En teoría de categorías , un campo de las matemáticas , un álgebra de categorías es un álgebra asociativa , definida para cualquier categoría localmente finita y anillo conmutativo con unidad . Las álgebras de categorías generalizan las nociones de álgebras de grupo y álgebras de incidencia , del mismo modo que las categorías generalizan las nociones de grupos y conjuntos parcialmente ordenados .
Si la categoría dada es finita (tiene un número finito de objetos y morfismos ), entonces las dos definiciones siguientes del álgebra de categorías concuerdan.
Dado un grupo G y un anillo conmutativo R , se puede construir RG , conocida como álgebra de grupos ; es un módulo R equipado con una multiplicación. Un grupo es lo mismo que una categoría con un solo objeto en la que todos los morfismos son isomorfismos (donde los elementos del grupo corresponden a los morfismos de la categoría), por lo que la siguiente construcción generaliza la definición del álgebra de grupos de grupos a categorías arbitrarias. .
Sea C una categoría y R un anillo conmutativo con unidad. Defina RC (o R [ C ]) como el módulo R libre con el conjunto de morfismos de C como base . En otras palabras, RC consta de combinaciones lineales formales (que son sumas finitas) de la forma , donde f i son morfismos de C y a i son elementos del anillo R. Defina una operación de multiplicación en RC de la siguiente manera, utilizando la operación de composición en la categoría:
donde si no se define su composición. Esto define una operación binaria en RC y, además, convierte a RC en un álgebra asociativa sobre el anillo R. Esta álgebra se llama álgebra de categorías de C.
Desde una perspectiva diferente, los elementos del módulo libre RC también podrían considerarse como funciones de los morfismos de C a R que están soportados de forma finita . Entonces la multiplicación se describe mediante una convolución : si (pensados como funcionales en los morfismos de C ), entonces su producto se define como:
La última suma es finita porque las funciones están soportadas de forma finita y, por tanto , .
La definición utilizada para las álgebras de incidencia supone que la categoría C es localmente finita (ver más abajo), es dual a la definición anterior y define un objeto diferente . Esta no es una suposición útil para grupos, ya que un grupo que es localmente finito como categoría es finito .
Una categoría localmente finita es aquella en la que cada morfismo puede escribirse sólo de un número finito de formas como la composición de dos morfismos no identitarios (que no debe confundirse con el significado de "tiene conjuntos de Hom finitos "). La categoría álgebra (en este sentido) se define como arriba, pero permitiendo que todos los coeficientes sean distintos de cero.
En términos de sumas formales, los elementos son todos sumas formales.
donde no hay restricciones sobre (todos pueden ser distintos de cero).
En términos de funciones, los elementos son funciones cualquiera de los morfismos de C a R , y la multiplicación se define como convolución. La suma en la convolución siempre es finita debido al supuesto de finitud local.
El módulo dual del álgebra de categorías (en el sentido de la definición de álgebra grupal) es el espacio de todos los mapas de los morfismos de C a R , denotado F ( C ), y tiene una estructura de coalgebra natural . Así, para una categoría localmente finita, el dual de un álgebra de categorías (en el sentido de álgebra de grupo) es el álgebra de categorías (en el sentido de álgebra de incidencia), y tiene una estructura de álgebra y coalgebra.
