3 esferas

Proyección estereográfica de los paralelos (rojo), meridianos (azul) e hipermeridianos (verde) de la hiperesfera. Debido a que esta proyección es conforme , las curvas se cruzan entre sí ortogonalmente (en los puntos amarillos) como en 4D. Todas las curvas son círculos: las curvas que se cruzan con ⟨0,0,0,1⟩ tienen un radio infinito (= línea recta). En esta imagen, todo el espacio 3D mapea la superficie de la hiperesfera, mientras que en la siguiente imagen el espacio 3D contenía la sombra de la hiperesfera en masa.

En matemáticas , una 3 esferas , gloma o hiperesfera es un análogo de una esfera de dimensiones superiores . Puede estar incrustado en un espacio euclidiano de 4 dimensiones como un conjunto de puntos equidistantes de un punto central fijo. De manera análoga a cómo el límite de una pelota en tres dimensiones es una esfera ordinaria (o 2 esferas, una superficie bidimensional ), el límite de una pelota en cuatro dimensiones es una 3 esferas (un objeto con tres dimensiones ). Una 3-esfera es un ejemplo de una 3-variedad y una n -esfera .

Definición

En coordenadas , una esfera de 3 con centro $(C 0, C 1, C 2, C 3)$ y radio $r$ es el conjunto de todos los puntos $(x 0, x 1, x 2, x 3)$ en 4 dimensiones reales. espacio ( $R 4$ ) tal que

\sum _{i=0}^{3}(x_{i}-C_{i})^{2}=(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.

Las 3 esferas centradas en el origen con radio 1 se denominan 3 esferas unitarias y generalmente se denotan como $S 3$ :

S^{3}=\left\{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{4}:x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}.

A menudo es conveniente considerar $R 4$ como el espacio con 2 dimensiones complejas ( $C 2$ ) o los cuaterniones ( $H$ ). La unidad de 3 esferas viene dada por

S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}

S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\right\}.

Esta descripción como cuaterniones de norma uno identifica las 3 esferas con los versores en el anillo de división de cuaterniones . Así como el círculo unitario es importante para las coordenadas polares planas , las 3 esferas son importantes en la visión polar del 4 espacio involucrado en la multiplicación de cuaterniones. Véase descomposición polar de un cuaternión para obtener detalles de este desarrollo de las tres esferas. Esta visión de las 3 esferas es la base para el estudio del espacio elíptico desarrollado por Georges Lemaître . ^[1]

Propiedades

Propiedades elementales

El volumen superficial tridimensional de una esfera tridimensional de radio $r$ es

SV=2\pi ^{2}r^{3}\,

mientras que el hipervolumen de 4 dimensiones (el contenido de la región de 4 dimensiones delimitada por la esfera de 3) es

H={\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}.

Cada intersección no vacía de una 3 esferas con un hiperplano tridimensional es una 2 esferas (a menos que el hiperplano sea tangente a las 3 esferas, en cuyo caso la intersección es un solo punto). A medida que una 3 esferas se mueve a través de un hiperplano tridimensional determinado, la intersección comienza como un punto, luego se convierte en una 2 esferas en crecimiento que alcanza su tamaño máximo cuando el hiperplano atraviesa el "ecuador" de las 3 esferas. Luego, la 2 esferas se reduce nuevamente a un solo punto cuando la 3 esferas abandona el hiperplano.

En un hiperplano tridimensional dado, una 3 esferas puede girar alrededor de un "plano ecuatorial" (análogo a una 2 esferas que gira alrededor de un eje central), en cuyo caso parece ser una 2 esferas cuyo tamaño es constante.

Propiedades topológicas

Una triesfera es una variedad tridimensional compacta , conectada y sin límites. También está simplemente conectado . Lo que esto significa, en el sentido amplio, es que cualquier bucle o camino circular en las 3 esferas se puede reducir continuamente hasta un punto sin salir de las 3 esferas. La conjetura de Poincaré , probada en 2003 por Grigori Perelman , establece que la 3 esferas es la única variedad tridimensional (hasta el homeomorfismo ) con estas propiedades.

Las 3 esferas son homeomorfas a la compactación de un punto de $R 3$ . En general, cualquier espacio topológico que sea homeomorfo a las 3 esferas se denomina 3 esferas topológicas .

Los grupos de homología de las 3 esferas son los siguientes: $H 0 (S 3, Z)$ y $H 3 (S 3, Z)$ son ambos cíclicos infinitos , mientras que $H i (S 3, Z) = {}$ para todos los demás índices. $i$ . Cualquier espacio topológico con estos grupos de homología se conoce como homología de 3 esferas . Inicialmente , Poincaré conjeturó que todas las 3-esferas de homología son homeomorfas a $S 3$ , pero luego él mismo construyó una no homeomorfa, ahora conocida como esfera de homología de Poincaré . Ahora se sabe que existen infinitas esferas de homología. Por ejemplo, un relleno de Dehn con pendiente. $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/norte$ en cualquier nudo de las 3 esferas se obtiene una esfera de homología; Por lo general, estos no son homeomórficos con respecto a las 3 esferas.

En cuanto a los grupos de homotopía , tenemos $π 1 (S 3) = π 2 (S 3) = {}$ y $π 3 (S 3)$ es cíclico infinito. Los grupos de homotopía superior ( $k \geq 4$ ) son todos abelianos finitos pero, por lo demás, no siguen ningún patrón discernible. Para obtener más información, consulte grupos de esferas de homotopía .

Propiedades geométricas

La 3 esferas es naturalmente una variedad suave ; de hecho, una subvariedad integrada cerrada de $R 4$ . La métrica euclidiana en $R 4$ induce una métrica en las 3 esferas dándole la estructura de una variedad de Riemann . Como ocurre con todas las esferas, las 3 esferas tienen una curvatura seccional positiva constante igual a $1 / r 2$ donde $r$ es el radio.

Gran parte de la geometría interesante de las 3 esferas surge del hecho de que las 3 esferas tienen una estructura de grupo de Lie natural dada por la multiplicación de cuaterniones (consulte la sección siguiente sobre estructura de grupo). Las únicas otras esferas con tal estructura son la esfera 0 y la esfera 1 (ver grupo de círculos ).

A diferencia de las 2 esferas, las 3 esferas admiten campos vectoriales que no desaparecen ( secciones de su haz tangente ). Incluso se pueden encontrar tres campos vectoriales linealmente independientes y que no desaparecen. Estos pueden considerarse como cualquier campo vectorial invariante a la izquierda que forme una base para el álgebra de Lie de las 3 esferas. Esto implica que las 3 esferas son paralelizables . De ello se deduce que el paquete tangente de las 3 esferas es trivial . Para una discusión general sobre el número de campos vectoriales lineales independientes en una $n$ -esfera, consulte el artículo campos vectoriales en esferas .

Hay una acción interesante del grupo circular $T$ sobre $S 3$ que le da a las 3 esferas la estructura de un haz circular principal conocido como haz de Hopf . Si uno piensa en $S 3$ como un subconjunto de $C 2$ , la acción viene dada por

(z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {T}

El espacio orbital de esta acción es homeomorfo al de dos esferas $S 2$ . Dado que $S 3$ no es homeomorfo a $S 2 \times S 1$ , el paquete de Hopf no es trivial.

Construcción topológica

Hay varias construcciones bien conocidas de las tres esferas. Aquí describimos el pegado de un par de tres bolas y luego la compactación en un punto.

Pegado

Se puede construir topológicamente una 3 esferas " pegando " los límites de un par de 3 esferas . El límite de una bola de 3 es una de 2 esferas, y estas dos 2 esferas deben identificarse. Es decir, imagine un par de 3 bolas del mismo tamaño, luego superpóngalas de modo que sus límites de 2 esferas coincidan y deje que los pares de puntos coincidentes en el par de 2 esferas sean idénticamente equivalentes entre sí. En analogía con el caso de las 2 esferas (ver más abajo), la superficie de pegado se llama esfera ecuatorial.

Tenga en cuenta que los interiores de las 3 bolas no están pegados entre sí. Una forma de pensar en la cuarta dimensión es como una función continua de valor real de las coordenadas tridimensionales de la bola 3, quizás considerada como "temperatura". Tomamos que la "temperatura" es cero a lo largo de las 2 esferas que se pegan y dejamos que una de las 3 bolas esté "caliente" y que la otra esté "fría". La bola 3 "caliente" podría considerarse como el "hemisferio superior" y la bola 3 "fría" podría considerarse el "hemisferio inferior". La temperatura es más alta/más baja en los centros de las dos bolas 3.

Esta construcción es análoga a la construcción de una 2 esferas, realizada pegando los límites de un par de discos. Un disco tiene 2 bolas y el límite de un disco es un círculo (una 1 esfera). Sea un par de discos del mismo diámetro. Superpóngalos y pegue los puntos correspondientes en sus límites. De nuevo podemos pensar en la tercera dimensión como temperatura. Del mismo modo, podemos inflar las 2 esferas, moviendo el par de discos para convertirse en los hemisferios norte y sur.

Compactación en un punto

Después de eliminar un solo punto de la 2 esfera, lo que queda es homeomorfo al plano euclidiano. De la misma manera, eliminar un solo punto de las 3 esferas produce un espacio tridimensional. Una forma extremadamente útil de ver esto es mediante proyección estereográfica . Primero describimos la versión de dimensiones inferiores.

Apoye el polo sur de una unidad de 2 esferas en el plano $xy$ en tres espacios. Mapeamos un punto $P$ de la esfera (menos el polo norte $N$ ) al plano enviando $P$ a la intersección de la línea $NP$ con el plano. La proyección estereográfica de una triple esfera (nuevamente eliminando el polo norte) se asigna a tres espacios de la misma manera. (Observe que, dado que la proyección estereográfica es conforme , las esferas redondas se envían a esferas redondas o a planos).

Una forma algo diferente de pensar en la compactificación de un punto es mediante el mapa exponencial . Volviendo a nuestra imagen de la unidad de dos esferas ubicada en el plano euclidiano: considere una geodésica en el plano, basada en el origen, y mapee esto a una geodésica en las dos esferas de la misma longitud, basada en el polo sur. Según este mapa, todos los puntos del círculo de radio $π$ se envían al polo norte. Dado que el disco unitario abierto es homeomorfo al plano euclidiano, se trata nuevamente de una compactación de un punto.

El mapa exponencial de 3 esferas se construye de manera similar; También se puede discutir utilizando el hecho de que las 3 esferas son el grupo de Lie de cuaterniones unitarios.

Sistemas de coordenadas en las 3 esferas.

Las cuatro coordenadas euclidianas para $S 3$ son redundantes ya que están sujetas a la condición de que $x 02 + x 12 + x 22 + x 32 = 1$ . Como variedad tridimensional, uno debería poder parametrizar $S 3$ mediante tres coordenadas, del mismo modo que se puede parametrizar la esfera bidimensional utilizando dos coordenadas (como latitud y longitud ). Debido a la topología no trivial de $S 3$ es imposible encontrar un único conjunto de coordenadas que cubra todo el espacio. Al igual que en el caso de las 2 esferas, se deben utilizar al menos dos mapas de coordenadas . A continuación se dan algunas opciones diferentes de coordenadas.

Coordenadas hiperesféricas

Es conveniente tener algún tipo de coordenadas hiperesféricas en $S 3$ en analogía con las coordenadas esféricas habituales en $S 2$ . Una de esas opciones, de ninguna manera única, es usar $(ψ, θ, φ)$ , donde

{\begin{aligned}x_{0}&=r\cos \psi \\x_{1}&=r\sin \psi \cos \theta \\x_{2}&=r\sin \psi \sin \theta \cos \varphi \\x_{3}&=r\sin \psi \sin \theta \sin \varphi \end{aligned}}

donde $ψ$ y $θ$ abarcan el rango de 0 a $π$ , y $φ$ abarca el rango de 0 a 2 $π$ . Tenga en cuenta que, para cualquier valor fijo de $ψ$ , $θ$ y $φ$ parametrizan una 2 esferas de radio $r sen ψ$ , excepto en los casos degenerados, cuando $ψ$ es igual a 0 o $π$ , en cuyo caso describen un punto.

La métrica redonda de las 3 esferas en estas coordenadas viene dada por ^{[ cita necesaria ]}

ds^{2}=r^{2}\left[d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right]

y el volumen se forma por

dV=r^{3}\left(\sin ^{2}\psi \,\sin \theta \right)\,d\psi \wedge d\theta \wedge d\varphi .

Estas coordenadas tienen una elegante descripción en términos de cuaterniones . Cualquier cuaternión unitario $q$ se puede escribir como versor :

q=e^{\tau \psi }=\cos \psi +\tau \sin \psi

donde $τ$ es un cuaternión imaginario unitario ; es decir, un cuaternión que satisface $τ 2 = -1$ . Este es el análogo cuaterniónico de la fórmula de Euler . Ahora bien, todos los cuaterniones imaginarios unitarios se encuentran en la unidad de 2 esferas en $Im H$ , por lo que cualquier $τ$ puede escribirse:

\tau =(\cos \theta )i+(\sin \theta \cos \varphi )j+(\sin \theta \sin \varphi )k

Con $τ$ en esta forma, el cuaternión unitario $q$ viene dado por

q=e^{\tau \psi }=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k

donde $x 0,1,2,3$ son los anteriores.

Cuando $q$ se usa para describir rotaciones espaciales (cf. cuaterniones y rotaciones espaciales ), describe una rotación alrededor de $τ$ a través de un ángulo de $2 ψ$ .

Coordenadas de Hopf

Para radio unitario, otra elección de coordenadas hiperesféricas, $(η, ξ 1, ξ 2)$ , hace uso de la incrustación de $S 3$ en $C 2$ . En coordenadas complejas $(z 1, z 2) \in C 2$ escribimos

{\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta .\end{aligned}}

Esto también podría expresarse en $R 4$ como

{\begin{aligned}x_{0}&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\x_{1}&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x_{2}&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\x_{3}&=\sin \xi _{2}\cos \eta .\end{aligned}}

Aquí $η$ recorre el rango de 0 a $π$ /2, y $ξ 1$ y $ξ 2$ pueden tomar cualquier valor entre 0 y 2 $π$ . Estas coordenadas son útiles en la descripción de las 3 esferas como el paquete de Hopf.

S^{1}\to S^{3}\to S^{2}.\,

Para cualquier valor fijo de $η$ entre 0 y $π$ /2, las coordenadas $(ξ 1, ξ 2) parametrizan un$ toro bidimensional . Los anillos de constante $ξ 1$ y $ξ 2$ anteriores forman cuadrículas ortogonales simples en los toros. Ver imagen a la derecha. En los casos degenerados, cuando $η$ es igual a 0 o $π$ /2, estas coordenadas describen un círculo .

La métrica redonda en las 3 esferas en estas coordenadas está dada por

ds^{2}=d\eta ^{2}+\sin ^{2}\eta \,d\xi _{1}^{2}+\cos ^{2}\eta \,d\xi _{2}^{2}

y el volumen se forma por

dV=\sin \eta \cos \eta \,d\eta \wedge d\xi _{1}\wedge d\xi _{2}.

Para obtener los círculos entrelazados de la fibración de Hopf , haga una simple sustitución en las ecuaciones anteriores ^[2]

{\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,(\xi _{1}+\xi _{2})}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,(\xi _{2}-\xi _{1})}\cos \eta .\end{aligned}}

En este caso , $η y$ $ξ 1$ especifican qué círculo, y $ξ 2$ especifica la posición a lo largo de cada círculo. Un viaje de ida y vuelta (0 a 2 $π$ ) de $ξ 1$ o $ξ 2$ equivale a un viaje de ida y vuelta del toro en las 2 direcciones respectivas.

Coordenadas estereográficas

Otro conjunto conveniente de coordenadas se puede obtener mediante la proyección estereográfica de $S 3$ desde un polo sobre el hiperplano ecuatorial $R 3$ correspondiente . Por ejemplo, si proyectamos desde el punto $(-1, 0, 0, 0)$ podemos escribir un punto $p$ en $S$ $3$ como

p=\left({\frac {1-\|u\|^{2}}{1+\|u\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {u} }{1+\|u\|^{2}}}\right)={\frac {1+\mathbf {u} }{1-\mathbf {u} }}

donde $u = (u 1, u 2, u 3)$ es un vector en $R 3$ y $‖ u ‖ 2 = u 12 + u 22 + u 32$ . En la segunda igualdad anterior, hemos identificado $p$ con un cuaternión unitario y $u = u 1 i + u 2 j + u 3 k$ con un cuaternión puro. (Tenga en cuenta que aquí el numerador y el denominador se conmutan aunque la multiplicación cuaterniónica generalmente no es conmutativa). El inverso de este mapa toma $p = (x 0, x 1, x 2, x 3)$ en $S 3$ para

\mathbf {u} ={\frac {1}{1+x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).

También podríamos haber proyectado desde el punto $(1, 0, 0, 0)$ , en cuyo caso el punto $p$ viene dado por

p=\left({\frac {-1+\|v\|^{2}}{1+\|v\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {v} }{1+\|v\|^{2}}}\right)={\frac {-1+\mathbf {v} }{1+\mathbf {v} }}

donde $v = (v 1, v 2, v 3)$ es otro vector en $R 3$ . El inverso de este mapa lleva $p$ a

\mathbf {v} ={\frac {1}{1-x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).

Tenga en cuenta que las coordenadas $u$ están definidas en todas partes menos $(-1, 0, 0, 0)$ y las coordenadas $v$ $en todas partes menos (1, 0, 0, 0)$ . Esto define un atlas en $S 3$ que consta de dos cartas de coordenadas o "parches", que en conjunto cubren todo $S 3$ . Tenga en cuenta que la función de transición entre estos dos gráficos en su superposición está dada por

\mathbf {v} ={\frac {1}{\|u\|^{2}}}\mathbf {u}

y viceversa.

Estructura de grupo

Cuando se considera como el conjunto de cuaterniones unitarios , $S 3$ hereda una estructura importante, a saber, la de la multiplicación cuaterniónica. Debido a que el conjunto de cuaterniones unitarios es cerrado bajo la multiplicación, $S 3$ adopta la estructura de un grupo . Además, dado que la multiplicación cuaterniónica es suave , $S 3$ puede considerarse como un grupo de Lie real . Es un grupo de Lie compacto y no abeliano de dimensión 3. Cuando se lo considera un grupo de Lie, $S$ $3$ a menudo se denota como $Sp(1)$ o $U(1,$ $H$ $)$ .

Resulta que las únicas esferas que admiten una estructura de grupo de Lie son $S 1$ , considerada como el conjunto de números complejos unitarios , y $S 3$ , el conjunto de cuaterniones unitarios (El caso degenerado $S 0$ que consta de los números reales 1 y −1 también es un grupo de Lie, aunque de dimensión 0). Se podría pensar que $S 7$ , el conjunto de octoniones unitarios , formaría un grupo de Lie, pero esto falla ya que la multiplicación de octoniones no es asociativa . La estructura octoniónica le da al $S 7$ una propiedad importante: la paralelización . Resulta que las únicas esferas que son paralelizables son $S 1$ , $S 3$ y $S 7$ .

Al utilizar una representación matricial de los cuaterniones, $H$ , se obtiene una representación matricial de $S 3$ . Una elección conveniente la dan las matrices de Pauli :

x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.

Este mapa proporciona un homomorfismo de álgebra inyectiva de $H$ al conjunto de matrices complejas de 2 × 2. Tiene la propiedad de que el valor absoluto de un cuaternión $q$ es igual a la raíz cuadrada del determinante de la imagen matricial de $q$ .

El conjunto de cuaterniones unitarios viene dado por matrices de la forma anterior con determinante unitario. Este subgrupo matricial es precisamente el grupo unitario especial $SU(2)$ . Por tanto, $S 3$ como grupo de Lie es isomorfo a $SU(2)$ .

Usando nuestras coordenadas de Hopf $(η, ξ 1, ξ 2)$ podemos escribir cualquier elemento de $SU(2)$ en la forma

{\begin{pmatrix}e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta &e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta \\-e^{-i\,\xi _{2}}\cos \eta &e^{-i\,\xi _{1}}\sin \eta \end{pmatrix}}.

Otra forma de expresar este resultado es si expresamos la representación matricial de un elemento de $SU(2)$ como exponencial de una combinación lineal de las matrices de Pauli. Se ve que un elemento arbitrario $U \in SU(2)$ puede escribirse como

U=\exp \left(\sum _{i=1}^{3}\alpha _{i}J_{i}\right).

^[3]

La condición de que el determinante de $U$ sea +1 implica que los coeficientes $α 1$ están obligados a pertenecer a una 3 esferas.

En literatura

En Flatland de Edwin Abbott Abbott , publicado en 1884, y en Sphereland , una secuela de Flatland de 1965 de Dionys Burger , las 3 esferas se denominan sobreesfera y las 4 esferas se denominan hiperesfera .

En un artículo en el American Journal of Physics , ^[4] Mark A. Peterson describe tres formas diferentes de visualizar 3 esferas y señala un lenguaje en La Divina Comedia que sugiere que Dante veía el Universo de la misma manera; Carlo Rovelli apoya la misma idea. ^[5]

En Art Meets Mathematics in the Fourth Dimension , ^[6] Stephen L. Lipscomb desarrolla el concepto de las dimensiones de la hiperesfera en su relación con el arte, la arquitectura y las matemáticas.

Ver también

Referencias

^ Lemaître, Georges (1948). "Cuaterniones y espacio elíptico". Acta . Academia Pontificia de Ciencias . 12 : 57–78.
^ Banchoff, Thomas. "El toro plano en las tres esferas".
^ Schwichtenberg, Jakob (2015). Física desde la simetría . Cham: Springer. ISBN 978-3-319-19201-7. OCLC 910917227.
^ Peterson, Mark A. (1979). "Dante y las 3 esferas". Revista Estadounidense de Física . 47 (12): 1031-1035. Código bibliográfico : 1979AmJPh..47.1031P. doi :10.1119/1.11968. Archivado desde el original el 23 de febrero de 2013.
^ Rovelli, Carlo (9 de septiembre de 2021). Relatividad general: lo esencial. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-00-901369-7. Consultado el 13 de septiembre de 2021 .
^ Lipscomb, Stephen (2014). El arte se encuentra con las matemáticas en la cuarta dimensión (2 ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-3-319-06254-9. OCLC 893872366.

Otras lecturas

Henderson, David W. (2001). "Capítulo 20: 3 esferas y 3 espacios hiperbólicos". Experimentar la geometría: en espacios euclidianos, esféricos e hiperbólicos (segunda ed.). Prentice Hall. Archivado desde el original el 19 de junio de 2018.
Semanas, Jeffrey R. (1985). "Capítulo 14: La hiperesfera". La forma del espacio: cómo visualizar superficies y variedades tridimensionales. Una advertencia sobre la terminología: Nuestras dos esferas se definen en un espacio tridimensional, donde es el límite de una bola tridimensional. Esta terminología es estándar entre los matemáticos, pero no entre los físicos. Así que no se sorprenda si encuentra personas que llaman a las dos esferas tres esferas.
Zamboj, Michal (8 de enero de 2021). "Construcción sintética de la fibración de Hopf en una doble proyección ortogonal de 4 espacios". Revista de Diseño e Ingeniería Computacional . 8 (3): 836–854. arXiv : 2003.09236v2 . doi : 10.1093/jcde/qwab018.

enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Hiperesfera". MundoMatemático . Nota : este artículo utiliza el esquema de nomenclatura alternativo para esferas en las que una esfera en un espacio de $n$ dimensiones se denomina $n$ -esfera.