Superficie de revolución

Superficie creada al girar una curva alrededor de un eje.

Una porción de la curva x = 2 + cos( z ) girada alrededor del eje z

Un toroide como un cuadrado giraba alrededor de un eje a lo largo de la diagonal del cuadrado.

Una superficie de revolución es una superficie en el espacio euclidiano creada al girar una curva (la generatriz ) una revolución completa alrededor de un eje de rotación (normalmente no intersecta a la generatriz, excepto en sus puntos finales). ^[1] El volumen delimitado por la superficie creada por esta revolución es el sólido de revolución .

Ejemplos de superficies de revolución generadas por una línea recta son las superficies cilíndricas y cónicas dependiendo de si la línea es paralela o no al eje. Un círculo que se gira alrededor de cualquier diámetro genera una esfera de la cual entonces es un círculo máximo , y si el círculo se gira alrededor de un eje que no corta el interior de un círculo, entonces genera un toro que no se corta a sí mismo ( un toroide anular ).

Propiedades

Las secciones de la superficie de revolución realizadas por planos que pasan por el eje se denominan secciones meridionales . Cualquier sección meridional puede considerarse generatriz en el plano determinado por ella y el eje. ^[2]

Las secciones de la superficie de revolución formadas por planos que son perpendiculares al eje son circunferencias.

Algunos casos especiales de hiperboloides (de una o dos láminas) y paraboloides elípticos son superficies de revolución. Estas pueden identificarse como aquellas superficies cuadráticas cuyas secciones transversales perpendiculares al eje son circulares.

Fórmula de área

Si la curva se describe mediante las funciones paramétricas x ( t ) , y ( t ) , con t cubriendo algún intervalo [ a , b ] , y el eje de revolución es el eje y , entonces el área de la superficie _Ay está dada por la integral

${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,}$

siempre que x ( t ) nunca sea negativo entre los puntos finales a y b . Esta fórmula es el equivalente en cálculo del teorema del centroide de Pappus . ^[3] La cantidad

${\displaystyle {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}}$

Proviene del teorema de Pitágoras y representa un pequeño segmento del arco de la curva, como en la fórmula de la longitud del arco . La cantidad 2π x ( t ) es la trayectoria de (el centroide de) este pequeño segmento, como lo requiere el teorema de Pappus.

Asimismo, cuando el eje de rotación es el eje x y siempre que y ( t ) nunca sea negativo, el área viene dada por ^[4]

${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.}$

Si la curva continua se describe mediante la función y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b , entonces la integral se convierte en

${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx}$

para la revolución alrededor del eje x , y

${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$

para revolución alrededor del eje y (siempre que a ≥ 0 ). Estos provienen de la fórmula anterior. ^[5]

Esto también se puede derivar de la integración multivariable. Si una curva plana está dada por entonces su correspondiente superficie de revolución cuando gira alrededor del eje x tiene coordenadas cartesianas dadas por con . Entonces el área de la superficie está dada por la integral de superficie ${\displaystyle \langle x(t),y(t)\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle }$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$

${\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt}$.

Calcular los rendimientos de las derivadas parciales

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\rangle }$,

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\rangle }$

y calcular los rendimientos del producto cruzado

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\rangle =y\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\rangle }$

donde se utilizó la identidad trigonométrica . Con este producto cruzado obtenemos ${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$

${\displaystyle A_{x}=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\rangle \right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt}$

${\displaystyle =\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt}$

donde se utilizó nuevamente la misma identidad trigonométrica. La derivación de una superficie obtenida al girar alrededor del eje y es similar.

Por ejemplo, la superficie esférica con radio unitario se genera mediante la curva y ( t ) = sin( t ) , x ( t ) = cos( t ) , cuando t oscila sobre [0,π] . Su área es por lo tanto

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}}$

Para el caso de la curva esférica con radio r , y ( x ) = √ r ² − x ² rotada alrededor del eje x

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&{}=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}}$

Una superficie mínima de revolución es la superficie de revolución de la curva entre dos puntos dados que minimiza el área de la superficie . ^[6] Un problema básico en el cálculo de variaciones es encontrar la curva entre dos puntos que produce esta mínima superficie de revolución. ^[6]

Sólo existen dos superficies mínimas de revolución ( superficies de revolución que también son superficies mínimas): el plano y la catenoide . ^[7]

Expresiones de coordenadas

Una superficie de revolución dada al girar una curva descrita por alrededor del eje x puede describirse de manera más simple mediante . Esto produce la parametrización en términos de y como . Si, en cambio, hacemos girar la curva alrededor del eje y, entonces la curva se describe mediante , lo que produce la expresión en términos de los parámetros y . ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y^{2}+z^{2}=f(x)^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (x,f(x)\cos(\theta ),f(x)\sin(\theta ))}$ ${\displaystyle y=f({\sqrt {x^{2}+z^{2}}})}$ ${\displaystyle (x\cos(\theta ),f(x),x\sin(\theta ))}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$

Si x e y se definen en términos de un parámetro , entonces obtenemos una parametrización en términos de y . Si y son funciones de , entonces la superficie de revolución obtenida al hacer girar la curva alrededor del eje x se describe por , y la superficie de revolución obtenida al hacer girar la curva alrededor del eje y se describe por . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (x(t),y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ))}$ ${\displaystyle (x(t)\cos(\theta ),y(t),x(t)\sin(\theta ))}$

Geodésicas

Los meridianos son siempre geodésicas sobre una superficie de revolución. Otras geodésicas se rigen por la relación de Clairaut . ^[8]

toroides

Un toroide generado a partir de un cuadrado.

Una superficie de revolución con un agujero, donde el eje de revolución no cruza la superficie, se llama toroide. ^[9] Por ejemplo, cuando se gira un rectángulo alrededor de un eje paralelo a uno de sus bordes, se produce un anillo hueco de sección cuadrada. Si la figura girada es un círculo , entonces el objeto se llama toroide .

Aplicaciones

El uso de superficies de revolución es esencial en muchos campos de la física y la ingeniería. Cuando ciertos objetos se diseñan digitalmente, se pueden usar revoluciones como estas para determinar el área de la superficie sin tener que medir la longitud y el radio del objeto que se está diseñando.

Ver también

• Superficie del canal , una generalización de una superficie de revolución.
• Cuerno de Gabriel
• helicoide generalizado
• Limón (geometría) , superficie de revolución de un arco circular
• Superficie de Liouville , otra generalización de una superficie de revolución
• Esferoide
• Integral de superficie
• Superficie de traslación (geometría diferencial)

Referencias

1. Error intermedio; Marcas; Elegante. "15-4. Superficies de revolución". Geometría analítica (3ª ed.). pag. 378. LCCN  68015472.
2. Wilson, WA; Tracey, JI (1925), Geometría analítica (edición revisada), DC Heath and Co., p. 227
3. Thomas, George B. "6.7: Área de una superficie de revolución; 6.11: Los teoremas de Pappus". Cálculo (3ª ed.). págs. 206–209, 217–219. LCCN  69016407.
4. Singh, RR (1993). Matemáticas de ingeniería (6 ed.). Tata McGraw-Hill. pag. 6,90. ISBN 0-07-014615-2.
5. Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica (edición alternativa), Prindle, Weber & Schmidt, p. 617, ISBN 0-87150-341-7
6. Weisstein, Eric W. "Superficie mínima de revolución". MundoMatemático .
7. Weisstein, Eric W. "Catenoide". MundoMatemático .
8. Pressley, Andrés. "Capítulo 9 - Geodésicas". Geometría diferencial elemental , 2ª ed., Springer, Londres, 2012, págs. 227–230.
9. Weisstein, Eric W. "Toroide". MundoMatemático .

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Superficie de la revolución". MundoMatemático .
• "Superficie de revolución". Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (en francés).