {2,5,3}, {2,2, p }. Los 4 politopos de la forma {2, p , 2} son lo mismo que {2,2, p }. También están los casos { p ,2, q } que tienen celdas diédricas y figuras de vértices hosoédricas.
Hay diez 4 politopos de estrellas regulares , que se denominan 4 politopos de Schläfli-Hess . Sus vértices se basan en los {5,3,3} convexos de 120 celdas y {3,3,5} de 600 celdas .
Ludwig Schläfli encontró cuatro de ellos y se saltó los últimos seis porque no permitiría formas que no cumplieran la característica de Euler en celdas o figuras de vértices (para toros de agujero cero: F+V−E=2). Edmund Hess (1843-1903) completó la lista completa de diez en su libro alemán Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (1883)[1].
Hay 4 disposiciones de bordes únicas y 7 disposiciones de caras únicas de estos 10 4 politopos de estrellas regulares, que se muestran como proyecciones ortogonales :
Hay 4 posibles permutaciones fallidas de 4 politopos de estrellas regulares: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5 /2}. Sus células y figuras de vértices existen, pero no cubren una hiperesfera con un número finito de repeticiones.
Además de los 16 4 politopos planos anteriores, hay 18 politopos sesgados finitos. [12] Uno de estos se obtiene como el Petrial del teseracto, y los otros 17 se pueden formar aplicando la operación kappa a los politopos planos y al Petrial del teseracto.
A los 5 politopos se les puede dar el símbolo donde es el tipo de 4 caras, es el tipo de celda, es el tipo de cara y es la figura de la cara, es la figura del borde y es la figura del vértice.
Un 5 politopo regular existe sólo si y son 4 politopos regulares.
El espacio en el que encaja se basa en la expresión:
La enumeración de estas restricciones produce 3 politopos convexos, ningún politopo en estrella, 3 teselaciones de 4 espacios euclidianos y 5 teselaciones de 4 espacios hiperbólicos paracompactos. Los únicos politopos regulares no convexos para los rangos 5 y superiores son los sesgados.
En dimensiones 5 y superiores, sólo hay tres tipos de politopos regulares convexos. [13]
También hay casos impropios en los que algunos números en el símbolo de Schläfli son 2. Por ejemplo, {p,q,r,...2} es un politopo esférico regular inadecuado siempre que {p,q,r...} sea un politopo esférico regular impropio. politopo esférico regular, y {2,...p,q,r} es un politopo esférico regular inadecuado siempre que {...p,q,r} sea un politopo esférico regular. Estos politopos también se pueden utilizar como facetas, dando formas como {p,q,...2...y,z}.
No hay politopos estelares regulares de rango 5 o superior, con la excepción de politopos degenerados creados por el producto estelar de politopos estelares de rango inferior. por ejemplo, hosótopos y dítopos.
Un politopo proyectivo regular ( n +1) existe cuando una teselación n -esférica regular original, {p,q,...}, es centralmente simétrica . Tal politopo se llama hemi-{p,q,...} y contiene la mitad de elementos. Coxeter da un símbolo {p,q,...}/2, mientras que McMullen escribe {p,q,...} h/2 con h como número de coxeter . [14]
Los polígonos regulares de lados pares tienen polígonos proyectivos hemi- 2n , {2p}/2.
Existen 4 poliedros proyectivos regulares relacionados con 4 de 5 sólidos platónicos .
El hemicubo y el hemioctaedro se generalizan como hemi- n -cubos y hemi- n - ortoplexos a cualquier rango.
5 de 6 4 politopos regulares convexos son centralmente simétricos generando 4 politopos proyectivos. Los 3 casos especiales son hemi-24 celdas, hemi-600 celdas y hemi-120 celdas.
Sólo 2 de 3 politopos espéricos regulares son centralmente simétricos para los rangos 5 o superiores: son las versiones hemi del hipercubo y ortoplex regulares. Se tabulan a continuación para el rango 5, por ejemplo:
Un apeirotopo o politopo infinito es un politopo que tiene infinitas facetas . Un n -apeirotopo es un n -politopo infinito: un 2-apeirotopo o apeirogon es un polígono infinito, un 3-apeirotopo o apeiroedro es un poliedro infinito, etc.
Hay dos clases geométricas principales de apeirotopo: [15]
El apeirogon recto es una teselación regular de la línea, subdividiéndola en infinitos segmentos iguales. Tiene infinitos vértices y aristas. Su símbolo de Schläfli es {∞} y el diagrama de Coxeter
.
...
...
Existe como límite del p -gon cuando p tiende al infinito, de la siguiente manera:
Los apeirógonos en el plano hiperbólico , más notablemente el apeirogón regular , {∞}, pueden tener una curvatura como los polígonos finitos del plano euclidiano, con los vértices circunscritos por horociclos o hiperciclos en lugar de círculos .
Los apeirogons regulares que están escalados para converger en el infinito tienen el símbolo {∞} y existen en horociclos, mientras que, de manera más general, pueden existir en hiperciclos.
Arriba hay dos apeirógonos hiperbólicos regulares en el modelo de disco de Poincaré , el de la derecha muestra líneas de reflexión perpendiculares de dominios fundamentales divergentes , separados por longitud λ.
Un apeirogon sesgado en dos dimensiones forma una línea en zig-zag en el plano. Si el zig-zag es parejo y simétrico, entonces el apeirogon es regular.
Los apeirogons sesgados se pueden construir en cualquier número de dimensiones. En tres dimensiones, un apeirogon sesgado regular traza una espiral helicoidal y puede ser para diestros o zurdos.
Hay tres teselados regulares del avión.
Hay dos mosaicos regulares impropios: {∞,2}, un didedro apeirogonal , formado por dos apeirogons , cada uno de los cuales ocupa la mitad del plano; y en segundo lugar, su dual, {2,∞}, un hosoedro apeirogonal , visto como un conjunto infinito de rectas paralelas.
No hay mosaicos planos regulares de polígonos estelares . Hay muchas enumeraciones que caben en el plano (1/ p + 1/ q = 1/2), como {8/3,8}, {10/3,5}, {5/2,10}, {12 /5,12}, etc., pero ninguno se repite periódicamente.
Los mosaicos de 2 espacios hiperbólicos son mosaicos hiperbólicos . Hay infinitos mosaicos regulares en H 2 . Como se indicó anteriormente, cada par de enteros positivos { p , q } tal que 1/ p + 1/ q < 1/2 da un mosaico hiperbólico. De hecho, para el triángulo de Schwarz general ( p , q , r ) lo mismo es válido para 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1.
Hay varias formas diferentes de mostrar el plano hiperbólico, incluido el modelo de disco de Poincaré que mapea el plano en un círculo, como se muestra a continuación. Debe reconocerse que todas las caras poligonales en los mosaicos a continuación tienen el mismo tamaño y solo parecen reducirse cerca de los bordes debido a la proyección aplicada, muy similar al efecto de la lente ojo de pez de una cámara .
Hay infinitos 3-apeirotopos planos regulares (apeiroedros) como mosaicos regulares del plano hiperbólico, de la forma {p,q}, con p+q<pq/2. (anteriormente enumerados arriba como teselados)
Una muestra:
Los mosaicos {p, ∞} tienen vértices ideales , en el borde del modelo de disco de Poincaré. Sus duales {∞, p} tienen caras apeirogonales ideales , lo que significa que están inscritos en horociclos . Se podría ir más allá (como se hace en la tabla anterior) y encontrar mosaicos con vértices ultraideales, fuera del disco de Poincaré, que son duales a mosaicos inscritos en hiperciclos ; en lo que arriba se simboliza {p, iπ/λ}, todavía caben infinitas fichas alrededor de cada vértice ultraideal. [16] (Las líneas paralelas en el espacio hiperbólico extendido se encuentran en un punto ideal; las líneas ultraparalelas se encuentran en un punto ultraideal). [17]
Existen 2 infinitas formas de mosaicos hiperbólicos cuyas caras o figuras de vértices son polígonos estrella: { m /2, m } y sus duales { m , m /2} con m = 7, 9, 11, .... Los { m /2, m } mosaicos son estelaciones de los mosaicos { m , 3} mientras que los mosaicos duales { m , m /2} son facetas de los mosaicos {3, m } y engrandecimientos de los mosaicos { m , 3}.
Los patrones { m /2, m } y { m , m /2} continúan para m impar < 7 como poliedros : cuando m = 5, obtenemos el dodecaedro estrellado pequeño y el dodecaedro grande , y cuando m = 3, el caso degenera a un tetraedro . Los otros dos poliedros de Kepler-Poinsot (el gran dodecaedro estrellado y el gran icosaedro ) no tienen análogos de mosaicos hiperbólicos regulares. Si m es par, dependiendo de cómo decidamos definir { m /2}, podemos obtener coberturas dobles degeneradas de otros mosaicos o mosaicos compuestos .
Hay tres apeiroedros sesgados regulares en el espacio tridimensional euclidiano, con caras planas. [18] [19] [20] Comparten la misma disposición de vértices y disposición de bordes de 3 panales uniformes convexos .
Teniendo en cuenta las caras sesgadas, hay 24 apeiroedros regulares en el espacio tridimensional euclidiano. [22] Estos incluyen 12 apeiredros creados por mezclas con el apeiroedro euclidiano y 12 apeiroedros puros, incluidos los 3 anteriores, que no pueden expresarse como una mezcla no trivial.
Esos apeiroedros puros son:
Hay 31 apeiroedros sesgados regulares con caras convexas en 3 espacios hiperbólicos con simetría compacta o paracompacta: [23]
Sólo hay una teselación regular no degenerada de 3 espacios ( panales ), {4, 3, 4}: [24]
Hay seis teselados regulares impropios, pares basados en los tres mosaicos euclidianos regulares. Sus celdas y figuras de vértices son todos hosoedros regulares {2,n}, diedros , {n,2} y mosaicos euclidianos. Estos mosaicos regulares inadecuados están relacionados constructivamente con panales prismáticos uniformes mediante operaciones de truncamiento. Son análogos de dimensiones superiores del mosaico apeirogonal de orden 2 y del hosoedro apeirogonal .
Hay diez panales planos regulares de 3 espacios hiperbólicos: [25] (anteriormente enumerados anteriormente como teselados)
Las teselaciones de 3 espacios hiperbólicos pueden denominarse panales hiperbólicos . Hay 15 panales hiperbólicos en H 3 , 4 compactos y 11 paracompactos.
También hay 11 panales H 3 paracompactos (aquellos con infinitas celdas (euclidianas) y/o figuras de vértices): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4, 4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3, 5} y {6,3,6}.
Las soluciones no compactas existen como grupos de Lorentzian Coxeter y se pueden visualizar con dominios abiertos en el espacio hiperbólico (el tetraedro fundamental tiene vértices ultraideales). Todos los panales con celdas hiperbólicas o figuras de vértices y que no tienen 2 en su símbolo de Schläfli no son compactos.
No hay estrellas-panal hiperbólicas regulares en H 3 : todas las formas con un poliedro estrella regular como celda, figura de vértice o ambas terminan siendo esféricas.
Los vértices ideales ahora aparecen cuando la figura del vértice es un mosaico euclidiano, volviéndose inscribible en una horósfera en lugar de una esfera. Son células duales a ideales (tejidos euclidianos en lugar de poliedros finitos). A medida que el último número del símbolo de Schläfli aumenta, la figura del vértice se vuelve hiperbólica y los vértices se vuelven ultraideales (por lo que los bordes no se encuentran dentro del espacio hiperbólico). En los panales {p, q, ∞} las aristas cortan la bola de Poincaré sólo en un punto ideal; el resto del borde se ha vuelto ultraideal. Continuar más conduciría a aristas que son completamente ultraideales, tanto para el panal como para el simplex fundamental (aunque todavía se encontrarían infinitos {p, q} en tales aristas). En general, cuando el último número del símbolo de Schläfli se convierte en ∞, las caras de codimensión dos cruzan la hiperbola de Poincaré sólo en un punto ideal. [dieciséis]
Hay tres tipos de teselados regulares infinitos ( panales ) que pueden teselar el espacio euclidiano de cuatro dimensiones:
También están los dos casos impropios {4,3,4,2} y {2,4,3,4}.
Hay tres panales planos regulares del 4 espacio euclidiano: [24]
Hay siete panales planos, regulares y convexos de 4 espacios hiperbólicos: [25]
Hay cuatro panales de estrellas planas y regulares de 4 espacios hiperbólicos: [25]
Hay siete panales regulares convexos y cuatro panales en forma de estrella en el espacio H 4 . [26] Cinco convexos son compactos y dos son paracompactos.
Cinco panales compactos regulares en H 4 :
Los dos panales H 4 regulares paracompactos son: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.
Las soluciones no compactas existen como grupos de Lorentzian Coxeter y se pueden visualizar con dominios abiertos en el espacio hiperbólico (las 5 celdas fundamentales tienen algunas partes inaccesibles más allá del infinito). Todos los panales que no se muestran en el conjunto de tablas siguientes y que no tienen 2 en su símbolo Schläfli no son compactos.
Hay cuatro panales de estrellas regulares en el espacio H 4 , todos compactos:
Sólo hay un panal plano y regular del espacio 5 euclidiano: (anteriormente enumerados anteriormente como teselaciones) [24]
Hay cinco panales regulares planos de 5 espacios hiperbólicos, todos paracompactos: (anteriormente enumerados anteriormente como teselados) [25]
El panal hipercúbico es la única familia de panales regulares que pueden teselar cada dimensión, cinco o más, formada por facetas de hipercubo , cuatro alrededor de cada cresta .
En E 5 , también están los casos impropios {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3 ,3,4,3}, {3,4,3,3,2} y {2,3,4,3,3}. En E n , {4,3 n−3 ,4,2} y {2,4,3 n−3 ,4} son siempre teselaciones euclidianas impropias.
Hay 5 panales regulares en H 5 , todos paracompactos, que incluyen infinitas facetas (euclidianas) o figuras de vértices: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3, 3,3,4,3}, {3,4,3,3,4} y {4,3,3,4,3}.
No hay teselados regulares compactos del espacio hiperbólico de dimensión 5 o superior ni teselados regulares paracompactos en el espacio hiperbólico de dimensión 6 o superior.
Dado que no hay n -politopos de estrellas regulares para n ≥ 5, que podrían ser celdas potenciales o figuras de vértices, no hay más panales de estrellas hiperbólicas en H n para n ≥ 5.
No existen teselaciones regulares compactas o paracompactas de espacio hiperbólico de dimensión 6 o superior. Sin embargo, cualquier símbolo de Schläfli de la forma {p,q,r,s,...} no cubierto anteriormente (p,q,r,s,... números naturales superiores a 2, o infinito) formará una teselación no compacta de espacio n hiperbólico . [dieciséis]
Los politopos abstractos surgieron de un intento de estudiar los politopos aparte del espacio geométrico en el que están incrustados. Incluyen las teselaciones del espacio esférico, euclidiano e hiperbólico, y de otras variedades . Hay infinitos de cada rango mayor que 1. Consulte este atlas para obtener una muestra. Algunos ejemplos notables de politopos regulares abstractos que no aparecen en ninguna otra parte de esta lista son los de 11 celdas , {3,5,3} y los de 57 celdas , {5,3,5}, que tienen poliedros proyectivos regulares como celdas. y figuras de vértices.
Los elementos de un poliedro abstracto son su cuerpo (el elemento máximo), sus caras, aristas, vértices y el politopo nulo o conjunto vacío. Estos elementos abstractos pueden trasladarse al espacio ordinario o realizarse como figuras geométricas. Algunos poliedros abstractos tienen realizaciones fieles o bien formadas , otros no. Una bandera es un conjunto conectado de elementos de cada rango: para un poliedro que es el cuerpo, una cara, una arista de la cara, un vértice de la arista y el politopo nulo. Se dice que un politopo abstracto es regular si sus simetrías combinatorias son transitivas en sus banderas, es decir, que cualquier bandera se puede asignar a cualquier otra bajo una simetría del poliedro. Los politopos regulares abstractos siguen siendo un área activa de investigación.
Cinco de estos poliedros abstractos regulares, que no pueden realizarse fiel y simétricamente, fueron identificados por HSM Coxeter en su libro Regular Polytopes (1977) y nuevamente por JM Wills en su artículo "The combinatorially regular polyhedra of index 2" (1987). [27] Todos ellos son topológicamente equivalentes a los toroides . Su construcción, al disponer n caras alrededor de cada vértice, se puede repetir indefinidamente como mosaicos del plano hiperbólico . En los diagramas siguientes, las imágenes de mosaico hiperbólico tienen colores correspondientes a los de las imágenes de poliedros.
Estos ocurren como pares duales de la siguiente manera:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}:{\text{Poliedro (existente) en espacio tridimensional euclidiano)}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}:{\text {Mosaico del plano euclidiano}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}:{\text{Hiperbólico mosaico de plano}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3e3112344f5e050eb160928c5170cabb51bcf8)
