600 celdas

Four-dimensional analog of the icosahedron

Neto

En geometría , la celda 600 es el 4-politopo regular convexo (análogo cuatridimensional de un sólido platónico ) con símbolo de Schläfli {3,3,5}. También se lo conoce como C ₆₀₀ , hexacosicoron ^[1] y hexacosiedroide . ^[2] También se lo denomina tetraplex (abreviado de "complejo tetraédrico") y politetraedro , al estar limitado por celdas tetraédricas .

El límite de 600 celdas está compuesto por 600 celdas tetraédricas , de las cuales 20 se unen en cada vértice. Juntas forman 1200 caras triangulares, 720 aristas y 120 vértices. Es el análogo de 4 dimensiones del icosaedro , ya que tiene cinco tetraedros que se unen en cada arista, al igual que el icosaedro tiene cinco triángulos que se unen en cada vértice. Su politopo dual es el de 120 celdas .

Geometría

El politopo de 600 celdas es el quinto en la secuencia de 6 politopos regulares convexos de 4 celdas (en orden de complejidad y tamaño en el mismo radio). ^[a] Puede deconstruirse en veinticinco instancias superpuestas de su predecesor inmediato, el politopo de 24 celdas , ^[5] como el politopo de 24 celdas puede deconstruirse en tres instancias superpuestas de su predecesor, el teseracto (de 8 celdas) , y el politopo de 8 celdas puede deconstruirse en dos instancias superpuestas de su predecesor, el politopo de 16 celdas . ^[6]

El procedimiento inverso para construir cada uno de estos a partir de una instancia de su predecesor conserva el radio del predecesor, pero generalmente produce un sucesor con una longitud de arista más pequeña. La longitud de arista de la celda de 24 es igual a su radio, pero la longitud de arista de la celda de 600 es ~0,618 veces su radio, ^[7] que es la proporción áurea .

Coordenadas

Radio unitario en coordenadas cartesianas

Los vértices de una celda de 600 de radio unitario centrada en el origen del espacio 4, con aristas de longitud ⁠1/φ⁠ ≈ 0,618 (donde φ = ⁠1 + √ 5/2⁠ ≈ 1,618 es la proporción áurea), se puede dar ^[8] de la siguiente manera:

8 vértices obtenidos de

(0, 0, 0, ±1)

permutando coordenadas y 16 vértices de la forma:

(± ⁠1/2⁠ , ± ⁠1/2⁠ , ± ⁠1/2⁠ , ± ⁠1/2⁠ )

Los 96 vértices restantes se obtienen tomando permutaciones pares de

(± ⁠φ/2⁠ , ± ⁠1/2⁠ , ± ⁠φ ⁻¹/2⁠ , 0)

Nótese que los primeros 8 son los vértices de un teseracto de 16 celdas , los segundos 16 son los vértices de un teseracto y esos 24 vértices juntos son los vértices de un teseracto de 24 celdas . Los 96 vértices restantes son los vértices de un teseracto de 24 celdas romo , que se puede encontrar particionando cada una de las 96 aristas de otro teseracto de 24 celdas (dual al primero) en la proporción áurea de manera consistente. ^[9]

Cuando se interpretan como cuaterniones, ^[b] estos son los icosianos unitarios .

En el sistema de 24 celdas, hay cuadrados , hexágonos y triángulos que se encuentran en círculos máximos (en planos centrales a través de cuatro o seis vértices). ^[c] En el sistema de 600 celdas, hay veinticinco celdas de 24 inscritas superpuestas, con cada vértice y cuadrado compartido por cinco celdas de 24, y cada hexágono o triángulo compartido por dos celdas de 24. ^[e] En cada celda de 24 hay tres celdas de 16 disjuntas, por lo que en el sistema de 600 celdas hay 75 celdas de 16 inscritas superpuestas. ^[f] Cada celda de 16 constituye una base ortonormal distinta para la elección de un marco de referencia de coordenadas .

Los 60 ejes y 75 celdas de 16 de las 600 celdas constituyen una configuración geométrica , que en el lenguaje de las configuraciones se escribe como 60 ₅ 75 ₄ para indicar que cada eje pertenece a 5 celdas de 16, y cada celda de 16 contiene 4 ejes. ^[10] Cada eje es ortogonal a exactamente otros 15, y estos son simplemente sus compañeros en las 5 celdas de 16 en las que aparece.

Coordenadas esféricas de Hopf

En la celda 600 también hay pentágonos y decágonos de círculo máximo (en planos centrales a través de diez vértices). ^[11]

Sólo los bordes del decágono son elementos visibles de la celda 600 (porque son los bordes de la celda 600). Los bordes de los otros polígonos circulares máximos son cuerdas interiores de la celda 600, que no se muestran en ninguna de las representaciones de la celda 600 en este artículo (excepto donde se muestran como líneas discontinuas). ^[k]

Por simetría, un número igual de polígonos de cada tipo pasan por cada vértice; por lo tanto, es posible explicar los 120 vértices como la intersección de un conjunto de polígonos centrales de un solo tipo: decágonos, hexágonos, pentágonos, cuadrados o triángulos. Por ejemplo, los 120 vértices pueden verse como los vértices de 15 pares de cuadrados completamente ortogonales que no comparten ningún vértice, o como 100 pares duales de hexágonos no ortogonales entre los cuales todos los pares de ejes son ortogonales, o como 144 pentágonos no ortogonales, seis de los cuales se intersecan en cada vértice. Esta última simetría pentagonal de las 600 celdas se captura mediante el conjunto de coordenadas de Hopf ^[13] (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j ) ^[n] dado como:

({<10} ⁠𝜋/5⁠ , {≤5} ⁠𝜋/10⁠ , {<10} ⁠𝜋/5⁠ )

donde {<10} es la permutación de los diez dígitos (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) y {≤5} es la permutación de los seis dígitos (0 1 2 3 4 5). Las coordenadas 𝜉 _i y 𝜉 _j se extienden sobre los 10 vértices de los decágonos de círculo máximo; los dígitos pares e impares etiquetan los vértices de los dos pentágonos de círculo máximo inscritos en cada decágono. ^[o]

Estructura

Secciones poliédricas

Las distancias mutuas de los vértices, medidas en grados de arco sobre la hiperesfera circunscrita , sólo tienen los valores 36° = ⁠𝜋/5⁠ , 60° = ⁠𝜋/3⁠ , 72° = ⁠2𝜋/5⁠ , 90° = ⁠𝜋/2⁠ , 108° = ⁠3𝜋/5⁠ , 120° = ⁠2𝜋/3⁠ , 144° = ⁠4𝜋/5⁠ , y 180° = 𝜋. Partiendo de un vértice arbitrario V se tienen en 36° y 144° los 12 vértices de un icosaedro , ^[p] en 60° y 120° los 20 vértices de un dodecaedro , en 72° y 108° los 12 vértices de un icosaedro mayor, en 90° los 30 vértices de un icosidodecaedro , y finalmente en 180° el vértice antípoda de V. ^{[14] [15] [16]} Estos pueden verse en las proyecciones del plano de Coxeter H3 con vértices superpuestos coloreados. ^[17]

Estas secciones poliédricas son sólidos en el sentido de que son tridimensionales, pero, por supuesto, todos sus vértices se encuentran en la superficie de la celda de 600 (son huecos, no sólidos). Cada poliedro se encuentra en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones como una sección transversal paralela a través de la celda de 600 (un hiperplano). En el espacio tridimensional curvo de la superficie límite de la celda de 600, el poliedro rodea el vértice V de la misma manera que rodea su propio centro. Pero su propio centro está en el interior de la celda de 600, no en su superficie. V no está en realidad en el centro del poliedro, porque está desplazado hacia afuera desde ese hiperplano en la cuarta dimensión, hacia la superficie de la celda de 600. Por lo tanto, V es el vértice de una pirámide de cuatro dimensiones basada en el poliedro.

Acordes dorados

Geometría de vértices de la celda de 600, que muestra los 5 polígonos circulares máximos regulares y las 8 longitudes de cuerda de vértice a vértice ^[c] con ángulos de arco. La proporción áurea ^[q] rige las raíces fraccionarias de cada una de las demás cuerdas, ^[r] y los triángulos áureos radiales que se encuentran en el centro.

Los 120 vértices se distribuyen ^[18] en ocho longitudes de cuerda diferentes entre sí. Estos bordes y cuerdas de la celda de 600 son simplemente los bordes y cuerdas de sus cinco polígonos de círculo máximo. ^[19] En orden ascendente de longitud, son √ 0.𝚫 , √ 1 , √ 1.𝚫 , √ 2 , √ 2.𝚽 , √ 3 , √ 3.𝚽 y √ 4 . ^[s]

Nótese que las cuatro cuerdas hipercúbicas del sistema de 24 celdas ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) ^[c] se alternan con las cuatro nuevas cuerdas de los grandes círculos adicionales del sistema de 600 celdas, los decágonos y pentágonos. Las nuevas longitudes de las cuerdas áureas son necesariamente raíces cuadradas de fracciones, pero fracciones muy especiales relacionadas con la proporción áurea ^[q], incluidas las dos secciones áureas de √ 5 , como se muestra en el diagrama. ^[r]

Sobres de límites

Proyección 3D de un conjunto de 600 celdas que realizan una rotación simple . Se puede ver la superficie 3D formada por 600 tetraedros.

Las 600 celdas completan las 24 celdas agregando 96 vértices más entre los 24 vértices existentes de las 24 celdas, ^[u] agregando en efecto veinticuatro celdas superpuestas más de 24 celdas inscritas en las 600 celdas. ^[f] La nueva superficie así formada es una teselación de celdas más pequeñas y numerosas ^[v] y caras: tetraedros de longitud de arista ⁠1/φ⁠ ≈ 0,618 en lugar de octaedros con longitud de arista 1. Encierra las √ 1 aristas de las 24 celdas, que se convierten en cuerdas interiores invisibles en la celda 600, como las cuerdas √ 2 y √ 3 .

Proyección 3D de un sistema de 24 celdas que realiza una rotación simple . La superficie 3D formada por 24 octaedros es visible. También está presente en el sistema de 600 celdas, pero como una envoltura interior invisible.

Dado que los tetraedros están formados por aristas triangulares más cortas que los octaedros (por un factor de ⁠1/φ⁠ , la proporción áurea inversa), la celda de 600 no tiene una longitud de arista unitaria en un sistema de coordenadas de radio unitario como la de 24 celdas y el teseracto; a diferencia de estos dos, la celda de 600 no es radialmente equilátera . Como ellos, es radialmente triangular de una manera especial, ^[z] pero una en la que los triángulos áureos en lugar de triángulos equiláteros se encuentran en el centro. ^{[aa] Solo unos pocos politopos uniformes tienen esta propiedad, incluyendo la celda de 600 de cuatro dimensiones, el} icosidodecaedro tridimensional y el decágono bidimensional . (El icosidodecaedro es la sección transversal ecuatorial de la celda de 600, y el decágono es la sección transversal ecuatorial del icosidodecaedro). Los politopos radialmente áureos son aquellos que se pueden construir, con sus radios, a partir de triángulos áureos .

La envoltura límite de 600 pequeñas celdas tetraédricas envuelve las veinticinco envolturas de 24 celdas octaédricas (añadiendo algo de espacio de 4 dimensiones en algunos lugares entre estas envolturas tridimensionales curvas). La forma de esos intersticios debe ser una pirámide octaédrica de 4 dimensiones de algún tipo, pero en las 600 celdas no es regular. ^[ab]

Geodésicas

Las cuerdas de los vértices de las 600 celdas están dispuestas en polígonos geodésicos de gran círculo de cinco tipos: decágonos, hexágonos, pentágonos, cuadrados y triángulos. ^[22]

Proyección estereográfica centrada en las celdas de los 72 decágonos centrales de 600 celdas sobre sus círculos máximos. Cada círculo máximo está dividido en 10 aristas de arco en las intersecciones donde se cruzan 6 círculos máximos.

Las aristas √ 0.𝚫 = 𝚽 forman 72 decágonos centrales regulares planos , 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. ^[p] Así como el icosidodecaedro se puede dividir en 6 decágonos centrales (60 aristas = 6 × 10), las 600 celdas se pueden dividir en 72 decágonos (720 aristas = 72 × 10). Las 720 aristas √ 0.𝚫 dividen la superficie en 1200 caras triangulares y 600 celdas tetraédricas: una celda de 600. Las 720 aristas se presentan en 360 pares paralelos, separados por √ 3.𝚽 . Al igual que en el decágono y el icosidodecaedro, las aristas se presentan en triángulos áureos que se encuentran en el centro del politopo. Los 72 grandes decágonos se pueden dividir en 6 conjuntos de 12 geodésicas paralelas de Clifford que no se intersecan, ^[af] tales que solo un gran círculo decagonal en cada conjunto pasa por cada vértice, y los 12 decágonos en cada conjunto alcanzan los 120 vértices. ^[24]

Las cuerdas √ 1 forman 200 hexágonos centrales (25 conjuntos de 16, con cada hexágono en dos conjuntos), ^[d] 10 de los cuales se cruzan en cada vértice ^[ag] (4 de cada una de las cinco celdas de 24 que se encuentran en el vértice, con cada hexágono en dos de esas celdas de 24). ^[i] Cada conjunto de 16 hexágonos consta de las 96 aristas y 24 vértices de una de las 25 celdas de 24 inscritas superpuestas. Las cuerdas √ 1 unen vértices que están separados por dos aristas √ 0.𝚫 . Cada cuerda √ 1 es el diámetro largo de un par de celdas tetraédricas unidas por caras (una bipirámide triangular ), y pasa por el centro de la cara compartida. Como hay 1200 caras, hay 1200 cuerdas √ 1 , en 600 pares paralelos, separados √ 3. Los planos hexagonales no son ortogonales (separados 60 grados) pero se presentan como 100 pares duales en los que los 3 ejes de un hexágono son ortogonales a los 3 ejes de su dual. ^[25] Los 200 grandes hexágonos se pueden dividir en 10 conjuntos de 20 geodésicas paralelas de Clifford que no se intersecan, de modo que solo un gran círculo hexagonal en cada conjunto pase por cada vértice, y los 20 hexágonos en cada conjunto alcancen los 120 vértices. ^[26]

Las cuerdas √ 1.𝚫 forman 144 pentágonos centrales, 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. ^[k] Las cuerdas √ 1.𝚫 discurren de vértice a vértice en los mismos planos que los 72 decágonos: dos pentágonos están inscritos en cada decágono. Las cuerdas √ 1.𝚫 unen vértices que están separados por dos aristas √ 0.𝚫 en un círculo geodésico máximo. Las 720 cuerdas √ 1.𝚫 se presentan en 360 pares paralelos, separados por √ 2.𝚽 = φ.

Las cuerdas √ 2 forman 450 cuadrados centrales, 15 de los cuales se cruzan en cada vértice (3 de cada una de las cinco celdas de 24 que se encuentran en el vértice). Las cuerdas √ 2 unen vértices que están separados por tres aristas √ 0.𝚫 (y dos cuerdas √ 1 ). Hay 600 cuerdas √ 2 , en 300 pares paralelos, separados por √ 2. Los 450 cuadrados mayores (225 pares completamente ortogonales ) se pueden dividir en 15 conjuntos de 30 geodésicas paralelas de Clifford que no se intersecan, de modo que solo un círculo mayor cuadrado en cada conjunto pasa por cada vértice, y los 30 cuadrados (15 pares completamente ortogonales) en cada conjunto alcanzan los 120 vértices. ^[27]

Las cuerdas √ 2.𝚽 = φ forman los catetos de 720 triángulos isósceles centrales (72 conjuntos de 10 inscritos en cada decágono), 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. La tercera arista (base) de cada triángulo isósceles tiene una longitud de √ 3.𝚽 . Las cuerdas √ 2.𝚽 corren de vértice a vértice en cada tercer vértice en los mismos planos que los 72 decágonos, uniendo vértices que están separados por tres aristas √ 0.𝚫 en un círculo geodésico máximo. Hay 720 cuerdas √ 2.𝚽 distintas , en 360 pares paralelos, separados por √ 1.𝚫 .

Las cuerdas √ 3 forman 400 triángulos centrales equiláteros (25 conjuntos de 32, con cada triángulo en dos conjuntos), 10 de los cuales se cruzan en cada vértice (4 de cada una de las cinco celdas de 24 , con cada triángulo en dos de las 24 celdas). Cada conjunto de 32 triángulos consta de las 96 cuerdas √ 3 y 24 vértices de una de las 25 celdas inscritas superpuestas de 24. Las cuerdas √ 3 corren de vértice a cada segundo vértice en los mismos planos que los 200 hexágonos: dos triángulos están inscritos en cada hexágono. Las cuerdas √ 3 unen vértices que están separados por cuatro aristas √ 0.𝚫 (y dos cuerdas √ 1 en un círculo máximo geodésico). Cada cuerda √ 3 es el diámetro largo de dos celdas cúbicas en el mismo grupo de 24 celdas. ^[ah] Hay 1200 cuerdas √ 3 , en 600 pares paralelos, separados √ 1 .

Las cuerdas √ 3.𝚽 (las diagonales de los pentágonos) forman los catetos de 720 triángulos isósceles centrales (144 conjuntos de 5 inscritos en cada pentágono), 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. La tercera arista (base) de cada triángulo isósceles es una arista del pentágono de longitud √ 1.𝚫 , por lo que estos son triángulos áureos . Las cuerdas √ 3.𝚽 corren de vértice a cada cuarto vértice en los mismos planos que los 72 decágonos, uniendo vértices que están separados por cuatro aristas √ 0.𝚫 en un círculo máximo geodésico. Hay 720 cuerdas √ 3.𝚽 distintas, en 360 pares paralelos, separados por √ 0.𝚫 .

Las √ 4 cuerdas se presentan como 60 diámetros largos (75 conjuntos de 4 ejes ortogonales con cada conjunto comprendiendo una celda de 16 ), los 120 radios largos de la celda de 600. Las √ 4 cuerdas unen vértices opuestos que están separados por cinco aristas de √ 0.𝚫 en un gran círculo geodésico. Hay 25 conjuntos distintos pero superpuestos de 12 diámetros, cada uno comprendiendo una de las 25 celdas de 24 inscritas. ^[j] Hay 75 conjuntos distintos pero superpuestos de 4 diámetros ortogonales, cada uno comprendiendo una de las 75 celdas de 16 inscritas.

La suma de las longitudes al cuadrado ^[ai] de todas estas cuerdas distintas de la celda de 600 es 14.400 = 120 ² . ^[aj] Todos estos son polígonos centrales que pasan por vértices, pero la celda de 600 tiene un gran círculo notable que no pasa por ningún vértice (un 0-gono). ^[an] Además, en el espacio 4 hay geodésicas en la esfera 3 que no se encuentran en planos centrales en absoluto. Hay caminos geodésicos más cortos entre dos vértices de la celda de 600 que son helicoidales en lugar de simplemente circulares; corresponden a rotaciones isoclínicas (diagonales) en lugar de rotaciones simples. ^[ao]

Todos los polígonos geodésicos enumerados anteriormente se encuentran en planos centrales de solo tres tipos, cada uno caracterizado por un ángulo de rotación: planos decágonos (𝜋/5⁠ aparte), planos hexagonales ( ⁠𝜋/3⁠ aparte, también en las 25 celdas inscritas de 24) y planos cuadrados (𝜋/2⁠ aparte, también en las 75 celdas de 16 inscritas y las de 24 celdas). Estos planos centrales de las 600 celdas se pueden dividir en 4 hiperplanos centrales ortogonales (3-espacios) cada uno de los cuales forma un icosidodecaedro . Hay 450 grandes cuadrados separados por 90 grados; 200 grandes hexágonos separados por 60 grados; y 72 grandes decágonos separados por 36 grados. ^[at] Cada gran plano cuadrado es completamente ortogonal a otro gran plano cuadrado. Cada gran plano hexagonal es completamente ortogonal a un plano que interseca solo dos vértices (uno de √ 4 de diámetro largo): un gran plano digónico . ^[au] Cada gran plano decágono es completamente ortogonal a un plano que no interseca ningún vértice: un gran plano 0-gono. ^[al]

Fibraciones de polígonos de círculo máximo

Cada conjunto de polígonos circulares máximos similares (cuadrados, hexágonos o decágonos) se puede dividir en haces de círculos máximos paralelos de Clifford que no se intersecan (de 30 cuadrados, 20 hexágonos o 12 decágonos). ^[af] Cada haz de fibras de círculos máximos paralelos de Clifford ^[ap] es una fibración de Hopf discreta que llena las 600 celdas y visita los 120 vértices solo una vez. ^{[32] Cada fibración de Hopf discreta tiene su} base tridimensional , que es un poliedro distinto que actúa como un mapa o modelo a escala de la fibración. ^[av] Los polígonos circulares máximos de cada haz se espiralan entre sí, delineando anillos helicoidales de celdas unidas por caras que se anidan entre sí, pasan una a través de la otra sin intersecarse en ninguna celda y llenan exactamente las 600 celdas con sus conjuntos de celdas disjuntas. Los diferentes haces de fibras con sus anillos de células llenan cada uno el mismo espacio (las 600 células) pero sus fibras corren paralelas a Clifford en diferentes "direcciones"; los polígonos de círculo máximo en diferentes fibraciones no son paralelas a Clifford. ^[33]

Decágonos

El triacontagrama {30/12}=6{5/2} es la configuración doble seis de Schläfli 30 ₂ 12 ₅ característica de los politopos H _4. La circunferencia de 30 vértices es el polígono de Petrie oblicuo. ^[aw] El ángulo interior entre los bordes adyacentes es de 36°, también el ángulo isoclínico entre los planos decágonos paralelos de Clifford adyacentes. ^[at]

Las fibraciones del núcleo de 600 células incluyen 6 fibraciones de sus 72 grandes decágonos: 6 haces de fibras de 12 grandes decágonos. ^[ae] Los 12 decágonos paralelos de Clifford en cada haz están completamente disjuntos. Los decágonos paralelos adyacentes están abarcados por las aristas de otros grandes decágonos.

Cada haz de fibras ^[aq] delinea 20 anillos helicoidales de 30 celdas tetraédricas cada uno, ^[ad] con cinco anillos anidados juntos alrededor de cada decágono. ^[34] El mapa de Hopf de esta fibración es el icosaedro , donde cada uno de los 12 vértices se eleva a un gran decágono, y cada una de las 20 caras triangulares se eleva a un anillo de 30 celdas. ^[av] Cada celda tetraédrica ocupa solo uno de los 20 anillos de celdas en cada una de las 6 fibraciones. La celda tetraédrica contribuye con cada una de sus 6 aristas a un decágono en una fibración diferente, pero contribuye con esa arista a cinco anillos de celdas distintos en la fibración. ^[ac]

Los 12 grandes círculos y anillos de 30 celdas de las 6 fibraciones de Hopf características de la celda 600 hacen de la celda 600 una configuración geométrica de 30 "puntos" y 12 "líneas" escrita como 30 ₂ 12 ₅ . Se llama configuración doble seis de Schläfli en honor a Ludwig Schläfli ^[36] , el matemático suizo que descubrió la celda 600 y el conjunto completo de politopos regulares en n dimensiones. ^[37]

Hexágonos

Las fibraciones de las 24 células incluyen 4 fibraciones de sus 16 grandes hexágonos: 4 haces de fibras de 4 grandes hexágonos. Los 4 hexágonos paralelos de Clifford en cada haz están completamente disjuntos. Los hexágonos paralelos adyacentes están abarcados por las aristas de otros grandes hexágonos. Cada haz de fibras delinea 4 anillos helicoidales de 6 células octaédricas cada uno, con tres anillos anidados juntos alrededor de cada hexágono. Cada célula octaédrica ocupa solo un anillo celular en cada una de las 4 fibraciones. La célula octaédrica contribuye con 3 de sus 12 aristas a 3 hexágonos paralelos de Clifford diferentes en cada fibración, pero contribuye con cada arista a tres anillos celulares distintos en la fibración.

La célula de 600 contiene 25 células de 24 y puede verse (de 10 maneras diferentes) como un compuesto de 5 células de 24 disjuntas. ^[k] Tiene 10 fibraciones de sus 200 grandes hexágonos: 10 haces de fibras de 20 grandes hexágonos. Los 20 hexágonos paralelos de Clifford en cada haz son completamente disjuntos. Los hexágonos paralelos adyacentes están abarcados por aristas de grandes decágonos. ^[ar] Cada haz de fibras delinea 20 anillos helicoidales de 6 células octaédricas cada uno, con tres anillos anidados juntos alrededor de cada hexágono. El mapa de Hopf de esta fibración es el dodecaedro , donde los 20 vértices se elevan cada uno a un haz de grandes hexágonos. ^[26] Cada célula octaédrica ocupa solo uno de los 20 anillos de 6 octaedros en cada una de las 10 fibraciones. Los 20 anillos de 6 octaedros pertenecen a 5 celdas disjuntas de 24, de 4 anillos de 6 octaedros cada uno; cada fibración hexagonal de las 600 celdas consta de 5 celdas disjuntas de 24.

Cuadrícula

Las fibraciones de la célula de 16 incluyen 3 fibraciones de sus 6 grandes cuadrados: 3 haces de fibras de 2 grandes cuadrados. Los 2 cuadrados paralelos de Clifford en cada haz están completamente disjuntos. Los cuadrados paralelos adyacentes están abarcados por las aristas de otros grandes cuadrados. Cada haz de fibras delinea 2 anillos helicoidales de 8 células tetraédricas cada uno. Cada célula tetraédrica ocupa solo un anillo celular en cada una de las 3 fibraciones. La célula tetraédrica contribuye con cada una de sus 6 aristas a un cuadrado diferente (contribuyendo con dos aristas opuestas que no se intersecan a cada una de las 3 fibraciones), pero contribuye con cada arista a ambos anillos celulares distintos en la fibración.

La célula de 600 contiene 75 células de 16 y puede verse (de 10 maneras diferentes) como un compuesto de 15 células de 16 disjuntas. Tiene 15 fibraciones de sus 450 grandes cuadrados: 15 haces de fibras de 30 grandes cuadrados. Los 30 cuadrados paralelos de Clifford en cada haz son completamente disjuntos. Los cuadrados paralelos adyacentes están abarcados por aristas de grandes decágonos. ^[as] Cada haz de fibras delinea 30 anillos helicoidales disjuntos de células de 8 células tetraédricas cada uno. ^[ax] El mapa de Hopf de esta fibración es el icosidodecaedro , donde los 30 vértices se elevan cada uno a un haz de grandes cuadrados. ^[27] Cada célula tetraédrica ocupa solo uno de los 30 anillos de 8 tetraedros en cada una de las 15 fibraciones.

Anillos de células paralelas de Clifford

Los anillos celulares helicoidales densamente empaquetados ^{[38] [39] [32]} de las fibraciones son disjuntos entre sí, pero comparten vértices, aristas y caras. Cada fibración de las 600 células puede verse como un empaquetamiento denso de anillos celulares con las caras correspondientes de los anillos celulares adyacentes unidas entre sí. ^[ba] La misma fibración también puede verse como una disposición dispersa mínima de menos anillos celulares completamente disjuntos que no se tocan en absoluto. ^[g]

Las fibraciones de los grandes decágonos pueden verse (de cinco maneras diferentes) como 4 anillos de 30 celdas completamente disjuntos con espacios que los separan, en lugar de como 20 anillos de celdas unidos por caras, al dejar fuera todos menos un anillo de celdas de los cinco que se encuentran en cada decágono. ^[40] Las cinco maneras diferentes en que puede hacer esto son equivalentes, en el sentido de que las cinco corresponden a la misma fibración discreta (en el mismo sentido que las 6 fibraciones decagonales son equivalentes, en el sentido de que las 6 cubren las mismas 600 celdas). Los 4 anillos de celdas todavía constituyen la fibración completa: incluyen los 12 decágonos paralelos de Clifford, que visitan los 120 vértices. ^[bb] Este subconjunto de 4 de 20 anillos de celdas es dimensionalmente análogo ^[bc] al subconjunto de 12 de 72 decágonos, en el sentido de que ambos son conjuntos de politopos paralelos de Clifford completamente disjuntos que visitan los 120 vértices. ^[bd] El subconjunto de 4 de los 20 anillos celulares es una de las 5 fibraciones dentro de la fibración de 12 de los 72 decágonos: una fibración de una fibración. Todas las fibraciones tienen esta estructura de dos niveles con subfibraciones .

Las fibraciones de los grandes hexágonos de 24 células pueden verse (de tres maneras diferentes) como dos anillos de 6 células completamente disjuntos con espacios que los separan, en lugar de como cuatro anillos de células unidos por caras, omitiendo todos los anillos de células menos uno de los tres que se unen en cada hexágono. Por lo tanto, cada una de las 10 fibraciones de los grandes hexágonos de 600 células puede verse como dos anillos de células octaédricos completamente disjuntos.

Las fibraciones de los grandes cuadrados de 16 células pueden verse (de dos maneras diferentes) como un único anillo de 8 células tetraédricas con un espacio vacío adyacente del tamaño de un anillo celular, en lugar de como dos anillos celulares unidos por caras, omitiendo uno de los dos anillos celulares que se encuentran en cada cuadrado. Por lo tanto, cada una de las 15 fibraciones de los grandes cuadrados de 600 células puede verse como un único anillo celular tetraédrico. ^[ax]

Las construcciones dispersas de las fibraciones de 600 celdas corresponden a descomposiciones de simetría inferior de las 600 celdas, 24 celdas o 16 celdas con celdas de diferentes colores para distinguir los anillos de celdas de los espacios entre ellas. ^[be] La forma particular de simetría inferior de las 600 celdas correspondiente a la construcción dispersa de las fibraciones del gran decágono es dimensionalmente análoga ^[bc] a la forma de tetraedro romo del icosaedro (que es la base ^[av] de estas fibraciones en la 2-esfera). Cada uno de los 20 anillos de celdas de Boerdijk-Coxeter ^[ad] se levanta de una cara correspondiente del icosaedro. ^[bh]

Construcciones

El politopo de 600 celdas incorpora las geometrías de cada politopo regular convexo en las primeras cuatro dimensiones, excepto el de 5 celdas, el de 120 celdas y los polígonos {7} y ​​superiores. ^[44] En consecuencia, existen numerosas formas de construir o deconstruir el politopo de 600 celdas, pero ninguna de ellas es trivial. La construcción del politopo de 600 celdas a partir de su predecesor regular, el de 24 celdas, puede ser difícil de visualizar.

La construcción de Gosset

Thorold Gosset descubrió los 4-politopos semirregulares , incluyendo el snub de 24 celdas con 96 vértices, que se encuentra entre el 24-cell y el 600-cell en la secuencia de 4-politopos convexos de tamaño y complejidad crecientes en el mismo radio. La construcción de Gosset del 600-cell a partir del 24-cell se realiza en dos pasos, utilizando el snub de 24 celdas como una forma intermedia. En el primer paso, más complejo (descrito en otra parte ), el snub de 24 celdas se construye mediante un truncamiento especial de un 24-cell en las secciones áureas de sus bordes. ^[9] En el segundo paso, el 600-cell se construye de manera sencilla añadiendo 4-pirámides (vértices) a las facetas del snub de 24 celdas. ^[45]

La pirámide de 24 celdas chata es una pirámide de 600 celdas reducida de la que se han truncado 24 vértices (y el grupo de 20 celdas tetraédricas alrededor de cada uno), ^[u] dejando una celda icosaédrica "plana" en lugar de cada pirámide icosaédrica eliminada. ^[p] La pirámide de 24 celdas chata tiene, por lo tanto, 24 celdas icosaédricas y las 120 celdas tetraédricas restantes. El segundo paso de la construcción de Gosset de la pirámide de 600 celdas es simplemente el reverso de esta reducción: se coloca una pirámide icosaédrica de 20 celdas tetraédricas sobre cada celda icosaédrica.

La construcción de la celda de radio unitario de 600 a partir de su precursora, la celda de radio unitario de 24, por el método de Gosset requiere en realidad tres pasos. La celda precursora de 24 celdas de la celda snub-24 no tiene el mismo radio: es más grande, ya que la celda snub-24 es su truncamiento. Comenzando con la celda de radio unitario de 24, el primer paso es hacerla recíproca alrededor de su esfera media para construir su dual canónico externo : una celda de 24 más grande, ya que la celda de 24 es autodual. Esa celda de 24 más grande puede entonces truncarse en una celda snub de 24 celdas con radio unitario.

Aglomerados de células

Como es tan indirecta, la construcción de Gosset puede no ayudarnos mucho a visualizar directamente cómo las 600 células tetraédricas encajan entre sí en una envoltura superficial tridimensional curva ^[v] , o cómo se encuentran en la envoltura superficial subyacente de las células octaédricas de las 24 células. Para eso es útil construir las 600 células directamente a partir de grupos de células tetraédricas.

La mayoría de nosotros tenemos dificultades para visualizar las 600 células desde el exterior en un espacio de 4 dimensiones, o para reconocer una vista exterior de las 600 células debido a nuestra total falta de experiencia sensorial en espacios de 4 dimensiones, ^[46] pero deberíamos poder visualizar la envoltura superficial de las 600 células desde el interior porque ese volumen es un espacio tridimensional en el que realmente podríamos "caminar" y explorar. ^[47] En estos ejercicios de construcción de las 600 células a partir de grupos de células, estamos completamente dentro de un espacio tridimensional, aunque sea un espacio curvo cerrado extrañamente pequeño , en el que podemos alejarnos apenas diez longitudes de arista en línea recta en cualquier dirección y regresar a nuestro punto de partida.

Icosaedro

Un icosaedro regular coloreado en simetría octaédrica chata . ^[bi] Los icosaedros en la pirámide de 600 celdas están unidos entre sí por las caras amarillas y a grupos de 5 celdas tetraédricas por las caras azules. El vértice de la pirámide icosaédrica (no visible) es un decimotercer vértice de 600 celdas dentro del icosaedro (pero por encima de su hiperplano).

Un conjunto de cinco células tetraédricas: cuatro células unidas por sus caras alrededor de una quinta célula (no visible). Las cuatro células se encuentran en hiperplanos diferentes.

La figura del vértice de la celda de 600 es el icosaedro . ^[p] Veinte celdas tetraédricas se unen en cada vértice, formando una pirámide icosaédrica cuyo vértice es el vértice, rodeado por su icosaedro de base. La celda de 600 tiene un ángulo diedro de ⁠𝜋/3⁠ + arcocos(− ⁠1/4⁠ ) ​​≈ 164,4775° . ^[49]

Se puede formar un conjunto de 600 celdas a partir de 24 pirámides icosaédricas (unidas cara a cara en 8 de las 20 caras del icosaedro, de color amarillo en la ilustración), más 24 grupos de 5 celdas tetraédricas (cuatro celdas unidas por sus caras alrededor de una) que llenan los huecos que quedan entre los icosaedros. Cada icosaedro está unido por sus caras a cada grupo adyacente de 5 celdas mediante dos caras azules que comparten una arista (que también es una de las seis aristas del tetraedro central de los cinco). Seis grupos de 5 celdas rodean cada icosaedro, y seis icosaedros rodean cada grupo de 5 celdas. Cinco celdas tetraédricas rodean cada arista del icosaedro: dos desde el interior de la pirámide icosaédrica y tres desde el exterior de la misma. ^[bl]

Los vértices de las 24 pirámides icosaédricas son los vértices de una pirámide de 24 celdas inscrita en la pirámide de 600 celdas. Los otros 96 vértices (los vértices de los icosaedros) son los vértices de una pirámide de 24 celdas inscrita , que tiene exactamente la misma estructura de icosaedros y tetraedros descrita aquí, excepto que los icosaedros no son pirámides de 4 celdas llenas de celdas tetraédricas; son solo celdas icosaédricas tridimensionales "planas", porque falta el vértice apical central.

Las aristas de 24 celdas que unen los vértices de los vértices de la pirámide icosaédrica pasan por los centros de las caras amarillas. La coloración de los icosaedros con 8 caras amarillas y 12 azules se puede realizar de 5 formas distintas. ^[bm] Por lo tanto, el vértice del vértice de cada pirámide icosaédrica es un vértice de 5 celdas de 24 distintas, ^[i] y los 120 vértices comprenden 25 (no 5) celdas de 24. ^[f]

Los icosaedros están unidos por sus caras amarillas opuestas en "líneas rectas" geodésicas, dobladas en la cuarta dimensión en un anillo de 6 pirámides icosaédricas. Sus vértices son los vértices de un hexágono de gran círculo . Esta geodésica hexagonal atraviesa un anillo de 12 celdas tetraédricas, unidas alternativamente cara con cara y vértice con vértice. El diámetro largo de cada par de tetraedros unidos por sus caras (cada bipirámide triangular ) es una arista hexagonal (una arista de 24 celdas). Hay 4 anillos de 6 pirámides icosaédricas que se intersecan en cada vértice-vértice, así como hay 4 anillos entrelazados disjuntos de celdas de 6 octaedros en las 24 celdas (una fibración hexagonal). ^[bq]

Las células tetraédricas están unidas por sus caras en triples hélices , dobladas en la cuarta dimensión en anillos de 30 células tetraédricas. ^[ad] Las tres hélices son "líneas rectas" geodésicas de 10 aristas: decágonos de círculo máximo que corren paralelos a Clifford ^[af] entre sí. Cada tetraedro, que tiene seis aristas, participa en seis decágonos diferentes ^[ac] y, por lo tanto, en las 6 fibraciones decagonales de las 600 células.

La partición de las 600 células en grupos de 20 células y grupos de 5 células es artificial, ya que todas las células son iguales. Se puede empezar seleccionando un grupo de pirámides icosaédricas centrado en cualquier vértice elegido arbitrariamente, de modo que hay 120 icosaedros superpuestos en las 600 células. ^[bj] Sus 120 vértices son cada uno un vértice de cinco 24 células de 24 vértices, de modo que hay 5*120/24 = 25 24 células superpuestas. ^[k]

Octaedros

Hay otra forma útil de dividir la superficie de 600 células en 24 grupos de 25 células tetraédricas, que revela más estructura ^[55] y una construcción directa de las 600 células a partir de su predecesora, la de 24 células.

Comience con cualquiera de los grupos de 5 células (arriba) y considere que su célula central es el objeto central de un nuevo grupo más grande de células tetraédricas. La célula central es la primera sección del grupo de 600 células que comienza con una célula. Al rodearla con más células tetraédricas, podemos llegar a las secciones más profundas que comienzan con una célula.

En primer lugar, observe que un grupo de 5 celdas consta de 4 pares superpuestos de tetraedros unidos por caras ( bipirámides triangulares ) cuyo diámetro largo es una arista de 24 celdas (una arista hexagonal) de longitud √ 1 . Seis bipirámides triangulares más encajan en las concavidades de la superficie del grupo de 5, ^[br] por lo que las cuerdas exteriores que conectan sus 4 vértices apicales también son aristas de 24 celdas de longitud √ 1 . Forman un tetraedro de longitud de arista √ 1 , que es la segunda sección del comienzo de 600 celdas con una celda. ^[bs] Hay 600 de estas √ 1 secciones tetraédricas en el grupo de 600 celdas.

Con las seis dipirámides triangulares encajadas en las concavidades, hay 12 nuevas celdas y 6 nuevos vértices además de las 5 celdas y 8 vértices del grupo original. Los 6 nuevos vértices forman la tercera sección del grupo de 600 celdas comenzando con una celda, un octaedro de longitud de arista √ 1 , obviamente la celda de un grupo de 24 celdas. ^[bt] Como está parcialmente lleno hasta ahora (por 17 celdas tetraédricas), este octaedro √ 1 tiene caras cóncavas en las que encaja una pirámide triangular corta; tiene el mismo volumen que una celda tetraédrica regular pero una forma tetraédrica irregular. ^[bu] Cada octaedro rodea 1 + 4 + 12 + 8 = 25 celdas tetraédricas: 17 celdas tetraédricas regulares más 8 celdas tetraédricas volumétricamente equivalentes, cada una de las cuales consta de 6 fragmentos de un sexto de 6 celdas tetraédricas regulares diferentes que abarcan cada una tres celdas octaédricas adyacentes. ^[bv]

De esta manera, la celda de radio unitario de 600 puede construirse directamente a partir de su predecesora, ^[ab] la celda de radio unitario de 24, colocando en cada una de sus facetas octaédricas una pirámide octaédrica irregular truncada ^{[bw] de 14 vértices [bx]} construida (de la manera anterior) a partir de 25 celdas tetraédricas regulares de longitud de arista ⁠1/φ⁠ ≈ 0,618.

Unión de dos toros

Existe otra forma útil de dividir la superficie de 600 células en grupos de células tetraédricas, que revela más estructura ^[56] y las fibraciones decagonales de las 600 células. Se pueden ensamblar 600 células enteras alrededor de dos anillos de 5 pirámides icosaédricas, unidas vértice a vértice en dos "líneas rectas" geodésicas.

100 tetraedros en una matriz de 10×10 que forman un límite de toro de Clifford en la celda 600. ^[por] Se identifican sus bordes opuestos, formando un duocilindro .

La celda 120 se puede descomponer en dos toros disjuntos . Dado que es dual de la celda 600, esta misma estructura de toros duales existe en la celda 600, aunque es algo más compleja. La trayectoria geodésica de 10 celdas en la celda 120 corresponde a la trayectoria del decágono de 10 vértices en la celda 600. ^[57]

Comience por ensamblar cinco tetraedros alrededor de un borde común. Esta estructura se parece un poco a un "platillo volante" angular. Apila diez de estos, vértice con vértice, estilo "panqueque". Rellena el anillo anular entre cada par de "platillos volantes" con 10 tetraedros para formar un icosaedro. Puedes ver esto como cinco pirámides icosaédricas apiladas en vértices , con los cinco espacios adicionales del anillo anular también rellenados. ^[bz] La superficie es la misma que la de diez antiprismas pentagonales apilados : una columna de caras triangulares con una sección transversal pentagonal. ^[58] Doblado en un anillo columnar, este es un toro que consta de 150 celdas, diez aristas de largo, con 100 caras triangulares expuestas, ^[ca] 150 aristas expuestas y 50 vértices expuestos. Apila otro tetraedro en cada cara expuesta. Esto le dará un toro algo irregular de 250 celdas con 50 vértices elevados, 50 vértices de valle y 100 aristas de valle. ^[cb] Los valles son caminos cerrados de 10 aristas de largo y corresponden a otras instancias del camino decágono de 10 vértices mencionado anteriormente (decágonos de círculo máximo). Estos decágonos giran en espiral alrededor del decágono central, ^[cc] pero matemáticamente todos son equivalentes (todos se encuentran en planos centrales).

Construya un segundo toro idéntico de 250 celdas que se interconecte con el primero. Esto representa 500 celdas. Estos dos toros se acoplan entre sí con los vértices del valle tocando los vértices elevados, dejando 100 huecos tetraédricos que se llenan con los 100 tetraedros restantes que se acoplan en los bordes del valle. Este último conjunto de 100 tetraedros está en el límite exacto del duocilindro y forma un toro de Clifford . ^[cd] Se pueden "desenrollar" en una matriz cuadrada de 10×10. Por cierto, esta estructura forma una capa tetraédrica en el panal tetraédrico-octaédrico . Hay exactamente 50 huecos y picos de "caja de huevos" en ambos lados que se acoplan con los toros de 250 celdas. ^[by] En este caso, en cada hueco, en lugar de un octaedro como en el panal, encaja una bipirámide triangular compuesta por dos tetraedros.

Esta descomposición de las 600 celdas tiene simetría [[10,2 ⁺ ,10]], orden 400, la misma simetría que el gran antiprisma . ^[59] El gran antiprisma es simplemente la celda de 600 con los dos toros de 150 celdas anteriores eliminados, dejando solo la capa intermedia de 300 tetraedros, dimensionalmente análoga ^[bc] al cinturón de 10 caras de un icosaedro con las 5 caras superiores y 5 inferiores eliminadas (un antiprisma pentagonal ). ^[ce]

Los dos toros de 150 celdas contienen cada uno 6 grandes decágonos paralelos de Clifford (cinco alrededor de uno), y los dos toros son paralelos de Clifford entre sí, por lo que juntos constituyen una fibración completa de 12 decágonos que alcanza los 120 vértices, a pesar de llenar solo la mitad de las 600 celdas con celdas.

Anillos helicoidales de Boerdijk-Coxeter

Las 600 células también se pueden dividir en 20 anillos entrelazados disjuntos de 30 células, ^[34] cada uno con diez aristas de largo, formando una fibración de Hopf discreta que llena las 600 células por completo. ^{[60] [61]} Cada anillo de 30 tetraedros unidos por caras es una hélice cilíndrica de Boerdijk-Coxeter doblada en un anillo en la cuarta dimensión.

El anillo de 30 celdas es el espacio tridimensional ocupado por los 30 vértices de tres grandes decágonos paralelos de Clifford cian que se encuentran adyacentes entre sí, 36° = ⁠𝜋/5⁠ = una longitud de arista de 600 celdas separadas en todos sus pares de vértices. ^[cg] Las 30 aristas magenta que unen estos pares de vértices forman un triacontagrama helicoidal , una espiral sesgada de 30 gramos de 30 caras triangulares unidas por aristas, que es el polígono de Petrie de las 600 celdas. ^[cf] El dual del anillo de 30 celdas (el 30-gono sesgado formado al conectar los centros de sus celdas) es el polígono de Petrie de las 120 celdas , el politopo dual de las 600 celdas . ^[aw] El eje central del anillo de 30 celdas es una gran geodésica de 30 gonos que pasa por el centro de 30 caras, pero no interseca ningún vértice. ^[an]

Los 15 bordes naranjas y los 15 bordes amarillos forman hélices separadas de 15 gramos. Cada borde naranja o amarillo cruza entre dos grandes decágonos cian. Los bordes naranjas o amarillos sucesivos de estas hélices de 15 gramos no se encuentran en el mismo gran círculo; se encuentran en diferentes planos centrales inclinados a 36° = ⁠𝝅/5⁠ entre sí. ^[at] Cada hélice de 15 gramos es notable como la trayectoria del borde de una isoclina, la trayectoria geodésica de una rotación isoclínica. ^[ao] La isoclina es una curva circular que interseca cada segundo vértice de los 15 gramos, sin pasar por el vértice intermedio. Una sola isoclina corre dos veces alrededor de cada 15 gramos naranja (o amarillo) a través de cada otro vértice, tocando la mitad de los vértices en el primer bucle y la otra mitad de ellos en el segundo bucle. Los dos bucles conectados forman un solo bucle de Möbius , un pentadecagrama sesgado {15/2} . El pentadecagrama no se muestra en estas ilustraciones (pero vea más abajo), porque sus bordes son cuerdas invisibles entre vértices que están separados por dos bordes naranjas (o dos amarillos), y no se muestran cuerdas en estas ilustraciones. Aunque los 30 vértices del anillo de 30 celdas no se encuentran en un gran plano central de 30 gonos, ^[cg] estas isoclinas pentadecagramáticas invisibles son verdaderos círculos geodésicos de un tipo especial, que serpentean a través de las cuatro dimensiones en lugar de encontrarse en un plano bidimensional como lo hace un gran círculo geodésico ordinario. ^[ch]

Cinco de estas hélices de 30 celdas se anidan juntas y giran en espiral alrededor de cada una de las trayectorias decágono de 10 vértices, formando el toro de 150 celdas descrito en la gran descomposición del antiprisma anterior. ^[59] Por lo tanto, cada gran decágono es el decágono central de un toro de 150 celdas. ^[ci] Las 600 celdas se pueden descomponer en 20 anillos de 30 celdas, o en dos toros de 150 celdas y 10 anillos de 30 celdas, pero no en cuatro toros de 150 celdas de este tipo. ^[cj] Las 600 celdas se pueden descomponer en cuatro toros de 150 celdas de un tipo diferente. ^[40]

Triángulos radiales dorados

La celda 600 se puede construir radialmente a partir de 720 triángulos áureos de longitudes de arista √ 0.𝚫 √ 1 √ 1 que se encuentran en el centro del politopo 4, cada uno contribuyendo con dos radios √ 1 y una arista √ 0.𝚫 . Forman 1200 pirámides triangulares con sus vértices en el centro: tetraedros irregulares con bases equiláteras √ 0.𝚫 (las caras de la celda 600). Estas forman 600 pirámides tetraédricas con sus vértices en el centro: celdas 5 irregulares con bases tetraédricas regulares √ 0.𝚫 (las celdas de la celda 600).

Ortoesquema característico

Cada 4-politopo regular tiene su 4-ortosquema característico, un 5-cell irregular . ^[x] El 5-cell característico del 600-cell regular está representado por el diagrama de Coxeter-Dynkin , que puede leerse como una lista de los ángulos diedros entre sus facetas especulares. Es una pirámide tetraédrica irregular basada en el tetraedro característico del tetraedro regular . La pirámide regular de 600 celdas se subdivide por sus hiperplanos de simetría en 14400 instancias de su característica pirámide de 5 celdas que se encuentran todas en su centro. ^[ay]

La celda característica de 5 (4-ortosquema) tiene cuatro aristas más que su tetraedro característico de base (3-ortosquema), uniendo los cuatro vértices de la base a su vértice (el quinto vértice del 4-ortosquema, en el centro de la celda regular de 600). ^[cl] Si la celda regular de 600 tiene radio unidad y longitud de arista , las diez aristas de su celda característica de 5 tienen longitudes , , alrededor de su cara exterior de triángulo rectángulo (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[ck] más , , (las otras tres aristas del 3-ortosquema exterior hacen faceta del tetraedro característico, que son los radios característicos del tetraedro regular), más , , , (aristas que son los radios característicos de la celda de 600). La ruta de 4 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es , , , , primero desde un vértice de 600 celdas hasta un centro de arista de 600 celdas, luego gira 90° hasta un centro de cara de 600 celdas, luego gira 90° hasta un centro de celda tetraédrica de 600 celdas, luego gira 90° hasta el centro de 600 celdas. ${\displaystyle {\text{𝒍}}={\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{2}}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}}$

Reflexiones

La celda 600 se puede construir por las reflexiones de su celda 5 característica en sus propias facetas (sus paredes de espejo tetraédricas). ^[cm] Las reflexiones y las rotaciones están relacionadas: una reflexión en un número par de espejos que se intersecan es una rotación. ^{[67] [68]} Por ejemplo, una rotación isoclínica completa de la celda 600 en planos invariantes decagonales lleva a cada uno de los 120 vértices a través de 15 vértices y de regreso a sí mismo, en una isoclina geodésica de pentadecagrama sesgado ₂ de circunferencia 5𝝅 que serpentea alrededor de la esfera 3, a medida que cada gran decágono gira (como una rueda) y también se inclina lateralmente (como una moneda lanzada) con el plano completamente ortogonal. ^[cn] Cualquier conjunto de cuatro pares ortogonales de vértices antípodas (los 8 vértices de una de las 75 celdas de 16 inscritas) ^[bb] que realicen dicha órbita visitan 15 * 8 = 120 vértices distintos y generan las 600 celdas secuencialmente en una rotación isoclínica completa, de la misma manera que cualquier celda de 5 características que se refleja en sus propias paredes de espejo genera los 120 vértices simultáneamente por reflexión. ^[bo]

Órbitas de Weyl

Otro método de construcción utiliza cuaterniones y la simetría icosaédrica de las órbitas del grupo de Weyl de orden 120. ^[70] Las siguientes son las órbitas de los pesos de D4 bajo el grupo de Weyl W(D4): ${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{4})=I}$

O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}

O(1000) : V1

O(0010) : V2

O(0001) : V3

Con cuaterniones donde es el conjugado de y y , entonces el grupo de Coxeter es el grupo de simetría de las 600 celdas y las 120 celdas de orden 14400. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle {\bar {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$ ${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$ ${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$

Dado que y como un intercambio de dentro de , podemos construir: ${\displaystyle p\in T}$ ${\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}$ ${\displaystyle p^{\dagger }}$ ${\displaystyle -1/\varphi \leftrightarrow \varphi }$ ${\displaystyle p}$

• El snub de 24 celdas ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}$
• Las 600 celdas ${\displaystyle I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T}$
• Las 120 celdas ${\displaystyle J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'}$

Rotaciones

Los 4-politopos convexos regulares son una expresión de su simetría subyacente , conocida como SO(4) , el grupo de rotaciones ^[71] alrededor de un punto fijo en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. ^[cx]

La celda de 600 se genera mediante rotaciones isoclínicas ^[ao] de la celda de 24 por 36° = ⁠𝜋/5⁠ (el arco de una longitud de arista de 600 celdas). ^[da]

Veinticinco celdas de 24 celdas

Hay 25 celdas de 24 inscritas en las 600 celdas. ^{[11] [co]} Por lo tanto, también hay 25 celdas de 24 inscritas, 75 teseractos inscritos y 75 celdas de 16 inscritas. ^[f]

La celda 16 de 8 vértices tiene 4 diámetros largos inclinados a 90° = ⁠𝜋/2⁠ entre sí, a menudo tomados como los 4 ejes ortogonales o base del sistema de coordenadas.

La celda de 24 vértices y 24 tiene 12 diámetros largos inclinados a 60° = ⁠𝜋/3⁠ entre sí: 3 conjuntos disjuntos de 4 ejes ortogonales, cada conjunto comprende los diámetros de una de las 3 celdas de 16 inscritas, rotadas isoclínicamente por ⁠𝜋/3⁠ con respecto a los demás. ^[db]

La celda 600 de 120 vértices tiene 60 diámetros largos: no sólo 5 conjuntos disjuntos de 12 diámetros, cada uno de los cuales comprende una de 5 celdas de 24 inscritas (como podríamos sospechar por analogía), sino 25 conjuntos distintos pero superpuestos de 12 diámetros, cada uno de los cuales comprende una de 25 celdas de 24 inscritas. [ ^76] Hay 5 celdas de 24 disjuntas en la celda 600, pero no sólo 5: hay 10 maneras diferentes de dividir la celda 600 en 5 celdas de 24 disjuntas. ^[j]

Al igual que las celdas de 16 y 8 inscritas en la celda de 24, las 25 celdas de 24 inscritas en la celda de 600 son politopos mutuamente isoclínicos . La distancia rotacional entre las celdas de 24 inscritas es siempre ⁠𝜋/5⁠ en cada plano invariante de rotación. ^[cy]

Cinco celdas de 24 son disjuntas porque son paralelas de Clifford: sus vértices correspondientes son𝜋/5⁠ separados por dos grandes círculos decagonales paralelos de Clifford ^[af] que no se intersecan (así como ⁠𝜋/5⁠ aparte en el mismo círculo máximo decagonal). ^[ae] Una rotación isoclínica de planos decagonales por ⁠𝜋/5⁠ lleva cada celda de 24 a una celda de 24 disjunta (tal como una rotación isoclínica de planos hexagonales por ⁠𝜋/3⁠ lleva cada 16 celdas a una 16 celdas disjuntas). ^[dc] Cada rotación isoclínica ocurre en dos formas quirales: hay 4 24 celdas disjuntas a la izquierda de cada 24 celdas, y otras 4 24 celdas disjuntas a su derecha . ^[de] Las rotaciones izquierda y derecha alcanzan diferentes 24 celdas; por lo tanto, cada 24 celdas pertenece a dos conjuntos diferentes de cinco 24 celdas disjuntas.

Todos los politopos paralelos de Clifford son isoclínicos, pero no todos los politopos isoclínicos son paralelos de Clifford (objetos completamente disjuntos). ^[df] Cada politopo de 24 celdas es isoclínica y paralela de Clifford a otras 8, e isoclínica pero no paralela de Clifford a otras 16. ^[d] Con cada una de las 16 comparte 6 vértices: un plano central hexagonal. ^[i] Los politopos de 24 celdas no disjuntos están relacionados por una rotación simple por ⁠𝜋/5⁠ en un plano invariante que interseca solo dos vértices de la celda 600, ^[au] una rotación en la que el plano fijo completamente ortogonal es su plano central hexagonal común. También están relacionados por una rotación isoclínica en la que ambos planos giran por ⁠𝜋/5⁠ . ^[dh]

Hay dos tipos de ⁠𝜋/5⁠ rotaciones isoclínicas que llevan cada celda de 24 a otra celda de 24. ^[dc] Las celdas de 24 disjuntas están relacionadas por una ⁠𝜋/5⁠ rotación isoclínica de una fibración completa de 12 planos invariantes decagonales paralelos de Clifford. (Hay 6 conjuntos de fibras de este tipo y una rotación isoclínica hacia la derecha o hacia la izquierda posible con cada conjunto, por lo que hay 12 rotaciones distintas de este tipo). ^[de] Las 24 células no disjuntas están relacionadas por una ⁠𝜋/5⁠ rotación isoclínica de una fibración completa de 20 planos invariantes hexagonales paralelos de Clifford. ^[dj] (Hay 10 conjuntos de fibras de este tipo, por lo que hay 20 rotaciones distintas de este tipo). ^[dg]

Por otra parte, cada uno de los 10 conjuntos de cinco 24 celdas disjuntas es paralelo de Clifford porque sus grandes hexágonos correspondientes son paralelos de Clifford. (Las 24 celdas no tienen grandes decágonos). Los 16 grandes hexágonos en cada 24 celdas se pueden dividir en 4 conjuntos de 4 geodésicas paralelas de Clifford no intersecantes , cada conjunto de las cuales cubre los 24 vértices de las 24 celdas. Los 200 grandes hexágonos en las 600 celdas se pueden dividir en 10 conjuntos de 20 geodésicas paralelas de Clifford no intersecantes, cada conjunto de las cuales cubre los 120 vértices y constituye una fibración hexagonal discreta. Cada uno de los 10 conjuntos de 20 hexágonos disjuntos se puede dividir en cinco conjuntos de 4 hexágonos disjuntos, cada conjunto de 4 cubre una 24 celda disjunta. De manera similar, los grandes cuadrados correspondientes de 24 celdas disjuntas son paralelos de Clifford.

Rotaciones sobre isoclinas de poligramas

Los 4-politopos convexos regulares tienen cada uno su tipo característico de rotación isoclínica derecha (e izquierda) , correspondiente a su tipo característico de fibración de Hopf discreta de los círculos mayores. ^[bg] Por ejemplo, la celda 600 se puede fibrar de seis maneras diferentes en un conjunto de grandes decágonos paralelos de Clifford, por lo que la celda 600 tiene seis rotaciones isoclínicas derechas (e izquierdas) distintas en las que esos planos de los grandes decágonos son planos invariantes de rotación . Decimos que estas rotaciones isoclínicas son características de la celda 600 porque los bordes de la celda 600 se encuentran en sus planos invariantes. Estas rotaciones solo surgen en la celda 600, aunque también se encuentran en politopos regulares más grandes (la celda 120) que contienen instancias inscritas de la celda 600.

Así como los polígonos geodésicos (decágonos o hexágonos o cuadrados) en los planos centrales de las 600 celdas forman haces de fibras de círculos mayores paralelos de Clifford, los poligramas sesgados geodésicos correspondientes (que trazan las trayectorias en el toro de Clifford de vértices bajo rotación isoclínica) ^[79] forman haces de fibras de isoclinas paralelas de Clifford : círculos helicoidales que serpentean a través de las cuatro dimensiones. ^[ao] Dado que las rotaciones isoclínicas son quirales y se producen en formas zurdas y diestras, cada haz de fibras poligonales tiene haces de fibras poligrámicas izquierdo y derecho correspondientes. ^{[80] Todos los haces de fibras son aspectos de la misma} fibración de Hopf discreta , porque la fibración son las diversas expresiones del mismo par distinto de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha.

Los anillos celulares son otra expresión de la fibración de Hopf. Cada fibración discreta tiene un conjunto de anillos celulares disjuntos que teselan el politopo de 4. ^[ba] Las isoclinas en cada haz quiral se enroscan en espiral unas alrededor de otras: son geodésicas axiales de los anillos de células unidas por caras. Los anillos celulares paralelos de Clifford de la fibración se anidan entre sí, pasan a través de cada uno de ellos sin intersecarse en ninguna célula y llenan exactamente las 600 células con sus conjuntos de células disjuntos.

Las rotaciones isoclínicas hacen girar los vértices de un objeto rígido a lo largo de trayectorias paralelas, cada vértice girando dentro de dos círculos máximos móviles ortogonales, de la misma manera que un telar teje una pieza de tela a partir de dos conjuntos ortogonales de fibras paralelas. Un haz de polígonos de círculos máximos paralelos de Clifford y un haz correspondiente de isoclinas de poligramas oblicuo paralelos de Clifford son la urdimbre y la trama de la misma rotación isoclínica izquierda o derecha distinta, que lleva a los polígonos de círculos máximos paralelos de Clifford entre sí, lanzándolos como monedas y rotándolos a través de un conjunto paralelo de planos centrales de Clifford. Mientras tanto, debido a que los polígonos también giran individualmente como ruedas, los vértices se desplazan a lo largo de isoclinas paralelas de Clifford helicoidales (cuyas cuerdas forman el poligrama oblicuo), a través de vértices que se encuentran en polígonos paralelos de Clifford sucesivos. ^[bf]

En la celda de 600, cada familia de poligramas isoclínicos sesgados (caminos de vértices móviles en las rotaciones de polígonos grandes de decágono {10}, hexágono {6} o cuadrado {4}) se puede dividir en haces de isoclinas de poligramas paralelos de Clifford que no se intersecan. ^[81] Los haces de isoclinas se presentan en pares de quiralidad izquierda y derecha ; las isoclinas en cada rotación actúan como objetos quirales , al igual que cada rotación isoclínica distinta en sí misma. ^[az] Cada fibración contiene un número igual de isoclinas izquierdas y derechas, en dos haces disjuntos, que trazan los caminos de los vértices de la celda de 600 durante la rotación isoclínica izquierda o derecha de la fibración respectivamente. Cada haz de fibras izquierdo o derecho de isoclinas por sí mismo constituye una fibración de Hopf discreta que llena la celda de 600 por completo, visitando los 120 vértices solo una vez. Se trata de un haz de fibras diferente del haz de círculos máximos de los polígonos paralelos de Clifford, pero los dos haces de fibras describen la misma fibración discreta porque enumeran esos 120 vértices juntos en la misma rotación isoclínica derecha (o izquierda) distinta, mediante su intersección como un tejido de fibras paralelas entrecruzadas.

Cada rotación isoclínica implica pares de planos centrales de rotación invariantes completamente ortogonales, que rotan en el mismo ángulo. Hay dos formas de hacerlo: rotando ambos en la "misma" dirección, o rotando en direcciones "opuestas" (de acuerdo con la regla de la mano derecha por la que convencionalmente decimos qué lado está "arriba" en cada uno de los 4 ejes de coordenadas). El poligrama derecho y la rotación isoclínica derecha corresponden convencionalmente a pares invariantes que rotan en la misma dirección; el poligrama izquierdo y la rotación isoclínica izquierda corresponden a pares que rotan en direcciones opuestas. ^[78] Las isoclinas izquierda y derecha son caminos diferentes que van a lugares diferentes. Además, cada rotación isoclínica distinta (izquierda o derecha) se puede realizar en una dirección positiva o negativa a lo largo de las fibras paralelas circulares.

Un haz de fibras de isoclinas paralelas de Clifford es el conjunto de círculos de vértice helicoidales descritos por una rotación isoclínica izquierda o derecha distinta. Cada vértice en movimiento se desplaza a lo largo de una isoclina contenida dentro de un anillo de celdas (en movimiento). Si bien las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha rotan cada una de ellas dos veces el mismo conjunto de planos de rotación invariantes paralelos de Clifford , pasan por diferentes conjuntos de polígonos de círculo máximo porque las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha golpean vértices alternativos del polígono de círculo máximo {2p} (donde p es un primo ≤ 5). ^[dl] La rotación izquierda y derecha comparten el mismo haz de Hopf de fibras de polígono {2p}, que es a la vez un haz izquierdo y derecho, pero tienen diferentes haces de polígonos {p} ^[82] porque las fibras discretas son polígonos {p} izquierdo y derecho opuestos inscritos en el polígono {2p}. ^[dm]

Una rotación simple es directa y local, y lleva algunos vértices a vértices adyacentes a lo largo de círculos máximos, y algunos planos centrales a otros planos centrales dentro del mismo hiperplano. (La celda 600 tiene cuatro hiperplanos centrales ortogonales, cada uno de los cuales es un icosidodecaedro). En una rotación simple, hay solo un par de planos centrales de rotación invariantes completamente ortogonales; no constituye una fibración.

Una rotación isoclínica es diagonal y global, y lleva todos los vértices a vértices no adyacentes (distantes dos o más longitudes de arista) ^[cq] a lo largo de isoclinas diagonales, y todos los polígonos del plano central a polígonos paralelos de Clifford (del mismo tipo). Un par de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha constituye una fibración discreta. Todos los planos centrales paralelos de Clifford de la fibración son planos de rotación invariantes, separados por dos ángulos iguales y que se encuentran en diferentes hiperplanos. ^[at] La isoclina diagonal ^[cr] es una ruta más corta entre los vértices no adyacentes que las múltiples rutas simples entre ellos disponibles a lo largo de las aristas: es la ruta más corta en la 3-esfera, la geodésica .

Decágonos y pentadecagramas

Las fibraciones de las 600 células incluyen 6 fibraciones de sus 72 grandes decágonos: 6 haces de fibras de 12 grandes decágonos, ^[ae] cada uno de los cuales delinea 20 anillos celulares quirales de 30 células tetraédricas cada uno, ^[ad] con tres grandes decágonos que delimitan cada anillo celular y cinco anillos celulares anidados juntos alrededor de cada decágono. Los 12 decágonos paralelos de Clifford en cada haz están completamente disjuntos. Los decágonos paralelos adyacentes están abarcados por los bordes de otros grandes decágonos. ^[aq] Cada fibración corresponde a una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta de las 600 células en 12 planos invariantes del gran decágono en isoclinas de 5𝝅.

El haz de 12 fibras decágono paralelas de Clifford se divide en un haz de 12 fibras pentagonales izquierdas y un haz de 12 fibras pentagonales derechas, con cada par izquierdo-derecho de pentágonos inscrito en un decágono. ^[83] 12 grandes polígonos comprenden un haz de fibras que cubre los 120 vértices en una fibración de Hopf discreta . Hay 20 anillos de 30 celdas disjuntos en la fibración, pero solo 4 anillos de 30 celdas completamente disjuntos. ^[g] La de 600 celdas tiene seis de estas fibraciones decagonales discretas, y cada una es el dominio (contenedor) de un par único de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha (haces de fibras izquierdo y derecho de 12 grandes pentágonos). ^[dn] Cada gran decágono pertenece a una sola fibración, ^[82] pero cada anillo de 30 celdas pertenece a 5 de las seis fibraciones (y es completamente disjunto de otra fibración). El de 600 celdas contiene 72 grandes decágonos, divididos entre seis fibraciones, cada una de las cuales es un conjunto de 20 anillos de 30 celdas disjuntos entre sí (4 anillos de 30 celdas completamente disjuntos), pero el de 600 celdas tiene solo 20 anillos de 30 celdas distintos en total. Cada anillo de 30 celdas contiene 3 de los 12 decágonos paralelos de Clifford en cada una de las 5 fibraciones y 30 de los 120 vértices.

En estas rotaciones isoclínicas decagonales , los vértices viajan a lo largo de isoclinas que siguen los bordes de los hexágonos , ^[26] avanzando una distancia pitagórica de un borde de hexágono en cada unidad rotacional doble de 36°×36°. ^[dj] En una rotación isoclínica, cada borde de hexágono sucesivo recorrido se encuentra en un gran hexágono diferente, por lo que la isoclina describe un poligrama oblicuo, no un polígono. En una rotación isoclínica de 60°×60° (como en la rotación hexagonal característica de 24 celdas , y a continuación en las rotaciones hexagonales de 600 celdas) este poligrama es un hexagrama : la rotación isoclínica sigue una trayectoria circular de 6 aristas, tal como lo hace una rotación hexagonal simple, aunque se necesitan dos revoluciones para enumerar todos los vértices en ella, porque la isoclina es un bucle doble que pasa por cada otro vértice, y sus cuerdas son √ 3 cuerdas del hexágono en lugar de √ 1 aristas del hexágono. ^{[dq] Pero en la rotación} decagonal característica de 36°×36° de 600 celdas , los grandes hexágonos sucesivos están más cerca entre sí y son más numerosos, y el poligrama isoclínico formado por sus 15 aristas del hexágono es un pentadecagrama (15-grama). ^[cn] No sólo no es el mismo período que el hexágono o la rotación decagonal simple, ni siquiera es un múltiplo entero del período del hexágono, o del decágono, o de la rotación simple de cualquiera de ellos. Sólo el triacontagrama compuesto {30/4}=2{15/2} (30 gramos), que son dos 15 gramos que giran en paralelo (uno negro y otro blanco), es un múltiplo de todos ellos, y por lo tanto constituye la unidad rotacional de la rotación isoclínica decagonal. ^[dl]

En el anillo de 30 celdas, los vértices no adyacentes unidos por rotaciones isoclínicas están separados por dos longitudes de arista, con otros tres vértices del anillo que se encuentran entre ellos. ^[ds] Los dos vértices no adyacentes están unidos por una cuerda √ 1 de la isoclina que es una arista de hexágono mayor (una arista de 24 celdas). Las cuerdas √ 1 del anillo de 30 celdas (sin las aristas √ 0.𝚫 de 600 celdas) forman un triacontagrama oblicuo _{{30/4}=2{15/2}} que contiene 2 bucles dobles de Möbius disjuntos {15/2}, un par izquierdo-derecho de isoclinas de pentadecagrama _2. Cada haz izquierdo (o derecho) de 12 fibras pentagonales está atravesado por un haz izquierdo (o derecho) de 8 fibras de pentadecagrama paralelas de Clifford. Cada anillo distinto de 30 células tiene 2 isoclinas de pentadecagrama de doble bucle que recorren sus vértices pares o impares (negros o blancos) respectivamente. ^[cu] Las hélices del pentadecagrama no tienen quiralidad inherente, pero cada una actúa como una isoclina izquierda o derecha en cualquier rotación isoclínica distinta. ^[dk] Las 2 fibras del pentadecagrama pertenecen a los haces de fibras izquierdo y derecho de 5 fibraciones diferentes.

En cada vértice, hay seis grandes decágonos y seis isoclinas pentadecagramo (seis negras o seis blancas) que se cruzan en el vértice. ^[dv] Ocho isoclinas pentadecagramo (cuatro negras y cuatro blancas) comprenden un único haz de fibras derechas (o izquierdas) de isoclinas que cubre los 120 vértices en la distinta rotación isoclínica derecha (o izquierda). Cada fibración tiene una única rotación isoclínica izquierda y derecha, y haces de fibras izquierdos y derechos únicos correspondientes de 12 pentágonos y 8 isoclinas pentadecagramo. Solo hay 20 isoclinas negras distintas y 20 isoclinas blancas distintas en las 600 celdas. Cada isoclina distinta pertenece a 5 haces de fibras.

Dos isoclinas de doble bucle de 15 gramos son axiales a cada anillo de 30 celdas. Los anillos de 30 celdas son quirales; cada fibración contiene 10 anillos derechos (en espiral en el sentido de las agujas del reloj) y 10 anillos izquierdos (en espiral en el sentido contrario a las agujas del reloj), pero las dos isoclinas en cada anillo de 3 celdas son directamente congruentes. ^[cv] Cada una actúa como una isoclina izquierda (o derecha) con una rotación hacia la izquierda (o hacia la derecha), pero no tiene quiralidad inherente. ^[dk] Los 20 15 gramos izquierdos y 20 derechos de la fibración contienen en total 120 pentagramas abiertos disjuntos (60 izquierdos y 60 derechos), cuyos extremos abiertos son vértices adyacentes de 600 celdas ( separados por una longitud de arista de √ 0,𝚫 ). Las 30 cuerdas que unen los 30 vértices de la isoclina son aristas de hexágono de √ 1 (aristas de 24 celdas), que conectan vértices de 600 celdas que son dos aristas de 600 celdas separadas por √ 0, 𝚫 ^{en un círculo máximo decágono. [cs]} Estas cuerdas de la isoclina son aristas de hexágono y aristas de pentagrama .

Las 20 isoclinas paralelas de Clifford (ejes de anillo de 30 celdas) de cada fibrado de isoclinas izquierdo (o derecho) no se intersecan entre sí. Cualquier rotación isoclínica decagonal distinta (izquierda o derecha) rota los 120 vértices (y las 600 celdas), pero las isoclinas y los pentágonos del pentadecagrama están conectados de manera que los vértices se alternan como 60 vértices negros y 60 blancos (y 300 celdas negras y 300 blancas), como los cuadrados negros y blancos del tablero de ajedrez . ^[du] En el curso de la rotación, los vértices de una isoclina izquierda (o derecha) rotan dentro de la misma isoclina negra (o blanca) de 15 vértices, y las celdas rotan dentro del mismo anillo negro (o blanco) de 30 celdas.

Hexágonos y hexagramas

El icosagrama {20/6}=2{10/3} contiene 2 decagramas {10/3} disjuntos (rojo y naranja) que conectan vértices separados por 3 en el {10} y por 6 en el {20}. En la celda de 600, las aristas son grandes aristas de pentágono que abarcan 72°.

Las fibraciones de la célula 600 incluyen 10 fibraciones de sus 200 grandes hexágonos: 10 haces de fibras de 20 grandes hexágonos. Los 20 hexágonos paralelos de Clifford en cada haz están completamente disjuntos. Los hexágonos paralelos adyacentes están abarcados por aristas de grandes decágonos. ^[ar] Cada fibración corresponde a una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta de la célula 600 en 20 planos invariantes de grandes hexágonos en isoclinas de 4𝝅.

Cada haz de fibras delinea 20 anillos celulares disjuntos y directamente congruentes de 6 células octaédricas cada uno, con tres anillos celulares anidados juntos alrededor de cada hexágono. El haz de 20 fibras hexagonales paralelas de Clifford se divide en un haz de 20 fibras negras de triángulos mayores √ 3 y un haz de 20 fibras blancas de triángulos mayores, con un triángulo negro y uno blanco inscritos en cada hexágono y 6 triángulos negros y 6 blancos en cada anillo de 6 octaedros. Los triángulos negros o blancos están unidos por tres isoclinas negras o blancas que se cruzan, cada una de las cuales es un tipo especial de círculo máximo helicoidal ^[dq] a través de los vértices correspondientes en 10 triángulos mayores negros (o blancos) paralelos de Clifford. Las 10 cuerdas √ 1.𝚫 de cada isoclina forman un decagrama oblicuo {10/3} , 10 grandes aristas de pentágono unidas de extremo a extremo en un bucle helicoidal, que se enrolla 3 veces alrededor de la celda de 600 a través de las cuatro dimensiones en lugar de permanecer planas en un plano central. Cada par de isoclinas blancas y negras (vértices de grandes hexágonos antípodas que se intersecan) forma un icosagrama compuesto de 20 ágonos {20/6}=2{10/3} .

Nótese la relación entre la rotación característica de la celda de 24 en los planos invariantes de los grandes hexágonos (en las isoclinas de los hexagramas) y la propia versión de la celda de 600 de la rotación de los planos de los grandes hexágonos (en las isoclinas de los decagramas). Son exactamente la misma rotación isoclínica: tienen la misma isoclina. Tienen diferentes números de la misma isoclina, y la cuerda de la isoclina √ 1.𝚫 de la celda de 600 es más corta que la cuerda de la isoclina √ 3 de la celda de 24 porque la isoclina interseca más vértices en la celda de 600 (10) que en la de 24 (6), pero ambos poligramas de Clifford tienen una circunferencia de 4𝝅. ^[dp] Tienen diferentes poligramas de isoclina solo porque la curva de la isoclina interseca más vértices en la celda de 600 que en la de 24. ^[día]

Cuadrados y octagramas

El polígono de Clifford de la rotación isoclínica de 600 celdas en planos invariantes de gran cuadrado es un polígono regular oblicuo {24/5} de 24 gramos , con φ = √ 2.𝚽 aristas que conectan vértices separados por 5 en la circunferencia de 24 vértices, que es un polígono único de 24 celdas ( √ 1 aristas no mostradas).

Las fibraciones de la célula 600 incluyen 15 fibraciones de sus 450 grandes cuadrados: 15 haces de fibras de 30 grandes cuadrados. Los 30 cuadrados paralelos de Clifford en cada haz están completamente disjuntos. Los cuadrados paralelos adyacentes están abarcados por aristas de grandes decágonos. ^[as] Cada fibración corresponde a una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta de la célula 600 en 30 planos invariantes de grandes cuadrados (15 pares completamente ortogonales) en isoclinas de 4𝝅.

Cada haz de fibras delinea 30 anillos celulares quirales de 8 celdas tetraédricas cada uno, ^[ax] con un anillo celular izquierdo y derecho anidados juntos para llenar cada una de las 15 celdas disjuntas de 16 inscritas en la celda de 600. Axial a cada anillo de 8 tetraedros hay un tipo especial de gran círculo helicoidal, una isoclina. ^[ao] En una rotación isoclínica izquierda (o derecha) de la celda de 600 en planos invariantes de gran cuadrado, todos los vértices circulan en una de las 15 isoclinas paralelas de Clifford.

Los 30 cuadrados paralelos de Clifford en cada haz están unidos por cuatro isoclinas de 24 gramos paralelas de Clifford (una a través de cada vértice), cada una de las cuales interseca un vértice en 24 de los 30 cuadrados, y los 24 vértices de solo una de las 25 celdas de 24 de las 600 celdas. Cada isoclina es un circuito de 24 gramos que interseca las 25 celdas de 24, 24 de ellas solo una vez y una de ellas 24 veces. Los 24 vértices en cada isoclina de 24 gramos comprenden una única celda de 24; hay 25 isoclinas distintas de este tipo en las 600 celdas. Cada isoclina es una cuerda de 24 gramos torcida {24/5}, 24 φ = √ 2.𝚽 unidas de extremo a extremo en un bucle helicoidal, que se enrolla 5 veces alrededor de una celda de 24 a través de las cuatro dimensiones en lugar de permanecer plana en un plano central. Los vértices adyacentes de la celda de 24 están separados por una cuerda de √ 1 y por 5 cuerdas de φ en su isoclina. Una rotación isoclínica hacia la izquierda (o hacia la derecha) a través de 720° lleva cada celda de 24 a través de cada otra celda de 24.

Nótese las relaciones entre la rotación de la celda 16 de sólo 2 grandes planos cuadrados invariantes , la rotación de la celda 24 en 6 grandes cuadrados paralelos de Clifford , y esta rotación de la celda 600 en 30 grandes cuadrados paralelos de Clifford. Estas tres rotaciones son la misma rotación, teniendo lugar exactamente en el mismo tipo de círculos isoclinas, que intersecan más vértices en la celda 600 (24) que en la celda 16 (8). ^[dz] En la rotación de la celda 16 la distancia entre vértices en una curva isoclina es el diámetro √ 4. En la celda 600 los vértices están más cerca entre sí, y su √ 2.𝚽 = φ cuerda es la distancia entre vértices adyacentes en la misma isoclina, pero todas estas isoclinas tienen una circunferencia 4𝝅.

Como configuración

Esta matriz de configuración ^[87] representa las 600 celdas. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada tipo se encuentran en las 600 celdas. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en su interior.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}120&12&30&20\\2&720&5&5\\3&3&1200&2\\4&6&4&600\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Aquí se muestra la configuración ampliada con elementos de k -caras y k -figuras. Los recuentos de elementos diagonales son la relación entre el orden completo del grupo de Coxeter , 14400, dividido por el orden del subgrupo con eliminación del espejo.

Simetrías

Los icosianos son un conjunto específico de cuaterniones hamiltonianos con la misma simetría que las 600 celdas. ^[88] Los icosianos se encuentran en el campo áureo , ( a + b √ 5 ) + ( c + d √ 5 ) i + ( e + f √ 5 ) j + ( g + h √ 5 ) k , donde las ocho variables son números racionales . ^[89] Las sumas finitas de los 120 icosianos unitarios se denominan anillo icosiano .

Cuando se interpretan como cuaterniones , ^[b] los 120 vértices de la celda 600 forman un grupo bajo la multiplicación cuaterniónica. Este grupo a menudo se denomina grupo icosaédrico binario y se denota por 2I ya que es la doble cubierta del grupo icosaédrico ordinario I. ^[90] Aparece dos veces en el grupo de simetría rotacional RSG de la celda 600 como un subgrupo invariante , a saber, como el subgrupo 2I _L de multiplicaciones por la izquierda de cuaterniones y como el subgrupo 2I _R de multiplicaciones por la derecha de cuaterniones. Cada simetría rotacional de la celda 600 es generada por elementos específicos de 2I _L y 2I _R ; el par de elementos opuestos genera el mismo elemento de RSG . El centro de RSG consiste en la no rotación Id y la inversión central −Id . Tenemos el isomorfismo RSG ≅ (2I _L × 2I _R ) / {Id, -Id} . El orden de RSG es igual a ⁠120 × 120/2⁠ = 7200. Mebius describe el álgebra de cuaterniones como una herramienta para el tratamiento de rotaciones 3D y 4D, y como un camino hacia la comprensión completa de la teoría de rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones . ^[91]

El grupo icosaédrico binario es isomorfo a SL(2,5) .

El grupo de simetría completo de la celda 600 es el grupo de Coxeter H ₄ . ^[92] Este es un grupo de orden 14400. Consta de 7200 rotaciones y 7200 rotaciones-reflexiones. Las rotaciones forman un subgrupo invariante del grupo de simetría completo. El grupo de simetría rotacional fue descrito por primera vez por SL van Oss. ^[93] El grupo H ₄ y su construcción mediante álgebra de Clifford a partir de grupos de simetría tridimensionales por inducción es descrito por Dechant. ^[94]

Visualización

Las simetrías de la superficie 3-D de la celda 600 son algo difíciles de visualizar debido tanto a la gran cantidad de celdas tetraédricas, ^[v] como al hecho de que el tetraedro no tiene caras opuestas ni vértices. ^[az] Se puede empezar por darse cuenta de que la celda 600 es el dual de la celda 120. También se puede notar que la celda 600 también contiene los vértices de un dodecaedro, ^[44] que con algo de esfuerzo se puede ver en la mayoría de las proyecciones en perspectiva a continuación.

Proyecciones 2D

La proyección decagonal H3 muestra el plano del polígono de van Oss .

Proyecciones 3D

Un modelo tridimensional de la celda de 600, en la colección del Instituto Henri Poincaré , fue fotografiado en 1934-1935 por Man Ray , y formó parte de dos de sus pinturas posteriores "Ecuación de Shakespeare". ^[95]

600 células disminuidas

La celda snub de 24 se puede obtener a partir de la celda 600 eliminando los vértices de una celda 24 inscrita y tomando la envoltura convexa de los vértices restantes. ^[96] Este proceso es una disminución de la celda 600.

El gran antiprisma se puede obtener mediante otra disminución de las 600 celdas: eliminando 20 vértices que se encuentran en dos anillos mutuamente ortogonales y tomando la envoltura convexa de los vértices restantes. ^[59]

A una celda de 600 celdas bi-24-disminuidas, con todas las celdas icosaédricas tri-disminuidas , se le han quitado 48 vértices, lo que deja 72 de los 120 vértices de la celda de 600. El dual de una celda de 600 celdas bi-24-disminuidas es una celda de 600 celdas tri-24-disminuidas, con 48 vértices y 72 celdas hexaédricas.

En total, hay 314.248.344 disminuciones de la celda de 600 por vértices no adyacentes. Todas ellas consisten en celdas tetraédricas e icosaédricas regulares. ^[97]

Politopos y panales relacionados

La celda 600 es uno de los 15 politopos regulares y uniformes con la misma simetría H ₄ [3,3,5]: ^[11]

Es similar a tres 4-politopos regulares : el de 5 celdas {3,3,3}, el de 16 celdas {3,3,4} del 4-espacio euclidiano y el panal tetraédrico de orden 6 {3,3,6} del espacio hiperbólico. Todos ellos tienen celdas tetraédricas .

Este 4-politopo es parte de una secuencia de 4-politopos y panales con figuras de vértice icosaédrico :

Los polígonos complejos regulares ₃ {5} ₃ ,y ₅ {3} ₅ ,, tienen una representación real como 600 celdas en un espacio de 4 dimensiones. Ambos tienen 120 vértices y 120 aristas. El primero tiene un grupo de reflexión complejo ₃ [5] ₃ , orden 360, y el segundo tiene simetría ₅ [3] ₅ , orden 600. ^[98] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Véase también

• 24 celdas , el predecesor de 4 politopos en el que se basa el de 600 celdas
• 120 celdas , el politopo dual de 4 celdas del de 600 celdas y su sucesor
• Familia uniforme de 4 politopos con simetría [5,3,3]
• Politopo 4-regular
• Politopo

Notas

1. Los 4-politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida del contenido cuatridimensional (hipervolumen) para el mismo radio. Este es su orden adecuado de enumeración, el orden en el que se anidan unos dentro de otros como compuestos. ^[3] Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, encierra más contenido ^[4] dentro del mismo radio. El 4-símplex (5 celdas) es el caso límite más pequeño, y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida comparando matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden. Esto proporciona un esquema de denominación numérica alternativo para politopos regulares en el que la de 600 celdas es el 4-politopo de 120 puntos: quinto en la secuencia ascendente que va desde el 4-politopo de 5 puntos hasta el 4-politopo de 600 puntos.
2. En la geometría euclidiana de cuatro dimensiones , un cuaternión es simplemente una coordenada cartesiana (w, x, y, z).

3. 

   Geometría de vértice del triángulo equilátero radial de 24 celdas, que muestra los 3 polígonos de círculo máximo y las 4 longitudes de cuerda de vértice a vértice.

   La geometría de 600 celdas se basa en la de 24 celdas .

   Las 600 celdas completan las 24 celdas con 2 polígonos circulares mayores más (decágono exterior y pentágono interior), agregando 4 longitudes de cuerda más que se alternan con las 4 longitudes de cuerda de las 24 celdas.
4. Un sistema de 24 celdas contiene 16 hexágonos. En el sistema de 600 celdas, con 25 celdas de 24 celdas, cada celda de 24 celdas es disjunta de 8 celdas de 24 celdas e interseca cada una de las otras 16 celdas de 24 celdas en seis vértices que forman un hexágono. ^[12] Un sistema de 600 celdas contiene 25・16/2 = 200 de estos hexágonos.
5. En los casos en que los 4-politopos inscritos del mismo tipo ocupan conjuntos disjuntos de vértices (como los dos teseractos de 16 celdas inscritos en el de 24 celdas), sus conjuntos de cuerdas de vértices, polígonos centrales y celdas deben ser asimismo disjuntos. En los casos en que comparten vértices (como los tres teseractos inscritos en el de 24 celdas o las 25 celdas de 24 celdas inscritas en el de 600 celdas), también comparten algunas cuerdas de vértices y polígonos centrales. ^[d]
6. Las 600 celdas contienen exactamente 25 celdas de 24, 75 celdas de 16 y 75 celdas de 8, y cada celda de 16 y cada celda de 8 se encuentran en solo una celda de 24. ^[21]
7. Los politopos son completamente disjuntos si todos sus conjuntos de elementos son disjuntos: no comparten vértices, aristas, caras ni celdas. Aun así, pueden superponerse en el espacio y compartir contenido cuadrático, volumen, área o linaje.
8. Cada una de las 25 celdas de 24 del grupo de 600 celdas contiene exactamente un vértice de cada gran pentágono. ^[12] Seis pentágonos se intersecan en cada vértice del grupo de 600 celdas, por lo que cada celda de 24 celdas interseca los 144 grandes pentágonos.
9. Cinco celdas de 24 se encuentran en cada vértice de la pirámide icosaédrica ^[p] de las 600 celdas. Cada celda de 24 comparte no solo un vértice sino 6 vértices (uno de sus cuatro planos centrales hexagonales) con cada una de las otras cuatro celdas de 24. ^[d]
10. Schoute fue el primero en afirmar (hace un siglo) que hay exactamente diez maneras de dividir los 120 vértices de la celda de 600 en cinco celdas de 24 celdas disjuntas. Las 25 celdas de 24 celdas se pueden colocar en una matriz de 5 x 5 de modo que cada fila y cada columna de la matriz dividan los 120 vértices de la celda de 600 en cinco celdas de 24 celdas disjuntas. Las filas y columnas de la matriz son las únicas diez particiones de este tipo de la celda de 600. ^[21]
11. La celda 600 contiene 25 celdas 24 distintas, unidas entre sí por anillos pentagonales. Cada pentágono une cinco celdas 24 completamente disjuntas ^[g] entre sí, cuyos vértices colectivos son los 120 vértices de la celda 600. Cada celda 24 de 24 puntos contiene una quinta parte de todos los vértices de la celda 600 de 120 puntos, y está unida a los otros 96 vértices (que comprenden una celda 24 chata) por los 144 pentágonos de la celda 600. Cada una de las 25 celdas 24 interseca a cada uno de los 144 grandes pentágonos en un solo vértice. ^[h] Cinco celdas 24 se encuentran en cada vértice de la celda 600, ^[i] por lo que las 25 celdas 24 están unidas por cada gran pentágono. Las 600 celdas se pueden dividir en cinco 24 celdas disjuntas (de 10 maneras diferentes), ^[j] y también en 24 pentágonos disjuntos (inscritos en los 12 grandes decágonos paralelos de Clifford de una de las 6 fibraciones decagonales) eligiendo un pentágono de la misma fibración en cada vértice de 24 celdas.
12. Los ángulos 𝜉 _i y 𝜉 _j son ángulos de rotación en los dos planos invariantes completamente ortogonales que caracterizan las rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones . El ángulo 𝜂 es la inclinación de ambos planos con respecto al eje polar, donde 𝜂 varía de 0 a ⁠𝜋/2⁠ . Las coordenadas (𝜉 _i , 0, 𝜉 _j ) describen los círculos máximos que se cortan en el polo norte y sur ("líneas de longitud"). Las coordenadas (𝜉 _i , ⁠𝜋/2⁠ , las coordenadas 𝜉 _j ) describen los círculos máximos ortogonales a la longitud ("ecuadores"); hay más de un círculo máximo "ecuador" en un politopo de 4, ya que el ecuador de una esfera de 3 es una esfera de 2 círculos máximos. Las otras coordenadas de Hopf (𝜉 _i , 0 < 𝜂 < ⁠𝜋/2⁠ , 𝜉 _j ) describen los grandes círculos ( no "líneas de latitud") que cruzan un ecuador pero no pasan por el polo norte o sur.
13. La conversión de coordenadas de Hopf (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j ) a coordenadas cartesianas de radio unitario (w, x, y, z) es:
    

    w = cos 𝜉 _i sen 𝜂

    x = cos 𝜉 _j cos 𝜂

    y = sen 𝜉 _j cos 𝜂

    z = sen 𝜉 _i sen 𝜂

    El polo de origen de Hopf (0, 0, 0) es cartesiano (0, 1, 0, 0). El "polo norte" convencional de la orientación estándar cartesiana es (0, 0, 1, 0), que es Hopf ( ⁠𝜋/2⁠ , ⁠𝜋/2⁠ , ⁠𝜋/2⁠ ). Cartesiano (1, 0, 0, 0) es Hopf (0, ⁠𝜋/2⁠ , 0).
14. Las coordenadas de Hopf son triples de tres ángulos:

    (yo _, yo, yo _j )

    que parametrizan la 3-esfera numerando puntos a lo largo de sus círculos máximos. Una coordenada de Hopf describe un punto como una rotación desde un punto polar (0, 0, 0). ^[l] Las coordenadas de Hopf son una alternativa natural a las coordenadas cartesianas ^[m] para enmarcar 4-politopos convexos regulares, porque el grupo de rotaciones de 4 dimensiones , denotado SO(4), genera esos politopos.
15. Hay 600 permutaciones de estas coordenadas, pero solo hay 120 vértices en la celda de 600. En realidad, estas son las coordenadas de Hopf de los vértices de la celda de 120 , que tiene 600 vértices y puede verse (de dos maneras diferentes) como un compuesto de 5 celdas de 600 disjuntas.
16. En el espacio tridimensional curvo de la superficie límite de la celda 600, en cada vértice se encuentran los doce vértices más cercanos que rodean el vértice de la misma manera que los vértices de un icosaedro rodean su centro. Doce aristas de la celda 600 convergen en el centro del icosaedro, donde parecen formar seis líneas rectas que se cruzan allí. Sin embargo, el centro está realmente desplazado en la cuarta dimensión (radialmente hacia afuera desde el centro de la celda 600), fuera del hiperplano definido por los vértices del icosaedro. Por lo tanto, el icosaedro de vértice es en realidad una pirámide icosaédrica canónica , ^[bj] compuesta de 20 tetraedros regulares sobre una base de icosaedro regular, y el vértice es su vértice. ^[bk]
17. acordes áureos de raíz fraccionaria son fracciones irracionales que son funciones de √ 5 . Ejemplifican que la proporción áurea φ = ⁠ 1 + √ 5/2⁠ ≈ 1.618 es una razón circular relacionada con 𝜋 : ^[20]
    

    ⁠𝜋/5⁠ = arcocos ( ⁠φ/2⁠ )

    es una arista del decágono, la cuerda 𝚽 = √ 0.𝚫 = √ 0.382~ ≈ 0.618. Recíprocamente, en esta función descubierta por Robert Everest expresando φ como función de 𝜋 y los números 1, 2, 3 y 5 de la serie de Fibonacci:
    

    φ = 1 – 2 cos ( ⁠3𝜋/5⁠ )

    ⁠3𝜋/5⁠ es la longitud del arco de la cuerda φ = √ 2.𝚽 = √ 2.618~ ≈ 1.618.
18. Las aristas de 600 celdas son aristas de decágono de longitud √ 0.𝚫 , que es 𝚽, la sección áurea más pequeña de √ 5 ; las aristas están en la proporción áurea inversa ⁠1/φ⁠ a las cuerdas hexagonales de √ 1 (las aristas de 24 celdas). Las otras cuerdas de raíz fraccionaria también exhiben relaciones áureas. La cuerda de longitud √ 1.𝚫 es una arista de pentágono. La siguiente cuerda de raíz fraccionaria es una diagonal decágono de longitud √ 2.𝚽 que es φ , la sección áurea más grande de √ 5 ; está en la proporción áurea ^[q] con la cuerda √ 1 (y el radio). ^[t] La última cuerda de raíz fraccionaria es la diagonal del pentágono de longitud √ 3.𝚽 . La diagonal de un pentágono regular siempre está en la proporción áurea con su arista, y de hecho φ √ 1.𝚫 es √ 3.𝚽 .
19. Las raíces cuadradas fraccionarias se dan como fracciones decimales donde:
           𝚽 ≈ 0,618 es la proporción áurea inversa        𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽 ² ≈ 0,382 Por ejemplo:        𝚽 = √ 0.𝚫 = √ 0,382~ ≈ 0,618 ${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}=\phi ^{-1}}$
    
    
    
20. Observe en el diagrama cómo la cuerda φ (la sección áurea más grande ) se suma con el borde 𝚽 adyacente (la sección áurea más pequeña ) a √ 5 , como si juntos fueran una cuerda √ 5 doblada para encajar dentro del diámetro √ 4 .
21. Consideremos una de las 24 celdas de 24 vértices inscritas en la celda de 600 vértices y 120. Los otros 96 vértices constituyen una celda de 24 romos . Si se elimina una celda de 24 de las 600, se obtiene una celda de 24 romos.
22. Cada célula tetraédrica toca, de alguna manera, a otras 56 células. Una célula toca cada una de las cuatro caras; dos células tocan cada una de las seis aristas, pero no una cara; y diez células tocan cada uno de los cuatro vértices, pero no una cara o arista.
23. El radio largo (del centro al vértice) del poliedro de 24 celdas es igual a la longitud de su arista; por lo tanto, su diámetro largo (del vértice al vértice opuesto) es igual a 2 longitudes de arista. Solo unos pocos politopos uniformes tienen esta propiedad, incluidos el poliedro de 24 celdas y el teseracto de cuatro dimensiones, el cuboctaedro tridimensional y el hexágono bidimensional . (El cuboctaedro es la sección transversal ecuatorial del poliedro de 24 celdas, y el hexágono es la sección transversal ecuatorial del cuboctaedro). Los politopos radialmente equiláteros son aquellos que se pueden construir, con sus radios largos, a partir de triángulos equiláteros que se encuentran en el centro del politopo, cada uno de los cuales aporta dos radios y una arista.
24. Un ortosquema es un símplex irregular quiral con caras en forma de triángulos rectángulos que es característico de algún politopo si llena exactamente ese politopo con los reflejos de sí mismo en sus propias facetas (sus paredes especulares ). Cada politopo regular se puede diseccionar radialmente en instancias de su ortosquema característico que rodean su centro. El ortosquema característico tiene la forma descrita por el mismo diagrama de Coxeter-Dynkin que el politopo regular sin el anillo de puntos generadores .
25. El ortosquema es la generalización del triángulo rectángulo a figuras símplex de cualquier número de dimensiones. Todo politopo regular puede subdividirse radialmente en ortosquemas característicos idénticos que se encuentran en su centro. ^[x]
26. Todos los politopos pueden triangularse radialmente en triángulos que se unen en su centro, cada triángulo aportando dos radios y una arista. Hay (al menos) tres clases especiales de politopos que son radialmente triangulares por un tipo especial de triángulo. Los politopos radialmente equiláteros pueden construirse a partir de triángulos equiláteros idénticos que se unen todos en el centro. ^[w] Los politopos radialmente áureos pueden construirse a partir de triángulos áureos idénticos que se unen todos en el centro. Todos los politopos regulares son politopos radialmente rectos que pueden construirse, con sus diversos centros de elementos y radios, a partir de ortosquemas característicos idénticos que se unen todos en el centro, subdividiendo el politopo regular en triángulos rectángulos característicos que se unen en el centro. ^[y]
27. El radio largo (del centro al vértice) de la celda 600 está en proporción áurea con respecto a la longitud de su arista; por lo tanto, su radio es φ si la longitud de su arista es 1 y la longitud de su arista es ⁠1/φ⁠ si su radio es 1.
28. Comenzando con la de 16 celdas, cada 4-politopo convexo regular en la secuencia de radio unitario está inscrito en su sucesor. ^[6] Por lo tanto, el sucesor puede construirse colocando 4-pirámides de algún tipo sobre las celdas de su predecesor. Entre la de 16 celdas y el teseracto, tenemos 16 pirámides tetraédricas rectas , con sus vértices llenando las esquinas del teseracto. Entre el teseracto y la de 24 celdas, tenemos 8 pirámides cúbicas canónicas . Pero si colocamos 24 pirámides octaédricas canónicas sobre la de 24 celdas, solo obtenemos otro teseracto (de doble radio y longitud de arista), no la sucesora de 600 celdas. Entre la de 24 celdas y la de 600 celdas debe haber 24 4-pirámides irregulares más pequeñas sobre una base octaédrica regular.
29. Los seis grandes decágonos que pasan por cada celda tetraédrica a lo largo de sus bordes no se intersecan todos entre sí, porque los 6 bordes del tetraedro no comparten todos un vértice. Cada decágono interseca a cuatro de los otros (a 60 grados), pero se pierde uno de los otros por poco al pasar uno junto al otro (a 90 grados) a lo largo de los bordes oblicuos opuestos y perpendiculares del tetraedro. Cada tetraedro une tres pares de decágonos que no se intersecan en un vértice del tetraedro. Sin embargo, ninguno de los seis decágonos es paralelo a Clifford; ^{[af] cada uno pertenece a un} haz de fibras de Hopf diferente de 12. Solo uno de los seis bordes del tetraedro puede ser parte de una hélice en cualquier anillo de triple hélice de Boerdijk-Coxeter. ^[ad] Por cierto, esta nota a pie de página es una de un tetraedro de cuatro notas a pie de página sobre decágonos paralelos de Clifford ^[ae] que hacen referencia entre sí.
30. Como los tetraedros ^[ac] no tienen caras opuestas, la única forma en que se pueden apilar cara a cara en una línea recta es en forma de una cadena retorcida llamada hélice de Boerdijk-Coxeter . Esta es una triple hélice paralela de Clifford ^[af] como se muestra en la ilustración. En la celda de 600 las encontramos dobladas en la cuarta dimensión en anillos geodésicos. Cada anillo tiene 30 celdas y toca 30 vértices. Las celdas están unidas por caras a dos celdas adyacentes, pero una de las seis aristas de cada tetraedro pertenece solo a esa celda, y estas 30 aristas forman 3 grandes decágonos paralelos de Clifford que giran en espiral uno alrededor del otro. ^[ae] 5 anillos de 30 celdas se encuentran en y giran en espiral alrededor de cada decágono (como 5 tetraedros se encuentran en cada arista). Un haz de 20 de estos anillos disjuntos entre células llena las 600 células, lo que constituye una fibración de Hopf discreta . Hay 6 fibraciones de Hopf distintas, que cubren el mismo espacio pero se extienden en "direcciones" diferentes.
31. Dos grandes decágonos paralelos de Clifford ^[af] no se intersecan, pero sus vértices correspondientes están unidos por una arista de otro decágono. Los dos decágonos paralelos y las diez aristas de enlace forman un anillo de doble hélice. Tres decágonos también pueden ser paralelos (los decágonos vienen en haces de fibras paralelas de 12) y tres de ellos pueden formar un anillo de triple hélice. Si el anillo se corta y se coloca plano en un espacio tridimensional, es una hélice de Boerdijk-Coxeter ^[ad] de 30 tetraedros ^[ac] de largo. Los tres decágonos paralelos de Clifford se pueden ver como las aristas cian en la ilustración de la triple hélice. Cada arista magenta es una arista de otro decágono que une dos decágonos paralelos.

32. 

    Dos grandes círculos paralelos de Clifford atravesados ​​por un anillo retorcido .

    Los paralelos de Clifford son líneas curvas que no se intersecan y que son paralelas en el sentido de que la distancia perpendicular (más corta) entre ellas es la misma en cada punto. Una doble hélice es un ejemplo de paralelismo de Clifford en el espacio euclidiano tridimensional ordinario. En el espacio tetradimensional, los paralelos de Clifford se presentan como círculos geodésicos máximos en la esfera tridimensional . ^[23] Mientras que en el espacio tridimensional, dos círculos geodésicos máximos cualesquiera en la esfera bidimensional siempre se intersecan en dos puntos antípodas, en el espacio tetradimensional no todos los círculos máximos se intersecan; se pueden encontrar varios conjuntos de círculos geodésicos máximos no intersecantes paralelos de Clifford en la esfera tridimensional. Se enroscan entre sí en haces de fibras de Hopf que, en la celda de 600, visitan los 120 vértices solo una vez. Por ejemplo, cada uno de los 600 tetraedros participa en 6 grandes decágonos ^[ac] pertenecientes a 6 fibraciones de Hopf discretas , cada una de las cuales llena la totalidad de las 600 celdas. Cada fibración es un haz de 12 decágonos paralelos de Clifford que forman 20 anillos entrelazados de 30 celdas tetraédricas, ^[ad] cada uno de ellos limitado por tres de los 12 grandes decágonos. ^[ae]
33. Los 10 hexágonos que se cruzan en cada vértice se encuentran a lo largo de los 20 radios cortos de la figura del vértice icosaédrico. ^[p]
34. Las 25 celdas de 24 inscripciones tienen cada una 3 teseractos inscritos, que tienen cada uno 8 celdas cúbicas de √ 1. Las 1200 cuerdas de √ 3 son los 4 diámetros largos de estos 600 cubos. Los tres teseractos en cada celda de 24 se superponen, y cada cuerda de √ 3 es un diámetro largo de dos cubos diferentes, en dos teseractos diferentes, en dos celdas de 24 diferentes. Cada cubo pertenece a un solo teseracto en una sola celda de 24.
35. La suma de 0,𝚫・720 + 1・1200 + 1,𝚫・720 + 2・1800 + 2,𝚽・720 + 3・1200 + 3,𝚽・720 + 4・60 es 14,400.
36. La suma de las longitudes al cuadrado de todas las cuerdas distintas de cualquier n-politopo convexo regular de radio unitario es el cuadrado del número de vértices. ^[28]
37. Un triacontágono o 30-ágono es un polígono de treinta lados. El triacontágono es el polígono regular más grande cuyo ángulo interior es la suma de los ángulos interiores de polígonos más pequeños: 168° es la suma de los ángulos interiores del triángulo equilátero (60°) y el pentágono regular (108°).
38. La celda de 600 tiene 72 grandes 30-gonos: 6 conjuntos de 12 planos centrales de 30-gonos paralelos de Clifford, cada uno completamente ortogonal a un plano central decágono. A diferencia de los grandes círculos de la celda de 600 de radio unitario que pasan por sus vértices, este 30-gono no es en realidad un gran círculo de la 3-esfera de radio unitario. Debido a que pasa por centros de caras en lugar de vértices, tiene un radio más corto y se encuentra en una 3-esfera más pequeña. Por supuesto, también hay un gran círculo de radio unitario en este plano central completamente ortogonal a un plano central decágono, pero como polígono de gran círculo es un 0-gono, no un 30-gono, porque no interseca ninguno de los puntos de la celda de 600. En la celda de 600, el polígono de gran círculo completamente ortogonal a cada gran decágono es un 0-gono.
39. Los 30 vértices y 30 aristas del anillo de 30 celdas se encuentran en un polígono en estrella sesgado {30/11} con un número de vueltas de 11 llamado triacontagrama 11 , una hélice continua y apretada en forma de sacacorchos doblada en un bucle de 30 aristas (las aristas magenta en la ilustración de la triple hélice), que se enrolla 11 veces sobre sí misma en el curso de una sola revolución alrededor de las 600 celdas, acompañada de un solo giro de 360 ​​grados del anillo de 30 celdas. ^[34] El mismo anillo de 30 celdas también se puede caracterizar como el polígono de Petrie de las 600 celdas. ^[cf]
40. Cada plano central de un gran decágono es completamente ortogonal a un gran plano central de 30-gonos ^[ak] que no interseca ningún vértice de la 600-celda. Los 72 30-gonos son cada uno el eje central de un anillo de triple hélice de Boerdijk-Coxeter de 30 celdas, ^[ad] con cada segmento del 30-gono pasando por un tetraedro de manera similar. El gran círculo de 30-gonos reside completamente en la superficie tridimensional curva de su 3-esfera; ^[al] sus segmentos curvos no son cuerdas. No toca ningún borde o vértice, pero sí toca caras. Es el eje central de un 30-gramo sesgado en espiral, el polígono de Petrie de la 600-celda que une los 30 vértices de la hélice de Boerdijk-Coxeter de 30 celdas, con tres de sus bordes en cada celda. ^[am]
41. Un punto bajo rotación isoclínica atraviesa la línea recta diagonal ^{[cr] de una única} geodésica isoclínica , llegando a su destino directamente, en lugar de la línea curva de dos geodésicas simples sucesivas . Una geodésica es el camino más corto a través de un espacio (intuitivamente, una cuerda tirada tensa entre dos puntos). Las geodésicas simples son círculos máximos que se encuentran en un plano central (el único tipo de geodésicas que ocurren en el espacio tridimensional en la esfera bidimensional). Las geodésicas isoclínicas son diferentes: no se encuentran en un solo plano; son espirales de 4 dimensiones en lugar de simples círculos bidimensionales. ^[bf] Pero tampoco son como roscas de tornillo tridimensionales , porque forman un bucle cerrado como cualquier círculo. ^[cs] Las geodésicas isoclínicas son círculos máximos de 4 dimensiones , y son tan circulares como los círculos bidimensionales: de hecho, dos veces más circulares, porque se curvan en un círculo en dos direcciones completamente ortogonales a la vez. ^[ch] Son círculos verdaderos, ^[cn] e incluso forman fibraciones como los círculos máximos bidimensionales ordinarios. Estas isoclinas son líneas geodésicas unidimensionales incrustadas en un espacio de 4 dimensiones. En la 3-esfera ^[ct] siempre ocurren en pares quirales como círculos de Villarceau en el toro de Clifford , ^[cw] las trayectorias geodésicas recorridas por vértices en una rotación isoclínica . Son hélices dobladas en un bucle de Möbius en la cuarta dimensión, tomando una ruta sinuosa diagonal alrededor de la 3-esfera a través de los vértices no adyacentes del polígono de Clifford sesgado de un 4-politopo . ^[cv]
42. En el espacio 4 no pueden existir más de 4 círculos máximos que sean paralelos a Clifford ^[af] y que estén separados por la misma distancia angular. ^[30] Dichos planos centrales son mutuamente isoclínicos : cada par de planos está separado por dos ángulos iguales , y una rotación isoclínica de ese ángulo los unirá. Cuando tres o cuatro de estos planos están separados por el mismo ángulo, se denominan equiisoclínicos .
43. Los planos decagonales en las 600 celdas se presentan en grupos equiisoclínicos ^[ap] de 3, en todos los lugares donde 3 decágonos paralelos de Clifford están a 36° (𝝅/5) además de formar un anillo de triple hélice de Boerdijk-Coxeter de 30 celdas. ^[ad] También Clifford paralelo a esos 3 decágonos hay 3 decágonos equiisoclínicos 72° (2𝝅/5⁠ ) ​​de distancia, 3 108° ( ⁠3𝝅/5) de distancia, y 3 144° ( ⁠4𝝅/5) de distancia, para un total de 12 decágonos paralelos de Clifford (120 vértices) que comprenden una fibración de Hopf discreta. Debido a que los grandes decágonos se encuentran en planos isoclínicos separados por dos ángulos iguales, sus vértices correspondientes están separados por un vector combinado relativo a ambos ángulos. Los vectores en el espacio 4 se pueden combinar mediante la multiplicación cuaterniónica , descubierta por Hamilton . ^[31] Los vértices correspondientes de dos grandes polígonos que son 36° ( ⁠𝝅/5) separados por rotación isoclínica son 60° ( ⁠𝝅/3) separados en el espacio 4. Los vértices correspondientes de dos grandes polígonos que son 108° ( ⁠3𝝅/5) separados por rotación isoclínica también son 60° ( ⁠𝝅/3) separados en el espacio 4. Los vértices correspondientes de dos grandes polígonos que son 72° ( ⁠2𝝅/5) separados por rotación isoclínica son 120° ( ⁠2𝝅/3) separados en el espacio 4, y los vértices correspondientes de dos grandes polígonos que son 144° ( ⁠4𝝅/5) separados por rotación isoclínica también son 120° ( ⁠2𝝅/3) separados en 4 espacios.
44. Los planos hexagonales en las 600 celdas se presentan en grupos equiisoclínicos ^[ap] de 4, en todos los lugares donde 4 hexágonos paralelos de Clifford forman un ángulo de 60° (𝝅/3) además de formar una celda de 24. Además, en paralelo a esos 4 hexágonos hay 4 hexágonos equiisoclínicos de 36° ( ⁠ )𝝅/5) separados por 4 72° ( ⁠2𝝅/5) separados por 4 108° ( ⁠3𝝅/5) de distancia, y 4 144° ( ⁠4𝝅/5) de distancia, para un total de 20 hexágonos paralelos de Clifford (120 vértices) que comprenden una fibración de Hopf discreta.
45. Los planos cuadrados en las 600 celdas se presentan en grupos equi-isoclínicos ^[ap] de 2, en todos los lugares donde 2 cuadrados paralelos de Clifford forman 90° (𝝅/2) aparte forman un cuadrado de 16 celdas. Además, los paralelos de Clifford a esos 2 cuadrados son 4 grupos equiisoclínicos de 4, donde 3 paralelos de Clifford de 16 celdas 60° (𝝅/3) además de formar una célula de 24. También los paralelos de Clifford son 4 grupos equi-isoclínicos de 3: 3 36° ( ⁠𝝅/5⁠ ) ​​de distancia, 3 72° ( ⁠2𝝅/5⁠ ) ​​de distancia, 3 108° ( ⁠3𝝅/5) de distancia, y 3 144° ( ⁠4𝝅/5) de distancia, para un total de 30 cuadrados paralelos de Clifford (120 vértices) que comprenden una fibración de Hopf discreta.
46. Se requieren dos ángulos para fijar las posiciones relativas de dos planos en el espacio cuatridimensional. ^[29] Dado que todos los planos en el mismo hiperplano están separados por 0 grados en uno de los dos ángulos, solo se requiere un ángulo en el espacio tridimensional. Los grandes decágonos son múltiplos (de 0 a 4) de 36° ( ⁠𝝅/5) separados en cada ángulo, y pueden tener el mismo ángulo separado en ambos ángulos. ^[aq] Los hexágonos grandes pueden tener 60° ( ⁠𝝅/3) separados en uno o ambos ángulos, y pueden ser múltiplos (de 0 a 4) de 36° ( ⁠𝝅/5) separados en uno o ambos ángulos. ^[ar] Los cuadrados grandes pueden ser de 90° ( ⁠𝝅/2) separados en uno o ambos ángulos, pueden ser de 60° ( ⁠𝝅/3) separados en uno o ambos ángulos, y pueden ser múltiplos (de 0 a 4) de 36° ( ⁠𝝅/5) separados en uno o ambos ángulos. ^[as] Los planos que están separados por dos ángulos iguales se llaman isoclínicos . ^[ap] Los planos que son isoclínicos tienen círculos máximos paralelos de Clifford . ^[af] Un gran hexágono y un gran decágono pueden ser isoclínicos, pero más a menudo están separados por un ⁠𝝅/3⁠ (60°) ángulo y un múltiplo (de 1 a 4) de ⁠𝝅/5⁠ Ángulo de (36°).
47. En el sistema de 24 celdas, cada gran plano cuadrado es completamente ortogonal a otro gran plano cuadrado, y cada gran plano hexagonal es completamente ortogonal a un plano que interseca sólo dos vértices antípodas: un gran plano digónico .
48. Cada fibración de Hopf de la 3-esfera en fibras de gran círculo paralelas de Clifford tiene un mapa (llamado su base ) que es una 2-esfera ordinaria . ^[42] En este mapa, cada fibra de gran círculo aparece como un solo punto. La base de una fibración de gran decágono de la celda 600 es el icosaedro , en el que cada vértice representa uno de los 12 grandes decágonos. ^[24] Para un toplogista, la base no es necesariamente ninguna parte de la cosa que mapea: no se espera que el icosaedro base sea una celda o una característica interior de la celda 600, es simplemente la esfera dimensionalmente análoga, ^[bc] útil para razonar sobre la fibración. Pero, de hecho, la celda de 600 contiene icosaedros: 120 figuras de vértices icosaédricos , ^[p] cualquiera de las cuales puede considerarse como su base: un modelo tridimensional a escala 1:10 de toda la celda de 600 de 4 dimensiones. Cada icosaedro de vértice tridimensional se eleva a la celda de 600 de 4 dimensiones mediante una rotación isoclínica de 720 grados , ^[ao] que lleva cada una de sus 4 caras triangulares disjuntas en un circuito alrededor de uno de los 4 anillos disjuntos de 30 vértices de 30 celdas tetraédricas (cada uno trenzado de 3 grandes decágonos paralelos de Clifford), y así visita los 120 vértices de la celda de 600. Dado que los 12 grandes círculos decagonales (de los 4 anillos) son decágonos paralelos de Clifford de la misma fibración, podemos ver geométricamente cómo el icosaedro funciona como un mapa de una fibración de Hopf de las 600 celdas enteras, y cómo la fibración de Hopf es una expresión de una simetría isoclínica . ^[43]
49. El 30-gono oblicuo regular es el polígono de Petrie de la celda de 600 y su dual de la celda de 120. Los polígonos de Petrie de la celda de 120 aparecen en la celda de 600 como duales de los anillos helicoidales de Boerdijk-Coxeter de 30 celdas: al conectar sus centros de 30 celdas se producen los polígonos de Petrie de la celda dual de 120, como observó Rolfdieter Frank (circa 2001). Así descubrió que el conjunto de vértices de la celda de 120 se divide en 20 polígonos de Petrie que no se intersecan. Este conjunto de 20 polígonos oblicuos paralelos de Clifford disjuntos es una fibración de Hopf discreta de la celda de 120 (así como sus 20 anillos duales de 30 celdas son una fibración discreta de la celda de 600).
50. Estas son las √ 2 celdas tetraédricas de las 75 de 16 celdas inscritas, no las √ 0.𝚫 celdas tetraédricas de las 600 celdas.
51. ‟Los polígonos de Petrie del sólido platónico corresponden a los polígonos ecuatoriales del truncamiento y a los ecuadores de la teselación esférica subdividida de manera simple . Esta " subdivisión simple " es la disposición de triángulos esféricos rectángulos en los que la esfera se descompone por los planos de simetría del sólido. Los grandes círculos que se encuentran en estos planos se llamaban antiguamente "líneas de simetría", pero quizás un nombre más vívido es círculos reflectantes . La subdivisión simple análoga del panal esférico consiste en los tetraedros 0123 en los que una hiperesfera (en el 4-espacio euclidiano) se descompone por los hiperplanos de simetría del politopo . Las grandes esferas que se encuentran en estos hiperplanos se denominan naturalmente esferas reflectantes . Como el ortosquema no tiene ángulos obtusos, contiene completamente el arco que mide la distancia absolutamente más corta 𝝅/ h [entre los] 2 tetraedros h [que] están ensartados como cuentas en un collar, o como un "anillo giratorio de tetraedros" ... cuyos bordes opuestos son generadores de un helicoide. Los dos bordes opuestos de cada tetraedro están relacionados por un desplazamiento de tornillo. ^[bo] Por lo tanto, el número total de esferas es 2 h .” ^[66] ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle \{{\tfrac {p}{q}}\}}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle g=g_{p,q}}$ ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle g=g_{p,q,r}}$ ${\displaystyle \{p,q,r\}}$
52. Los anillos celulares paralelos de Clifford de la fibración pueden ser o no objetos quirales , dependiendo de si las celdas del 4-politopo tienen caras opuestas o no. Los anillos celulares característicos de los de 16 y 600 celdas (con celdas tetraédricas) son quirales: se tuercen en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario. Las isoclinas que actúan con quiralidad izquierda o derecha (no ambas) recorren los anillos celulares de este tipo, aunque cada fibración contiene anillos celulares izquierdos y derechos. ^[dk] Los anillos celulares característicos del teseracto, de 24 y 120 celdas (con celdas cúbicas, octaédricas y dodecaédricas respectivamente) son directamente congruentes, no quirales: solo hay un tipo de anillo celular característico en cada uno de estos 4-politopos, y no está torcido (no tiene torsión ). Pares de isoclinas zurdas y diestras recorren los anillos celulares de este tipo. Nótese que todos estos 4 politopos (excepto el de 16 celdas) contienen fibraciones de los anillos celulares característicos de sus predecesores inscritos además de sus propias fibraciones características, por lo que el de 600 celdas contiene anillos celulares tanto quirales como directamente congruentes.
53. La elección de una partición de un 4-politopo regular en anillos de células es arbitraria, porque todas sus células son idénticas. No se distingue ninguna fibración en particular, a menos que el 4-politopo esté rotando. En las rotaciones isoclínicas, un conjunto de anillos de células (una fibración) se distingue como el contenedor único de ese par distinto de rotaciones izquierda-derecha y sus isoclinas.
54. La única forma de dividir los 120 vértices de las 600 celdas en 4 anillos de 30 celdas y 30 vértices completamente disjuntos ^[ad] es dividir cada una de las 15 celdas de 16 completamente disjuntas de manera similar en 4 partes simétricas: 4 pares de vértices antípodas que se encuentran en los 4 ejes ortogonales de las 16 celdas. Las 600 celdas contienen 75 celdas de 16 distintas que se pueden dividir en conjuntos de 15 celdas de 16 completamente disjuntas. En cualquier conjunto de 4 anillos de 30 celdas completamente disjuntos, hay un conjunto de 15 celdas de 16 completamente disjuntas, con un eje de cada celda de 16 en cada anillo de 30 celdas.
55. Uno podría preguntarse si la analogía dimensional "siempre funciona", o si es quizás "solo una conjetura" que a veces puede ser incapaz de producir una figura dimensionalmente análoga correcta, especialmente cuando se razona de una dimensión inferior a una superior. Aparentemente, la analogía dimensional en ambas direcciones tiene fundamentos matemáticos firmes. Dechant ^[41] derivó los grupos de simetría 4D de sus contrapartes del grupo de simetría 3D por inducción, demostrando que no hay nada en la simetría 4D que no sea ya inherente a la simetría 3D. Demostró que ni la simetría 4D ni la simetría 3D son más fundamentales que la otra, ya que cualquiera puede derivarse de la otra. Esto es cierto ya sea que las analogías dimensionales se calculen utilizando la teoría de grupos de Coxeter o el álgebra geométrica de Clifford. Estos dos tipos bastante diferentes de matemáticas contribuyen con conocimientos geométricos complementarios. Otro ejemplo profundo de matemáticas de analogía dimensional es la fibración de Hopf , una proyección entre puntos de la 2-esfera y grandes círculos disjuntos (paralelos de Clifford) de la 3-esfera.
56. A diferencia de sus decágonos delimitadores, los 20 anillos celulares en sí mismos no son todos paralelos Clifford entre sí, porque solo los politopos completamente disjuntos son paralelos Clifford. ^[g] Los 20 anillos celulares tienen 5 subconjuntos diferentes de 4 anillos celulares paralelos Clifford. Cada anillo celular está delimitado por 3 grandes decágonos paralelos Clifford, por lo que cada subconjunto de 4 anillos celulares paralelos Clifford está delimitado por un total de 12 grandes decágonos paralelos Clifford (una fibración de Hopf discreta). De hecho, cada uno de los 5 subconjuntos diferentes de 4 anillos celulares está delimitado por los mismos 12 grandes decágonos paralelos Clifford (la misma fibración de Hopf); hay 5 formas diferentes de ver los mismos 12 decágonos como un conjunto de 4 anillos celulares (y, equivalentemente, solo una forma de verlos como un solo conjunto de 20 anillos celulares).
57. Nótese que las hélices de células de diferentes colores son diferentes anillos celulares (o agujeros en forma de anillo) en la misma fibración, no las diferentes fibraciones del 4-politopo. Cada fibración es el 4-politopo completo.
58. En una rotación doble, se puede decir que cada vértice se mueve a lo largo de dos círculos máximos completamente ortogonales al mismo tiempo, pero no permanece dentro del plano central de ninguno de esos círculos máximos originales; más bien, se mueve a lo largo de una geodésica helicoidal que atraviesa diagonalmente entre los círculos máximos. Se dice que los dos planos de rotación completamente ortogonales son invariantes porque los puntos en cada uno permanecen en sus lugares en el plano a medida que el plano se mueve , rotando e inclinándose lateralmente por el ángulo en que rota el otro plano.
59. Los polos del eje invariante de una 2-esfera rotatoria son dimensionalmente análogos al par de planos invariantes de una 3-esfera rotatoria. Los polos de la 2-esfera rotatoria son dimensionalmente análogos a los círculos máximos enlazados en la 3-esfera. Por analogía dimensional, cada punto 1D en 3D se eleva a una línea 2D en 4D, en este caso un círculo. ^[av] Los dos polos de rotación antípoda se elevan a un par de fibras de Hopf circulares que no son meramente paralelas a Clifford e interconectadas, ^[af] sino también completamente ortogonales . Los círculos máximos invariantes de la rotación 4D son sus polos. En el caso de una rotación isoclínica, no hay simplemente un par de polos 2D (fibras de gran círculo de Hopf completamente ortogonales), hay muchos pares de estos: un número finito de pares de círculos si la fibración de 3-esferas es discreta (por ejemplo, un politopo regular con un número finito de vértices), o bien un número infinito de pares de círculos ortogonales, que llenan completamente la 3-esfera. Cada punto en el 3-espacio curvo de la 3-esfera se encuentra en uno de estos círculos (nunca en dos, ya que los círculos completamente ortogonales, como todas las fibras de gran círculo de Hopf paralelas de Clifford, no se intersecan). Donde una rotación 2D tiene un polo, y una rotación 3D de una 2-esfera tiene 2 polos, una rotación isoclínica 4D de una 3-esfera no tiene nada más que polos , un número infinito de ellos. En un politopo 4 discreto, todos los grandes polígonos invariantes paralelos de Clifford de la rotación son polos, y llenan el politopo 4, pasando por cada vértice sólo una vez. En una revolución completa de tal rotación, cada punto en el espacio da exactamente una vuelta a través de su círculo polar. Los círculos están dispuestos con una simetría sorprendente, de modo que cada círculo polar se vincula con todos los demás círculos polares , como un tejido de máxima densidad de cota de malla 4D en el que todos los círculos están vinculados entre sí, pero nunca hay dos círculos que se intersequen.
60. Las 4 caras rojas del tetraedro romo corresponden a los 4 anillos celulares completamente disjuntos de la construcción dispersa de la fibración (su subfibración ). Las caras rojas están centradas en los vértices de un tetraedro inscrito y se encuentran en el centro de las caras mayores de un tetraedro inscrito.
61. Debido a que el octaedro se puede truncar para obtener un icosaedro, ^[48] otro nombre para el icosaedro es octaedro romo . Este término se refiere específicamente a una disposición de simetría inferior de las caras del icosaedro (con 8 caras de un color y 12 de otro).
62. La pirámide de 600 celdas y 120 puntos tiene 120 pirámides icosaédricas superpuestas. ^[p]
63. El icosaedro no es radialmente equilátero en el espacio tridimensional euclidiano, pero una pirámide icosaédrica es radialmente equilátera en el espacio tridimensional curvo de la superficie de 600 celdas (la esfera tridimensional ). En el espacio tridimensional, las 12 aristas que irradian desde su vértice no son en realidad sus radios: el vértice de la pirámide icosaédrica no es en realidad su centro, solo uno de sus vértices. Pero en el espacio tridimensional curvo, las aristas que irradian simétricamente desde el vértice son radios, por lo que el icosaedro es radialmente equilátero en ese espacio tridimensional curvo . En el espacio tridimensional euclidiano, 24 aristas que irradian simétricamente desde un punto central forman las 24 celdas radialmente equiláteras , y un subconjunto simétrico de 16 de esas aristas forma el teseracto radialmente equilátero .
64. Un borde de icosaedro entre dos caras azules está rodeado por dos celdas piramidales icosaédricas de caras azules y 3 celdas de un grupo adyacente de 5 celdas (una de las cuales es el tetraedro central de las cinco)
65. Las pirámides pentagonales que rodean cada vértice del icosaedro " octaedro chato " son todas iguales, con dos caras amarillas y tres azules. Cada pentágono tiene cinco orientaciones de rotación distintas. Al girar cualquier pirámide pentagonal, todas giran, por lo que las cinco posiciones de rotación son las únicas cinco formas diferentes de organizar los colores.
66. Nótese que la contracción es quiral, ya que hay dos opciones de diagonal en las que comenzar a doblar las caras cuadradas.
67. Sea Q una rotación, R una reflexión, T una traslación y sea Q ^q R ^r T un producto de varias transformaciones de este tipo, todas conmutativas entre sí. Entonces RT es una reflexión de deslizamiento (en dos o tres dimensiones), QR es una reflexión rotatoria, QT es un desplazamiento de tornillo y Q ² es una rotación doble (en cuatro dimensiones). Toda transformación ortogonal se puede expresar como
                Q ^q R ^r
    donde 2 q + r ≤ n , el número de dimensiones. Las transformaciones que implican una traslación se pueden expresar como
                Q ^q R ^r T
    donde 2 q + r + 1 ≤ n .
    Para n = 4 en particular, todo desplazamiento es una rotación doble Q ² o un desplazamiento de tornillo QT (donde el componente de rotación Q es una rotación simple). Toda transformación enantiomorfa en el espacio 4 (quiralidad inversa) es una QRT. ^[69]
68. Estas transformaciones no se encuentran entre las transformaciones ortogonales de los grupos de Coxeter generados por reflexiones. ^[bo] Son transformaciones del grupo de simetría 3D piritoédrico , el único grupo puntual poliédrico que no es ni un grupo de rotación ni un grupo de reflexión. ^[53]
69. Hay un icosaedro de vértice ^[p] dentro de cada sección central octaédrica de 24 celdas (no dentro de una celda octaédrica √ 1 , sino en el octaedro √ 2 más grande que se encuentra en un hiperplano central), y un icosaedro más grande dentro de cada cuboctaedro de 24 celdas. Los dos icosaedros de diferente tamaño son la segunda y cuarta sección de las 600 celdas (que comienzan con un vértice). El octaedro y el cuboctaedro son las secciones centrales de las 24 celdas (que comienzan con un vértice y comienzan con una celda, respectivamente). ^[50] El cuboctaedro, el icosaedro grande, el octaedro y el icosaedro pequeño se anidan como muñecas rusas y están relacionados por una contracción helicoidal. ^[51] La contracción comienza con las caras cuadradas del cuboctaedro plegándose hacia adentro a lo largo de sus diagonales para formar pares de triángulos. ^[bn] Los 12 vértices del cuboctaedro se mueven uno hacia el otro hasta los puntos donde forman un icosaedro regular (el icosaedro grande); se acercan ligeramente hasta formar un icosaedro de Jessen ; continúan en espiral uno hacia el otro hasta que se fusionan en los 8 vértices del octaedro; ^[52] y continúan moviéndose a lo largo de las mismas trayectorias helicoidales, separándose nuevamente en los 12 vértices del octaedro romo (el icosaedro pequeño). ^[bi] La geometría de esta secuencia de transformaciones ^[bp] en S 3 es similar a la cinemática del cuboctaedro y el icosaedro de tensegridad en R 3 . Las transformaciones expansivas-contractivas retorcidas entre estos poliedros fueron denominadas transformaciones Jitterbug por Buckminster Fuller . ^[54]
70. Estas 12 células están unidas por sus bordes a la célula central, por sus caras a las caras exteriores del grupo de 5 y por sus caras entre sí en pares. Son células de caras azules en las 6 pirámides icosaédricas diferentes que rodean el grupo de 5.
71. El tetraedro √ 1 tiene un volumen de 9 celdas tetraédricas de √ 0,𝚫 . En el volumen tridimensional curvo de las 600 celdas, encierra el conjunto de 5 celdas, que no lo llenan por completo. Las 6 bipirámides (12 celdas) que encajan en las concavidades del conjunto de 5 celdas lo llenan por completo: solo un tercio de cada bipirámide se encuentra dentro del tetraedro √ 1. Las bipirámides aportan un tercio de cada una de las 12 celdas, un volumen equivalente a 4 celdas.
72. La celda de 600 también contiene 600 octaedros . La primera sección de la celda de 600 que comienza con una celda es tetraédrica, y la tercera sección es octaédrica. Estos octaedros internos no son celdas de la celda de 600 porque no están volumétricamente disjuntos, sino que son cada uno una celda de una de las 25 celdas internas de 24 celdas. La celda de 600 también contiene 600 cubos, cada uno una celda de uno de sus 75 teseractos internos de 8 celdas. ^[ah]
73. Cada arista de la celda octaédrica es el diámetro largo de otra bipirámide tetraédrica (dos celdas tetraédricas más unidas por sus caras). En la celda de 24, tres celdas octaédricas rodean cada arista, por lo que un tercio de la bipirámide se encuentra dentro de cada octaedro, dividido entre dos caras cóncavas adyacentes. Cada cara cóncava está llena por una sexta parte de cada una de las tres bipirámides que rodean sus tres aristas, por lo que tiene el mismo volumen que una celda tetraédrica.
74. Una celda octaédrica √ 1 (de cualquier celda de 24 inscrita en la celda 600) tiene seis vértices que se encuentran todos en el mismo hiperplano: delimitan una sección octaédrica (una porción tridimensional plana) de la celda 600. El mismo octaedro √ 1 lleno de 25 celdas tetraédricas tiene un total de 14 vértices que se encuentran en tres secciones tridimensionales paralelas de la celda 600: la sección octaédrica √ 1 de 6 puntos, una sección tetraédrica √ 1 de 4 puntos y una sección tetraédrica √ 0.𝚫 de 4 puntos . En el espacio tridimensional curvo de la superficie de la celda 600, el octaedro √ 1 rodea al tetraedro √ 1 que rodea al tetraedro √ 0.𝚫 , como tres envolturas concéntricas. Este 4-politopo de 14 vértices es una 4-pirámide con una base octaédrica regular: no una pirámide octaédrica canónica con un vértice (que tiene solo 7 vértices) sino una pirámide octaédrica truncada irregular. Debido a que su base es un octaedro regular que es una celda octaédrica de 24 celdas, esta 4-pirámide se encuentra en la superficie de la celda 24.
75. El vértice de una pirámide octaédrica canónica √ 1 se ha truncado en una celda tetraédrica regular con aristas √ 0.𝚫 más cortas , reemplazando el vértice con cuatro vértices. El truncamiento también ha creado otros cuatro vértices (dispuestos como un tetraedro √ 1 en un hiperplano entre la base octaédrica y la celda tetraédrica del vértice), y ha vinculado estos ocho nuevos vértices con aristas √ 0.𝚫 . La pirámide truncada tiene, por tanto, ocho vértices "de vértice" por encima del hiperplano de su base octaédrica, en lugar de un solo vértice: 14 vértices en total. La pirámide original tenía lados planos: las cinco rutas geodésicas desde cualquier vértice de la base hasta el vértice de la base opuesto corrían a lo largo de dos aristas √ 1 (y solo una de esas rutas pasaba por el único vértice). La pirámide truncada tiene lados redondeados: cinco rutas geodésicas desde cualquier vértice base hasta el vértice base opuesto recorren tres aristas de √ 0.𝚫 (y pasan por dos 'vértices').
76. Los 4-politopos uniformes a los que más se asemeja este 4-politopo irregular de 14 vértices y 25 celdas pueden ser el 5-celdas rectificado de 10 vértices y 10 celdas y su dual (tiene características de ambos).
77. Cómo puede un cuadrado irregular de 100 tetraedros en forma de "caja de huevos" yacer sobre la superficie lisa del toro de Clifford? ^[cd] Pero, ¿cómo puede un cuadrado plano de 10x10 representar la celda de 600 vértices y 120 (dónde están los otros 20 vértices)? En la rotación isoclínica de la celda de 600 en planos invariantes del gran decágono, el toro de Clifford es una superficie euclidiana de 2 superficies lisa que interseca los bordes medios de exactamente 100 celdas tetraédricas. Los bordes son lo que los tetraedros tienen 6 de ellos. Los bordes medios no son vértices de la celda de 600, pero son todos 600 vértices de su politopo dual de radio igual, la celda de 120. La celda de 120 tiene 5 celdas de 600 disjuntas inscritas en ella, de dos maneras diferentes. Este toro de Clifford liso y distintivo (esta rotación) es una fibración discreta de las 120 celdas en 60 planos invariantes decágonos, y una fibración discreta de las 600 celdas en 12 planos invariantes decágonos.
78. Los huecos del anillo anular entre los icosaedros están rellenados por un anillo de 10 tetraedros unidos por caras que se encuentran todos en el vértice donde se encuentran los dos icosaedros. Este anillo de 10 celdas tiene forma de antiprisma pentagonal que ha sido ahuecado como un cuenco tanto en su parte superior como en su parte inferior, de modo que tiene un espesor cero en su centro. Este vértice central, como todos los demás vértices de las 600 celdas, es en sí mismo el ápice de una pirámide icosaédrica donde se encuentran 20 tetraedros. ^[bj] Por lo tanto, el anillo anular de 10 tetraedros es en sí mismo un anillo ecuatorial de una pirámide icosaédrica, que contiene 10 de las 20 celdas de su pirámide icosaédrica.
79. La superficie de 100 caras de la columna de 150 celdas con caras triangulares se podría cortar con tijeras a lo largo de una trayectoria de 10 aristas y pelarla y colocarla plana como un paralelogramo de triángulos de 10×10.
80. Debido a que la superficie de 100 caras del toro de 150 celdas es alternativamente convexa y cóncava, 100 tetraedros se apilan sobre ella en pares unidos por caras, como 50 bipirámides triangulares que comparten un vértice elevado y ocultan un borde de valle anteriormente expuesto. Las bipirámides triangulares están unidas por vértices entre sí en 5 líneas paralelas de 5 bipirámides (10 tetraedros) cada una, que corren en línea recta hacia arriba y hacia abajo por la superficie exterior de la columna de 150 celdas.
81. 5 decágonos giran en el sentido de las agujas del reloj y 5 en el sentido contrario a las agujas del reloj, intersecándose entre sí en los 50 vértices del valle.
82. Un toro de Clifford es el fibrado de Hopf de una rotación isoclínica distinta de una 3-esfera rígida , que involucra todos sus puntos. El toro incrustado en el 4-espacio , como la doble rotación, es el producto cartesiano de dos grandes círculos completamente ortogonales . Es una rosquilla rellena , no una rosquilla anular; no hay ningún agujero en la 3-esfera excepto la 4-bola que encierra. Un 4-politopo regular tiene un número distinto de toros de Clifford característicos, porque tiene un número distinto de simetrías rotacionales características. Cada uno forma una fibración discreta que alcanza todos los puntos discretos una vez cada uno, en una rotación isoclínica con un conjunto distinto de pares de planos invariantes completamente ortogonales.
83. El mismo cinturón de 10 caras de una pirámide icosaédrica es un anillo anular de 10 tetraedros alrededor del vértice. ^[bz]
84. polígono de Petrie de 600 celdas es un triacontagono oblicuo {30} . Se puede ver en proyección ortogonal como la circunferencia de una hélice de triacontagrama {30/3}=3{10} que zigzaguea 60° a izquierda y derecha, uniendo el espacio entre los 3 grandes decágonos paralelos de Clifford del anillo de 30 celdas. En el plano completamente ortogonal se proyecta al triacontagrama regular {30/11} . ^[62]
85. Los 30 vértices del anillo de triple hélice de Boerdijk-Coxeter se encuentran en 3 planos centrales decagonales que se intersecan solo en un punto (el centro de las 600 celdas), aunque no son completamente ortogonales ni ortogonales en absoluto: sonπ/5⁠ separados. ^[at] Sus círculos máximos decagonales son paralelos de Clifford: separados por una arista de 600 celdas en cada punto. ^[af] Son círculos máximos bidimensionales ordinarios, no hélices, pero son círculos paralelos de Clifford vinculados .
86. Las geodésicas isoclínicas son círculos máximos de 4 dimensiones en el sentido de que son líneas geodésicas unidimensionales que se curvan en el espacio cuatridimensional en dos planos completamente ortogonales a la vez. No deben confundirse con las grandes 2-esferas , ^[73] que son los análogos en el espacio cuatridimensional ^[bc] de los círculos máximos bidimensionales en el espacio tridimensional (grandes 1-esferas).
87. Los 20 anillos de 30 celdas son objetos quirales ; se mueven en espiral en el sentido de las agujas del reloj (derecha) o en el sentido contrario (izquierda). El toro de 150 celdas (formado por cinco anillos de 30 celdas disjuntos de la misma quiralidad que rodean un gran decágono) no es en sí mismo un objeto quiral, ya que se puede descomponer en cinco anillos levógiros paralelos o cinco anillos diestros paralelos. A diferencia de los anillos de 20 celdas, los toros de 150 celdas son directamente congruentes sin torsión , como los anillos octaédricos de 6 celdas del de 24 celdas . Cada gran decágono tiene cinco anillos levógiros de 30 celdas que lo rodean, y también cinco anillos diestros de 30 celdas que lo rodean; pero los anillos levógiros y diestros de 30 celdas no están disjuntos en cuanto a células y pertenecen a diferentes rotaciones distintas: las rotaciones izquierda y derecha de la misma fibración. En cualquier rotación isoclínica distinta (izquierda o derecha), los vértices de las 600 células se mueven a lo largo de las isoclinas axiales de 15 gramos de 20 anillos izquierdos de 30 células o 20 anillos derechos de 30 células. Por lo tanto, los grandes decágonos, los anillos de 30 células y los toros de 150 células ocurren todos como conjuntos de círculos interconectados paralelos de Clifford, ^[af] aunque la forma exacta en que se anidan juntos, evitan intersecarse entre sí y pasan uno a través del otro para formar un enlace de Hopf no es idéntica para estos tres tipos diferentes de politopos paralelos de Clifford , en parte porque los pares enlazados no tienen quiralidad inherente (los decágonos), tienen la misma quiralidad (los anillos de 30 células) o no tienen torsión neta y tienen organización interior tanto izquierda como derecha (los toros de 150 células) pero trazan la misma quiralidad de organización interior en cualquier rotación izquierda o derecha distinta.
88. Un punto en la función de Hopf del icosaedro ^[av] de la fibración decagonal de 600 celdas se eleva a un gran decágono; una cara triangular se eleva a un anillo de 30 celdas; y una pirámide pentagonal de 5 caras se eleva a un toro de 150 celdas. ^[58] En la gran descomposición del antiprisma, dos toros de 150 celdas completamente disjuntos se elevan de pentágonos antípodas, dejando un anillo ecuatorial de 10 caras de icosaedro entre ellos: un decágono de Petrie de 10 triángulos, que se elevan a 10 anillos de 30 celdas. Los dos toros de 150 celdas completamente disjuntos contienen 12 decágonos disjuntos (paralelos de Clifford) y los 120 vértices, por lo que comprenden una fibración de Hopf completa; no hay espacio para más toros de 150 celdas de este tipo. Para obtener una descomposición del toro de 600 celdas en cuatro toros de 150 celdas de este tipo, el mapa icosaédrico tendría que descomponerse en cuatro pentágonos, centrados en los vértices de un tetraedro inscrito, y el icosaedro no se puede descomponer de esa manera.
89. (Coxeter 1973) utiliza la letra griega 𝝓 (phi) para representar uno de los tres ángulos característicos 𝟀, 𝝓, 𝟁 de un politopo regular. Debido a que 𝝓 se utiliza comúnmente para representar la constante de proporción áurea ≈ 1,618, para la que Coxeter utiliza 𝝉 (tau), invertimos las convenciones de Coxeter y utilizamos 𝝉 para representar el ángulo característico.
90. Las cuatro aristas de cada 4-ortosquema que se encuentran en el centro de un 4-politopo regular tienen una longitud desigual, porque son los cuatro radios característicos del 4-politopo regular: un radio de vértice, un radio de centro de arista, un radio de centro de cara y un radio de centro de celda. Los cinco vértices del 4-ortosquema siempre incluyen un vértice de 4-politopo regular, un centro de arista de 4-politopo regular, un centro de cara de 4-politopo regular, un centro de celda de 4-politopo regular y el centro de 4-politopo regular. Esos cinco vértices (en ese orden) comprenden un camino a lo largo de cuatro aristas mutuamente perpendiculares (que hace tres giros en ángulo recto), la característica característica de un 4-ortosquema. El 4-ortosquema tiene cinco facetas de 3-ortosquema diferentes.
91. La superficie reflectante de un poliedro (tridimensional) consta de caras bidimensionales; la superficie reflectante de un policoro (tetradimensional) consta de celdas tridimensionales.
92. Una rotación isoclínica de 36° son dos rotaciones simples de 36° al mismo tiempo. ^[dw] Mueve todos los vértices 60° al mismo tiempo, en varias direcciones diferentes. Quince incrementos rotacionales diagonales sucesivos, de 36°×36° cada uno, mueven cada vértice 900° a través de 15 vértices en un doble bucle de Möbius de circunferencia 5𝝅 llamado isoclina , enrollándose alrededor de la celda 600 y de regreso a su punto de origen, en uno y medio del tiempo (15 incrementos rotacionales) que tomaría una rotación simple para llevar al vértice una vez alrededor de la celda 600 en un gran círculo ordinario {10} (en 10 incrementos rotacionales). ^[cs] La isoclina de doble bucle helicoidal de 5𝝅 es simplemente un tipo especial de círculo completo simple , de 1,5 veces el período (15 cuerdas en lugar de 10) del círculo máximo simple. La isoclina es un círculo verdadero, tan perfectamente redondo y geodésico como el círculo máximo simple, aunque sus cuerdas son φ más largas, su circunferencia es 5𝝅 en lugar de 2𝝅, gira a través de cuatro dimensiones en lugar de dos y actúa en dos formas quirales (izquierda y derecha) aunque todos esos círculos de la misma circunferencia son directamente congruentes. Sin embargo, para evitar confusiones siempre nos referimos a ella como una isoclina y reservamos el término círculo máximo para un círculo máximo ordinario en el plano. ^[ao]
93. La celda 600 tiene 7200 desplazamientos rotacionales distintos, cada uno con su plano de rotación invariante. Los 7200 planos centrales distintos se pueden agrupar en conjuntos de planos de rotación invariantes paralelos de Clifford de 25 rotaciones isoclínicas distintas , y generalmente se dan como esos conjuntos. ^[75]
94. Cualquier rotación doble (incluida una rotación isoclínica) puede verse como la composición de dos rotaciones simples a y b : la rotación doble hacia la izquierda como a luego b , y la rotación doble hacia la derecha como b luego a . Las rotaciones simples no son conmutativas; las rotaciones hacia la izquierda y hacia la derecha (en general) llegan a destinos diferentes. La diferencia entre una rotación doble y las dos rotaciones simples que la componen es que la rotación doble es diagonal en cuatro dimensiones: cada vértice en movimiento llega a su destino directamente sin pasar por el punto intermedio tocado por a luego b , o el otro punto intermedio tocado por b luego a , al rotar en una única geodésica helicoidal (por lo que es el camino más corto). ^[bf] A la inversa, cualquier rotación simple puede verse como la composición de dos rotaciones dobles de ángulos iguales (una rotación isoclínica hacia la izquierda y una rotación isoclínica hacia la derecha), como descubrió Cayley ; quizás sorprendentemente, esta composición es conmutativa y también es posible para cualquier rotación doble. ^[72]
95. Las rotaciones isoclínicas llevan cada vértice a un vértice no adyacente que se encuentra al menos a dos longitudes de arista de distancia. En las rotaciones isoclínicas características de las celdas de 5, 16, 24 y 600, el vértice no adyacente se encuentra exactamente a dos longitudes de arista de distancia a lo largo de una de varias rutas geodésicas de círculo máximo: el vértice opuesto de una celda vecina. En la celda de 8, se encuentra a tres longitudes de arista en zigzag de distancia en la misma celda: el vértice opuesto de un cubo. En la celda de 120, se encuentra a cuatro aristas en zigzag de distancia en la misma celda: el vértice opuesto de un dodecaedro.
96. En una rotación isoclínica , cada punto en cualquier parte del 4-politopo se mueve una distancia igual en cuatro direcciones ortogonales a la vez, en una diagonal de 4 dimensiones . ^[ao] El punto se desplaza una distancia pitagórica total igual a la raíz cuadrada de cuatro veces el cuadrado de esa distancia. Todos los vértices se desplazan a un vértice al menos a dos longitudes de arista de distancia. ^[cq] Por ejemplo, cuando la celda de 600 radios unitarios gira isoclínicamente 36 grados en un plano invariante decágono y 36 grados en su plano invariante completamente ortogonal, ^[an] cada vértice se desplaza a otro vértice √ 1 (60°) de distancia, moviéndose √ 1/4 = 1/2 radio unitario en cuatro direcciones ortogonales.
97. Debido a que la geodésica helicoidal del pentadecagrama2 de 600 celdas está doblada en un anillo retorcido en la cuarta dimensión como una cinta de Möbius , su rosca se dobla sobre sí misma después de cada revolución, sin invertir nunca su dirección de rotación (izquierda o derecha). La trayectoria isoclínica de 30 vértices sigue un doble bucle de Möbius, formando un único bucle continuo de 15 vértices atravesado en dos revoluciones. La hélice de Möbius es una "línea recta" geodésica o isoclina . La isoclina conecta los vértices de un poligrama sesgado de menor frecuencia (longitud de onda más larga) que el polígono de Petrie. El triacontágono de Petrie tiene √ 0,𝚫 aristas; el pentadecagrama isoclínico ₂ tiene √ 1 aristas que unen vértices que están separados por dos √ 0 ,𝚫 aristas. Cada arista √ 1 pertenece a un gran hexágono diferente, y las aristas √ 1 sucesivas pertenecen a diferentes 24 celdas, ya que la rotación isoclínica lleva a los hexágonos a hexágonos paralelos de Clifford y pasa a través de 24 celdas paralelas de Clifford sucesivas.
98. Todas las isoclinas son geodésicas , y las isoclinas en la 3-esfera son círculos (que se curvan igualmente en cada dimensión), pero no todas las isoclinas en las 3-variedades en el 4-espacio son círculos.
99. Las rotaciones isoclínicas ^[ao] dividen las 600 celdas (y los 120 vértices) de las 600 celdas en dos subconjuntos disjuntos de 300 celdas (y 60 vértices), pares e impares (o blancos y negros), que cambian de lugar entre sí en isoclinas blancas o negras, de una manera dimensionalmente análoga ^[bc] a la forma en que los movimientos diagonales de los alfiles los restringen a las casillas blancas o negras del tablero de ajedrez . ^[du] Los subconjuntos blancos y negros también se dividen entre polígonos circulares máximos invariantes blancos y negros de la rotación isoclínica. En una rotación discreta (como la de un 4-politopo con un número finito de vértices) los subconjuntos blancos y negros corresponden a conjuntos de polígonos circulares máximos inscritos {p} en polígonos circulares máximos invariantes {2p}. Por ejemplo, en el sistema de 600 celdas, un gran pentágono negro y uno blanco {5} están inscritos en un gran decágono invariante {10} de la rotación isoclínica decagonal característica. Es importante destacar que un par de polígonos negros y blancos {p} de la misma rotación isoclínica distinta nunca están inscritos en el mismo polígono {2p}; siempre hay un polígono negro y uno blanco {p} inscritos en cada polígono invariante {2p}, pero pertenecen a rotaciones isoclínicas distintas: la rotación izquierda y derecha del mismo fibratón, que comparten el mismo conjunto de planos invariantes. Las isoclinas negras (blancas) intersecan solo grandes polígonos {p} negros (blancos), por lo que cada vértice es negro o blanco.
100. La trayectoria de cuerdas de una isoclina puede llamarse el polígono de Clifford del 4-politopo , ya que es la forma poligonal oblicua de los círculos rotacionales atravesados ​​por los vértices del 4-politopo en su característico desplazamiento de Clifford . ^[86] La isoclina es un bucle doble helicoidal de Möbius que invierte su quiralidad dos veces en el curso de un circuito doble completo. Los dos bucles están completamente contenidos dentro del mismo anillo de celdas, donde ambos siguen cuerdas que conectan vértices pares (impares): típicamente vértices opuestos de celdas adyacentes, separados por dos longitudes de arista. ^[cu] Ambas "mitades" del bucle doble pasan a través de cada celda en el anillo de celdas, pero intersecan solo dos vértices pares (impares) en cada celda par (impares). Cada par de vértices intersecado en una celda par (impares) se encuentra uno frente al otro en la banda de Möbius , exactamente a una longitud de arista de distancia. Por lo tanto, cada célula tiene dos hélices que la atraviesan, que son paralelas de Clifford ^[af] de quiralidad opuesta en cada par de puntos paralelos. Globalmente, estas dos hélices son un único círculo conectado de ambas quiralidades, ^[cn] sin torsión neta . Una isoclina actúa como una isoclina izquierda (o derecha) cuando es atravesada por una rotación izquierda (o derecha) (de diferentes fibraciones).
101. Las isoclinas en la 3-esfera ocurren en pares no intersecantes de paridad de coordenadas par/impar. ^[cu] Una sola isoclina negra o blanca forma un bucle de Möbius llamado nudo toroidal {1,1} o círculo de Villarceau ^[74] en el que cada uno de los dos "círculos" unidos en un bucle de "ocho" de Möbius atraviesa las cuatro dimensiones. ^[cv] El bucle doble es un círculo verdadero en cuatro dimensiones. ^[cn] Las isoclinas pares e impares también están unidas, no en un bucle de Möbius sino como un enlace de Hopf de dos círculos no intersecantes, ^[af] como lo están todas las isoclinas paralelas de Clifford de un haz de fibras de Hopf .
102. Una rotación en el espacio 4 se caracteriza completamente al elegir un plano invariante y un ángulo y dirección (izquierda o derecha) a través de los cuales rota, y otro ángulo y dirección a través de los cuales rota su único plano invariante completamente ortogonal . Dos desplazamientos rotacionales son idénticos si tienen el mismo par de planos invariantes de rotación, a través de los mismos ángulos en las mismas direcciones (y por lo tanto también el mismo emparejamiento quiral de direcciones). Por lo tanto, la rotación general en el espacio 4 es una rotación doble , caracterizada por dos ángulos. Una rotación simple es un caso especial en el que un ángulo rotacional es 0. ^[cp] Una rotación isoclínica es un caso especial diferente, similar pero no idéntico a dos rotaciones simples a través del mismo ángulo. ^[ao]
103. Hay un único plano invariante en cada rotación simple, y un plano fijo completamente ortogonal. Hay un número infinito de pares de planos invariantes completamente ortogonales en cada rotación isoclínica, todos rotando a través del mismo ángulo; ^[bg] sin embargo, no todos los planos centrales son planos invariantes de rotación . Los planos invariantes de una rotación isoclínica constituyen una fibración de todo el 4-politopo. ^[77] En cada rotación isoclínica de las 600 celdas que llevan vértices a vértices, o bien 12 grandes decágonos paralelos de Clifford, o bien 20 grandes hexágonos paralelos de Clifford o bien 30 grandes cuadrados paralelos de Clifford son planos invariantes de rotación.
104. En una rotación isoclínica , cada plano invariante es paralelo al plano al que se mueve, y no se intersecan en ningún momento (excepto en el punto central). En una rotación simple , el plano invariante interseca el plano al que se mueve en una línea y se mueve hacia él rotando alrededor de esa línea.
105. En un desplazamiento de Clifford , también conocido como rotación isoclínica , todos los planos invariantes ^{[cy] paralelos de Clifford [af ]} se desplazan en cuatro direcciones ortogonales (dos planos completamente ortogonales) a la vez: se rotan en el mismo ángulo y, al mismo tiempo, se inclinan lateralmente en ese mismo ángulo. Un desplazamiento de Clifford es diagonal en cuatro dimensiones . ^[cr] Todo plano que es paralelo de Clifford a uno de los planos completamente ortogonales es invariante bajo la rotación isoclínica: todos los puntos del plano rotan en círculos pero permanecen en el plano, incluso cuando todo el plano rota lateralmente. ^[cz] Todos los polígonos centrales (de todo tipo) rotan en el mismo ángulo (aunque no todos lo hacen invariablemente) y también se desplazan lateralmente en el mismo ángulo con respecto a un polígono paralelo de Clifford (del mismo tipo).
106. Las tres celdas de 16 en el modelo de 24 celdas están rotadas 60° ( ⁠𝜋/3⁠ ) ​​isoclínicas entre sí. Debido a que una rotación isoclínica es una rotación en dos planos completamente ortogonales al mismo tiempo, esto significa que sus vértices correspondientes son 120° ( ⁠2𝜋/3) separados. En un 4-politopo de radio unitario, los vértices separados 120° están unidos por una cuerda de √ 3 .
107. Cualquier rotación isoclínica por ⁠𝜋/5⁠ en planos invariantes decagonales ^[di] toma cada polígono central, anillo de celdas geodésicas o politopo de 4 inscrito ^[f] en las 600 celdas a un politopo paralelo de Clifford ⁠𝜋/5⁠ lejos.
108. Cinco celdas de 24 se encuentran en cada vértice de las 600 celdas, ^[i] por lo que hay cuatro direcciones diferentes en las que los vértices pueden moverse para rotar las 24 celdas (o todas las 24 celdas a la vez en una rotación isoclínica ^[dc] ) directamente hacia una celda de 24 adyacente.
109. Una celda disjunta de 24 celdas alcanzada por una rotación isoclínica no es ninguna de las cuatro celdas de 24 adyacentes; la doble rotación ^[cx] la lleva más allá (no a través) de la celda de 24 adyacente hacia la que rota, ^[dd] y a la izquierda o derecha de una celda de 24 más distante de la cual está completamente disjunta. ^[g] Las cuatro direcciones alcanzan 8 celdas de 24 diferentes ^{[d] porque en una rotación isoclínica cada vértice se mueve en espiral a lo largo de dos círculos máximos completamente ortogonales a la vez. Cuatro caminos son} de rosca derecha (como la mayoría de los tornillos y pernos), moviéndose a lo largo de los círculos en las "mismas" direcciones, y cuatro son de rosca izquierda (como un perno de rosca inversa), moviéndose a lo largo de los círculos en lo que convencionalmente llamamos direcciones "opuestas" (de acuerdo con la regla de la mano derecha por la que convencionalmente decimos qué lado está "arriba" en cada uno de los 4 ejes de coordenadas). ^[78]
110. Todos los polígonos isoclínicos son paralelos de Clifford (completamente disjuntos). ^[g] Los poliedros (3-politopos) y los policoros (4-politopos) pueden ser isoclínicos y no disjuntos, si todos sus polígonos centrales correspondientes son paralelos de Clifford, o cocelulares (en el mismo hiperplano) o coincidentes (el mismo objeto, compartido). Por ejemplo, los de 24 celdas, 600 celdas y 120 celdas contienen pares de teseractos inscritos (8 celdas) que están rotados isoclínicamente por ⁠𝜋/3⁠ entre sí, pero no son disjuntos: comparten 16 celdas (8 vértices, 6 grandes cuadrados y 4 hiperplanos centrales octaédricos), y algunos pares correspondientes de sus grandes cuadrados son cocelulares (se intersecan) en lugar de paralelos de Clifford (disjuntos).
111. En cada vértice, una celda de 600 tiene cuatro celdas adyacentes (no disjuntas) ^[g] de 24 a las que se puede llegar mediante una simple rotación en esa dirección. ^[dd] Cada celda de 24 tiene 4 grandes hexágonos que se cruzan en cada uno de sus vértices, uno de los cuales comparte con cada una de las celdas adyacentes de 24; en una simple rotación, ese plano hexagonal permanece fijo (sus vértices no se mueven) mientras la celda de 600 gira alrededor del plano hexagonal común. La celda de 24 tiene 16 grandes hexágonos en total, por lo que es adyacente (no disjunta) a otras 16 celdas de 24. ^[d] Además de ser alcanzables mediante una simple rotación, cada una de las 16 también se puede alcanzar mediante una rotación isoclínica en la que el plano hexagonal compartido no es fijo: gira (de manera no invariante) a través de ⁠𝜋/5⁠ . La doble rotación alcanza una celda adyacente de 24 celdas directamente como indirectamente mediante dos rotaciones simples sucesivas: ^[cp] primero a una de las otras celdas adyacentes de 24 celdas, y luego a la celda de destino de 24 celdas (adyacente a ambas).
112. En la celda 600, hay una rotación simple que llevará cualquier vértice directamente a cualquier otro vértice, moviendo también la mayoría o todos los otros vértices pero dejando como máximo otros 6 vértices fijos (los vértices que el plano central fijo interseca). El vértice se mueve a lo largo de un círculo máximo en el plano invariante de rotación entre vértices adyacentes de un gran decágono, un gran hexágono, un gran cuadrado o un gran digón , ^[au] y el plano fijo completamente ortogonal interseca 0 vértices (un 30-gono), ^[an] 2 vértices (un digón), 4 vértices (un cuadrado) o 6 vértices (un hexágono) respectivamente. Dos celdas 24 no disjuntas están relacionadas por una rotación simple a través de ⁠𝜋/5⁠ del plano central del dígono completamente ortogonal a su plano central hexagonal común. En esta rotación simple, el hexágono no se mueve. Las dos celdas de 24 no disjuntas también están relacionadas por una rotación isoclínica en la que el plano hexagonal compartido sí se mueve. ^[dg]
113. Cualquier rotación isoclínica en un plano invariante decagonal es una rotación isoclínica en 24 planos invariantes: 12 planos decagonales paralelos de Clifford, ^[cy] y los 12 planos de 30 gones paralelos de Clifford completamente ortogonales a cada uno de esos planos decagonales. ^[an] Como los planos invariantes rotan en dos direcciones completamente ortogonales a la vez, ^[bf] todos los puntos en los planos se mueven con ellos (permanecen en sus planos y rotan con ellos), describiendo isoclinas helicoidales ^[ao] a través del 4-espacio. Nótese, sin embargo, que en una fibración decagonal discreta de las 600 celdas (donde 120 vértices son los únicos puntos considerados), los 12 planos de 30 gones no contienen puntos.
114. Nótese la aparente incongruencia de los hexágonos giratorios por  ⁠𝜋/5⁠ , ya que sólo sus vértices opuestos son múltiplos enteros de ⁠𝜋/5⁠ separados. Sin embargo, recuerda que los vértices de 600 celdas que están separados por una arista de hexágono están separados exactamente por dos aristas de decágono y dos celdas tetraédricas (una bipirámide triangular). Los hexágonos tienen sus propias 10 fibraciones discretas y anillos de celdas, no paralelas de Clifford a las fibraciones decagonales sino también por cincos ^[k] en que cinco celdas de 24 se encuentran en cada vértice, cada par comparte un hexágono. ^[i] Cada hexágono gira de manera no invariable por ⁠𝜋/5⁠ en una rotación isoclínica hexagonal entre 24 celdas no disjuntas . ^[dg] Por el contrario, en todas las rotaciones isoclínicas ⁠𝜋/5⁠ en planos invariantes decagonales, todos los vértices viajan a lo largo de isoclinas ^[ao] que siguen los bordes de los hexágonos .
115. Cada isoclina no tiene quiralidad inherente, pero puede actuar como isoclina izquierda o derecha; es compartida por una rotación izquierda distinta y una rotación derecha distinta de diferentes fibraciones.
116. Las relaciones análogas entre tres tipos de rotaciones isoclínicas {2p}, en fibrados paralelos de Clifford de {4}, {6} o {10} planos invariantes de grandes polígonos respectivamente, están en el corazón de la compleja relación anidada entre los 4-politopos convexos regulares. ^[a] En las rotaciones de √ 1 hexágono {6} características de las 24 celdas, las cuerdas isoclinas (aristas del poligrama) son simplemente √ 3 cuerdas del gran hexágono, por lo que la simple rotación del hexágono {6} y la rotación isoclina del hexagrama {6/2} ambas rotan círculos de 6 vértices. La isoclina del hexagrama, un tipo especial de gran círculo, tiene una circunferencia de 4𝝅 en comparación con el gran círculo del hexágono de 2𝝅. ^[dq] El plano central invariante completamente ortogonal a cada {6} gran hexágono es un {2} gran dígono, ^[au] por lo que una rotación isoclínica {6} de hexagramas es también una {2} rotación de ejes . ^[dh] En las √ 2 rotaciones cuadradas {4} características del poligrama de 16 celdas, el poligrama isoclina es un octagrama , y ​​las cuerdas de la isoclina son sus √ 2 aristas y sus √ 4 diámetros, por lo que la isoclina es un círculo de circunferencia 4𝝅. En una rotación isoclínica, los ocho vértices del octagrama {8/3} cambian de lugar, y cada uno realiza una revolución completa de 720° mientras la isoclina gira tres veces alrededor de la 3-esfera. El plano central invariante completamente ortogonal a cada gran cuadrado {4} es otro gran cuadrado {4} √ 4 distante, por lo que una rotación de cuadrados hacia la derecha {4} es también una rotación de cuadrados hacia la izquierda {4}. El politopo dual de 16 celdas, el teseracto de 8 celdas, hereda las mismas rotaciones simples {4} e isoclínicas {8/3}, pero su rotación isoclínica característica tiene lugar en planos invariantes completamente ortogonales que contienen un gran rectángulo {4} o un gran digón {2} (de su sucesor, el de 24 celdas). En la celda de 8, se trata de una rotación de √ 1 × √ 3 grandes rectángulos, y también de una rotación de √ 4 ejes, pero es la misma rotación isoclínica que la rotación característica de la celda de 24 de {6} grandes hexágonos (en los que están inscritos los grandes rectángulos), como consecuencia de la circunstancia única de que la celda de 8 y la de 24 tienen la misma longitud de arista . En las √ 0,𝚫 rotaciones de decágono {10} características de la celda de 600, las cuerdas isoclinas son√ 1 aristas del hexágono , el poligrama isoclino es un pentadecagrama, y ​​la isoclina tiene una circunferencia de 5𝝅. ^[cn] La rotación del pentadecagrama isoclino {15/2} hace rotar un círculo de {15} vértices en el mismo tiempo que la rotación simple del decágono de {10} vértices. El plano central invariante completamente ortogonal a cada {10} gran decágono es un {0} gran 0-gono, ^[al] por lo que una rotación {10} de decágonos es también una rotación {0} de planos que no contienen vértices. El politopo dual de 600 celdas, el de 120 celdas, hereda las mismas rotaciones simples {10} e isoclina {15/2}, pero su rotación isoclínica característica tiene lugar en planos invariantes completamente ortogonales que contienen {2} grandes digones (de su sucesor, el de 5 celdas). ^[dr] Se trata de una rotación de grandes hexágonos irregulares {6} con dos longitudes de aristas alternas (análogos a los grandes rectángulos del teseracto), donde las dos aristas de longitudes diferentes son tres aristas de 120 celdas y tres aristas de 5 celdas .
117. Cada fibración discreta de un 4-politopo convexo regular se caracteriza por un par único de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha y un fibrado único de polígonos de círculo máximo {2p} (0 ≤ p ≤ 5) en los planos invariantes de ese par de rotaciones. Cada rotación distinta tiene un fibrado único de polígonos izquierdos (o derechos) {p} inscritos en los polígonos {2p}, y un fibrado único de poligramas sesgados {2p} que son sus isoclinas izquierdas (o derechas) discretas. Los polígonos {p} entrelazan los poligramas {2p} en un fibrado, y viceversa.
118. Hay seis fibraciones decagonales congruentes de las 600 celdas. Elegir una fibración decagonal significa elegir un fibrado de 12 grandes círculos decagonales paralelos de Clifford directamente congruentes, y un conjunto disjunto de celdas de 20 anillos de 30 celdas directamente congruentes que teselan las 600 celdas. La fibración y sus grandes círculos no son quirales, pero tiene expresiones izquierda y derecha distintas en un par de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha. En la rotación derecha (izquierda) los vértices se mueven a lo largo de un fibrado de fibras de Hopf derecho (izquierda) de isoclinas paralelas de Clifford e intersecan un fibrado de fibras de Hopf derecho (izquierda) de grandes pentágonos paralelos de Clifford. Los anillos de 30 celdas son los únicos objetos quirales, aparte de los fibrados de isoclinas o pentágonos. ^[82] Un fibrado de pentágonos derecho (izquierda) contiene 12 grandes pentágonos, inscritos en los 12 grandes decágonos paralelos de Clifford. Un haz isoclino derecho (izquierdo) contiene 20 pentadecagramas paralelos de Clifford, uno en cada anillo de 30 células.
119. La composición de dos rotaciones simples de 60° en un par de planos invariantes completamente ortogonales es una rotación isoclínica de 60° en cuatro pares de planos invariantes completamente ortogonales. ^[cp] Por lo tanto, la rotación isoclínica es el compuesto de cuatro rotaciones simples, y los 24 vértices giran en planos hexagonales invariantes, frente a solo 6 vértices en una rotación simple.
120. El modelo de 24 celdas hace rotar hexágonos en hexagramas , mientras que el modelo de 600 celdas hace rotar hexágonos en decagramas, pero estos son casos discretos del mismo tipo de rotación isoclínica en planos invariantes de hexágonos. En particular, sus isoclinas congruentes son todas exactamente el mismo círculo geodésico de circunferencia 4𝝅. ^[dx]
121. Una rotación isoclínica de 60° son dos rotaciones simples de 60° al mismo tiempo. ^[do] Mueve todos los vértices 120° al mismo tiempo, en varias direcciones diferentes. Seis incrementos rotacionales diagonales sucesivos, de 60°x60° cada uno, mueven cada vértice a través de 720° en un bucle doble de Möbius llamado isoclina , dos veces alrededor de la celda de 24 y de regreso a su punto de origen, en el mismo tiempo (seis unidades rotacionales) que tomaría una rotación simple para llevar al vértice una vez alrededor de la celda de 24 en un círculo máximo ordinario. La isoclina de 4𝝅 de bucle doble helicoidal es simplemente otro tipo de círculo completo simple , del mismo intervalo de tiempo y período (6 cuerdas) que el círculo máximo simple. La isoclina es un círculo verdadero, ^[ch] tan perfectamente redondo y geodésico como el simple círculo máximo, aunque sus cuerdas son √ 3 más largas, su circunferencia es 4𝝅 en lugar de 2𝝅, ^[dp] gira a través de cuatro dimensiones en lugar de dos, ^[cw] y actúa en dos formas quirales (izquierda y derecha) aunque todos esos círculos de la misma circunferencia son directamente congruentes. ^[cv] Sin embargo, para evitar confusiones siempre nos referimos a ella como una isoclina y reservamos el término círculo máximo para un círculo máximo ordinario en el plano.
122. 120 celdas regulares de 5 están inscritas en la celda de 120. La celda de 5 tiene planos centrales de dígono , de los cuales ninguno es ortogonal. Tiene 10 planos centrales de dígono, donde cada par de vértices es una arista, no un eje. La celda de 5 es autodual, por lo que por reciprocidad la celda de 120 puede inscribirse en una celda de 5 regular de radio mayor. Por lo tanto, la secuencia finita de 6 politopos de 4 regulares ^[a] anidados como muñecas rusas también puede verse como una secuencia infinita.
123. En el anillo de 30 celdas, cada isoclina va desde un vértice hasta un vértice no adyacente en la tercera capa de vértices que la rodea. Se pueden ver otros tres vértices entre estos dos vértices en el anillo de 30 celdas, dos adyacentes en la primera capa circundante y uno en la segunda capa circundante.
124. La quiralidad y la paridad par/impar son sabores distintos. Las cosas que tienen paridad de coordenadas par/impar son blancas o negras: los cuadrados del tablero de ajedrez , las celdas , los vértices y las isoclinas que los conectan por rotación isoclínica. ^[ao] Todo lo demás es blanco y negro: por ejemplo, pares de celdas adyacentes unidas por caras , o aristas y cuerdas que son negras en un extremo y blancas en el otro. (Dado que es difícil colorear puntos y líneas de blanco, a veces usamos negro y rojo en lugar de blanco y negro. En particular, las cuerdas isoclinas a veces se muestran como líneas discontinuas negras o rojas ). Las cosas que tienen quiralidad vienen en formas enantiomorfas derechas o izquierdas : rotaciones isoclínicas y objetos quirales que incluyen ortosquemas característicos , pares de planos de grandes polígonos paralelos de Clifford , ^[85] haces de fibras de círculos paralelos de Clifford (ya sea que los círculos en sí mismos sean quirales o no) y los anillos celulares quirales que se encuentran en las celdas de 16 y 600 celdas. Las cosas que no tienen ni una paridad par/impar ni una quiralidad incluyen todos los bordes y caras (compartidos por celdas blancas y negras), polígonos de grandes círculos y sus fibraciones , y anillos celulares no quirales como los anillos celulares de octaedros de 24 celdas . Algunas cosas tienen tanto una paridad par/impar como una quiralidad: las isoclinas son negras o blancas porque conectan vértices que son todos del mismo color, y actúan como objetos quirales izquierdos o derechos cuando son caminos de vértices en una rotación izquierda o derecha, aunque no tienen quiralidad inherente en sí mismas. ^[dk] Cada rotación izquierda (o derecha) atraviesa un número igual de isoclinas blancas y negras. ^[cv]
125. Las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha dividen las 600 celdas (y 120 vértices) en blanco y negro de la misma manera. ^[17] Las rotaciones de todas las fibraciones del mismo tipo de gran polígono utilizan el mismo tablero de ajedrez, que es una convención del sistema de coordenadas basado en coordenadas pares e impares. ^[84] La izquierda y la derecha no son colores: en una rotación izquierda (o derecha) la mitad de los vértices móviles son negros, recorriendo isoclinas negras a través de vértices negros, y la otra mitad son vértices blancos que rotan entre sí. ^[dt]
126. Cada eje del anillo de 600 celdas toca una isoclina izquierda de cada fibración en un extremo y una isoclina derecha de la fibración en el otro extremo. La isoclina axial de cada anillo de 30 celdas pasa por solo uno de los dos vértices antípodas de cada uno de los 30 (de 60) ejes de 600 celdas que toca el anillo de 30 celdas de 30 vértices de la isoclina (en un solo extremo).
127. La composición de dos rotaciones simples de 36° en un par de planos invariantes completamente ortogonales es una rotación isoclínica de 36° en doce pares de planos invariantes completamente ortogonales. ^[cp] Por lo tanto, la rotación isoclínica es el compuesto de doce rotaciones simples, y los 120 vértices giran en planos decágonos invariantes, frente a solo 10 vértices en una rotación simple.
128. Todas las isoclinas de 3-esferas ^[ao] de la misma circunferencia son círculos directamente congruentes. ^[ct] Un círculo máximo ordinario es una isoclina de circunferencia 2𝝅; las rotaciones simples tienen lugar en isoclinas de 2𝝅. Las rotaciones dobles pueden tener isoclinas de otras circunferencias distintas a la circunferencia. La rotación característica de un 4-politopo regular es la rotación isoclínica en la que los planos centrales que contienen sus aristas son planos de rotación invariantes. La rotación de arista de 16 y 24 celdas en isoclinas de circunferencia 4𝝅. La rotación de arista de 600 celdas en isoclinas de circunferencia 5𝝅. ${\displaystyle 2\pi r}$
129. icosagrama helicoidal {20/6}=2{10/3} de 600 celdas es un compuesto del hexagrama helicoidal {6/2} de 24 celdas, que está inscrito en él de la misma manera que el de 24 celdas está inscrito en el de 600 celdas.
130. La celda de 16 hace rotar cuadrados en {8/3} octagramos , la de 24 celdas hace rotar cuadrados en {24/9}=3{8/3} octagramos y la de 600 hace rotar cuadrados en {24/5} 24-gramos, pero estos son casos discretos del mismo tipo de rotación isoclínica en grandes planos invariantes cuadrados. En particular, sus isoclinas congruentes son todas exactamente el mismo círculo geodésico de circunferencia 4𝝅. Tienen diferentes poligramas de isoclinas solo porque la curva isoclina interseca más vértices en la celda de 600 que en la de 24 celdas o en la de 16 celdas. El 24-gramo helicoidal {24/5} de 600 celdas es un compuesto del octagrama helicoidal {24/9} de 24 celdas, que está inscrito dentro del 600-gramo de la misma manera que el octagrama helicoidal {8/3} de 16 celdas está inscrito dentro del 24-gramo de la celda.

Citas

1. NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finita , 11.5 Grupos esféricos de Coxeter , p.249
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3. Coxeter 1973, p. 136, §7.8 La enumeración de posibles figuras regulares.
4. Coxeter 1973, pp. 292–293, Tabla I(ii): Los dieciséis politopos regulares { p,q,r } en cuatro dimensiones; una tabla invaluable que proporciona las 20 métricas de cada 4-politopo en unidades de longitud de arista. Deben convertirse algebraicamente para comparar politopos de radio unitario.
5. Coxeter 1973, p. 153, §8.51; "De hecho, los vértices de {3, 3, 5}, cada uno tomado 5 veces, son los vértices de 25 {3, 4, 3}".
6. Coxeter 1973, p. 305, Tabla VII: Compuestos regulares en cuatro dimensiones.
7. Coxeter 1973, págs. 292-293, Tabla I(ii), columna de "600 celdas" ₀ R/l = 2𝝓/2.
8. Coxeter 1973, págs. 156-157, §8.7 Coordenadas cartesianas.
9. Coxeter 1973, pp. 151–153, §8.4 El desaire {3,4,3}.
10. Waegell y Aravind 2009, págs. 3–4, §3.2 Las 75 bases de la configuración de 600 celdas; en la configuración de 600 celdas, los "puntos" y las "líneas" son ejes ("rayos") y 16 celdas ("bases"), respectivamente.
11. Denney y otros 2020.
12. Denney y col. 2020, pág. 438.
13. Zamboj 2021, págs. 10-11, §Coordenadas de Hopf.
14. Coxeter 1973, p. 298, Tabla V: La distribución de vértices de politopos de cuatro dimensiones en secciones sólidas paralelas (§13.1); (iii) Secciones de {3, 3, 5} (arista 2𝜏 ⁻¹ ) que comienzan con un vértice.
15. Oss 1899; van Oss no menciona las distancias de arco entre los vértices de las 600 celdas.
16. Buekenhout y Parker 1998.
17. Dechant 2021, págs. 18-20, §6. El avión Coxeter.
18. Coxeter 1973, p. 298, Tabla V: La distribución de vértices de politopos de cuatro dimensiones en secciones sólidas paralelas (§13.1); (iii) Secciones de {3, 3, 5} (arista 2𝜏 ⁻¹ ) que comienzan con un vértice; ver columna a .
19. Steinbach 1997, p. 23, Figura 3; Steinbach derivó una fórmula que relaciona las diagonales y las longitudes de los bordes de polígonos regulares sucesivos, y la ilustró con un diagrama de "abanico de cuerdas" como el que se muestra aquí.
20. Baez, John (7 de marzo de 2017). «Pi y la proporción áurea». Azimuth . Consultado el 10 de octubre de 2022 .
21. Denney y col. 2020, pág. 434.
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23. Kim y Rote 2016, págs. 8-10, Relaciones con el paralelismo de Clifford.
24. Sadoc 2001, p. 576, §2.4 Discretización de la fibración para el politopo {3, 3, 5}: el eje de tornillo décuple.
25. Waegell & Aravind 2009, p. 5, §3.4. Las 24 celdas: puntos, líneas y configuración de Reye; aquí los "puntos" y las "líneas" de Reye son ejes y hexágonos, respectivamente. Los planos de hexágonos duales no son ortogonales entre sí, solo sus pares de ejes duales. Los pares de hexágonos duales no ocurren en celdas individuales de 24 celdas, solo entre 24 celdas en las 600 celdas.
26. Sadoc 2001, pp. 576–577, §2.4 Discretización de la fibración para el politopo {3, 3, 5}: el eje de tornillo séxtuple.
27. Sadoc 2001, p. 577, §2.4 Discretización de la fibración para el politopo {3, 3, 5}: el eje de tornillo cuádruple.
28. Copher 2019, p. 6, §3.2 Teorema 3.4.
29. Kim & Rote 2016, p. 7, §6 Ángulos entre dos planos en el espacio de cuatro dimensiones; "En cuatro dimensiones (y más), necesitamos dos ángulos para fijar la posición relativa entre dos planos. (De manera más general, los ángulos k se definen entre subespacios de k dimensiones)".
30. Lemmens y Seidel 1973.
31. Mamone, Pileio y Levitt 2010, p. 1433, §4.1; Un punto cartesiano de 4 coordenadas (w, x, y, z) es un vector en el espacio 4D desde (0, 0, 0, 0). El espacio real de cuatro dimensiones es un espacio vectorial: dos vectores cualesquiera pueden sumarse o multiplicarse por un escalar para dar otro vector. Los cuaterniones extienden la estructura vectorial del espacio real 4D al permitir la multiplicación de dos vectores 4D y de acuerdo con ${\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{1}}$ ${\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{2}}$
    $${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}}$$
32. Sadoc 2001, pp. 575–578, §2 Geometría del politopo {3,3,5} en S ₃ ; Sadoc estudió todas las fibraciones de Hopf de las 600 células en conjuntos de {4}, {6} o {10} fibras de gran círculo en diferentes ejes de tornillo, dio sus mapas de Hopf e ilustró completamente los anillos celulares decagonales característicos.
33. Tyrrell y Semple 1971, págs. 6–7, §4. Planos isoclínicos en el espacio euclidiano E ₄ .
34. Sadoc 2001, pp. 577–578, §2.5 La simetría 30/11: un ejemplo de otro tipo de simetrías.
35. Coxeter 1973, p. 211, §11.x Observaciones históricas: "El grupo finito [3 ^{2, 2, 1} ] es isomorfo con el grupo de permutaciones que preservan la incidencia de las 27 líneas en la superficie cúbica general. (Para la descripción más antigua de estas líneas, consulte Schlafli 2.)".
36. Schläfli 1858; este artículo de Schläfli que describe la configuración doble seis fue uno de los únicos fragmentos de su descubrimiento de los politopos regulares en dimensiones superiores que se publicó durante su vida. ^[35]
37. Coxeter 1973, pp. 141–144, §7. Politopos ordinarios en el espacio superior; §7.x. Observaciones históricas; "Prácticamente todas las ideas de este capítulo... se deben a Schläfli, quien las descubrió antes de 1853, una época en la que Cayley, Grassman y Möbius eran las únicas personas que habían concebido la posibilidad de la geometría en más de tres dimensiones".
38. Coxeter 1970, estudió los anillos celulares en el caso general de su geometría y teoría de grupos , identificando cada anillo celular como un politopo por derecho propio que llena una variedad tridimensional (como la 3-esfera ) con su panal correspondiente . ^[ay] Encontró que los anillos celulares siguen polígonos de Petrie y algunos (pero no todos) anillos celulares y sus panales están torcidos , ocurriendo en formas quirales zurdas y diestras . Específicamente, encontró que los 4-politopos regulares con celdas tetraédricas (5 celdas, 16 celdas, 600 celdas) tienen anillos celulares torcidos, y los otros (cuyas celdas tienen caras opuestas) no. ^[az] Por otra parte, clasificó los anillos celulares según formaran sus panales en el espacio hiperbólico o euclidiano, siendo estos últimos los que se encuentran en los 4-politopos que pueden teselar el espacio 4 por traslación para formar panales euclidianos (16 celdas, 8 celdas, 24 celdas).
39. Banchoff 2013, estudió la descomposición de 4-politopos regulares en panales de toros que forman mosaicos del toro de Clifford , mostró cómo los panales corresponden a fibraciones de Hopf e hizo descomposiciones compuestas de anillos de células meridianas y ecuatoriales con ilustraciones.
40. Sadoc 2001, p. 578, §2.6 El politopo {3, 3, 5}: un conjunto de cuatro hélices.
41. Decantar 2021, §1. Introducción.
42. Zamboj 2021.
43. Sadoc & Charvolin 2009, §1.2 El enfoque del espacio curvo; estudia la orientación helicoidal de las moléculas en estructuras cristalinas y sus empaquetamientos imperfectos ("frustraciones") en el espacio tridimensional. "La frustración, que surge cuando la orientación molecular se transporta a lo largo de los dos caminos [circulares] AB de la figura 1 [hélice], es impuesta por la naturaleza topológica misma del espacio euclidiano R ³ . No ocurriría si las moléculas estuvieran incrustadas en el espacio no euclidiano de la 3-esfera S ³ , o hiperesfera. Este espacio con una curvatura positiva homogénea puede de hecho ser descrito por fibras equidistantes y uniformemente retorcidas, ^[af] a lo largo de las cuales las moléculas pueden alinearse sin ningún conflicto entre compacidad y torsión .... Las fibras de esta fibración de Hopf son grandes círculos de S ³ , cuya familia completa también se llama paralelas de Clifford . Dos de estas fibras son ejes de simetría C _∞ para toda la fibración; cada fibra da una vuelta alrededor de cada eje y gira regularmente al moverse de un eje a otro. ^[bf] Estas fibras construyen una configuración de doble torsión mientras permanecen paralelas, es decir, sin ninguna frustración, en todo el volumen de S ³ . ^[bg] Por lo tanto, pueden utilizarse como modelos para estudiar la condensación de moléculas largas en presencia de una restricción de doble torsión".
44. Coxeter 1973, p. 303, Tabla VI (iii): 𝐈𝐈 = {3,3,5}.
45. Coxeter 1973, p. 153, §8.5 Construcción de Gosset para {3,3,5}.
46. Borovik 2006; "El entorno que dirigió la evolución de nuestro cerebro nunca proporcionó a nuestros antepasados ​​experiencias de cuatro dimensiones... [Sin embargo] nosotros, los humanos, tenemos la suerte de contar con un notable software matemático para el procesamiento de imágenes integrado en nuestros cerebros. Coxeter lo utilizó al máximo y esperaba que el lector lo utilizara... La visualización es una de las técnicas de interiorización más poderosas. Ancla los conceptos e ideas matemáticas en una de las partes más poderosas de nuestro cerebro, el módulo de procesamiento visual. La teoría de Coxeter [de politopos generados por] grupos de reflexión finitos permite un enfoque para su estudio basado en una reducción sistemática de configuraciones geométricas complejas a casos especiales bidimensionales y tridimensionales mucho más simples".
47. Miyazaki 1990; Miyazaki demostró que la envoltura superficial de las 600 celdas se puede realizar arquitectónicamente en nuestro espacio tridimensional ordinario como edificios físicos (domos geodésicos).
48. Coxeter 1973, págs. 50–52, §3.7.
49. Coxeter 1973, pág. 293; 164°29'
50. Coxeter 1973, p. 298, Tabla V: La distribución de vértices de politopos de cuatro dimensiones en secciones sólidas paralelas.
51. Coxeter 1973, pp. 50–52, §3.7: Coordenadas de los vértices de los sólidos regulares y cuasiregulares.
52. Itoh & Nara 2021, §4. Del modelo de 24 celdas al octaedro; "Este artículo aborda el modelo de 24 celdas y ofrece un movimiento de aplanamiento continuo para su esqueleto de 2 [el cuboctaedro], que está relacionado con el Jitterbug de Buckminster Fuller ".
53. Koca et al. 2016, pág. 145, 4. Grupo piritoédrico y poliedros relacionados; ver Tabla 1.
54. Verheyen, HF (1989). "El conjunto completo de transformadores Jitterbug y el análisis de su movimiento". Computers and Mathematics with Applications . 17 (1–3): 203–250. doi : 10.1016/0898-1221(89)90160-0 . MR  0994201.
55. Coxeter 1973, pág. 299, Tabla V: (iv) Secciones simplificadas de {3,3,5} ... comenzando con una celda.
56. Sadoc 2001, págs. 576–577, §2.4 Discretización de la fibración para el politopo {3, 3, 5}; "Procedamos ahora a una descomposición toroidal del politopo {3, 3, 5}".
57. Coxeter 1970, págs. 19-23, §9. El de 120 celdas y el de 600 celdas.
58. Sadoc 2001, pp. 576–577, §2.4 Discretizando la fibración para {3, 3, 5}, Fig. 2. Una columna de simetría quíntuple; en el título (sic) los dodecágonos deberían ser decágonos.
59. Dechant 2021, págs. 20–22, §7. El Gran Antiprisma y H ₂ × H ₂ .
60. Banchoff 1988.
61. Zamboj 2021, págs. 6–12, §2 Antecedentes matemáticos.
62. Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I(ii); 600 células h ₁ h ₂ .
63. Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I(ii); "600 células".
64. Coxeter 1973, p. 139, §7.9 El símplex característico.
65. Coxeter 1973, p. 290, Tabla I(ii); "ángulos diedros".
66. Coxeter 1973, págs. 227−233, §12.7 Un collar de cuentas tetraédricas.
67. Coxeter 1973, págs. 33–38, §3.1 Transformaciones congruentes.
68. Dechant 2017, pp. 410–419, §6. El plano de Coxeter; véase p. 416, Tabla 1. Resumen de las factorizaciones de los versores de Coxeter de los sistemas de raíces 4D; "Los grupos (de reflexión) de Coxeter en el marco de Clifford... ofrecen una prescripción singularmente simple para las reflexiones. A través del teorema de Cartan-Dieudonné, realizar dos reflexiones sucesivamente genera una rotación, que en el álgebra de Clifford se describe mediante un espinor que es simplemente el producto geométrico de los dos vectores que generan las reflexiones".
69. Coxeter 1973, págs. 217–218, §12.2 Transformaciones congruentes.
70. Koca, Al-Ajmi y Ozdes Koca 2011, págs. 986–988, 6. Dual del cañón chato de 24 celdas.
71. Mamone, Pileio y Levitt 2010, págs. 1438-1439, §4.5 4-Politopos convexos regulares; la celda 600 tiene 14 400 operaciones de simetría (rotaciones y reflexiones) como se enumera en la Tabla 2, grupo de simetría 𝛨 ₄ . ^[co]
72. Pérez-Gracia y Thomas 2017.
73. Stillwell 2001, pág. 24.
74. Dorst 2019, p. 44, §1. Círculos de Villarceau; "En matemáticas, el camino que traza el nudo (1, 1) en el toro también se conoce como círculo de Villarceau . Los círculos de Villarceau se presentan generalmente como dos círculos que se intersecan y que son la sección transversal de un toro por un plano bien elegido que lo corta. Al elegir uno de esos círculos y rotarlo alrededor del eje del toro, la familia de círculos resultante se puede utilizar para gobernar el toro. Al anidar toros de manera inteligente, la colección de todos esos círculos forma una fibración de Hopf ... preferimos considerar el círculo de Villarceau como el nudo del toro (1, 1) en lugar de como un corte plano".
75. Mamone, Pileio y Levitt 2010, §4.5 4-Politopos convexos regulares, Tabla 2.
76. Waegell y Aravind 2009, págs. 2–5, §3. Las 600 celdas.
77. Kim & Rote 2016, págs. 13–14, §8.2 Equivalencia de una familia invariante y un haz de Hopf.
78. Perez-Gracia & Thomas 2017, pp. 12−13, §5. Un mapeo útil.
79. Pérez-Gracia & Thomas 2017, pp. 2−3, §2. Rotaciones isoclínicas.
80. Kim y Rote 2016, pág. 12-16, §8 La construcción de fibraciones de Hopf; ver §8.3.
81. Pérez-Gracia y Thomas 2017, §1. Introducción; "Este artículo derivará una descomposición espectral de rotaciones isoclínicas y fórmulas explícitas en álgebra matricial y de Clifford para el cálculo de la factorización [isoclínica] de Cayley". ^[cp]
82. Kim & Rote 2016, p. 14, §8.3 Corolario 9. Cada círculo máximo pertenece a un fibrado de Hopf derecho [(e izquierdo)] único.
83. Kim & Rote 2016, págs. 14-16, §8.3 Propiedades de la fibración de Hopf.
84. Coxeter 1973, p. 156: "...el tablero de ajedrez tiene un análogo n-dimensional".
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86. Tyrrell y Semple 1971, págs. 34–57, Sistemas lineales de paralelos de Clifford.
87. Coxeter 1973, pág. 12, §1.8. Configuraciones.
88. van Ittersum 2020, págs. 80–95, §4.3.
89. Steinbach 1997, pág. 24.
90. Stillwell 2001, págs. 22-23, La esfera de homología de Poincaré.
91. Mebius 2015, p. 1, " El álgebra de cuaterniones es la herramienta por excelencia para el tratamiento de rotaciones tridimensionales y cuatridimensionales (3D y 4D). Obviamente, solo las rotaciones tridimensionales y, por implicación, bidimensionales tienen un significado práctico cotidiano, pero la teoría de rotaciones 4D resulta ofrecer el camino más fácil para la representación de rotaciones tridimensionales mediante cuaterniones".
92. Denney et al. 2020, §2 El etiquetado de H ₄ .
93. Oss 1899, págs. 1–18.
94. Dechant 2021, Resumen; "Todo sistema de raíces 3D permite la construcción de un sistema de raíces 4D correspondiente a través de un 'teorema de inducción'. En este artículo, analizamos el caso icosaédrico de H3 → H4 en detalle y realizamos los cálculos explícitamente. El álgebra de Clifford se utiliza para realizar cálculos teóricos de grupos basados ​​en el teorema del versor y el teorema de Cartan-Dieudonné... arrojando luz sobre los aspectos geométricos del sistema de raíces H4 (las 600 celdas), así como otros politopos relacionados y sus simetrías... incluida la construcción del plano de Coxeter, que se utiliza para visualizar los pares complementarios de politopos invariantes... Por lo tanto, este enfoque constituye una forma más sistemática y general de realizar cálculos relacionados con grupos, en particular grupos de reflexión y sistemas de raíces, en un marco algebraico de Clifford".
95. Grossman, Wendy A.; Sebline, Edouard, eds. (2015), Ecuaciones humanas de Man Ray: un viaje desde las matemáticas hasta Shakespeare , Hatje Cantz. Véase en particular el objeto matemático mo-6.2 , pág. 58; Antonio y Cleopatra , SE-6, pág. 59; el objeto matemático mo-9 , pág. 64; El mercader de Venecia , SE-9, pág. 65, y "El Hexacósicoron", Philip Ordning, pág. 96.
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Referencias

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External links

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• Klitzing, Richard. "4D uniform polytopes (polychora) x3o3o5o - ex".
• Der 600-Zeller (600-cell) Marco Möller's Regular polytopes in R⁴ (German)
• The 600-Cell Vertex centered expansion of the 600-cell