En matemáticas , un grupo policíclico es un grupo soluble que satisface la condición máxima en subgrupos (es decir, cada subgrupo se genera de forma finita ). Los grupos policíclicos se presentan de forma finita , lo que los hace interesantes desde un punto de vista computacional.
De manera equivalente, un grupo G es policíclico si y sólo si admite una serie subnormal con factores cíclicos, es decir, un conjunto finito de subgrupos, digamos G 0 , ..., G n tal que
Un grupo metacíclico es un grupo policíclico con n ≤ 2, o en otras palabras una extensión de un grupo cíclico por un grupo cíclico.
Ejemplos de grupos policíclicos incluyen grupos abelianos generados finitamente, grupos nilpotentes generados finitamente y grupos solubles finitos. Anatoly Maltsev demostró que los subgrupos solubles del grupo lineal general entero son policíclicos; y más tarde Louis Auslander (1967) y Swan demostraron lo contrario, que cualquier grupo policíclico corresponde, según el isomorfismo, a un grupo de matrices enteras. [1] El holomorfo de un grupo policíclico es también un grupo de matrices enteras. [2]
Se dice que un grupo policíclico G es fuertemente policíclico si cada cociente G i +1 / G i es infinito. Cualquier subgrupo de un grupo fuertemente policíclico es fuertemente policíclico.
Un grupo prácticamente policíclico es un grupo que tiene un subgrupo policíclico de índice finito , un ejemplo de propiedad virtual . Tal grupo tiene necesariamente un subgrupo policíclico normal de índice finito y, por lo tanto, dichos grupos también se denominan grupos policíclicos por finito . Aunque los grupos policíclicos por finitos no necesitan ser solubles, todavía tienen muchas de las propiedades de finitud de los grupos policíclicos; por ejemplo, satisfacen la condición máxima y están presentados de forma finita y son residualmente finitos .
En el libro de texto (Scott 1964, Capítulo 7.1) y en algunos artículos, un grupo M se refiere a lo que ahora se llama un grupo policíclico por finito , que según el teorema de Hirsch también se puede expresar como un grupo que tiene una serie subnormal de longitud finita. siendo cada factor un grupo finito o un grupo cíclico infinito .
Estos grupos son particularmente interesantes porque son los únicos ejemplos conocidos de anillos de grupo noetherianos (Ivanov 1989), o anillos de grupo de dimensión inyectiva finita. [ cita necesaria ]
La longitud de Hirsch o número de Hirsch de un grupo policíclico G es el número de infinitos factores en su serie subnormal.
Si G es un grupo policíclico por finito, entonces la longitud de Hirsch de G es la longitud de Hirsch de un subgrupo normal policíclico H de G , donde H tiene un índice finito en G. Esto es independiente de la elección del subgrupo, ya que todos esos subgrupos tendrán la misma longitud de Hirsch.