En la parte de las matemáticas denominada topología , una superficie es una variedad bidimensional . Algunas superficies surgen como límites de figuras sólidas tridimensionales ; por ejemplo, la esfera es el límite de la bola sólida . Otras superficies surgen como gráficas de funciones de dos variables; Mire la figura de la derecha. Sin embargo, las superficies también se pueden definir de forma abstracta, sin referencia a ningún espacio ambiental . Por ejemplo, la botella de Klein es una superficie que no puede incrustarse en el espacio euclidiano tridimensional .
Las superficies topológicas a veces están equipadas con información adicional, como una métrica de Riemann o una estructura compleja, que las conecta con otras disciplinas dentro de las matemáticas, como la geometría diferencial y el análisis complejo . Las diversas nociones matemáticas de superficie se pueden utilizar para modelar superficies en el mundo físico.
En matemáticas , una superficie es una forma geométrica que se asemeja a un plano deformado . Los ejemplos más familiares surgen como límites de objetos sólidos en el espacio euclidiano tridimensional ordinario R 3 , como las esferas . La definición exacta de una superficie puede depender del contexto. Normalmente, en geometría algebraica , una superficie puede cruzarse a sí misma (y puede tener otras singularidades ), mientras que, en topología y geometría diferencial , puede que no.
Una superficie es un espacio bidimensional ; esto significa que un punto en movimiento sobre una superficie puede moverse en dos direcciones (tiene dos grados de libertad ). En otras palabras, alrededor de casi todos los puntos existe un parche de coordenadas en el que se define un sistema de coordenadas bidimensional . Por ejemplo, la superficie de la Tierra se parece (idealmente) a una esfera bidimensional , y la latitud y la longitud proporcionan coordenadas bidimensionales en ella (excepto en los polos y a lo largo del meridiano 180 ).
El concepto de superficie es ampliamente utilizado en física , ingeniería , infografía y muchas otras disciplinas, principalmente en la representación de las superficies de objetos físicos. Por ejemplo, al analizar las propiedades aerodinámicas de un avión , la consideración central es el flujo de aire a lo largo de su superficie.
Una superficie (topológica) es un espacio topológico en el que cada punto tiene una vecindad abierta homeomorfa a algún subconjunto abierto del plano euclidiano E 2 . Esta vecindad, junto con el homeomorfismo correspondiente, se conoce como gráfico (de coordenadas) . Es a través de este gráfico que la vecindad hereda las coordenadas estándar en el plano euclidiano. Estas coordenadas se conocen como coordenadas locales y estos homeomorfismos nos llevan a describir las superficies como localmente euclidianas .
En la mayoría de los escritos sobre el tema, a menudo se supone, explícita o implícitamente, que, como espacio topológico, una superficie también es no vacía, contable en segundos y Hausdorff . También se suele suponer que las superficies consideradas están conectadas.
El resto de este artículo asumirá, a menos que se especifique lo contrario, que una superficie no está vacía, es de Hausdorff, es contable en segundos y está conectada.
De manera más general, una superficie (topológica) con límite es un espacio topológico de Hausdorff en el que cada punto tiene una vecindad abierta homeomorfa a algún subconjunto abierto del cierre del semiplano superior H 2 en C . Estos homeomorfismos también se conocen como gráficos (de coordenadas) . El límite del semiplano superior es el eje x . Un punto en la superficie mapeado mediante un gráfico en el eje x se denomina punto límite . La colección de tales puntos se conoce como el límite de la superficie que es necesariamente una variedad única, es decir, la unión de curvas cerradas. Por otro lado, un punto asignado por encima del eje x es un punto interior . El conjunto de puntos interiores es el interior de la superficie que siempre está no vacía . El disco cerrado es un ejemplo sencillo de superficie con límite. El límite del disco es un círculo.
El término superficie usado sin calificación se refiere a superficies sin límite. En particular, una superficie con límite vacío es una superficie en el sentido habitual. Una superficie con límite vacío que es compacta se conoce como superficie "cerrada". La esfera bidimensional, el toroide bidimensional y el plano proyectivo real son ejemplos de superficies cerradas.
La banda de Möbius es una superficie en la que la distinción entre sentido horario y antihorario se puede definir localmente, pero no globalmente. En general, se dice que una superficie es orientable si no contiene una copia homeomórfica de la cinta de Möbius; intuitivamente, tiene dos "lados" distintos. Por ejemplo, la esfera y el toro son orientables, mientras que el plano proyectivo real no lo es (porque el plano proyectivo real al que se le quita un punto es homeomorfo a la franja de Möbius abierta).
En geometría diferencial y algebraica , se agrega estructura adicional a la topología de la superficie. Esta estructura añadida puede ser una estructura de suavidad (que permite definir mapas diferenciables hacia y desde la superficie), una métrica de Riemann (que permite definir longitudes y ángulos en la superficie), una estructura compleja (que permite definir formas holomorfas). mapas hacia y desde la superficie, en cuyo caso la superficie se llama superficie de Riemann ), o una estructura algebraica (que permite detectar singularidades , como autointersecciones y cúspides, que no pueden describirse únicamente en términos de la topología subyacente ).
Históricamente, las superficies se definieron inicialmente como subespacios de espacios euclidianos. A menudo, estas superficies eran el lugar geométrico de los ceros de ciertas funciones, generalmente funciones polinómicas. Tal definición consideraba la superficie como parte de un espacio más grande (euclidiano) y, como tal, se denominaba extrínseca .
En la sección anterior, una superficie se define como un espacio topológico con ciertas propiedades, a saber, Hausdorff y localmente euclidiana. Este espacio topológico no se considera un subespacio de otro espacio. En este sentido, la definición dada anteriormente, que es la definición que utilizan los matemáticos en la actualidad, es intrínseca .
No es necesario que una superficie definida como intrínseca satisfaga la restricción adicional de ser un subespacio del espacio euclidiano. Puede parecer posible que algunas superficies definidas intrínsecamente no sean superficies en el sentido extrínseco. Sin embargo, el teorema de incrustación de Whitney afirma que toda superficie puede, de hecho, incrustarse homeomórficamente en el espacio euclidiano, de hecho en E 4 : los enfoques extrínseco e intrínseco resultan ser equivalentes.
De hecho, cualquier superficie compacta que sea orientable o que tenga un límite puede incrustarse en E 3 ; por otro lado, el plano proyectivo real, que es compacto, no orientable y sin límites, no puede integrarse en E 3 (ver Gramain). Las superficies de Steiner , incluida la superficie de Boy , la superficie romana y la cross-cap , son modelos del plano proyectivo real en E 3 , pero sólo la superficie de Boy es una superficie sumergida . Todos estos modelos son singulares en los puntos donde se cruzan.
La esfera cornuda de Alexander es una incrustación patológica bien conocida de las dos esferas en las tres esferas.
La incrustación elegida (si la hay) de una superficie en otro espacio se considera información extrínseca; no es esencial para la superficie misma. Por ejemplo, en E 3 se puede incrustar un toro de forma "estándar" (que parece un panecillo ) o anudado ( ver figura). Los dos tori incrustados son homeomórficos, pero no isotópicos : son topológicamente equivalentes, pero sus incrustaciones no lo son.
La imagen de una función inyectiva continua desde R 2 hasta R n de dimensiones superiores se dice que es una superficie paramétrica . Esta imagen se llama así porque las direcciones x e y del dominio R 2 son 2 variables que parametrizan la imagen. Una superficie paramétrica no tiene por qué ser una superficie topológica. Una superficie de revolución puede verse como un tipo especial de superficie paramétrica.
Si f es una función suave de R 3 a R cuyo gradiente no es cero en ninguna parte, entonces el lugar geométrico de los ceros de f define una superficie, conocida como superficie implícita . Si se elimina la condición de gradiente que no desaparece, entonces el lugar cero puede desarrollar singularidades.
Cada superficie cerrada se puede construir a partir de un polígono orientado con un número par de lados, llamado polígono fundamental de la superficie, mediante la identificación por pares de sus aristas. Por ejemplo, en cada polígono siguiente, al unir los lados con etiquetas coincidentes ( A con A , B con B ), de modo que las flechas apunten en la misma dirección, se obtiene la superficie indicada.
Cualquier polígono fundamental se puede escribir simbólicamente de la siguiente manera. Comience en cualquier vértice y continúe alrededor del perímetro del polígono en cualquier dirección hasta regresar al vértice inicial. Durante este recorrido, registre la etiqueta en cada borde en orden, con un exponente de -1 si el borde apunta en dirección opuesta a la dirección del recorrido. Los cuatro modelos anteriores, cuando se recorren en el sentido de las agujas del reloj comenzando en la parte superior izquierda, producen
Tenga en cuenta que tanto la esfera como el plano proyectivo se pueden realizar como cocientes de 2 góndolos, mientras que el toroide y la botella de Klein requieren un 4 góndolo (cuadrado).
La expresión así derivada de un polígono fundamental de una superficie resulta ser la única relación en una presentación del grupo fundamental de la superficie con las etiquetas de los bordes del polígono como generadores. Esto es una consecuencia del teorema de Seifert-van Kampen .
Pegar bordes de polígonos es un tipo especial de proceso espacial cociente . El concepto de cociente se puede aplicar con mayor generalidad para producir construcciones de superficies nuevas o alternativas. Por ejemplo, el plano proyectivo real se puede obtener como el cociente de la esfera identificando todos los pares de puntos opuestos en la esfera. Otro ejemplo de cociente es la suma conexa.
La suma conexa de dos superficies M y N , denotada M # N , se obtiene quitando un disco de cada una de ellas y pegándolas a lo largo de los componentes límite resultantes. El límite de un disco es un círculo, por lo que estos componentes del límite son círculos. La característica de Euler de M # N es la suma de las características de Euler de los sumandos, menos dos:
La esfera S es un elemento de identidad para la suma conexa, lo que significa que S # M = M . Esto se debe a que al eliminar un disco de la esfera queda un disco, que simplemente reemplaza el disco eliminado de M al pegarlo.
La suma conectada con el toro T también se describe como unir un "mango" al otro sumando M. Si M es orientable, entonces también lo es T # M. La suma conexa es asociativa, por lo que la suma conexa de una colección finita de superficies está bien definida.
La suma conexa de dos planos proyectivos reales, P # P , es la botella de Klein K. La suma conexa del plano proyectivo real y la botella de Klein es homeomorfa a la suma conexa del plano proyectivo real con el toro; en una fórmula, P # K = P # T . Por tanto, la suma conexa de tres planos proyectivos reales es homeomorfa a la suma conexa del plano proyectivo real con el toro. Cualquier suma conexa que involucre un plano proyectivo real no es orientable.
Una superficie cerrada es una superficie compacta y sin límites . Ejemplos de superficies cerradas incluyen la esfera , el toroide y la botella de Klein . Ejemplos de superficies no cerradas incluyen un disco abierto (que es una esfera con un pinchazo ), un cilindro (que es una esfera con dos pinchazos) y la tira de Möbius .
Una superficie incrustada en un espacio tridimensional es cerrada si y sólo si es la frontera de un sólido. Como ocurre con cualquier variedad cerrada , una superficie incrustada en el espacio euclidiano que está cerrada con respecto a la topología euclidiana heredada no es necesariamente una superficie cerrada; por ejemplo, un disco incrustado que contiene su límite es una superficie topológicamente cerrada pero no una superficie cerrada.
El teorema de clasificación de superficies cerradas establece que cualquier superficie cerrada conectada es homeomorfa para algún miembro de una de estas tres familias:
Las superficies de las dos primeras familias son orientables . Es conveniente combinar las dos familias considerando la esfera como la suma conexa de 0 tori. El número g de toros involucrados se llama género de la superficie. La esfera y el toro tienen características de Euler 2 y 0, respectivamente, y en general la característica de Euler de la suma conexa de g toros es 2 − 2 g .
Las superficies de la tercera familia no son orientables. La característica de Euler del plano proyectivo real es 1, y en general la característica de Euler de la suma conexa de k de ellos es 2 − k .
De ello se deduce que una superficie cerrada está determinada, hasta el homeomorfismo, por dos datos: su característica de Euler y si es orientable o no. En otras palabras, la característica y la orientabilidad de Euler clasifican completamente las superficies cerradas hasta el homeomorfismo.
Las superficies cerradas con múltiples componentes conectados se clasifican por la clase de cada uno de sus componentes conectados y, por lo tanto, generalmente se supone que la superficie está conectada.
Al relacionar esta clasificación con sumas conexas, las superficies cerradas hasta el homeomorfismo forman un monoide conmutativo bajo la operación de suma conexa, como de hecho lo hacen las variedades de cualquier dimensión fija. La identidad es la esfera, mientras que el plano proyectivo real y el toro generan este monoide, con una sola relación P # P # P = P # T , que también puede escribirse P # K = P # T , ya que K = P # PAG . Esta relación a veces se conoce comoEl teorema de Dyck segúnWalther von Dyck, quien lo demostró en (Dyck 1888), y la superficie de triple cruz P # P # P se llama en consecuenciaLa superficie de Dyck . [1]
Geométricamente, la suma de conexión con un toro ( # T ) agrega un mango con ambos extremos unidos al mismo lado de la superficie, mientras que la suma de conexión con una botella de Klein ( # K ) agrega un mango con los dos extremos unidos a lados opuestos de una superficie orientable; en presencia de un plano proyectivo ( # P ), la superficie no es orientable (no hay noción de lado), por lo que no hay diferencia entre colocar un toro y colocar una botella de Klein, lo que explica la relación.
La clasificación de las superficies cerradas se conoce desde la década de 1860 [1] y hoy existen numerosas pruebas.
Las pruebas topológicas y combinatorias en general se basan en el difícil resultado de que toda variedad 2 compacta es homeomorfa a un complejo simplicial , lo cual es de interés por derecho propio. La prueba más común de la clasificación es (Seifert y Threlfall 1980), [1] que lleva cada superficie triangulada a una forma estándar. John H. Conway descubrió alrededor de 1992 una prueba simplificada, que evita una forma estándar, a la que llamó "prueba de irrelevancia cero" o "prueba ZIP" y se presenta en (Francis & Weeks 1999).
Una prueba geométrica que produce un resultado geométrico más sólido es el teorema de uniformización . Esto fue probado originalmente sólo para las superficies de Riemann en los años 1880 y 1900 por Felix Klein , Paul Koebe y Henri Poincaré .
Las superficies compactas , posiblemente con límite, son simplemente superficies cerradas con un número finito de agujeros (discos abiertos que se han eliminado). Por lo tanto, una superficie compacta conectada se clasifica por el número de componentes límite y el género de la superficie cerrada correspondiente; de manera equivalente, por el número de componentes límite, la orientabilidad y la característica de Euler. El género de una superficie compacta se define como el género de la superficie cerrada correspondiente. [ cita necesaria ]
Esta clasificación se deriva casi inmediatamente de la clasificación de superficies cerradas: al quitar un disco abierto de una superficie cerrada se obtiene una superficie compacta con un círculo como componente límite, y al eliminar k discos abiertos se obtiene una superficie compacta con k círculos disjuntos como componentes límite. Las ubicaciones precisas de los agujeros son irrelevantes, porque el grupo de homeomorfismo actúa k -transitivamente en cualquier variedad conectada de dimensión al menos 2.
Por el contrario, el límite de una superficie compacta es una variedad 1 cerrada y, por lo tanto, es la unión disjunta de un número finito de círculos; llenar estos círculos con discos (formalmente, tomar el cono ) produce una superficie cerrada.
La superficie orientable compacta única del género g y con k componentes límite a menudo se denota, por ejemplo, en el estudio del grupo de clases de mapeo .
Las superficies no compactas son más difíciles de clasificar. Como ejemplo simple, se puede obtener una superficie no compacta perforando (eliminando un conjunto finito de puntos) de un colector cerrado. Por otro lado, cualquier subconjunto abierto de una superficie compacta es en sí mismo una superficie no compacta; Considere, por ejemplo, el complemento de un conjunto de Cantor en la esfera, también conocido como superficie del árbol de Cantor . Sin embargo, no todas las superficies no compactas son un subconjunto de una superficie compacta; Dos contraejemplos canónicos son la escalera de Jacob y el monstruo del lago Ness , que son superficies no compactas con género infinito.
Una superficie no compacta M tiene un espacio de extremos no vacío E ( M ), que de manera informal describe las formas en que la superficie "va al infinito". El espacio E ( M ) siempre es topológicamente equivalente a un subespacio cerrado del conjunto de Cantor . M puede tener un número finito o contablemente infinito Nh de mangos, así como un número finito o contablemente infinito Np de planos proyectivos . Si tanto N h como N p son finitos, entonces estos dos números, y el tipo topológico de espacio de extremos, clasifican la superficie M hasta equivalencia topológica. Si uno o ambos de N h y N p es infinito, entonces el tipo topológico de M depende no sólo de estos dos números sino también de cómo los infinitos se aproximan al espacio de los extremos. En general, el tipo topológico de M está determinado por los cuatro subespacios de E ( M ) que son puntos límite de infinitos identificadores e infinitos planos proyectivos, puntos límite de solo identificadores, puntos límite de solo planos proyectivos y puntos límite de ninguno de los dos. . [2]
Si se elimina el supuesto de segunda contabilidad de la definición de superficie, existen superficies topológicas (necesariamente no compactas) que no tienen una base contable para su topología. Quizás el ejemplo más simple sea el producto cartesiano de la recta larga con el espacio de los números reales.
Otra superficie que no tiene una base contable para su topología, pero que no requiere el axioma de elección para demostrar su existencia, es la variedad de Prüfer , que puede describirse mediante ecuaciones simples que muestran que es una superficie analítica real . La variedad de Prüfer puede considerarse como el semiplano superior junto con una "lengua" adicional Tx que cuelga de ella directamente debajo del punto ( x ,0), para cada x real .
En 1925, Tibor Radó demostró que todas las superficies de Riemann (es decir, variedades complejas unidimensionales ) son necesariamente contables en segundos ( teorema de Radó ). Por el contrario, si se reemplazan los números reales en la construcción de la superficie de Prüfer por números complejos , se obtiene una variedad compleja bidimensional (que es necesariamente una variedad real de 4 dimensiones) sin base contable.
Los poliedros , como el límite de un cubo , se encuentran entre las primeras superficies que se encuentran en geometría. También es posible definir superficies suaves , en las que cada punto tiene una vecindad difeomorfa a algún conjunto abierto en E 2 . Esta elaboración permite aplicar cálculo a superficies para demostrar muchos resultados.
Dos superficies lisas son difeomorfas si y sólo si son homeomorfas. (El resultado análogo no es válido para variedades de dimensiones superiores). Por lo tanto, las superficies cerradas se clasifican hasta el difeomorfismo por su característica de Euler y su orientabilidad.
Las superficies lisas equipadas con métricas de Riemann son de importancia fundamental en la geometría diferencial . Una métrica de Riemann dota a una superficie de nociones de geodésica , distancia , ángulo y área. También da lugar a la curvatura gaussiana , que describe qué tan curvada o doblada está la superficie en cada punto. La curvatura es una propiedad geométrica rígida, en el sentido de que no se conserva mediante difeomorfismos generales de la superficie. Sin embargo, el famoso teorema de Gauss-Bonnet para superficies cerradas establece que la integral de la curvatura gaussiana K sobre toda la superficie S está determinada por la característica de Euler:
Este resultado ejemplifica la profunda relación entre la geometría y la topología de las superficies (y, en menor medida, las variedades de dimensiones superiores).
Otra forma en que surgen las superficies en geometría es pasando al dominio complejo. Una variedad única compleja es una superficie orientada lisa, también llamada superficie de Riemann . Cualquier curva algebraica compleja no singular vista como una variedad compleja es una superficie de Riemann. De hecho, cualquier superficie compacta orientable se puede realizar como una superficie de Riemann. Así, las superficies compactas de Riemann se caracterizan topológicamente por su género: 0, 1, 2, .... Por otro lado, el género no caracteriza la estructura compleja. Por ejemplo, hay innumerables superficies de Riemann compactas no isomorfas del género 1 (las curvas elípticas ).
Las estructuras complejas en una superficie orientada cerrada corresponden a clases de equivalencia conforme de métricas de Riemann en la superficie. Una versión del teorema de uniformización (debido a Poincaré ) establece que cualquier métrica de Riemann en una superficie cerrada orientada es conformemente equivalente a una métrica esencialmente única de curvatura constante . Esto proporciona un punto de partida para uno de los enfoques de la teoría de Teichmüller , que proporciona una clasificación más fina de las superficies de Riemann que la topológica basada únicamente en la característica de Euler.
Una superficie compleja es una variedad doble compleja y, por tanto, una variedad cuádruple real; no es una superficie en el sentido de este artículo. Tampoco se definen curvas algebraicas sobre campos distintos de los números complejos, ni superficies algebraicas definidas sobre campos distintos de los números reales.
{{citation}}: Mantenimiento CS1: posdata ( enlace ){{citation}}: Enlace externo en |postscript=