topología euclidiana

Estructura topológica del espacio euclidiano.

En matemáticas, y especialmente en topología general , la topología euclidiana es la topología natural inducida en el espacio euclidiano on -dimensional por la métrica euclidiana . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Definición

La norma euclidiana es la función no negativa definida por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \left\|\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)\right\|~:=~{\sqrt {p_{1}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}.}$$

Como todas las normas , induce una métrica canónica definida por La métrica inducida por la norma euclidiana se llama métrica euclidiana o distancia euclidiana y la distancia entre puntos y es ${\displaystyle d(p,q)=\|p-q\|.}$ ${\displaystyle d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$ ${\displaystyle q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)}$

$${\displaystyle d(p,q)~=~\|p-q\|~=~{\sqrt {\left(p_{1}-q_{1}\right)^{2}+\left(p_{2}-q_{2}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{i}-q_{i}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{n}-q_{n}\right)^{2}}}.}$$

En cualquier espacio métrico , las bolas abiertas forman una base para una topología en ese espacio. ^[1] La topología euclidiana es la topología generada por estas bolas. En otras palabras, los conjuntos abiertos de la topología euclidiana están dados por uniones (arbitrarias) de bolas abiertas definidas como para todo real y todo donde es la métrica euclidiana. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B_{r}(p)}$ ${\displaystyle B_{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:d(p,x)<r\right\},}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle d}$

Propiedades

Cuando está dotada de esta topología, la línea real es un espacio T 5 . Dados dos subconjuntos, digamos y de con donde denota el cierre de existen conjuntos abiertos y con y tal que ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\overline {A}}\cap B=A\cap {\overline {B}}=\varnothing ,}$ ${\displaystyle {\overline {A}}}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle S_{A}}$ ${\displaystyle S_{B}}$ ${\displaystyle A\subseteq S_{A}}$ ${\displaystyle B\subseteq S_{B}}$ ${\displaystyle S_{A}\cap S_{B}=\varnothing .}$

Ver también

• Espacio de Hilbert  : tipo de espacio vectorial topológico
• Lista de espacios de Banach
• Lista de topologías  - Lista de topologías concretas y espacios topológicos

Referencias

1. Espacio métrico # Conjuntos abiertos y cerrados. Topología y convergencia 2C
2. Steen, Los Ángeles; Seebach, JA (1995), Contraejemplos en topología , Dover, ISBN 0-486-68735-X