Anillo de grupo

El conjunto de funciones finitamente soportadas desde un grupo hasta un anillo.

En álgebra , un anillo de grupo es un módulo libre y a la vez un anillo , construido de manera natural a partir de cualquier anillo dado y de cualquier grupo dado . Como módulo libre, su anillo de escalares es el anillo dado, y su base es el conjunto de elementos del grupo dado. Como anillo, su ley de adición es la del módulo libre y su multiplicación extiende "por linealidad" la ley de grupo dada sobre la base. De manera menos formal, un anillo de grupo es una generalización de un grupo dado, al adjuntar a cada elemento del grupo un "factor de ponderación" de un anillo dado.

Si el anillo es conmutativo, entonces el anillo de grupo también se denomina álgebra de grupo , ya que es, de hecho, un álgebra sobre el anillo dado. Un álgebra de grupo sobre un cuerpo tiene una estructura adicional de álgebra de Hopf ; en este caso, se denomina álgebra de Hopf de grupo .

El aparato de anillos de grupo es especialmente útil en la teoría de representaciones de grupos .

Definición

Sea un grupo, escrito multiplicativamente, y sea un anillo. El anillo de grupo de sobre , que denotaremos por , o simplemente , es el conjunto de aplicaciones de soporte finito ( es distinto de cero solo para un número finito de elementos ), donde el módulo producto escalar de un escalar en y una aplicación se define como la aplicación , y el módulo grupo suma de dos aplicaciones y se define como la aplicación . Para convertir el grupo aditivo en un anillo, definimos el producto de y como la aplicación ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle f\colon G\to R}$ ${\displaystyle f(g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\mapsto \alpha \cdot f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x\mapsto f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle x\mapsto \sum _{uv=x}f(u)g(v)=\sum _{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).}$

La suma es legítima porque y tienen soporte finito, y los axiomas del anillo se verifican fácilmente. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Se utilizan algunas variaciones en la notación y la terminología. En particular, las aplicaciones como ^[1] a veces se escriben como lo que se denomina "combinaciones lineales formales de elementos de con coeficientes en ": ${\displaystyle f:G\to R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \sum _{g\in G}f(g)g,}$

o simplemente

${\displaystyle \sum _{g\in G}f_{g}g.}$^[2]

Nótese que si el anillo es de hecho un campo , entonces la estructura del módulo del anillo de grupo es de hecho un espacio vectorial sobre . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle K}$

Ejemplos

1. Sea G = C ₃ , el grupo cíclico de orden 3, con generador y elemento identidad 1 _G . Un elemento r de C [ G ] se puede escribir como ${\displaystyle a}$

${\displaystyle r=z_{0}1_{G}+z_{1}a+z_{2}a^{2}\,}$

donde z ₀ , z ₁ y z ₂ son en C , los números complejos . Esto es lo mismo que un anillo polinómico en variable tal que es decir C [ G ] es isomorfo al anillo C [ ]/ . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{3}=a^{0}=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a^{3}-1)}$

Escribiendo un elemento diferente como , su suma es ${\displaystyle s=w_{0}1_{G}+w_{1}a+w_{2}a^{2}}$

${\displaystyle r+s=(z_{0}+w_{0})1_{G}+(z_{1}+w_{1})a+(z_{2}+w_{2})a^{2}\,}$

y su producto es

${\displaystyle rs=(z_{0}w_{0}+z_{1}w_{2}+z_{2}w_{1})1_{G}+(z_{0}w_{1}+z_{1}w_{0}+z_{2}w_{2})a+(z_{0}w_{2}+z_{2}w_{0}+z_{1}w_{1})a^{2}.}$

Obsérvese que el elemento identidad 1 _G de G induce una incrustación canónica del anillo de coeficientes (en este caso C ) en C [ G ]; sin embargo, estrictamente hablando, el elemento identidad multiplicativo de C [ G ] es 1⋅1 _G donde el primer 1 proviene de C y el segundo de G . El elemento identidad aditivo es cero.

Cuando G es un grupo no conmutativo, se debe tener cuidado de preservar el orden de los elementos del grupo (y no conmutarlos accidentalmente) al multiplicar los términos.

2. El anillo de polinomios de Laurent sobre un anillo R es el anillo de grupo del grupo cíclico infinito Z sobre R .

3. Sea Q el grupo de cuaterniones con elementos . Consideremos el anillo de grupo R Q , donde R es el conjunto de números reales. Un elemento arbitrario de este anillo de grupo tiene la forma ${\displaystyle \{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}}$

${\displaystyle x_{1}\cdot e+x_{2}\cdot {\bar {e}}+x_{3}\cdot i+x_{4}\cdot {\bar {i}}+x_{5}\cdot j+x_{6}\cdot {\bar {j}}+x_{7}\cdot k+x_{8}\cdot {\bar {k}}}$

donde es un número real. ${\displaystyle x_{i}}$

La multiplicación, como en cualquier otro anillo de grupo, se define en función de la operación de grupo. Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}3\cdot e+{\sqrt {2}}\cdot i{\big )}\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)&=(3\cdot e)\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)+({\sqrt {2}}\cdot i)\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\big (}(e)({\bar {j}}){\big )}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\big (}(i)({\bar {j}}){\big )}\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\bar {j}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\bar {k}}\end{aligned}}.}$

Nótese que R Q no es lo mismo que el campo oblicuo de cuaterniones sobre R . Esto se debe a que el campo oblicuo de cuaterniones satisface relaciones adicionales en el anillo, como , mientras que en el anillo de grupo R Q , no es igual a . Para ser más específico, el anillo de grupo R Q tiene dimensión 8 como un espacio vectorial real , mientras que el campo oblicuo de cuaterniones tiene dimensión 4 como un espacio vectorial real . ${\displaystyle -1\cdot i=-i}$ ${\displaystyle -1\cdot i}$ ${\displaystyle 1\cdot {\bar {i}}}$

4. Otro ejemplo de un anillo de grupo no abeliano es donde es el grupo simétrico en 3 letras. Este no es un dominio integral ya que tenemos donde el elemento es la transposición que intercambia 1 y 2. Por lo tanto, el anillo de grupo no necesita ser un dominio integral incluso cuando el anillo subyacente es un dominio integral. ${\displaystyle \mathbb {Z} [\mathbb {S} _{3}]}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{3}}$ ${\displaystyle [1-(12)]*[1+(12)]=1-(12)+(12)-(12)(12)=1-1=0}$ ${\displaystyle (12)\in \mathbb {S} _{3}}$

Algunas propiedades básicas

Usando 1 para denotar la identidad multiplicativa del anillo R , y denotando la unidad del grupo por 1 _G , el anillo R [ G ] contiene un subanillo isomorfo a R , y su grupo de elementos invertibles contiene un subgrupo isomorfo a G . Para considerar la función indicadora de {1 _G }, que es el vector f definido por

${\displaystyle f(g)=1\cdot 1_{G}+\sum _{g\not =1_{G}}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{1_{G}\}}(g)={\begin{cases}1&g=1_{G}\\0&g\neq 1_{G}\end{cases}},}$

el conjunto de todos los múltiplos escalares de f es un subanillo de R [ G ] isomorfo a R . Y si asignamos cada elemento s de G a la función indicadora de { s }, que es el vector f definido por

${\displaystyle f(g)=1\cdot s+\sum _{g\not =s}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{s\}}(g)={\begin{cases}1&g=s\\0&g\neq s\end{cases}}}$

La función resultante es un homomorfismo de grupo inyectivo (con respecto a la multiplicación, no a la adición, en R [ G ]).

Si R y G son ambos conmutativos (es decir, R es conmutativo y G es un grupo abeliano ), R [ G ] es conmutativo.

Si H es un subgrupo de G , entonces R [ H ] es un subanillo de R [ G ]. De manera similar, si S es un subanillo de R , S [ G ] es un subanillo de R [ G ].

Si G es un grupo finito de orden mayor que 1, entonces R [ G ] siempre tiene divisores de cero . Por ejemplo, considere un elemento g de G de orden | g | = m > 1. Entonces 1 - g es un divisor de cero:

${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{m-1})=1-g^{m}=1-1=0.}$

Por ejemplo, considere el anillo de grupo Z [ S ₃ ] y el elemento de orden 3 g = (123). En este caso,

${\displaystyle (1-(123))(1+(123)+(132))=1-(123)^{3}=1-1=0.}$

Un resultado relacionado: si el anillo del grupo es primo , entonces G no tiene ningún subgrupo normal finito no identidad (en particular, G debe ser infinito). ${\displaystyle K[G]}$

Demostración: Considerando el contrapositivo , supongamos que es un subgrupo normal finito no identidad de . Tome . Dado que para cualquier , sabemos , por lo tanto . Tomando , tenemos . Por normalidad de , conmuta con una base de , y por lo tanto ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a=\sum _{h\in H}h}$ ${\displaystyle hH=H}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle ha=a}$ ${\displaystyle a^{2}=\sum _{h\in H}ha=|H|a}$ ${\displaystyle b=|H|\,1-a}$ ${\displaystyle ab=0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K[G]}$

${\displaystyle aK[G]b=K[G]ab=0}$.

Y vemos que no son cero, lo que demuestra que no son primos. Esto demuestra el enunciado original. ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle K[G]}$

Álgebra de grupos sobre un grupo finito

Las álgebras de grupo se dan de forma natural en la teoría de representaciones de grupos finitos . El álgebra de grupo K [ G ] sobre un cuerpo K es esencialmente el anillo de grupo, con el cuerpo K ocupando el lugar del anillo. Como conjunto y espacio vectorial, es el espacio vectorial libre sobre G sobre el cuerpo K . Es decir, para x en K [ G ],

${\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}g.}$

La estructura del álgebra en el espacio vectorial se define utilizando la multiplicación en el grupo:

${\displaystyle g\cdot h=gh,}$

donde a la izquierda, g y h indican elementos del álgebra de grupo, mientras que la multiplicación a la derecha es la operación de grupo (denotada por yuxtaposición).

Como la multiplicación anterior puede ser confusa, también se pueden escribir los vectores base de K [ G ] como e _g (en lugar de g ), en cuyo caso la multiplicación se escribe como:

${\displaystyle e_{g}\cdot e_{h}=e_{gh}.}$

Interpretación como funciones

Pensando en el espacio vectorial libre como funciones de valor K en G , la multiplicación algebraica es una convolución de funciones.

Mientras que el álgebra de grupo de un grupo finito se puede identificar con el espacio de funciones del grupo, para un grupo infinito estos son diferentes. El álgebra de grupo, que consiste en sumas finitas , corresponde a funciones del grupo que se anulan para un número cofinito de puntos; topológicamente (usando la topología discreta ), estas corresponden a funciones con soporte compacto .

Sin embargo, el álgebra de grupo K [ G ] y el espacio de funciones K ^G  := Hom( G , K ) son duales: dado un elemento del álgebra de grupo

${\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}g}$

y una función en el grupo f  : G → K estos se aparean para dar un elemento de K a través de

${\displaystyle (x,f)=\sum _{g\in G}a_{g}f(g),}$

que es una suma bien definida porque es finita.

Representaciones de un álgebra de grupos

Tomando K [ G ] como un álgebra abstracta, se puede pedir representaciones del álgebra que actúe sobre un espacio vectorial K V de dimensión d . Tal representación

${\displaystyle {\tilde {\rho }}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V)}$

es un homomorfismo algebraico del álgebra de grupos al álgebra de endomorfismos de V , que es isomorfo al anillo de matrices d × d : . De manera equivalente, este es un K [ G ]-módulo izquierdo sobre el grupo abeliano V . ${\displaystyle \mathrm {End} (V)\cong M_{d}(K)}$

En consecuencia, una representación grupal

${\displaystyle \rho :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(V),}$

es un homomorfismo de grupo de G al grupo de automorfismos lineales de V , que es isomorfo al grupo lineal general de matrices invertibles: . Cualquier representación de este tipo induce una representación algebraica ${\displaystyle \mathrm {Aut} (V)\cong \mathrm {GL} _{d}(K)}$

${\displaystyle {\tilde {\rho }}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V),}$

Simplemente dejando y extendiendo linealmente. Por lo tanto, las representaciones del grupo corresponden exactamente a las representaciones del álgebra, y las dos teorías son esencialmente equivalentes. ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(e_{g})=\rho (g)}$

Representación regular

El álgebra de grupos es un álgebra sobre sí misma; por la correspondencia de representaciones sobre los módulos R y R [ G ], es la representación regular del grupo.

Escrita como representación, es la representación g ↦ ρ _g con la acción dada por , o ${\displaystyle \rho (g)\cdot e_{h}=e_{gh}}$

${\displaystyle \rho (g)\cdot r=\sum _{h\in G}k_{h}\rho (g)\cdot e_{h}=\sum _{h\in G}k_{h}e_{gh}.}$

Descomposición semisimple

La dimensión del espacio vectorial K [ G ] es igual al número de elementos del grupo. El campo K se suele considerar como los números complejos C o los reales R , de modo que se habla de álgebras de grupo C [ G ] o R [ G ].

El álgebra de grupos C [ G ] de un grupo finito sobre los números complejos es un anillo semisimple . Este resultado, el teorema de Maschke , nos permite entender C [ G ] como un producto finito de anillos de matrices con entradas en C. De hecho, si enumeramos las representaciones irreducibles complejas de G como V _k para k = 1, . . . , m , estas corresponden a homomorfismos de grupos y, por lo tanto, a homomorfismos de álgebra . Al ensamblar estas aplicaciones se obtiene un isomorfismo de álgebra. ${\displaystyle \rho _{k}:G\to \mathrm {Aut} (V_{k})}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}_{k}:\mathbb {C} [G]\to \mathrm {End} (V_{k})}$

${\displaystyle {\tilde {\rho }}:\mathbb {C} [G]\to \bigoplus _{k=1}^{m}\mathrm {End} (V_{k})\cong \bigoplus _{k=1}^{m}M_{d_{k}}(\mathbb {C} ),}$

donde d _k es la dimensión de V _k . La subálgebra de C [ G ] correspondiente a End( V _k ) es el ideal bilateral generado por el idempotente

${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {d_{k}}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{k}(g^{-1})\,g,}$

donde es el carácter de V _k . Estos forman un sistema completo de idempotentes ortogonales, de modo que , para j ≠ k , y . El isomorfismo está estrechamente relacionado con la transformada de Fourier en grupos finitos . ${\displaystyle \chi _{k}(g)=\mathrm {tr} \,\rho _{k}(g)}$ ${\displaystyle \epsilon _{k}^{2}=\epsilon _{k}}$ ${\displaystyle \epsilon _{j}\epsilon _{k}=0}$ ${\displaystyle 1=\epsilon _{1}+\cdots +\epsilon _{m}}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$

Para un cuerpo más general K, siempre que la característica de K no divida el orden del grupo G , entonces K [ G ] es semisimple. Cuando G es un grupo abeliano finito , el anillo de grupo K [G] es conmutativo y su estructura es fácil de expresar en términos de raíces de la unidad .

Cuando K es un campo de característica p que divide el orden de G , el anillo de grupo no es semisimple: tiene un radical de Jacobson distinto de cero , y esto le da al tema correspondiente de la teoría de representación modular su propio carácter más profundo.

Centro de un álgebra de grupo

El centro del álgebra de grupos es el conjunto de elementos que conmutan con todos los elementos del álgebra de grupos:

${\displaystyle \mathrm {Z} (K[G]):=\left\{z\in K[G]:\forall r\in K[G],zr=rz\right\}.}$

El centro es igual al conjunto de funciones de clase , es decir el conjunto de elementos que son constantes en cada clase de conjugación.

${\displaystyle \mathrm {Z} (K[G])=\left\{\sum _{g\in G}a_{g}g:\forall g,h\in G,a_{g}=a_{h^{-1}gh}\right\}.}$

Si K = C , el conjunto de caracteres irreducibles de G forma una base ortonormal de Z( K [ G ]) con respecto al producto interno

${\displaystyle \left\langle \sum _{g\in G}a_{g}g,\sum _{g\in G}b_{g}g\right\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}{\bar {a}}_{g}b_{g}.}$

Anillos de grupo sobre un grupo infinito

Se sabe mucho menos en el caso en que G es infinito numerable o incontable, y este es un área de investigación activa. ^[3] El caso en que R es el cuerpo de números complejos es probablemente el mejor estudiado. En este caso, Irving Kaplansky demostró que si a y b son elementos de C [ G ] con ab = 1 , entonces ba = 1 . Se desconoce si esto es cierto si R es un cuerpo de característica positiva.

Una conjetura de larga data de Kaplansky (~1940) dice que si G es un grupo libre de torsión y K es un cuerpo, entonces el anillo de grupo K [ G ] no tiene divisores de cero no triviales . Esta conjetura es equivalente a que K [ G ] no tenga nilpotentes no triviales bajo las mismas hipótesis para K y G .

De hecho, la condición de que K es un campo puede relajarse para cualquier anillo que pueda integrarse en un dominio integral .

La conjetura permanece abierta en su totalidad, sin embargo se ha demostrado que algunos casos especiales de grupos sin torsión satisfacen la conjetura del divisor cero. Entre ellos se incluyen:

• Grupos de productos únicos (por ejemplo , grupos que se pueden pedir , en particular grupos gratuitos )
• Grupos elementales amenizables (por ejemplo, grupos virtualmente abelianos )
• Grupos difusos, en particular, los grupos que actúan libremente isométricamente en árboles R y los grupos fundamentales de grupos de superficies, excepto los grupos fundamentales de sumas directas de una, dos o tres copias del plano proyectivo.

El caso donde G es un grupo topológico se analiza con mayor detalle en el artículo Álgebra de grupos de un grupo localmente compacto .

Teoría de categorías

Adjunto

Categóricamente , la construcción del anillo de grupo es adjunta izquierda al " grupo de unidades "; los siguientes funtores son un par adjunto :

${\displaystyle R[-]\colon \mathbf {Grp} \to R\mathbf {{\text{-}}Alg} }$

${\displaystyle (-)^{\times }\colon R\mathbf {{\text{-}}Alg} \to \mathbf {Grp} }$

donde lleva un grupo a su anillo de grupo sobre R , y lleva una R -álgebra a su grupo de unidades. ${\displaystyle R[-]}$ ${\displaystyle (-)^{\times }}$

Cuando R = Z , esto da una adjunción entre la categoría de grupos y la categoría de anillos , y la unidad de la adjunción lleva un grupo G a un grupo que contiene unidades triviales: G × {±1} = {± g }. En general, los anillos de grupo contienen unidades no triviales. Si G contiene elementos a y b tales que y b no se normaliza, entonces el cuadrado de ${\displaystyle a^{n}=1}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$

${\displaystyle x=(a-1)b\left(1+a+a^{2}+...+a^{n-1}\right)}$

es cero, por lo tanto . El elemento 1 + x es una unidad de orden infinito. ${\displaystyle (1+x)(1-x)=1}$

Propiedad universal

La adjunción anterior expresa una propiedad universal de los anillos de grupo. ^{[2] [4]} Sea R un anillo (conmutativo), sea G un grupo y sea S un R -álgebra. Para cualquier homomorfismo de grupo , existe un único homomorfismo de R -álgebra tal que donde i es la inclusión ${\displaystyle f:G\to S^{\times }}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:R[G]\to S}$ ${\displaystyle {\overline {f}}^{\times }\circ i=f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i:G&\longrightarrow R[G]\\g&\longmapsto 1_{R}g\end{aligned}}}$

En otras palabras, ¿el homomorfismo único hace que el siguiente diagrama conmute? ${\displaystyle {\overline {f}}}$

Cualquier otro anillo que satisfaga esta propiedad es canónicamente isomorfo al anillo del grupo.

Álgebra de Hopf

El álgebra de grupo K [ G ] tiene una estructura natural de álgebra de Hopf . La comultiplicación está definida por , extendida linealmente, y el antípoda es , nuevamente extendida linealmente. ${\displaystyle \Delta (g)=g\otimes g}$ ${\displaystyle S(g)=g^{-1}}$

Generalizaciones

El álgebra de grupos se generaliza al anillo monoide y de allí al álgebra de categorías , de la cual otro ejemplo es el álgebra de incidencia .

Filtración

Si un grupo tiene una función de longitud (por ejemplo, si hay una elección de generadores y uno toma la palabra métrica , como en los grupos de Coxeter ), entonces el anillo del grupo se convierte en un álgebra filtrada .

Véase también

• Álgebra de grupos de un grupo localmente compacto
• Anillo monoide
• Conjeturas de Kaplansky

Teoría de la representación

• Representación grupal
• Representación regular

Teoría de categorías

• Álgebra categórica
• Grupo de unidades
• Álgebra de incidencia
• Álgebra de carcaj

Notas

1. Milies y Sehgal (2002), págs. 129 y 131.
2. Milies y Sehgal (2002), pág. 131.
3. Passman, Donald S. (1976). "¿Qué es un anillo de grupo?". Amer. Math. Monthly . 83 (3): 173–185. doi :10.2307/2977018. JSTOR  2977018.
4. "Álgebra de grupos en nLab". ncatlab.org . Consultado el 1 de noviembre de 2017 .

Referencias

• AA Bovdi (2001) [1994], "Álgebra de grupos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. Introducción a los anillos de grupo . Álgebras y aplicaciones, Volumen 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0 
• Charles W. Curtis , Irving Reiner . Teoría de la representación de grupos finitos y álgebras asociativas, Interscience (1962)
• DS Passman, La estructura algebraica de los anillos de grupo, Wiley (1977)