Sólido de revolución

Tipo de forma tridimensional

Girando una curva. La superficie formada es una superficie de revolución ; encierra un sólido de revolución.

Sólidos de revolución (Mamateteca Ime-Usp)

En geometría , un sólido de revolución es una figura sólida que se obtiene al girar una figura plana alrededor de una línea recta (el eje de revolución ), que no puede cortar a la generatriz (excepto en su límite). La superficie creada por esta revolución y que limita al sólido es la superficie de revolución .

Suponiendo que la curva no cruza el eje, el volumen del sólido es igual a la longitud del círculo descrito por el centroide de la figura multiplicado por el área de la figura ( segundo teorema del centroide de Pappus ).

Un disco representativo es un elemento de volumen tridimensional de un sólido de revolución. El elemento se crea girando un segmento de línea (de longitud w ) alrededor de algún eje (ubicado a r unidades de distancia), de modo que quede encerrado un volumen cilíndrico de π r ² w unidades.

Encontrar el volumen

Dos métodos comunes para encontrar el volumen de un sólido de revolución son el método del disco y el método de integración de la capa . Para aplicar estos métodos, lo más sencillo es dibujar el gráfico en cuestión; identificar el área que se va a girar alrededor del eje de revolución; determinar el volumen de una rebanada del sólido en forma de disco, con espesor δx , o de una capa cilíndrica de ancho δx ; y luego encuentre la suma límite de estos volúmenes cuando δx tiende a 0, un valor que puede encontrarse evaluando una integral adecuada. Se puede dar una justificación más rigurosa intentando evaluar una integral triple en coordenadas cilíndricas con dos órdenes de integración diferentes.

Método del disco

Integración del disco sobre el eje y.

El método del disco se utiliza cuando la rebanada que se dibujó es perpendicular al eje de revolución; es decir, cuando se integra paralelamente al eje de revolución.

El volumen del sólido formado al rotar el área entre las curvas de f ( y ) y g ( y ) y las líneas y = a e y = b alrededor del eje y está dado por

$${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(y)^{2}-g(y)^{2}\right|\,dy\,.}$$

g ( y ) = 0y

$${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f(y)^{2}\,dy\,.}$$

El método se puede visualizar considerando un rectángulo horizontal delgado en y entre f ( y ) en la parte superior y g ( y ) en la parte inferior, y girándolo alrededor del eje y ; forma un anillo (o disco en el caso de que g ( y ) = 0 ), con radio exterior f ( y ) y radio interior g ( y ) . El área de un anillo es π( R ² − r ² ) , donde R es el radio exterior (en este caso f ( y ) ) y r es el radio interior (en este caso g ( y ) ). Por tanto, el volumen de cada disco infinitesimal es π f ( y ) ² dy . El límite de la suma de Riemann de los volúmenes de los discos entre a y b se vuelve integral (1).

Suponiendo la aplicabilidad del teorema de Fubini y la fórmula multivariante de cambio de variables, el método del disco se puede derivar de manera sencilla (denotando el sólido como D):

$${\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}r\,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}r^{2}\Vert _{g(z)}^{f(z)}\,dz=\pi \int _{a}^{b}(f(z)^{2}-g(z)^{2})\,dz}$$

Método de integración de Shell

Integración de shell

El método de la cáscara (a veces denominado "método del cilindro") se utiliza cuando el corte que se dibujó es paralelo al eje de revolución; es decir, al integrar perpendicular al eje de revolución.

El volumen del sólido formado al rotar el área entre las curvas de f ( x ) y g ( x ) y las líneas x = a y x = b alrededor del eje y está dado por

$${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.}$$

g ( x ) = 0y

$${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.}$$

El método se puede visualizar considerando un rectángulo vertical delgado en x con altura f ( x ) − g ( x ) y girándolo alrededor del eje y ; forma una cáscara cilíndrica. El área de la superficie lateral de un cilindro es 2π rh , donde r es el radio (en este caso x ) y h es la altura (en este caso f ( x ) − g ( x ) ). La suma de todas las áreas de superficie a lo largo del intervalo da el volumen total.

Este método se puede derivar con la misma integral triple, esta vez con un orden de integración diferente:

$${\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}r\,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}r(f(r)-g(r))\,dr.}$$

Manifestación del sólido de la revolución

forma paramétrica

Matemáticas y arte : estudio de un jarrón como sólido de revolución por Paolo Uccello . siglo 15

Cuando una curva se define por su forma paramétrica ( x ( t ), y ( t )) en algún intervalo [ a , b ] , los volúmenes de los sólidos generados al hacer girar la curva alrededor del eje x o del eje y son dado por ^[1]

$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{x}&=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,\\V_{y}&=\int _{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.\end{aligned}}}$$

En las mismas circunstancias, las áreas de las superficies de los sólidos generadas al hacer girar la curva alrededor del eje x o del eje y vienen dadas por ^[2]

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,\\A_{y}&=\int _{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.\end{aligned}}}$$

Esto también se puede derivar de la integración multivariable. Si una curva plana está dada por entonces su correspondiente superficie de revolución cuando gira alrededor del eje x tiene coordenadas cartesianas dadas por con . Entonces el área de la superficie está dada por la integral de superficie ${\displaystyle \langle x(t),y(t)\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle }$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$

$${\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}$$

Calcular los rendimientos de las derivadas parciales

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\right\rangle }$$

del producto cruzado

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle }$$

${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}$$

Forma polar

Para una curva polar donde y , los volúmenes de los sólidos generados al hacer girar la curva alrededor del eje x o del eje y son ${\displaystyle r=f(\theta )}$ ${\displaystyle \alpha \leq \theta \leq \beta }$ ${\displaystyle f(\theta )\geq 0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}-\pi r^{3}\sin ^{3}{\theta }\right)d\theta \,,\\V_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin {\theta }\cos ^{2}{\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}+\pi r^{3}\cos ^{3}{\theta }\right)d\theta \,.\end{aligned}}}$$

Se dan las áreas de las superficies de los sólidos generados al hacer girar la curva alrededor del eje x o del eje y .

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\sin {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\\A_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\cos {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\end{aligned}}}$$

Ver también

• Cuerno de Gabriel
• Teorema de Guldinus
• Pseudosfera
• Superficie de revolución
• Ungula

Notas

1. Sharma, AK (2005). Aplicación del cálculo integral. Editorial Descubrimiento. pag. 168.ISBN​ 81-7141-967-4.
2. Singh, Ravish R. (1993). Matemáticas de ingeniería (6ª ed.). Tata McGraw-Hill. pag. 6,90. ISBN 0-07-014615-2.

Referencias

• "Volúmenes de Sólidos de Revolución". CliffsNotes.com . 12 de abril de 2011. Archivado desde el original el 19 de marzo de 2012.
• Ayres, Frank ; Mendelson, Elliott (2008). Cálculo . Esquemas de Schaum . Profesional de McGraw-Hill. págs. 244-248. ISBN 978-0-07-150861-2.( copia en línea , p. 244, en Google Books )
• Weisstein, Eric W. "Sólido de la revolución". MundoMatemático .