paquete de vectores

Parametrización matemática de espacios vectoriales por otro espacio.

La tira de Möbius (infinitamente extendida) es un haz de líneas sobre la 1 esfera S ¹ . Localmente alrededor de cada punto en S ¹ , se parece a U  ×  R (donde U es un arco abierto que incluye el punto), pero el paquete total es diferente de S ¹  ×  R (que en cambio es un cilindro ).

En matemáticas , un paquete vectorial es una construcción topológica que precisa la idea de una familia de espacios vectoriales parametrizados por otro espacio (por ejemplo podría ser un espacio topológico , una variedad o una variedad algebraica ): a cada punto del espacio llegamos asociar (o "unir") un espacio vectorial de tal manera que estos espacios vectoriales encajen entre sí para formar otro espacio del mismo tipo (por ejemplo, un espacio topológico, variedad o variedad algebraica), que luego se denomina paquete vectorial sobre . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El ejemplo más simple es el caso en que la familia de espacios vectoriales es constante, es decir, existe un espacio vectorial fijo tal que for all in : en este caso hay una copia de for each in y estas copias encajan para formar el paquete vectorial encima . Se dice que estos paquetes de vectores son triviales . Una clase de ejemplos más complicada (y prototípica) son los fibrados tangentes de variedades suaves (o diferenciables) : a cada punto de dicha variedad adjuntamos el espacio tangente a la variedad en ese punto. Los paquetes tangentes no son, en general, paquetes triviales. Por ejemplo, el paquete tangente de la esfera no es trivial según el teorema de la bola peluda . En general, se dice que una variedad es paralelizable si, y sólo si, su fibrado tangente es trivial. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V(x)=V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times V}$ ${\displaystyle X}$

Casi siempre se requiere que los haces de vectores sean localmente triviales , lo que significa que son ejemplos de haces de fibras . Además, generalmente se requiere que los espacios vectoriales estén sobre los números reales o complejos , en cuyo caso se dice que el paquete de vectores es un paquete de vectores real o complejo (respectivamente). Los paquetes de vectores complejos pueden verse como paquetes de vectores reales con estructura adicional. A continuación, nos centramos en paquetes de vectores reales en la categoría de espacios topológicos .

Definición y primeras consecuencias

Un paquete de vectores sobre una base . Un punto en corresponde al origen en una fibra del haz de vectores , y la proyección mapea esta fibra hasta el punto . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E_{m_{1}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle \pi :E\to M}$

Un paquete de vectores real consta de:

1. espacios topológicos ( espacio base ) y ( espacio total ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$
2. una sobreyección continua ( proyección del paquete ) ${\displaystyle \pi :E\to X}$
3. para cada in , la estructura de un espacio vectorial real de dimensión finita en la fibra ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$

donde se cumple la siguiente condición de compatibilidad: para cada punto de , existe una vecindad abierta de , un número natural y un homeomorfismo ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \varphi \colon U\times \mathbb {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U)}$

tal que para todos en , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$

• ${\displaystyle (\pi \circ \varphi )(x,v)=x}$para todos los vectores en , y ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$
• el mapa es un isomorfismo lineal entre los espacios vectoriales y . ${\displaystyle v\mapsto \varphi (x,v)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$

La vecindad abierta junto con el homeomorfismo se denomina trivialización local del paquete de vectores. La trivialización local muestra que localmente el mapa "se parece" a la proyección de on . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle U}$

Cada fibra es un espacio vectorial real de dimensión finita y, por tanto, tiene una dimensión . Las trivializaciones locales muestran que la función es localmente constante y, por lo tanto, es constante en cada componente conectado de . Si es igual a una constante en todos , entonces se llama rango del paquete de vectores y se dice que es un paquete de vectores de rango . A menudo, la definición de un paquete de vectores incluye que el rango está bien definido, por lo que es constante. Los paquetes de vectores de rango 1 se denominan paquetes de líneas , mientras que los de rango 2 se denominan con menor frecuencia paquetes planos. ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle x\to k_{x}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{x}}$

El producto cartesiano , equipado con la proyección , se llama paquete trivial de rango sobre . ${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}\to X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

Funciones de transición

Dos paquetes de vectores triviales sobre conjuntos abiertos y pueden pegarse sobre la intersección mediante funciones de transición que sirven para unir las regiones grises sombreadas después de aplicar una transformación lineal a las fibras (obsérvese la transformación del cuadrilátero azul bajo el efecto de ). Diferentes opciones de funciones de transición pueden dar como resultado diferentes paquetes de vectores que no son triviales una vez finalizado el pegado. ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\beta }}$ ${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$

La tira de Möbius se puede construir pegando no trivialmente dos paquetes triviales en subconjuntos abiertos U y V del círculo S ¹ . Cuando se pega trivialmente (con g _UV =1 ) se obtiene el paquete trivial, pero con el pegado no trivial de g _UV =1 en una superposición y g _UV =-1 en la segunda superposición, se obtiene el paquete no trivial E. , la tira de Möbius. Esto se puede visualizar como una "torsión" de uno de los gráficos locales .

Dado un paquete vectorial de rango y un par de vecindades y sobre el cual el paquete se trivializa mediante ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{U}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(U),\\\varphi _{V}\colon V\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(V)\end{aligned}}}$

la función compuesta

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}\colon (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}\to (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}}$

está bien definido en la superposición y satisface

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}(x,v)=\left(x,g_{UV}(x)v\right)}$

para alguna función valorada ${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (k).}$

Éstas se denominan funciones de transición (o transformaciones de coordenadas ) del paquete de vectores.

El conjunto de funciones de transición forma un ciclo de Čech en el sentido de que

${\displaystyle g_{UU}(x)=I,\quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x)=I}$

por todo lo que el paquete trivializa satisfaciendo . Así, los datos definen un haz de fibras ; los datos adicionales del especifica un grupo de estructura en el que la acción sobre la fibra es la acción estándar de . ${\displaystyle U,V,W}$ ${\displaystyle U\cap V\cap W\neq \emptyset }$ ${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$ ${\displaystyle g_{UV}}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$

Por el contrario, dado un haz de fibras con un cociclo que actúa de forma estándar sobre la fibra , hay asociado un haz de vectores. Este es un ejemplo del teorema de construcción de haces de fibras para haces de vectores y puede tomarse como una definición alternativa de haz de vectores. ${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

Subpaquetes

Un subconjunto de líneas de un conjunto de vectores trivial de rango 2 sobre una variedad unidimensional . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$

Un método simple para construir paquetes de vectores es tomar subpaquetes de otros paquetes de vectores. Dado un paquete de vectores sobre un espacio topológico, un subpaquete es simplemente un subespacio para el cual la restricción de a también da la estructura de un paquete de vectores. En este caso la fibra es un subespacio vectorial para cada . ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle F\subset E}$ ${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}:F\to X}$ ${\displaystyle F_{x}\subset E_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$

Un subconjunto de un conjunto trivial no tiene por qué ser trivial y, de hecho, cada conjunto de vectores reales en un espacio compacto puede verse como un subconjunto de un conjunto trivial de rango suficientemente alto. Por ejemplo, la banda de Möbius , un paquete de líneas no trivial sobre el círculo, puede verse como un subpaquete del paquete trivial de rango 2 sobre el círculo.

Morfismos de paquetes de vectores

Un morfismo del paquete de vectores π ₁ : E ₁ → X ₁ al paquete de vectores π ₂ : E ₂ → X ₂ está dado por un par de aplicaciones continuas f : E ₁ → E ₂ y g : X ₁ → X ₂ tales eso

gramo  ∘  π ₁ = π ₂  ∘  f

para cada x en X ₁ , el mapa π ₁ ⁻¹ ({ x }) → π ₂ ⁻¹ ({ g ( x )}) inducido por f es un mapa lineal entre espacios vectoriales.

Tenga en cuenta que g está determinado por f (porque π ₁ es sobreyectivo), y entonces se dice que f cubre g .

La clase de todos los paquetes de vectores junto con los morfismos de paquetes forma una categoría . Restringiendo a paquetes de vectores para los cuales los espacios son múltiples (y las proyecciones de paquetes son mapas suaves) y morfismos de paquetes suaves, obtenemos la categoría de paquetes de vectores suaves. Los morfismos de haces de vectores son un caso especial de la noción de un mapa de haces entre haces de fibras y, a veces, se denominan homomorfismos de haces (vectoriales) .

Un homomorfismo de haz de E ₁ a E ₂ con una inversa que también es un homomorfismo de haz (de E ₂ a E ₁ ) se llama isomorfismo de haz (vectorial) , y luego se dice que E ₁ y E ₂ son haces de vectores isomórficos . Un isomorfismo de un paquete de vectores (rango k ) E sobre X con el paquete trivial (de rango k sobre X ) se llama trivialización de E , y entonces se dice que E es trivial (o trivializable ). La definición de un paquete de vectores muestra que cualquier paquete de vectores es localmente trivial .

También podemos considerar la categoría de todos los paquetes de vectores sobre un espacio de base fijo X. Como morfismos en esta categoría tomamos aquellos morfismos de haces de vectores cuyo mapa en el espacio base es el mapa de identidad en X. Es decir, agrupar morfismos para los cuales conmuta el siguiente diagrama :

(Tenga en cuenta que esta categoría no es abeliana ; el núcleo de un morfismo de haces de vectores en general no es un haz de vectores de ninguna manera natural).

Un morfismo de paquete de vectores entre paquetes de vectores π ₁ : E ₁ → X ₁ y π ₂ : E ₂ → X ₂ que cubre un mapa g de X ₁ a X ₂ también se puede ver como un morfismo de paquete de vectores sobre X ₁ de E ₁ a el paquete de retroceso g * E ₂ .

Secciones y poleas libres localmente

Un paquete de vectores sobre una base con sección . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$

El mapa que asocia una normal a cada punto de una superficie se puede considerar como una sección. La superficie es el espacio X , y en cada punto x hay un vector en el espacio vectorial adjunto en x .

Dado un paquete de vectores π : E → X y un subconjunto abierto U de X , podemos considerar secciones de π en U , es decir, funciones continuas s : U → E donde el compuesto π  ∘  s es tal que ( π ∘ s )( u ) = tu para todo tu en U . Esencialmente, una sección asigna a cada punto de U un vector del espacio vectorial adjunto, de manera continua. Como ejemplo, las secciones del paquete tangente de una variedad diferencial no son más que campos vectoriales en esa variedad.

Sea F ( U ) el conjunto de todas las secciones de U. F ( U ) siempre contiene al menos un elemento, a saber, la sección cero : la función s que asigna cada elemento x de U al elemento cero del espacio vectorial π ⁻¹ ({ x }). Con la suma puntual y la multiplicación escalar de secciones, F ( U ) se convierte en sí mismo en un espacio vectorial real. La colección de estos espacios vectoriales es un haz de espacios vectoriales en X.

Si s es un elemento de F ( U ) y α: U → R es un mapa continuo, entonces α s (multiplicación escalar puntual) está en F ( U ). Vemos que F ( U ) es un módulo sobre el anillo de funciones continuas de valores reales en U . Además, si O _X denota el haz estructural de funciones continuas de valor real en X , entonces F se convierte en un haz de módulos O _X.

No todos los haces de módulos O _X surgen de esta manera a partir de un paquete de vectores: sólo lo hacen los que están libres localmente . (La razón: localmente estamos buscando secciones de una proyección U × R ^k → U ; estas son precisamente las funciones continuas U → R ^k , y tal función es una k - tupla de funciones continuas U → R .)

Aún más: la categoría de paquetes de vectores reales en X es equivalente a la categoría de haces de módulos O _X localmente libres y generados de forma finita .

Así que podemos pensar en la categoría de paquetes de vectores reales en X como si estuvieran dentro de la categoría de haces de módulos O _X ; esta última categoría es abeliana, por lo que aquí es donde podemos calcular núcleos y cokernels de morfismos de haces de vectores.

Un paquete de vectores de rango n es trivial si y sólo si tiene n secciones globales linealmente independientes .

Operaciones sobre paquetes de vectores

La mayoría de las operaciones en espacios vectoriales se pueden extender a paquetes de vectores realizando la operación del espacio vectorial por fibra .

Por ejemplo, si E es un paquete vectorial sobre X , entonces hay un paquete E* sobre X , llamado paquete dual , cuya fibra en x ∈ X es el espacio vectorial dual ( E _x )*. Formalmente E* se puede definir como el conjunto de pares ( x , φ), donde x ∈ X y φ ∈ ( E _x )*. El paquete dual es localmente trivial porque el espacio dual de la inversa de una trivialización local de E es una trivialización local de E* : el punto clave aquí es que la operación de tomar el espacio vectorial dual es funtorial .

Hay muchas operaciones funtoriales que se pueden realizar en pares de espacios vectoriales (sobre el mismo campo), y éstas se extienden directamente a pares de paquetes de vectores E , F en X (sobre el campo dado). A continuación se muestran algunos ejemplos.

• La suma de Whitney (llamada así por Hassler Whitney ) o paquete de suma directa de E y F es un paquete vectorial E ⊕ F sobre X cuya fibra sobre x es la suma directa E _x ⊕ F _x de los espacios vectoriales E _x y F _x .
• El paquete de producto tensorial E ⊗ F se define de manera similar, utilizando el producto tensorial de espacios vectoriales por fibra.
• El paquete Hom Hom( E , F ) es un paquete vectorial cuya fibra en x es el espacio de aplicaciones lineales de E _x a F _x (que a menudo se denota Hom( E _x , F _x ) o L ( E _x , F _X )). El paquete Hom se llama así (y es útil) porque existe una biyección entre homomorfismos de paquetes de vectores de E a F sobre X y secciones de Hom( E , F ) sobre X .
• Basándose en el ejemplo anterior, dada una sección s de un paquete de endomorfismo Hom( E , E ) y una función f : X → R , se puede construir un paquete propio tomando la fibra sobre un punto x ∈ X como f ( x )- espacio propio del mapa lineal s ( x ): E _x → E _x . Aunque esta construcción es natural, a menos que se tenga cuidado, el objeto resultante no tendrá trivializaciones locales. Considere el caso de que s sea la sección cero y f tenga ceros aislados. La fibra sobre estos ceros en el "paquete propio" resultante será isomorfa a la fibra sobre ellos en E , mientras que en todos los demás lugares la fibra es el espacio vectorial trivial de dimensión 0.
• El paquete de vectores duales E* es el paquete de Hom Hom( E , R × X ) de homomorfismos de paquetes de E y el paquete trivial R × X. Existe un isomorfismo de paquete de vectores canónico Hom( E , F ) = E* ⊗ F .

Cada una de estas operaciones es un ejemplo particular de una característica general de los paquetes: muchas operaciones que se pueden realizar en la categoría de espacios vectoriales también se pueden realizar en la categoría de paquetes de vectores de manera functorial . Esto se precisa en el lenguaje de los functores suaves . Una operación de diferente naturaleza es la construcción del paquete de retroceso . Dado un paquete de vectores E → Y y un mapa continuo f : X → Y uno puede "retirar" E a un paquete de vectores f*E sobre X . La fibra sobre un punto x ∈ X es esencialmente solo la fibra sobre f ( x ) ∈ Y . Por lo tanto, la suma de Whitney E ⊕ F se puede definir como el paquete de retroceso del mapa diagonal de X a X × X donde el paquete sobre X × X es E  ×  F.

Observación : Sea X un espacio compacto . Cualquier paquete de vectores E sobre X es una suma directa de un paquete trivial; es decir, existe un paquete E ' tal que E ⊕ E ' es trivial. Esto falla si X no es compacto: por ejemplo, el paquete de líneas tautológicas sobre el espacio proyectivo real infinito no tiene esta propiedad. ^[1]

Estructuras adicionales y generalizaciones.

A los paquetes de vectores a menudo se les da más estructura. Por ejemplo, los paquetes de vectores pueden estar equipados con una métrica de paquete de vectores . Generalmente se requiere que esta métrica sea definida positiva , en cuyo caso cada fibra de E se convierte en un espacio euclidiano . Un paquete de vectores con una estructura compleja corresponde a un paquete de vectores complejo , que también se puede obtener reemplazando espacios vectoriales reales en la definición por espacios complejos y requiriendo que todas las asignaciones sean lineales complejas en las fibras. De manera más general, normalmente se puede entender la estructura adicional impuesta a un paquete de vectores en términos de la reducción resultante del grupo de estructuras de un paquete . También se pueden utilizar paquetes de vectores sobre campos topológicos más generales.

Si en lugar de un espacio vectorial de dimensión finita, se toma la fibra F como un espacio de Banach , entonces se obtiene un paquete de Banach . ^[2] Específicamente, se debe exigir que las trivializaciones locales sean isomorfismos del espacio de Banach (en lugar de simplemente isomorfismos lineales) en cada una de las fibras y que, además, las transiciones

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (F)}$

son mapeos continuos de variedades de Banach . En la teoría correspondiente para paquetes C ^p , se requiere que todas las asignaciones sean C ^p .

Los haces vectoriales son haces de fibras especiales , aquellos cuyas fibras son espacios vectoriales y cuyo cociclo respeta la estructura del espacio vectorial. Se pueden construir haces de fibras más generales en los que la fibra puede tener otras estructuras; por ejemplo, los haces de esferas están formados por esferas.

Paquetes de vectores suaves

La regularidad de las funciones de transición que describen un paquete de vectores determina el tipo de paquete de vectores. Si se utilizan las funciones de transición continua g _UV , el paquete de vectores resultante E es sólo continuo pero no suave. Si se utilizan las funciones de transición suave h _UV , entonces el paquete de vectores resultante F es un paquete de vectores suave.

Un paquete de vectores ( E , p , M ) es suave , si E y M son variedades suaves , p: E → M es un mapa suave, y las trivializaciones locales son difeomorfismos . Dependiendo del grado de suavidad requerido , existen diferentes nociones correspondientes de paquetes C p , paquetes C ^∞ infinitamente diferenciables y paquetes C ^ω analíticos reales . En esta sección nos concentraremos en C ∞ -paquetes. El ejemplo más importante de un paquete de vectores C ^∞ es el paquete tangente ( TM , π _TM , M ) de una variedad C ^∞ M .

Un paquete de vectores suave se puede caracterizar por el hecho de que admite funciones de transición como las descritas anteriormente, que son funciones suaves en superposiciones de gráficos trivializantes U y V. Es decir, un paquete de vectores E es suave si admite una cobertura trivializando conjuntos abiertos de modo que para dos conjuntos cualesquiera U y V , la función de transición

${\displaystyle g_{UV}:U\cap V\to \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$

es una función suave en el grupo de matrices GL(k, R ), que es un grupo de Lie .

De manera similar, si las funciones de transición son:

• C ^r entonces el paquete de vectores es un paquete de vectores C ^r ,
• analítica real, entonces el paquete de vectores es un paquete de vectores analítico real (esto requiere que el grupo de matrices tenga una estructura analítica real),
• holomórfico, entonces el paquete de vectores es un paquete de vectores holomórfico (esto requiere que el grupo de matrices sea un grupo de Lie complejo ),
• funciones algebraicas, entonces el paquete de vectores es un paquete de vectores algebraico (esto requiere que el grupo de matrices sea un grupo algebraico ).

Los haces de vectores C ^{∞ (} E , p , M ) tienen una propiedad muy importante que no comparten los haces de fibras C ^∞ más generales . Es decir, el espacio tangente T _v ( E _x ) en cualquier v ∈ E _x puede identificarse naturalmente con la propia fibra E _x . Esta identificación se obtiene a través de la elevación vertical vl _v : E _x → T _v ( E _x ), definida como

${\displaystyle \operatorname {vl} _{v}w[f]:=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}f(v+tw),\quad f\in C^{\infty }(E_{x}).}$

La elevación vertical también puede verse como un isomorfismo natural del paquete de vectores C ^∞ p*E → VE , donde ( p*E , p*p , E ) es el paquete de retroceso de ( E , p , M ) sobre E a través de p : E → M , y VE  := Ker( p _* ) ⊂ TE es el paquete tangente vertical , un subconjunto vectorial natural del paquete tangente ( TE , π _TE , E ) del espacio total E .

El espacio total E de cualquier paquete de vectores suaves lleva un campo vectorial natural V _v  := vl _v v , conocido como campo vectorial canónico . Más formalmente, V es una sección suave de ( TE , π _TE , E ), y también puede definirse como el generador infinitesimal de la acción del grupo de Lie dada por la multiplicación escalar de fibra. El campo vectorial canónico V caracteriza completamente la estructura suave del haz de vectores de la siguiente manera. Como preparación, tenga en cuenta que cuando X es un campo vectorial suave en una variedad suave M y x ∈ M tal que X _x = 0, la aplicación lineal ${\displaystyle (t,v)\mapsto e^{tv}}$

${\displaystyle C_{x}(X):T_{x}M\to T_{x}M;\quad C_{x}(X)Y=(\nabla _{Y}X)_{x}}$

no depende de la elección de la derivada covariante lineal ∇ en M . El campo vectorial canónico V en E satisface los axiomas

1. El flujo ( t , v ) → Φ ^t _V ( v ) de V está definido globalmente.
2. Para cada v ∈ V hay un límite único _t→∞ Φ ^t _V ( v ) ∈ V .
3. C _v ( V )∘ C _v ( V ) = C _v ( V ) siempre que V _v = 0.
4. El conjunto cero de V es una subvariedad suave de E cuya codimensión es igual al rango de C _v ( V ).

Por el contrario, si E es cualquier variedad suave y V es un campo vectorial suave en E que satisface 1–4, entonces hay una estructura de paquete de vectores única en E cuyo campo vectorial canónico es V.

Para cualquier paquete de vectores suave ( E , p , M ) el espacio total TE de su paquete tangente ( TE , π _TE , E ) tiene una estructura de paquete de vectores secundarios natural ( TE , p _* , TM ), donde p _* es el empuje -adelante de la proyección canónica p : E → M . Las operaciones de paquete de vectores en esta estructura de paquete de vectores secundaria son los avances + _* : T ( E × E ) → TE y λ _* : TE → TE de la suma original +: E × E → E y la multiplicación escalar λ: E → mi .

teoría k

El grupo de la teoría K, K ( X ) , de un espacio topológico compacto de Hausdorff se define como el grupo abeliano generado por clases de isomorfismo [ E ] de haces vectoriales complejos módulo la relación que, siempre que tengamos una secuencia exacta

$${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0,}$$

$${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$$

teoría K topológicaLa teoría KOsoportes compactos

El famoso teorema de periodicidad de Raoul Bott afirma que la teoría K de cualquier espacio X es isomorfa a la del S ² X , la doble suspensión de X.

En geometría algebraica , se consideran los grupos de la teoría K que consisten en haces coherentes en un esquema X , así como los grupos de la teoría K de haces de vectores en el esquema con la relación de equivalencia anterior . Las dos construcciones son iguales siempre que el esquema subyacente sea fluido .

Ver también

Nociones generales

• Grassmanniano : clasificación de espacios para haces de vectores, entre los cuales espacios proyectivos para haces de líneas
• Clase característica
• Principio de división
• Paquete estable

Topología y geometría diferencial.

• Teoría de calibre : el estudio general de las conexiones en haces de vectores y haces principales y sus relaciones con la física.
• Conexión : la noción necesaria para diferenciar secciones de haces de vectores.

Geometría algebraica y analítica.

• Paquete de vectores algebraicos
• grupo picardo
• Paquete de vectores holomorfos

Notas

1. Hatcher 2003, ejemplo 3.6.
2. Lang 1995.

Fuentes

• Abraham, Ralph H .; Marsden, Jerrold E. (1978), Fundamentos de la mecánica , Londres: Benjamin-Cummings, consulte la sección 1.5, ISBN 978-0-8053-0102-1.
• Hatcher, Allen (2003), Paquetes de vectores y teoría K (2.0 ed.).
• Jost, Jürgen (2002), Geometría y análisis geométrico de Riemann (3.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42627-1, ver sección 1.5.
• Lang, Serge (1995), Colectores diferenciales y riemannianos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94338-1.
• Lee, Jeffrey M. (2009), Colectores y geometría diferencial, Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 107, Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-4815-9.
• Lee, John M. (2003), Introducción a Smooth Manifolds, Nueva York: Springer, ISBN 0-387-95448-1ver Capítulo 5
• Rubei, Elena (2014), Geometría algebraica, un diccionario conciso , Berlín/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3.

enlaces externos

• "Paquete de vectores", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• ¿Por qué es útil estudiar paquetes de vectores? en MathOverflow
• ¿Por qué es útil clasificar los haces vectoriales de un espacio?