Orientabilidad

En matemáticas , la orientabilidad es una propiedad de algunos espacios topológicos , como los espacios vectoriales reales , los espacios euclidianos , las superficies y, en general, las variedades , que permite una definición coherente de "en el sentido de las agujas del reloj" y "en el sentido contrario a las agujas del reloj". ^[1] Un espacio es orientable si existe una definición tan consistente. En este caso, hay dos definiciones posibles, y la elección entre ellas es una orientación del espacio. Los espacios vectoriales reales, los espacios euclidianos y las esferas son orientables. Un espacio no es orientable si "en el sentido de las agujas del reloj" se cambia a "en el sentido contrario a las agujas del reloj" después de recorrer algunos bucles y regresar al punto de partida. Esto significa que una forma geométrica , como, que se mueve continuamente a lo largo de dicho bucle se transforma en su propia imagen especular . Una tira de Möbius es un ejemplo de espacio no orientable.

Se pueden dar varias formulaciones equivalentes de orientabilidad, dependiendo de la aplicación deseada y el nivel de generalidad. Las formulaciones aplicables a variedades topológicas generales a menudo emplean métodos de teoría de homología , mientras que para variedades diferenciables hay más estructura presente, lo que permite una formulación en términos de formas diferenciales . Una generalización de la noción de orientabilidad de un espacio es la de orientabilidad de una familia de espacios parametrizados por algún otro espacio (un haz de fibras ) para el cual se debe seleccionar una orientación en cada uno de los espacios que varía continuamente con respecto a los cambios en la valores paramétricos.

Superficies orientables

Una superficie S en el espacio euclidiano R ³ es orientable si una figura bidimensional quiral (por ejemplo,) no se puede mover alrededor de la superficie y regresar a donde comenzó para que parezca su propia imagen especular (). De lo contrario, la superficie no es orientable . Una superficie abstracta (es decir, una variedad bidimensional ) es orientable si se puede definir en la superficie un concepto consistente de rotación en el sentido de las agujas del reloj de manera continua. Es decir, un bucle que gira en una dirección en la superficie nunca puede deformarse continuamente (sin superponerse) a un bucle que gira en la dirección opuesta. Esto resulta equivalente a la pregunta de si la superficie no contiene ningún subconjunto que sea homeomorfo a la cinta de Möbius . Por tanto, para las superficies, la banda de Möbius puede considerarse la fuente de toda no orientabilidad.

Para una superficie orientable, una elección constante de "en el sentido de las agujas del reloj" (en lugar de en el sentido contrario a las agujas del reloj) se denomina orientación , y la superficie se denomina orientada . Para superficies incrustadas en el espacio euclidiano, una orientación se especifica mediante la elección de una superficie normal n que varía continuamente en cada punto. Si tal normal existe, entonces siempre hay dos formas de seleccionarla: n o − n . De manera más general, una superficie orientable admite exactamente dos orientaciones, y la distinción entre una superficie orientada y una superficie orientable es sutil y frecuentemente borrosa. Una superficie orientable es una superficie abstracta que admite una orientación, mientras que una superficie orientada es una superficie que es orientable de manera abstracta y tiene el dato adicional de elegir una de las dos orientaciones posibles.

Ejemplos

La mayoría de las superficies que se encuentran en el mundo físico son orientables. Las esferas , los planos y los toros son orientables, por ejemplo. Pero las tiras de Möbius , los planos proyectivos reales y las botellas de Klein no son orientables. Todos ellos, tal como se visualizan en 3 dimensiones, tienen un solo lado. El plano proyectivo real y la botella de Klein no pueden incrustarse en R ³ , sólo sumergirse en bonitas intersecciones.

Tenga en cuenta que localmente una superficie incrustada siempre tiene dos lados, por lo que una hormiga miope que se arrastra sobre una superficie de un lado pensaría que hay un "otro lado". La esencia de la unilateralidad es que la hormiga puede arrastrarse de un lado de la superficie al "otro" sin atravesar la superficie ni voltear un borde, sino simplemente arrastrándose lo suficiente.

En general, la propiedad de ser orientable no equivale a ser bilateral; sin embargo, esto es válido cuando el espacio ambiental (como R ³ arriba) es orientable. Por ejemplo, un toro incrustado en

K^{2}\times S^{1}

puede ser unilateral y una botella de Klein en el mismo espacio puede ser bilateral; aquí se refiere a la botella de Klein. $K^{2}$

Orientación por triangulación

Cualquier superficie tiene una triangulación : una descomposición en triángulos de modo que cada borde de un triángulo está pegado como máximo a otro borde. Cada triángulo se orienta eligiendo una dirección alrededor del perímetro del triángulo, asociando una dirección a cada borde del triángulo. Si esto se hace de tal manera que al pegarlos los bordes adyacentes miren en la dirección opuesta, entonces se determina la orientación de la superficie. Esta elección sólo es posible si la superficie es orientable, y en este caso existen exactamente dos orientaciones diferentes.

si la figurase puede posicionar consistentemente en todos los puntos de la superficie sin convertirse en su imagen especular, entonces esto inducirá una orientación en el sentido anterior en cada uno de los triángulos de la triangulación seleccionando la dirección de cada uno de los triángulos en función del orden rojo- verde-azul de colores de cualquiera de las figuras en el interior del triángulo.

Este enfoque se generaliza a cualquier n -colector que tenga una triangulación. Sin embargo, algunas variedades de 4 no tienen triangulación y, en general, para n > 4 algunas variedades de n tienen triangulaciones que no son equivalentes.

Orientabilidad y homología.

Si H ₁ ( S ) denota el primer grupo de homología de una superficie S , entonces S es orientable si y sólo si H ₁ ( S ) tiene un subgrupo de torsión trivial . Más precisamente, si S es orientable entonces H ₁ ( S ) es un grupo abeliano libre , y si no, entonces H ₁ ( S ) = F + Z /2 Z donde F es abeliano libre y se genera el factor Z /2 Z por la curva media en una banda de Möbius incrustada en S.

Orientabilidad de colectores.

Sea M una n - variedad topológica conectada . Hay varias definiciones posibles de lo que significa que M sea orientable. Algunas de estas definiciones requieren que M tenga una estructura adicional, como ser diferenciable. Ocasionalmente, $n = 0$ debe convertirse en un caso especial. Cuando más de una de estas definiciones se aplica a M , entonces M es orientable según una definición si y sólo si es orientable según las demás. ^[2]^[3]

Orientabilidad de variedades diferenciables.

Las definiciones más intuitivas requieren que M sea una variedad diferenciable. Esto significa que las funciones de transición en el atlas de M son funciones C ¹ . Tal función admite un determinante jacobiano . Cuando el determinante jacobiano es positivo, se dice que la función de transición conserva la orientación . Un atlas orientado en M es un atlas en el que todas las funciones de transición conservan la orientación. M es orientable si admite un atlas orientado. Cuando $n > 0$ , una orientación de M es un atlas orientado al máximo. (Cuando $n = 0$ , una orientación de M es una función $M \to {\pm1}$ ).

La orientabilidad y las orientaciones también se pueden expresar en términos del paquete tangente. El paquete tangente es un paquete vectorial , por lo que es un paquete de fibras con grupo estructural $GL(n, R)$ . Es decir, las funciones de transición de la variedad inducen funciones de transición en el haz tangente que son transformaciones lineales a fibra. Si el grupo de estructuras se puede reducir al grupo $GL + (n, R)$ de matrices determinantes positivas, o de manera equivalente si existe un atlas cuyas funciones de transición determinan una orientación que preserva la transformación lineal en cada espacio tangente, entonces la variedad M es orientable. Por el contrario, M es orientable si y sólo si el grupo estructural del fibrado tangente se puede reducir de esta manera. Se pueden hacer observaciones similares para el conjunto de cuadros.

Otra forma de definir orientaciones en una variedad diferenciable es mediante formas de volumen . Una forma de volumen es una sección ω que no desaparece en ninguna parte de $⋀ n T * M$ , la potencia exterior superior del paquete cotangente de M . Por ejemplo, R ⁿ tiene una forma de volumen estándar dada por $dx 1 \land \dots \land dx n$ . Dada una forma de volumen en M , la colección de todos los gráficos $U \to R n$ para los cuales la forma de volumen estándar retrocede a un múltiplo positivo de ω es un atlas orientado. La existencia de una forma de volumen equivale, por tanto, a la orientabilidad de la variedad.

Las formas de volumen y los vectores tangentes se pueden combinar para dar otra descripción de la orientabilidad. Si $X 1, \dots, X n$ es una base de vectores tangentes en un punto p , entonces se dice que la base es diestra si $ω(X 1, \dots, X n) > 0$ . Una función de transición conserva la orientación si y solo si envía bases diestras a bases diestras. La existencia de una forma de volumen implica una reducción del grupo estructural del fibrado tangente o del fibrado marco a $GL + (n, R)$ . Como antes, esto implica la orientabilidad de M . Por el contrario, si M es orientable, entonces las formas de volumen locales se pueden unir para crear una forma de volumen global, siendo necesaria la orientabilidad para garantizar que la forma global no desaparezca en ninguna parte.

Homología y orientabilidad de variedades generales.

En el centro de todas las definiciones anteriores de orientabilidad de una variedad diferenciable está la noción de una función de transición que preserva la orientación. Esto plantea la cuestión de qué preservan exactamente esas funciones de transición. No pueden preservar una orientación de la variedad porque una orientación de la variedad es un atlas, y no tiene sentido decir que una función de transición preserva o no un atlas del que es miembro.

Esta cuestión puede resolverse definiendo orientaciones locales. En una variedad unidimensional, una orientación local alrededor de un punto p corresponde a una elección de izquierda y derecha cerca de ese punto. En una variedad bidimensional, corresponde a una elección entre sentido horario y antihorario. Estas dos situaciones comparten la característica común de que se describen en términos de comportamiento de dimensión superior cerca de p pero no en p . Para el caso general, sea M una variedad topológica n . Una orientación local de M alrededor de un punto p es una elección del generador del grupo

H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right).

Para ver el significado geométrico de este grupo, elija un gráfico alrededor de p . En ese gráfico hay una vecindad de p que es una bola abierta B alrededor del origen O. Según el teorema de la escisión , es isomorfo a . La bola B es contráctil, por lo que sus grupos de homología desaparecen excepto en el grado cero, y el espacio $B$ $\$ $O$ es una $($ $n$ $- 1)$ -esfera, por lo que sus grupos de homología desaparecen excepto en los grados $n$ $- 1$ y $0$ . Un cálculo con la secuencia exacta larga en homología relativa muestra que el grupo de homología anterior es isomorfo a . Por lo tanto, la elección del generador corresponde a la decisión de si, en el gráfico dado, una esfera alrededor de p es positiva o negativa. Una reflexión de $R$ $n$ a través del origen actúa por negación en , por lo que la importancia geométrica de la elección del generador es que distingue las cartas de sus reflexiones. $H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)$ $H_{n}\left(B,B\setminus \{O\};\mathbf {Z} \right)$ $H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbf {Z} \right)\cong \mathbf {Z}$ $H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbf {Z} \right)$

En una variedad topológica, una función de transición conserva la orientación si, en cada punto p de su dominio, fija los generadores de . A partir de aquí, las definiciones relevantes son las mismas que en el caso diferenciable. Un atlas orientado es aquel para el cual todas las funciones de transición preservan la orientación, M es orientable si admite un atlas orientado, y cuando $n$ $> 0$ , una orientación de M es un atlas orientado al máximo. $H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)$

Intuitivamente, una orientación de M debería definir una orientación local única de M en cada punto. Esto se precisa al observar que cualquier gráfico en el atlas orientado alrededor de p puede usarse para determinar una esfera alrededor de p , y esta esfera determina un generador de . Además, cualquier otro gráfico alrededor de p está relacionado con el primer gráfico mediante una función de transición que preserva la orientación, y esto implica que los dos gráficos producen el mismo generador, por lo que el generador es único. $H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)$

También son posibles definiciones puramente homológicas. Suponiendo que M es cerrado y conexo, M es orientable si y solo si el n -ésimo grupo de homología es isomorfo a los números enteros Z. Una orientación de M es una elección del generador $α$ de este grupo. Este generador determina un atlas orientado fijando un generador del grupo cíclico infinito y tomando las cartas orientadas como aquellas para las cuales $α$ empuja hacia el generador fijo. Por el contrario, un atlas orientado determina dicho generador, ya que se pueden unir orientaciones locales compatibles para dar un generador para el grupo de homología . ^[4] $H_{n}(M;\mathbf {Z} )$ $H_{n}(M;\mathbf {Z} )$ $H_{n}(M;\mathbf {Z} )$

Orientación y cohomología.

Una variedad M es orientable si y sólo si la primera clase Stiefel-Whitney desaparece. En particular, si el primer grupo de cohomología con coeficientes Z /2 es cero, entonces la variedad es orientable. Además, si M es orientable y w ₁ desaparece, entonces parametriza las elecciones de orientaciones. ^[5] Esta caracterización de la orientabilidad se extiende a la orientabilidad de paquetes de vectores generales sobre M , no solo el paquete tangente. $w_{1}(M)\in H^{1}(M;\mathbf {Z} /2)$ $H^{0}(M;\mathbf {Z} /2)$

La doble cubierta de orientación.

Alrededor de cada punto de M hay dos orientaciones locales. Intuitivamente, hay una manera de pasar de una orientación local en un punto $p$ a una orientación local en un punto cercano $p'$ : cuando los dos puntos se encuentran en el mismo gráfico de coordenadas $U \to R n$ , ese gráfico de coordenadas define orientaciones locales compatibles en $p$ y $p'$ . Por lo tanto, al conjunto de orientaciones locales se le puede dar una topología, y esta topología lo convierte en una variedad.

Más precisamente, sea O el conjunto de todas las orientaciones locales de M. Para topología de O especificaremos una subbase para su topología. Sea U un subconjunto abierto de M elegido de manera que sea isomorfo a Z. Supongamos que α es un generador de este grupo. Para cada p en U , hay una función de avance . El codominio de este grupo tiene dos generadores y α se asigna a uno de ellos. La topología en O se define de modo que $H_{n}(M,M\setminus U;\mathbf {Z} )$ $H_{n}(M,M\setminus U;\mathbf {Z} )\to H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)$

\{{\text{Imagen de }}\alpha {\text{ in }}H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)\colon p\en U\}

Esta abierto.

Hay un mapa canónico $π : O \to M$ que envía una orientación local en p a p . Está claro que cada punto de M tiene precisamente dos preimágenes bajo $π$ . De hecho, $π$ es incluso un homeomorfismo local, porque las preimágenes de los conjuntos abiertos U mencionados anteriormente son homeomorfas a la unión disjunta de dos copias de U. Si M es orientable, entonces M mismo es uno de estos conjuntos abiertos, por lo que O es la unión disjunta de dos copias de M. Sin embargo, si M no es orientable, entonces O es conexo y orientable. El colector O se llama doble cubierta de orientación .

Colectores con límite

Si M es una variedad con límite, entonces una orientación de M se define como una orientación de su interior. Tal orientación induce una orientación de ∂ M . De hecho, supongamos que una orientación de M es fija. Sea $U \to R n +$ un gráfico en un punto límite de M que, cuando se restringe al interior de M , está en el atlas orientado elegido. La restricción de este gráfico a ∂ M es un gráfico de ∂ M . Estos gráficos forman un atlas orientado para ∂ M .

Cuando M es suave, en cada punto p de ∂ M , la restricción del paquete tangente de M a ∂ M es isomorfa a $T p \partial M \oplus R$ , donde el factor de R se describe mediante el vector normal que apunta hacia adentro. La orientación de T _p ∂ M se define por la condición de que una base de T _p ∂ M está orientada positivamente si y sólo si, cuando se combina con el vector normal que apunta hacia adentro, define una base de T _p M orientada positivamente .

Doble tapa orientable

Animación de la doble portada orientable de la tira de Möbius .

Una noción estrechamente relacionada utiliza la idea de cubrir el espacio . Para una variedad conectada M, tome M ^∗ , el conjunto de pares ( x , o) donde x es un punto de M y o es una orientación en x ; aquí asumimos que M es suave para que podamos elegir una orientación en el espacio tangente en un punto o usamos homología singular para definir la orientación. Luego, para cada subconjunto abierto y orientado de M , consideramos el conjunto correspondiente de pares y lo definimos como un conjunto abierto de M ^∗ . Esto le da a M ^∗ una topología y la proyección que envía ( x , o) a x es entonces un mapa de cobertura de 2 a 1. Este espacio de cobertura se denomina doble cubierta orientable , por ser orientable. M ^∗ es conexo si y sólo si M no es orientable.

Otra forma de construir esta cubierta es dividir los bucles basados en un punto base en bucles que preservan la orientación o que invierten la orientación. Los bucles que preservan la orientación generan un subgrupo del grupo fundamental que es el grupo completo o el índice dos. En el último caso (lo que significa que hay un camino de inversión de orientación), el subgrupo corresponde a una doble cubierta conectada; esta cubierta es orientable por construcción. En el primer caso, simplemente se pueden tomar dos copias de M , cada una de las cuales corresponde a una orientación diferente.

Orientación de paquetes de vectores.

Un paquete de vectores real , que a priori tiene un grupo de estructuras GL(n) , se llama orientable cuando el grupo de estructuras puede reducirse a , el grupo de matrices con determinante positivo . Para el paquete tangente , esta reducción siempre es posible si la variedad base subyacente es orientable y, de hecho, esto proporciona una manera conveniente de definir la orientabilidad de una variedad real suave : una variedad suave se define como orientable si su paquete tangente es orientable ( como un paquete de vectores). Tenga en cuenta que, como variedad por derecho propio, el paquete tangente siempre es orientable, incluso sobre variedades no orientables. $GL^{+}(n)$

Conceptos relacionados

geometría lorentziana

En la geometría lorentziana , hay dos tipos de orientabilidad: orientabilidad espacial y orientabilidad temporal. Estos juegan un papel en la estructura causal del espacio-tiempo. ^[6] En el contexto de la relatividad general , una variedad de espacio-tiempo es orientable en el espacio si, cada vez que dos observadores diestros parten en cohetes comenzando en el mismo punto del espacio-tiempo y luego se vuelven a encontrar en otro punto, permanecen diestros con respeto mutuo. Si un espacio-tiempo es orientable en el tiempo, entonces los dos observadores siempre estarán de acuerdo en la dirección del tiempo en ambos puntos de su encuentro. De hecho, un espacio-tiempo es orientable en el tiempo si y sólo si dos observadores pueden ponerse de acuerdo sobre cuál de las dos reuniones precedió a la otra. ^[7]

Formalmente, el grupo pseudoortogonal O( p , q ) tiene un par de caracteres : el carácter de orientación espacial σ ₊ y el carácter de orientación temporal σ ₋ ,

\sigma _{\pm }:\operatorname {O} (p,q)\to \{-1,+1\}.

Su producto σ = σ ₊ σ ₋ es el determinante que da el carácter de orientación. Una orientación espacial de una variedad pseudo-riemanniana se identifica con una sección del paquete asociado

\operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{+}}\{-1,+1\}

donde O( M ) es el conjunto de marcos pseudoortogonales. De manera similar, una orientación temporal es una sección del paquete asociado.

\operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{-}}\{-1,+1\}.

Ver también

Referencias

^ Munroe, Marshall Evans (1963). Cálculo multidimensional moderno. Addison-Wesley. pag. 263.
^ Spivak, Michael (1965). Cálculo de variedades . HarperCollins . ISBN 978-0-8053-9021-6.
^ Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0521795401.
^ Hatcher 2001, pag. 236 Teorema 3.26(a)
^ Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría de giro . Prensa de la Universidad de Princeton . pag. 79 Teorema 1.2. ISBN 0-691-08542-0.
^ Hawking, suroeste ; Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-20016-4.
^ Hadley, Mark J. (2002). "La orientabilidad del espacio-tiempo" (PDF) . Gravedad clásica y cuántica . 19 (17): 4565–71. arXiv : gr-qc/0202031v4 . CiteSeerX 10.1.1.340.8125 . doi :10.1088/0264-9381/19/17/308.

enlaces externos

Orientación de colectores en el Manifold Atlas.
Cobertura de orientación en el Manifold Atlas.
Orientación de variedades en teorías de cohomología generalizadas en el Manifold Atlas.
Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre Orientación.