Sistema de coordenadas cilíndrico

sistema de coordenadas tridimensional

Un sistema de coordenadas cilíndrico con origen O , eje polar A y eje longitudinal L. El punto es el punto con distancia radial ρ = 4 , coordenada angular φ = 130° y altura z = 4 .

Un sistema de coordenadas cilíndrico es un sistema de coordenadas tridimensional que especifica posiciones de puntos por la distancia desde un eje de referencia elegido (eje L en la imagen de al lado) , la dirección desde el eje en relación con una dirección de referencia elegida (eje A) y la distancia desde un plano de referencia elegido perpendicular al eje (plano que contiene la sección violeta) . La última distancia se da como un número positivo o negativo dependiendo de qué lado del plano de referencia mira al punto.

El origen del sistema es el punto donde las tres coordenadas se pueden dar como cero. Esta es la intersección entre el plano de referencia y el eje. El eje recibe diversos nombres como eje cilíndrico o longitudinal , para diferenciarlo del eje polar , que es el rayo que se encuentra en el plano de referencia, comenzando en el origen y apuntando en la dirección de referencia. Otras direcciones perpendiculares al eje longitudinal se denominan líneas radiales .

La distancia desde el eje puede denominarse distancia radial o radio , mientras que la coordenada angular a veces se denomina posición angular o acimut . El radio y el acimut se denominan juntos coordenadas polares , ya que corresponden a un sistema de coordenadas polares bidimensional en el plano que pasa por el punto, paralelo al plano de referencia. La tercera coordenada puede denominarse altura o altitud (si el plano de referencia se considera horizontal), posición longitudinal , ^[1] o posición axial . ^[2]

Las coordenadas cilíndricas son útiles en relación con objetos y fenómenos que tienen cierta simetría rotacional alrededor del eje longitudinal, como el flujo de agua en una tubería recta con sección transversal redonda, la distribución de calor en un cilindro metálico , campos electromagnéticos producidos por una corriente eléctrica en un alambre largo y recto, discos de acreción en astronomía, etc.

A veces se les llama "coordenadas polares cilíndricas" ^[3] y "coordenadas polares cilíndricas", ^[4] y a veces se utilizan para especificar la posición de las estrellas en una galaxia ("coordenadas polares cilíndricas galactocéntricas"). ^[5]

Definición

Las tres coordenadas ( ρ , φ , z ) de un punto P se definen como:

• La distancia radial ρ es la distancia euclidiana desde el eje z hasta el punto P.
• El acimut φ es el ángulo entre la dirección de referencia en el plano elegido y la línea que va desde el origen hasta la proyección de P en el plano.
• La coordenada axial o altura z es la distancia con signo desde el plano elegido hasta el punto P.

Coordenadas cilíndricas únicas

Como en las coordenadas polares, un mismo punto con coordenadas cilíndricas ( ρ , φ , z ) tiene infinitas coordenadas equivalentes, a saber ( ρ , φ ± n ×360°, z ) y (− ρ , φ ± (2 n + 1) ×180°, z ), donde n es cualquier número entero. Además, si el radio ρ es cero, el acimut es arbitrario.

En situaciones en las que alguien quiere un conjunto único de coordenadas para cada punto, se puede restringir el radio para que no sea negativo ( ρ ≥ 0 ) y el azimut φ para que se encuentre en un intervalo específico que abarque 360°, como por ejemplo [−180°, +180°] o [0,360°] .

Convenciones

La notación de coordenadas cilíndricas no es uniforme. La norma ISO 31-11 recomienda ( ρ , φ , z ) , donde ρ es la coordenada radial, φ el azimut y z la altura. Sin embargo, el radio también suele denotarse con r o s , el acimut con θ o t y la tercera coordenada con h o (si el eje cilíndrico se considera horizontal) x , o cualquier letra específica del contexto.

Las superficies de coordenadas de las coordenadas cilíndricas ( ρ , φ , z ) . El cilindro rojo muestra los puntos con ρ = 2 , el plano azul muestra los puntos con z = 1 y el semiplano amarillo muestra los puntos con φ = −60° . El eje z es vertical y el eje x está resaltado en verde. Las tres superficies se cruzan en el punto P con esas coordenadas (mostradas como una esfera negra); las coordenadas cartesianas de P son aproximadamente (1,0, −1,732, 1,0).

Superficies de coordenadas cilíndricas. Los tres componentes ortogonales, ρ (verde), φ (rojo) yz (azul), cada uno de ellos aumenta a un ritmo constante. El punto está en la intersección entre las tres superficies coloreadas.

En situaciones concretas, y en muchas ilustraciones matemáticas, una coordenada angular positiva se mide en sentido antihorario vista desde cualquier punto con altura positiva.

Conversiones del sistema de coordenadas

El sistema de coordenadas cilíndrico es uno de los muchos sistemas de coordenadas tridimensionales. Se pueden utilizar las siguientes fórmulas para realizar conversiones entre ellos.

Coordenadas cartesianas

Para la conversión entre coordenadas cilíndricas y cartesianas, es conveniente asumir que el plano de referencia de las primeras es el plano cartesiano xy (con ecuación z = 0 ), y el eje cilíndrico es el eje z cartesiano . Entonces la coordenada z es la misma en ambos sistemas, y la correspondencia entre las coordenadas cilíndricas ( ρ , φ , z ) y cartesianas ( x , y , z ) son las mismas que para las coordenadas polares, es decir

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\text{if }}x\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

arcosenoseno[-π/2, +π/2][-90°, +90°]φ[−90°, +270°]

Usando la función arcotangente que devuelve también un ángulo en el rango [-π/2, +π/2] = [−90°, +90°] , también se puede calcular sin calcular primero ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\{\frac {\pi }{2}}{\frac {y}{|y|}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y\neq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Sistema de coordenadas polares

Muchos lenguajes de programación modernos proporcionan una función que calculará el acimut correcto φ , en el rango (−π, π) , dados x e y , sin la necesidad de realizar un análisis de caso como el anterior. Por ejemplo, esta función es llamada por atan2 ( y , x ) en el lenguaje de programación C y (atan y x ) en Common Lisp .

Coordenadas esféricas

Las coordenadas esféricas (radio r , elevación o inclinación θ , azimut φ ), se pueden convertir hacia o desde coordenadas cilíndricas, dependiendo de si θ representa elevación o inclinación, de la siguiente manera:

Elementos de línea y volumen.

En muchos problemas que involucran coordenadas polares cilíndricas, es útil conocer los elementos de línea y volumen; estos se utilizan en integración para resolver problemas que involucran caminos y volúmenes.

El elemento de línea es

$${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.}$$

El elemento de volumen es

$${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}$$

El elemento de superficie en una superficie de radio constante ρ (un cilindro vertical) es

$${\displaystyle \mathrm {d} S_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}$$

El elemento de superficie en una superficie de azimut constante φ (un semiplano vertical) es

$${\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.}$$

El elemento de superficie en una superficie de altura constante z (un plano horizontal) es

$${\displaystyle \mathrm {d} S_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .}$$

El operador del en este sistema conduce a las siguientes expresiones para gradiente , divergencia , curvatura y laplaciano :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}}$$

Armónicos cilíndricos

Las soluciones de la ecuación de Laplace en un sistema con simetría cilíndrica se llaman armónicos cilíndricos .

Cinemática

En un sistema de coordenadas cilíndrico, la posición de una partícula se puede escribir como ^[6]

$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\rho }}\,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,{\dot {\varphi }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\dot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}},}$$

^[6] ${\displaystyle \rho {\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\rho }}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\varphi }}{\hat {z}}\times {\hat {\rho }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\varphi }}^{2}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\varphi }}+\rho \,{\ddot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\ddot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}}}$$

Ver también

• Lista de transformaciones de coordenadas canónicas
• Campos vectoriales en coordenadas cilíndricas y esféricas.
• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas

Referencias

1. Krafft, C.; Volokitin, AS (1 de enero de 2002). "Interacción del haz de electrones resonante con varias ondas híbridas inferiores". Física de Plasmas . 9 (6): 2786–2797. Código Bib : 2002PhPl....9.2786K. doi :10.1063/1.1465420. ISSN  1089-7674. Archivado desde el original el 14 de abril de 2013 . Consultado el 9 de febrero de 2013 . ...en coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) ... y Z = v _bz t es la posición longitudinal...
2. Groisman, Alejandro; Steinberg, Víctor (1997). "Pares de vórtices solitarios en flujo de couette viscoelástico". Cartas de revisión física . 78 (8): 1460-1463. arXiv : patt-sol/9610008 . Código bibliográfico : 1997PhRvL..78.1460G. doi : 10.1103/PhysRevLett.78.1460. S2CID  54814721. ...donde r , θ yz son coordenadas cilíndricas... en función de la posición axial ...
3. Szymanski, JE (1989). Matemática Básica para Ingenieros Electrónicos: modelos y aplicaciones. Guías Tutoriales en Ingeniería Electrónica (nº 16). Taylor y Francisco. pag. 170.ISBN​ 978-0-278-00068-1.
4. Nunn, Robert H. (1989). Mecánica de fluidos intermedia. Taylor y Francisco. pag. 3.ISBN​ 978-0-89116-647-4.
5. Sparke, Linda Siobhan ; Gallagher, John Sill (2007). Galaxias en el universo: una introducción (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 37.ISBN​ 978-0-521-85593-8.
6. Taylor, John R. (2005). Mecanica clasica . Sausalito, California: Libros de ciencias universitarias. pag. 29.

Otras lecturas

• Morse, Philip M .; Feshbach, Herman (1953). Métodos de Física Teórica, Parte I. Ciudad de Nueva York : McGraw-Hill . págs. 656–657. ISBN 0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• Margenau, Enrique ; Murphy, George M. (1956). Las Matemáticas de la Física y la Química . Ciudad de Nueva York: D. van Nostrand. pag. 178.ISBN​ 9780882754239. LCCN  55010911. OCLC  3017486.
• Korn, Granino A.; Korn, Teresa M. (1961). Manual de matemáticas para científicos e ingenieros . Ciudad de Nueva York: McGraw-Hill. págs. 174-175. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Sauer, Robert; Szabó, István (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Ciudad de Nueva York: Springer-Verlag . pag. 95.LCCN 67025285  .
• Zwillinger, Daniel (1992). Manual de Integración . Boston : Editores Jones y Bartlett . pag. 113.ISBN​ 0-86720-293-9. OCLC  25710023.
• Luna, P.; Spencer, DE (1988). "Coordenadas de cilindro circular (r, ψ, z)". Manual de teoría de campos, incluidos sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (segunda ed. corregida). Ciudad de Nueva York: Springer-Verlag. Págs. 12 a 17, cuadro 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2.

enlaces externos

• "Coordenadas del cilindro", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Descripción de MathWorld de coordenadas cilíndricas
• Coordenadas cilíndricas Animaciones que ilustran coordenadas cilíndricas por Frank Wattenberg