En matemáticas , en el campo de la teoría de categorías , una categoría discreta es una categoría cuyos únicos morfismos son los morfismos identidad :
Puesto que por axiomas, siempre existe el morfismo identidad entre el mismo objeto, podemos expresar lo anterior como condición sobre la cardinalidad del conjunto hom.
Algunos autores prefieren una noción más débil, donde una categoría discreta simplemente necesita ser equivalente a dicha categoría.
Cualquier clase de objetos define una categoría discreta cuando se amplía con mapas de identidad.
Cualquier subcategoría de una categoría discreta es discreta. Además, una categoría es discreta si y solo si todas sus subcategorías están completas .
El límite de cualquier funtor de una categoría discreta a otra categoría se llama producto , mientras que el colimite se llama coproducto . Así, por ejemplo, la categoría discreta con solo dos objetos se puede usar como un diagrama o funtor diagonal para definir un producto o coproducto de dos objetos. Alternativamente, para una categoría general C y la categoría discreta 2 , se puede considerar la categoría de funtor C 2. Los diagramas de 2 en esta categoría son pares de objetos, y el límite del diagrama es el producto.
El funtor de Set a Cat que envía un conjunto a la categoría discreta correspondiente es adjunto izquierdo del funtor que envía una categoría pequeña a su conjunto de objetos. (Para el adjunto derecho, consulte categoría indiscreta ).