En matemáticas , un grupo de matrices es un grupo G que consta de matrices invertibles sobre un campo específico K , con la operación de multiplicación de matrices . Un grupo lineal es un grupo que es isomorfo a un grupo matricial (es decir, que admite una representación fiel de dimensión finita sobre K ).
Cualquier grupo finito es lineal, porque puede realizarse mediante matrices de permutación utilizando el teorema de Cayley . Entre grupos infinitos , los grupos lineales forman una clase interesante y manejable. Ejemplos de grupos que no son lineales incluyen grupos que son "demasiado grandes" (por ejemplo, el grupo de permutaciones de un conjunto infinito), o que exhiben algún comportamiento patológico (por ejemplo, grupos de torsión infinitos generados finitamente ).
Se dice que un grupo G es lineal si existe un campo K , un número entero d y un homomorfismo inyectivo de G al grupo lineal general GL d ( K ) (una representación lineal fiel de la dimensión d sobre K ): si es necesario, se puede mencione el campo y la dimensión diciendo que G es lineal de grado d sobre K . Las instancias básicas son grupos que se definen como subgrupos de un grupo lineal, por ejemplo:
En el estudio de grupos de Lie , a veces resulta pedagógicamente conveniente restringir la atención a los grupos de Lie que pueden representarse fielmente en el campo de números complejos . (Algunos autores requieren que el grupo se represente como un subgrupo cerrado del GL n ( C ).) Los libros que siguen este enfoque incluyen Hall (2015) [1] y Rossmann (2002). [2]
Los llamados grupos clásicos generalizan los ejemplos 1 y 2 anteriores. Surgen como grupos algebraicos lineales , es decir, como subgrupos de GL n definidos por un número finito de ecuaciones. Los ejemplos básicos son grupos ortogonales , unitarios y simplécticos , pero es posible construir más usando álgebras de división (por ejemplo, el grupo unitario de un álgebra de cuaterniones es un grupo clásico). Tenga en cuenta que los grupos proyectivos asociados a estos grupos también son lineales, aunque menos obvios. Por ejemplo, el grupo PSL 2 ( R ) no es un grupo de matrices de 2 × 2, pero tiene una representación fiel como matrices de 3 × 3 (la representación adjunta ), que puede usarse en el caso general.
Muchos grupos de Lie son lineales, pero no todos. La cobertura universal de SL 2 ( R ) no es lineal, como lo son muchos grupos solubles , por ejemplo el cociente del grupo de Heisenberg por un subgrupo cíclico central .
Los subgrupos discretos de grupos de Lie clásicos (por ejemplo, redes o grupos delgados ) también son ejemplos de grupos lineales interesantes.
Un grupo finito G de orden n es lineal de grado como máximo n sobre cualquier campo K. Esta afirmación a veces se denomina teorema de Cayley y simplemente resulta del hecho de que la acción de G sobre el anillo del grupo K [ G ] por multiplicación por la izquierda (o por la derecha) es lineal y fiel. Los grupos finitos de tipo Lie (grupos clásicos sobre cuerpos finitos) son una familia importante de grupos finitos simples , ya que ocupan la mayoría de los espacios en la clasificación de grupos finitos simples .
Si bien el ejemplo 4 anterior es demasiado general para definir una clase distintiva (incluye todos los grupos lineales), restringirlo a un conjunto de índices finito I , es decir, a grupos generados de forma finita, permite construir muchos ejemplos interesantes. Por ejemplo:
En algunos casos, se puede demostrar que el grupo fundamental de una variedad es lineal utilizando representaciones provenientes de una estructura geométrica. Por ejemplo, todas las superficies cerradas de género al menos 2 son superficies de Riemann hiperbólicas . A través del teorema de uniformización esto da lugar a una representación de su grupo fundamental en el grupo de isometría del plano hiperbólico , que es isomorfo a PSL 2 ( R ) y esto realiza el grupo fundamental como un grupo fucsiano . Una generalización de esta construcción viene dada por la noción de estructura ( G , X ) en una variedad.
Otro ejemplo es el grupo fundamental de variedades de Seifert . Por otro lado, no se sabe si todos los grupos fundamentales de variedades 3 son lineales. [4]
Si bien los grupos lineales son una amplia clase de ejemplos, entre todos los grupos infinitos se distinguen por muchas propiedades notables. Los grupos lineales generados finitamente tienen las siguientes propiedades:
La alternativa de las tetas establece que un grupo lineal contiene un grupo libre no abeliano o es prácticamente solucionable (es decir, contiene un grupo solucionable de índice finito). Esto tiene muchas consecuencias más, por ejemplo:
No es difícil dar ejemplos de grupos no lineales generados infinitamente: por ejemplo, el grupo abeliano infinito ( Z /2 Z ) N x ( Z /3 Z ) N no puede ser lineal. [8] Dado que el grupo simétrico en un conjunto infinito contiene este grupo, tampoco es lineal. Encontrar ejemplos generados de forma finita es más sutil y normalmente requiere el uso de una de las propiedades enumeradas anteriormente.
Una vez que se ha establecido que un grupo es lineal, es interesante intentar encontrar representaciones lineales fieles "óptimas", por ejemplo de la dimensión más baja posible, o incluso intentar clasificar todas sus representaciones lineales (incluidas aquellas que no son fieles). ). Estas cuestiones son el objeto de la teoría de la representación . Las partes más destacadas de la teoría incluyen:
La teoría de la representación de infinitos grupos finitamente generados es en general misteriosa; El objeto de interés en este caso son las variedades de caracteres del grupo, que sólo se entienden bien en muy pocos casos, por ejemplo, grupos libres, grupos de superficie y, más generalmente, redes en grupos de Lie (por ejemplo, a través del teorema de superrigidez de Margulis y otros métodos de rigidez). resultados).
