En la teoría de categorías , un campo de las matemáticas , un álgebra de categorías es un álgebra asociativa , definida para cualquier categoría localmente finita y anillo conmutativo con unidad . Las álgebras de categorías generalizan las nociones de álgebras de grupos y álgebras de incidencia , así como las categorías generalizan las nociones de grupos y conjuntos parcialmente ordenados .
Si la categoría dada es finita (tiene un número finito de objetos y morfismos ), entonces las siguientes dos definiciones del álgebra de categorías concuerdan.
Dado un grupo G y un anillo conmutativo R , se puede construir RG , conocida como el álgebra de grupos ; es un módulo R equipado con una multiplicación. Un grupo es lo mismo que una categoría con un solo objeto en el que todos los morfismos son isomorfismos (donde los elementos del grupo corresponden a los morfismos de la categoría), por lo que la siguiente construcción generaliza la definición del álgebra de grupos a categorías arbitrarias.
Sea C una categoría y R un anillo conmutativo con unidad. Definamos RC (o R [ C ]) como el módulo R libre con el conjunto de morfismos de C como base . En otras palabras, RC consiste en combinaciones lineales formales (que son sumas finitas) de la forma , donde f i son morfismos de C y a i son elementos del anillo R . Definamos una operación de multiplicación sobre RC de la siguiente manera, utilizando la operación de composición en la categoría:
donde si su composición no está definida. Esto define una operación binaria sobre RC y, además, convierte a RC en un álgebra asociativa sobre el anillo R. Esta álgebra se denomina álgebra de categorías de C.
Desde una perspectiva diferente, los elementos del módulo libre RC también podrían considerarse como funciones de los morfismos de C a R que tienen soporte finito . Entonces la multiplicación se describe mediante una convolución : si (pensados como funcionales sobre los morfismos de C ), entonces su producto se define como:
La última suma es finita porque las funciones tienen un soporte finito y, por lo tanto , .
La definición utilizada para las álgebras de incidencia supone que la categoría C es localmente finita (véase más abajo), es dual a la definición anterior y define un objeto diferente . Esta no es una suposición útil para los grupos, ya que un grupo que es localmente finito como categoría es finito .
Una categoría localmente finita es aquella en la que cada morfismo puede escribirse de un número finito de maneras como la composición de dos morfismos no idénticos (no debe confundirse con el significado de "tiene conjuntos Hom finitos "). El álgebra de categorías (en este sentido) se define como se indicó anteriormente, pero permitiendo que todos los coeficientes sean distintos de cero.
En términos de sumas formales, los elementos son todos sumas formales.
donde no hay restricciones sobre (todos pueden ser distintos de cero).
En términos de funciones, los elementos son cualquier función de los morfismos de C a R y la multiplicación se define como convolución. La suma en la convolución es siempre finita debido al supuesto de finitud local.
El dual de módulo del álgebra de categorías (en el sentido de álgebra de grupos de la definición) es el espacio de todas las aplicaciones de los morfismos de C a R , denotado F ( C ), y tiene una estructura de coalgebra natural . Por lo tanto, para una categoría localmente finita, el dual de un álgebra de categorías (en el sentido de álgebra de grupos) es el álgebra de categorías (en el sentido de álgebra de incidencia), y tiene una estructura tanto de álgebra como de coalgebra.
