En el campo matemático de la teoría de grupos , un grupo G es residualmente finito o finitamente aproximable si para cada elemento g que no es la identidad en G existe un homomorfismo h de G a un grupo finito , tal que
Hay varias definiciones equivalentes:
Ejemplos de grupos que son residualmente finitos son grupos finitos , grupos libres , grupos nilpotentes generados finitamente , grupos policíclicos por finitos , grupos lineales generados finitamente y grupos fundamentales de 3 variedades compactas .
Los subgrupos de grupos residualmente finitos son residualmente finitos y los productos directos de grupos residualmente finitos son residualmente finitos. Cualquier límite inverso de grupos residualmente finitos es residualmente finito. En particular, todos los grupos profinitos son residualmente finitos.
Se pueden construir ejemplos de grupos no residualmente finitos utilizando el hecho de que todos los grupos residualmente finitos generados de forma finita son grupos hopfianos . Por ejemplo, el grupo B de Baumslag-Solitar (2,3) no es hopfiano y, por lo tanto, no es residualmente finito.
Cada grupo G puede convertirse en un grupo topológico tomando como base de vecindades abiertas de la identidad, la colección de todos los subgrupos normales de índice finito en G. La topología resultante se llama topología finita en G. Un grupo es residualmente finito si, y sólo si, su topología finita es Hausdorff .
Se dice que un grupo cuyos subgrupos cíclicos están cerrados en la topología finita es . Los grupos, cada uno de cuyos subgrupos finitamente generados están cerrados en la topología profinita, se denominan subgrupos separables (también LERF , para localmente extendido residualmente finito ). Un grupo en el que cada clase de conjugación está cerrada en la topología finita se llama conjugación separable .
Una pregunta es: ¿cuáles son las propiedades de una variedad cuyos grupos son residualmente finitos? Dos resultados sobre estos son:
