Funtores adjuntos

Relación entre dos funtores que abstraen muchas construcciones comunes

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , la adjunción es una relación que pueden exhibir dos functores , correspondiendo intuitivamente a una forma débil de equivalencia entre dos categorías relacionadas. Dos funtores que mantienen esta relación se conocen como funtores adjuntos , siendo uno el adjunto izquierdo y el otro el adjunto derecho . Los pares de functores adjuntos son omnipresentes en matemáticas y a menudo surgen de construcciones de "soluciones óptimas" a ciertos problemas (es decir, construcciones de objetos que tienen una determinada propiedad universal ), como la construcción de un grupo libre en un conjunto en álgebra, o la Construcción de la compactación de Stone-Čech de un espacio topológico en topología.

Por definición, una conjunción entre categorías y es un par de functores (se supone que son covariantes ) ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$   y   ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$

y, para todos los objetos en y en , una biyección entre los respectivos conjuntos de morfismos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$

tal que esta familia de biyecciones es natural en y . Naturalidad aquí significa que existen isomorfismos naturales entre el par de functores y para una entrada fija , y también el par de functores y para una entrada fija . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(F-,X):{\mathcal {D}}\to \mathrm {Set^{\text{op}}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(-,GX):{\mathcal {D}}\to \mathrm {Set^{\text{op}}} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(FY,-):{\mathcal {C}}\to \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(Y,G-):{\mathcal {C}}\to \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

El funtor se denomina funtor adjunto izquierdo o adjunto izquierdo a , mientras que se denomina funtor adjunto derecho o adjunto derecho a . Nosotros escribimos . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\dashv G}$

Una conjunción entre categorías y es algo similar a una "forma débil" de una equivalencia entre y y , de hecho, toda equivalencia es una conjunción. En muchas situaciones, una adjunción se puede "actualizar" a una equivalencia mediante una modificación natural adecuada de las categorías y functores involucrados. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Terminología y notación

Los términos adjunto y adjunto se utilizan y son cognados : uno se toma directamente del latín y el otro del latín a través del francés. En el texto clásico Categorías para el matemático trabajador , Mac Lane hace una distinción entre los dos. dada una familia

${\displaystyle \varphi _{XY}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$

de biyecciones hom-set, llamamos adjunción o adjunción entre y . Si es una flecha en , es el complemento derecho de (p. 81). El funtor es adjunto a la izquierda y adjunto a la derecha . (Tenga en cuenta que puede tener un adjunto derecho que es bastante diferente de ; vea un ejemplo a continuación). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)}$ ${\displaystyle \varphi f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

En general, las frases " es un adjunto izquierdo" y " tiene un adjunto derecho" son equivalentes. Llamamos adjunto izquierdo porque se aplica al argumento izquierdo de y adjunto derecho porque se aplica al argumento derecho de . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}}$

Si F se deja junto a G , también escribimos

${\displaystyle F\dashv G.}$

La terminología proviene de la idea espacial de Hilbert de operadores adjuntos , con , que es formalmente similar a la relación anterior entre hom-sets. La analogía con los mapas adjuntos de espacios de Hilbert puede precisarse en ciertos contextos. ^[1] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \langle Ty,x\rangle =\langle y,Ux\rangle }$

Introducción y motivación

El lema es "Los functores adjuntos surgen en todas partes".

—  Saunders Mac Lane, Categorías para el matemático que trabaja

Las construcciones matemáticas comunes suelen ser funtores adjuntos. En consecuencia, los teoremas generales sobre los funtores adjuntos izquierda/derecha codifican los detalles de muchos resultados útiles y, por lo demás, no triviales. Dichos teoremas generales incluyen la equivalencia de las diversas definiciones de funtores adjuntos, la unicidad de un adjunto derecho para un adjunto izquierdo dado, el hecho de que los funtores adjuntos izquierdo/derecho preservan respectivamente los colímites/límites (que también se encuentran en todas las áreas de las matemáticas) y los teoremas generales del funtor adjunto que dan las condiciones bajo las cuales un functor dado es un adjunto izquierdo/derecho.

Soluciones a problemas de optimización.

En cierto sentido, un funtor adjunto es una forma de dar la solución más eficiente a algún problema mediante un método formulaico . Por ejemplo, un problema elemental en la teoría de anillos es cómo convertir un rng (que es como un anillo que podría no tener una identidad multiplicativa) en un anillo . La forma más eficiente es unir un elemento '1' al anillo, unir todos (y sólo) los elementos que son necesarios para satisfacer los axiomas del anillo (por ejemplo, r +1 para cada r en el anillo) y no imponer relaciones en el anillo recién formado que no están forzados por axiomas. Además, esta construcción es formulaica en el sentido de que funciona esencialmente de la misma manera para cualquier rng.

Esto es bastante vago, aunque sugerente, y puede precisarse en el lenguaje de la teoría de categorías: una construcción es más eficiente si satisface una propiedad universal y es formulaica si define un funtor . Las propiedades universales son de dos tipos: propiedades iniciales y propiedades terminales. Al tratarse de nociones duales , sólo es necesario discutir una de ellas.

La idea de utilizar una propiedad inicial es plantear el problema en términos de alguna categoría auxiliar E , de modo que el problema en cuestión corresponda a encontrar un objeto inicial de E. Esto tiene la ventaja de que la optimización (la sensación de que el proceso encuentra la solución más eficiente ) significa algo riguroso y reconocible, algo así como el logro de un supremo . La categoría E también es formulada en esta construcción, ya que siempre es la categoría de elementos del funtor para la cual se construye un adjunto.

Volviendo a nuestro ejemplo: tome el rng R dado y cree una categoría E cuyos objetos sean homomorfismos de rng R → S , siendo S un anillo que tiene una identidad multiplicativa. Los morfismos en E entre R → S ₁ y R → S ₂ son triángulos conmutativos de la forma ( R → S ₁ , R → S ₂ , S ₁ → S ₂ ) donde S ₁ → S ₂ es un mapa de anillos (que conserva la identidad). (Tenga en cuenta que esta es precisamente la definición de la categoría de coma de R sobre la inclusión de anillos unitarios en rng). La existencia de un morfismo entre R → S ₁ y R → S ₂ implica que S ₁ es una solución al menos tan eficiente como como S ₂ a nuestro problema: S ₂ puede tener más elementos adjuntos y/o más relaciones no impuestas por axiomas que S ₁ . Por lo tanto, la afirmación de que un objeto R → R* es inicial en E , es decir, que existe un morfismo de él a cualquier otro elemento de E , significa que el anillo R * es la solución más eficiente a nuestro problema.

Los dos hechos de que este método de convertir anillos en anillos es más eficiente y formulado se pueden expresar simultáneamente diciendo que define un functor adjunto . Más explícitamente: Sea F el proceso anterior de unir una identidad a un rng, por lo que F ( R ) = R* . Sea G el proceso de “olvidar” si un anillo S tiene una identidad y considerarlo simplemente como un anillo, por lo que esencialmente G ( S ) = S . Entonces F es el funtor adjunto izquierdo de G .

Sin embargo, tenga en cuenta que todavía no hemos construido R* ; Es un hecho algebraico importante y no del todo trivial que dicho funtor adjunto izquierdo R → R* realmente exista.

Simetría de problemas de optimización.

También es posible comenzar con el funtor F y plantear la siguiente (vaga) pregunta: ¿existe algún problema para el cual F sea la solución más eficiente?

La noción de que F es la solución más eficiente al problema planteado por G es, en cierto sentido riguroso, equivalente a la noción de que G plantea el problema más difícil que resuelve F.

Esto da la intuición detrás del hecho de que los functores adjuntos ocurren en pares: si F es adjunto a la izquierda de G , entonces G es adjunto a la derecha de F .

Definiciones formales

Existen varias definiciones equivalentes para funtores adjuntos:

• Las definiciones mediante morfismos universales son fáciles de enunciar y requieren verificaciones mínimas al construir un funtor adjunto o demostrar que dos funtores son adjuntos. También son los más análogos a nuestra intuición que involucra optimizaciones.
• La definición vía hom-sets hace que la simetría sea más evidente y es la razón para usar la palabra adjunto .
• La definición mediante la adjunción unidad-unidad es conveniente para pruebas sobre functores que se sabe que son adjuntos, porque proporcionan fórmulas que pueden manipularse directamente.

La equivalencia de estas definiciones es bastante útil. Los functores adjuntos surgen en todas partes, en todas las áreas de las matemáticas. Dado que la estructura de cualquiera de estas definiciones da lugar a las estructuras de las demás, el cambio entre ellas hace un uso implícito de muchos detalles que de otro modo tendrían que repetirse por separado en cada área temática.

Convenciones

La teoría de los adjuntos tiene los términos izquierda y derecha en su base, y hay muchos componentes que viven en una de las dos categorías C y D que se están considerando. Por lo tanto, puede resultar útil elegir las letras en orden alfabético según vivan en la categoría C "derecha" o en la categoría D "izquierda" , y también escribirlas en este orden siempre que sea posible.

En este artículo, por ejemplo, las letras X , F , f , ε denotarán consistentemente cosas que viven en la categoría C , las letras Y , G , g , η denotarán consistentemente cosas que viven en la categoría D , y siempre que sea posible tales Se hará referencia a las cosas en orden de izquierda a derecha ( se puede considerar que un funtor F  : D → C está "vivo" donde están sus salidas, en C ). Si se dibujaran las flechas para el functor adjunto izquierdo F, apuntarían hacia la izquierda; si se dibujaran las flechas para el funtor adjunto derecho G, apuntarían hacia la derecha.

Definición mediante morfismos universales

Por definición, un functor es un funtor adjunto izquierdo si para cada objeto existe un morfismo universal de a . Explicado en detalle, esto significa que para cada objeto en existe un objeto en y un morfismo tal que para cada objeto en y cada morfismo existe un morfismo único con . ${\displaystyle F:D\to C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \epsilon _{X}:F(G(X))\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f:F(Y)\to X}$ ${\displaystyle g:Y\to G(X)}$ ${\displaystyle \epsilon _{X}\circ F(g)=f}$

Esta última ecuación se expresa mediante el siguiente diagrama conmutativo :

Aquí la unidad es un morfismo universal.

En esta situación, se puede demostrar que se puede convertir en un functor de una manera única, de modo que para todos los morfismos en ; entonces se llama adjunto izquierdo de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G:C\to D}$ ${\displaystyle \epsilon _{X}\circ F(G(f))=f\circ \epsilon _{X'}}$ ${\displaystyle f:X'\to X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

De manera similar, podemos definir funtores adjuntos a la derecha. Un funtor es un funtor adjunto derecho si para cada objeto en existe un morfismo universal de a . Explicado en detalle, esto significa que para cada objeto en , existe un objeto en y un morfismo tal que para cada objeto en y cada morfismo existe un morfismo único con . ${\displaystyle G:C\to D}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F(Y)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to G(F(Y))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g:Y\to G(X)}$ ${\displaystyle f:F(Y)\to X}$ ${\displaystyle G(f)\circ \eta _{Y}=g}$

La existencia de la unidad, un morfismo universal, puede probar la existencia de una conjunción.

Nuevamente, esto se puede convertir de manera única en un funtor tal que para un morfismo en ; entonces se llama adjunto derecho de . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:D\to C}$ ${\displaystyle G(F(g))\circ \eta _{Y}=\eta _{Y'}\circ g}$ ${\displaystyle g:Y\to Y'}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

Es cierto, como lo implica la terminología, que está adjunto a la izquierda si y solo si está adjunto a la derecha . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

Estas definiciones a través de morfismos universales suelen ser útiles para establecer que un funtor dado es adjunto izquierdo o derecho, porque son minimalistas en sus requisitos. También son intuitivamente significativos en el sentido de que encontrar un morfismo universal es como resolver un problema de optimización.

Definición mediante complemento Hom-set

Una adjunción hom-set entre dos categorías C y D consta de dos funtores F  : D → C y G  : C → D y un isomorfismo natural

${\displaystyle \Phi :\mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)}$.

Esto especifica una familia de biyecciones.

${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{C}(FY,X)\to \mathrm {hom} _{D}(Y,GX)}$

para todos los objetos X en C e Y en D.

En esta situación, F es adjunto a la izquierda de G y G es adjunto a la derecha de F.

Esta definición es un compromiso lógico en el sentido de que es más difícil de satisfacer que las definiciones de morfismo universal y tiene menos implicaciones inmediatas que la definición de unidad-cuenta. Es útil por su obvia simetría y como trampolín entre las otras definiciones.

Para interpretar Φ como un isomorfismo natural , se debe reconocer hom _C ( F –, –) y hom _D (–, G –) como functores. De hecho, ambos son bifunctores de D ^op × C a Set (la categoría de conjuntos ). Para obtener más información, consulte el artículo sobre funtores hom . Explícitamente, la naturalidad de Φ significa que para todos los morfismos f  : X → X′ en C y todos los morfismos g  : Y ′ → Y en D el siguiente diagrama conmuta :

Naturalidad de Φ

Las flechas verticales en este diagrama son las inducidas por la composición. Formalmente, Hom( Fg , f ) : Hom _C ( FY , X ) → Hom _C ( FY′ , X′ ) viene dado por h → f o h o Fg para cada h en Hom _C ( FY , X ). Hom( g , Gf ) es similar.

Definición mediante adjunción unidad-unidad

Una adjunción unidad-unidad entre dos categorías C y D consta de dos functores F  : D → C y G  : C → D y dos transformaciones naturales

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta &:1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}}$

llamados respectivamente unidad y unidad de la adjunción (terminología del álgebra universal ), de modo que las composiciones

${\displaystyle F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F}$

${\displaystyle G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G}$

son las transformaciones de identidad 1 _F y 1 _G en F y G respectivamente.

En esta situación decimos que F es adjunto izquierdo a G y G es adjunto derecho a F , y podemos indicar esta relación escribiendo    , o simplemente    . ${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$ ${\displaystyle F\dashv G}$

En forma de ecuación, las condiciones anteriores en ( ε , η ) son las ecuaciones unidad-unidad

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}}$

lo que significa que para cada X en C y cada Y en D ,

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\end{aligned}}}$.

Tenga en cuenta que denota el funtor de identificación en la categoría , denota la transformación natural de identidad del funtor F a sí mismo y denota el morfismo de identidad del objeto FY . ${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle 1_{F}}$ ${\displaystyle 1_{FY}}$

Diagrama de cuerdas para adjunción.

Estas ecuaciones son útiles para reducir pruebas sobre funtores adjuntos a manipulaciones algebraicas. A veces se les llama identidades de triángulos o, a veces, ecuaciones en zig-zag debido a la apariencia de los diagramas de cuerdas correspondientes . Una forma de recordarlos es escribir primero la ecuación sin sentido y luego completar F o G en una de las dos formas simples que definen las composiciones. ${\displaystyle 1=\varepsilon \circ \eta }$

Nota: El uso del prefijo "co" en cuenta aquí no es consistente con la terminología de límites y colimits, porque un colimit satisface una propiedad inicial mientras que los morfismos de cuenta satisfacerán propiedades terminales y dualmente. El término unidad aquí está tomado de la teoría de las mónadas, donde parece la inserción de la identidad 1 en un monoide.

Historia

La idea de functores adjuntos fue introducida por Daniel Kan en 1958. ^[2] Como muchos de los conceptos de la teoría de categorías, fue sugerido por las necesidades del álgebra homológica , que en ese momento se dedicaba a los cálculos. Quienes se enfrentaron a dar presentaciones ordenadas y sistemáticas del tema habrían notado relaciones como

hom( F ( X ), Y ) = hom( X , G ( Y ))

en la categoría de grupos abelianos , donde F era el funtor (es decir, tomar el producto tensorial con A ) y G era el funtor hom( A ,–) (esto ahora se conoce como adjunción tensorial-hom ). El uso del signo igual es un abuso de notación ; Esos dos grupos no son realmente idénticos pero hay una manera de identificarlos que es natural . Puede considerarse natural basándose, en primer lugar, en que se trata de dos descripciones alternativas de las asignaciones bilineales de X × A a Y. Sin embargo, esto es algo particular del caso del producto tensorial. En la teoría de categorías, la "naturalidad" de la biyección se incluye en el concepto de isomorfismo natural . ${\displaystyle -\otimes A}$

Ubicuidad

Si uno comienza a buscar estos pares de functores adjuntos, resultan ser muy comunes en álgebra abstracta y también en otros lugares. La siguiente sección de ejemplo proporciona evidencia de esto; además, las construcciones universales , que pueden resultar más familiares para algunos, dan lugar a numerosos pares de funtores adjuntos.

De acuerdo con el pensamiento de Saunders Mac Lane , cualquier idea, como la de los functores adjuntos, que se presente con suficiente frecuencia en matemáticas debe estudiarse por sí misma. ^{[ cita necesaria ]}

Los conceptos se pueden juzgar según su uso en la resolución de problemas, así como por su uso en la construcción de teorías. La tensión entre estas dos motivaciones fue especialmente grande durante la década de 1950, cuando se desarrolló inicialmente la teoría de categorías. Ingresa Alexander Grothendieck , quien utilizó la teoría de categorías para tomar rumbos en otros trabajos: en análisis funcional , álgebra homológica y finalmente geometría algebraica .

Probablemente sea incorrecto decir que promovió el concepto de funtor adjunto de forma aislada: pero el reconocimiento del papel de la conjunción era inherente al enfoque de Grothendieck. Por ejemplo, uno de sus principales logros fue la formulación de la dualidad de Serre en forma relativa: en términos generales, en una familia continua de variedades algebraicas. Toda la prueba giraba en torno a la existencia de un adjunto derecho a un determinado functor. Esto es algo innegablemente abstracto y no constructivo ^{[ discutir ]} , pero también poderoso a su manera.

Ejemplos

Grupos libres

La construcción de grupos libres es un ejemplo común y esclarecedor.

Sea F  : Set → Grp el funtor que asigna a cada conjunto Y el grupo libre generado por los elementos de Y , y sea G  : Grp → Set el funtor olvidadizo , que asigna a cada grupo X su conjunto subyacente. Entonces F se deja junto a G :

Morfismos iniciales. Para cada conjunto Y , el conjunto GFY es simplemente el conjunto subyacente del grupo libre FY generado por Y. Sea     el mapa establecido dado por "inclusión de generadores". Este es un morfismo inicial de Y a G , porque cualquier mapa de conjunto de Y al conjunto subyacente GW de algún grupo W se factorizará a     través de un homomorfismo de grupo único de FY a W. Ésta es precisamente la propiedad universal del grupo libre en Y. ${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$ ${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$

Morfismos terminales. Para cada grupo X , el grupo FGX es el grupo libre generado libremente por GX , los elementos de X. Sea     el homomorfismo de grupo que envía los generadores de FGX a los elementos de X a los que corresponden, que existe por la propiedad universal de los grupos libres. Entonces cada uno     es un morfismo terminal de F a X , porque cualquier homomorfismo de grupo de un grupo libre FZ a X se factorizará a     través de un mapa de conjunto único de Z a GX . Esto significa que ( F , G ) es un par adjunto. ${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$ ${\displaystyle (GX,\varepsilon _{X})}$ ${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$

Adjunción hom-set. Los homomorfismos de grupo del grupo libre FY a un grupo X corresponden precisamente a aplicaciones del conjunto Y al conjunto GX : cada homomorfismo de FY a X está completamente determinado por su acción sobre los generadores, otra reformulación de la propiedad universal de los grupos libres. Se puede verificar directamente que esta correspondencia es una transformación natural, lo que significa que es una conjunción hom-set para el par ( F , G ).

Adjunción unidad-unidad. También se puede verificar directamente que ε y η son naturales. Entonces, una verificación directa de que forman una conjunción unidad-unidad     es la siguiente: ${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$

La primera ecuación unidad-unidad     dice que para cada conjunto Y la composición ${\displaystyle 1_{F}=\varepsilon F\circ F\eta }$

${\displaystyle FY{\xrightarrow {\;F(\eta _{Y})\;}}FGFY{\xrightarrow {\;\varepsilon _{FY}\,}}FY}$

debería ser la identidad. El grupo intermedio FGFY es el grupo libre generado libremente por las palabras del grupo libre FY . (Piense en estas palabras colocadas entre paréntesis para indicar que son generadores independientes). La flecha     es el homomorfismo de grupo de FY a FGFY que envía cada generador y de FY a la palabra correspondiente de longitud uno ( y ) como generador de FGFY . La flecha     es el homomorfismo de grupo de FGFY a FY que envía cada generador a la palabra de FY a la que corresponde (por lo que este mapa "elimina paréntesis"). La composición de estos mapas es de hecho la identidad en FY . ${\displaystyle F(\eta _{Y})}$ ${\displaystyle \varepsilon _{FY}}$

La segunda ecuación unidad-unidad     dice que para cada grupo X la composición ${\displaystyle 1_{G}=G\varepsilon \circ \eta G}$

  ${\displaystyle GX{\xrightarrow {\;\eta _{GX}\;}}GFGX{\xrightarrow {\;G(\varepsilon _{X})\,}}GX}$ 

debería ser la identidad. El conjunto intermedio GFGX es solo el conjunto subyacente de FGX . La flecha     es el mapa del conjunto de "inclusión de generadores" desde el conjunto GX al conjunto GFGX . La flecha     es el mapa conjunto de GFGX a GX que subyace al homomorfismo de grupo que envía cada generador de FGX al elemento de X al que corresponde ("eliminando paréntesis"). La composición de estos mapas es de hecho la identidad en GX . ${\displaystyle \eta _{GX}}$ ${\displaystyle G(\varepsilon _{X})}$

Construcciones libres y funtores olvidadizos.

Los objetos libres son todos ejemplos de un adjunto izquierdo a un funtor olvidadizo que asigna a un objeto algebraico su conjunto subyacente. Estos funtores algebraicos libres tienen generalmente la misma descripción que en la descripción detallada de la situación del grupo libre anterior.

Funtores diagonales y límites

Productos , productos de fibra , ecualizadores y granos son todos ejemplos de la noción categórica de límite . Cualquier funtor límite es adjunto derecho a un funtor diagonal correspondiente (siempre que la categoría tenga el tipo de límites en cuestión), y la unidad de la adjunción proporciona los mapas definitorios del objeto límite (es decir, del functor diagonal en el límite, en el categoría de funtor). A continuación se muestran algunos ejemplos específicos.

• Productos Sea Π : Grp ² → Grp el funtor que asigna a cada par ( X ₁ , X ₂ ) el grupo de productos X ₁ × X ₂ , y sea Δ : Grp → Grp ² el functor diagonal que asigna a cada grupo X el par ( X , X ) en la categoría de producto Grp ² . La propiedad universal del grupo de productos muestra que Π es adyacente a la derecha de Δ. La unidad de esta adjunción es el par definitorio de aplicaciones de proyección de X ₁ × X ₂ a X ₁ y X ₂ que definen el límite, y la unidad es la inclusión diagonal de un grupo X en X × X (asignación de x a (x ,X)).

El producto cartesiano de conjuntos , el producto de anillos, el producto de espacios topológicos , etc. siguen el mismo patrón; también se puede ampliar de manera sencilla a más de dos factores. De manera más general, cualquier tipo de límite es adyacente a un funtor diagonal.

• Granos. Considere la categoría D de homomorfismos de grupos abelianos. Si f ₁  : A ₁ → B ₁ y f ₂  : A ₂ → B ₂ son dos objetos de D , entonces un morfismo de f ₁ a f ₂ es un par ( g _A , g _B ) de morfismos tales que g _B f ₁ = f ₂ gramo _A . Sea G  : D → Ab el funtor que asigna a cada homomorfismo su núcleo y sea F  : Ab → D el funtor que asigna el grupo A al homomorfismo A → 0. Entonces G es el adjunto derecho de F , que expresa el universal propiedad de los granos. La unidad de esta adjunción es la incorporación definitoria del núcleo de un homomorfismo en el dominio del homomorfismo, y la unidad es el morfismo que identifica un grupo A con el núcleo del homomorfismo A → 0.

Una variación adecuada de este ejemplo también muestra que los funtores del núcleo para espacios vectoriales y módulos son adjuntos derechos. De manera análoga, se puede demostrar que los functores de cokernel para grupos abelianos, espacios vectoriales y módulos son adjuntos izquierdos.

Colimits y functores diagonales.

Los coproductos , los coproductos fibrosos , los coecualizadores y los cokernels son ejemplos de la noción categórica de colimit . Cualquier funtor de colimit se deja adjunto a un funtor diagonal correspondiente (siempre que la categoría tenga el tipo de colimits en cuestión), y la unidad de la adjunción proporciona los mapas definitorios en el objeto de colimit. A continuación se muestran algunos ejemplos específicos.

• Coproductos. Si F  : Ab ² → Ab asigna a cada par ( X ₁ , X ₂ ) de grupos abelianos su suma directa , y si G  : Ab → Ab ² es el funtor que asigna a cada grupo abeliano Y el par ( Y , Y ) , entonces F queda adjunto a G , nuevamente una consecuencia de la propiedad universal de las sumas directas. La unidad de este par adjunto es el par definitorio de mapas de inclusión de X ₁ y X ₂ en la suma directa, y la unidad es el mapa aditivo de la suma directa de ( X , X ) de regreso a X (enviando un elemento ( a , b ) de la suma directa al elemento a + b de X ).

Ejemplos análogos los dan la suma directa de espacios vectoriales y módulos , el producto libre de grupos y la unión disjunta de conjuntos.

Más ejemplos

Álgebra

• Adjuntar una identidad a un rng . Este ejemplo se analizó en la sección de motivación anterior. Dado un rng R , se puede agregar un elemento identidad multiplicativo tomando R x Z y definiendo un producto Z -bilineal con (r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r, 0), (r,0)(s,0) = (rs,0), ​​(0,1)(0,1) = (0,1). Esto construye un adjunto izquierdo al funtor que lleva un anillo al anillo subyacente.
• Adjuntar una identidad a un semigrupo . De manera similar, dado un semigrupo S , podemos agregar un elemento identidad y obtener un monoide tomando la unión disjunta S {1} y definiendo una operación binaria sobre ella de modo que extienda la operación en S y 1 es un elemento identidad. Esta construcción proporciona un funtor que es un adjunto izquierdo del funtor que lleva un monoide al semigrupo subyacente. ${\displaystyle \sqcup }$
• Extensiones de anillos. Supongamos que R y S son anillos, y ρ: R → S es un homomorfismo de anillo . Entonces S puede verse como un módulo R (izquierdo) , y el producto tensorial con S produce un funtor F  : R - Mod → S - Mod . Entonces F se deja junto al functor olvidadizo G  : S - Mod → R - Mod .
• Productos tensoriales . Si R es un anillo y M es un módulo R recto , entonces el producto tensorial con M produce un funtor F  : R - Mod → Ab . El funtor G  : Ab → R - Mod , definido por G ( A ) = hom _Z ( M , A ) para cada grupo abeliano A ,es un adjunto derecho de F.
• Desde monoides y grupos hasta anillos. La construcción integral del anillo monoide proporciona un functor desde monoides hasta anillos. Este funtor se deja adjunto al funtor que asocia a un anillo dado su monoide multiplicativo subyacente. De manera similar, la construcción de anillo de grupo integral produce un funtor de grupos a anillos, adjunto a la izquierda del funtor que asigna a un anillo dado su grupo de unidades . También se puede comenzar con un campo K y considerar la categoría de K - álgebras en lugar de la categoría de anillos, para obtener los anillos monoide y de grupo sobre K.
• Campo de fracciones. Considere la categoría Dom _m de dominios integrales con morfismos inyectivos. El funtor olvidadizo Campo → Dom _m de campos tiene un adjunto izquierdo: asigna a cada dominio integral su campo de fracciones .
• Anillos polinomiales . Sea Ring _* la categoría de anillos conmutativos puntiagudos con unidad (pares (A,a) donde A es un anillo, a ∈ A y los morfismos preservan los elementos distinguidos). El functor olvidadizo G: Anillo _* → Anillo tiene un adjunto izquierdo: asigna a cada anillo R el par (R[x],x) donde R[x] es el anillo polinómico con coeficientes de R.
• Abelianización . Considere el funtor de inclusión G  : Ab → Grp de la categoría de grupos abelianos a la categoría de grupos . Tiene un adjunto izquierdo llamado abelianización que asigna a cada grupo G el grupo cociente G ^ab = G /[ G , G ].
• El grupo Grothendieck . En la teoría K , el punto de partida es observar que la categoría de haces vectoriales en un espacio topológico tiene una estructura monoide conmutativa bajo suma directa . Se puede formar un grupo abeliano a partir de este monoide, el grupo de Grothendieck , agregando formalmente un inverso aditivo para cada paquete (o clase de equivalencia). Alternativamente, se puede observar que el funtor que para cada grupo toma el monoide subyacente (ignorando las inversas) tiene un adjunto izquierdo. Esta es una construcción única, en línea con la discusión de la tercera sección anterior. Es decir, se puede imitar la construcción de números negativos ; pero existe la otra opción de un teorema de existencia . Para el caso de estructuras algebraicas finitas, la existencia por sí misma puede referirse al álgebra universal , o teoría de modelos ; Naturalmente, también existe una prueba adaptada a la teoría de categorías.
• Reciprocidad de Frobenius en la teoría de la representación de grupos : ver representación inducida . Este ejemplo anticipó la teoría general durante aproximadamente medio siglo.

Topología

• Un functor con adjunto izquierdo y derecho. Sea G el funtor de espacios topológicos a conjuntos que asocia a cada espacio topológico su conjunto subyacente (es decir, olvidando la topología). G tiene un adjunto izquierdo F , que crea el espacio discreto en un conjunto Y , y un adjunto derecho H que crea la topología trivial en Y.
• Suspensiones y espacios en bucle. Dados los espacios topológicos X e Y , el espacio [ SX , Y ] de clases de homotopía de aplicaciones de la suspensión SX de X a Y es naturalmente isomorfo al espacio [ X , Ω Y ] de clases de homotopía de aplicaciones de X al espacio del bucle. Ω Y de Y . Por lo tanto, el funtor de suspensión se deja adjunto al funtor de espacio de bucle en la categoría de homotopía , un hecho importante en la teoría de la homotopía .
• Compactación de Stone-Čech. Sea KHaus la categoría de espacios compactos de Hausdorff y G  : KHaus → Top el funtor de inclusión a la categoría de espacios topológicos . Entonces G tiene un adjunto izquierdo F  : Arriba → KHaus , la compactación de Stone-Čech . La unidad de este par adjunto produce un mapa continuo de cada espacio topológico X en su compactación Stone-Čech.
• Imágenes directas e inversas de gavillas. Cada mapa continuo f  : X → Y entre espacios topológicos induce un funtor f _∗ de la categoría de haces (de conjuntos, o grupos abelianos, o anillos...) en X a la correspondiente categoría de haces en Y , el funtor de imagen directa . También induce un funtor f ⁻¹ desde la categoría de haces de grupos abelianos en Y a la categoría de haces de grupos abelianos en X , el funtor de imagen inverso . f ⁻¹ se deja junto a f _∗ . Aquí un punto más sutil es que el adjunto izquierdo para haces coherentes diferirá del de las gavillas (de conjuntos).
• Soberificación. El artículo sobre la dualidad de la piedra describe una unión entre la categoría de espacios topológicos y la categoría de espacios sobrios que se conoce como soberificación. Cabe destacar que el artículo también contiene una descripción detallada de otra añadidura que prepara el camino para la famosa dualidad de espacios sobrios y locales espaciales, explotados en una topología inútil .

posets

Cada conjunto parcialmente ordenado puede verse como una categoría (donde los elementos del poset se convierten en los objetos de la categoría y tenemos un morfismo único de xay si y solo si x ≤ y ). Un par de funtores adjuntos entre dos conjuntos parcialmente ordenados se denomina conexión de Galois (o, si es contravariante, conexión de Galois antitono ). Véase ese artículo para ver varios ejemplos: el caso de la teoría de Galois , por supuesto, es uno de los principales. Cualquier conexión de Galois da lugar a operadores de cierre y a biyecciones inversas que preservan el orden entre los correspondientes elementos cerrados.

Como es el caso de los grupos de Galois, el verdadero interés reside a menudo en refinar una correspondencia con una dualidad (es decir, isomorfismo de orden antítono ). Un tratamiento de la teoría de Galois en este sentido por parte de Kaplansky influyó en el reconocimiento de la estructura general aquí.

El caso de orden parcial colapsa notablemente las definiciones de adjunciones, pero puede proporcionar varios temas:

• Las adjunciones pueden no ser dualidades o isomorfismos, pero son candidatas para ascender a ese estado.
• Los operadores de cierre pueden indicar la presencia de adjunciones, como mónadas correspondientes (cf. los axiomas de cierre de Kuratowski ).
• un comentario muy general de William Lawvere ^[3] es que la sintaxis y la semántica son adjuntas: tome C como el conjunto de todas las teorías lógicas (axiomatizaciones) y D el conjunto potencia del conjunto de todas las estructuras matemáticas. Para una teoría T en C , sea G ( T ) el conjunto de todas las estructuras que satisfacen los axiomas T ; para un conjunto de estructuras matemáticas S , sea F ( S ) la axiomatización mínima de S. Entonces podemos decir que S es un subconjunto de G ( T ) si y sólo si F ( S ) implica lógicamente T : el "funtor semántico" G es el adjunto derecho al "functor de sintaxis" F.
• La división es (en general) el intento de invertir la multiplicación, pero en situaciones donde esto no es posible, a menudo intentamos construir un adjunto : el cociente ideal es adjunto a la multiplicación por ideales anulares , y la implicación en lógica proposicional es adjunta. a la conjunción lógica .

Teoría de categorías

• Equivalencias. Si F  : D → C es una equivalencia de categorías , entonces tenemos una equivalencia inversa G  : C → D , y los dos functores F y G forman un par adjunto. La unidad y la unidad son isomorfismos naturales en este caso.
• Una serie de complementos. El funtor π ₀ que asigna a una categoría su conjunto de componentes conectados es adjunto a la izquierda del funtor D que asigna a un conjunto la categoría discreta en ese conjunto. Además, D es adjunto a la izquierda del funtor de objeto U que asigna a cada categoría su conjunto de objetos, y finalmente U es adjunto a la izquierda de A que asigna a cada conjunto la categoría indiscreta ^[4] en ese conjunto.
• Objeto exponencial . En una categoría cartesiana cerrada, el endofuntor C → C dado por –× A tiene un adjunto derecho – ^A . A este par se le suele denominar curry y uncurry; en muchos casos especiales, también son continuos y forman un homeomorfismo.

Lógica categórica

• Cuantificación. Si es un predicado unario que expresa alguna propiedad, entonces una teoría de conjuntos suficientemente sólida puede probar la existencia del conjunto de términos que cumplen la propiedad. Un subconjunto propio y la inyección asociada de en se caracterizan por un predicado que expresa una propiedad estrictamente más restrictiva. ${\displaystyle \phi _{Y}}$ ${\displaystyle Y=\{y\mid \phi _{Y}(y)\}}$ ${\displaystyle T\subset Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \phi _{T}(y)=\phi _{Y}(y)\land \varphi (y)}$

El papel de los cuantificadores en la lógica de predicados es formar proposiciones y también expresar predicados sofisticados cerrando fórmulas con posiblemente más variables. Por ejemplo, considere un predicado con dos variables abiertas de tipo y . Usando un cuantificador para cerrar , podemos formar el conjunto ${\displaystyle \psi _{f}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists x.\,\psi _{f}(x,y)\land \phi _{S}(x)\}}$

de todos los elementos de los cuales hay un con el que está relacionado y que a su vez se caracteriza por la propiedad . Las operaciones teóricas de conjuntos como la intersección de dos conjuntos corresponden directamente a la conjunción de predicados. En lógica categórica , un subcampo de la teoría del topos , los cuantificadores se identifican con adjuntos al functor de retroceso. Esta comprensión puede verse en analogía con la discusión de la lógica proposicional utilizando la teoría de conjuntos, pero la definición general ofrece una gama más rica de lógicas. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi _{f}}$ ${\displaystyle \phi _{S}}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \land }$

Consideremos entonces un objeto en una categoría con retrocesos. Cualquier morfismo induce un funtor. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f^{*}:{\text{Sub}}(Y)\longrightarrow {\text{Sub}}(X)}$

en la categoría que es el preorden de los subobjetos . Asigna subobjetos de (técnicamente: clases de monomorfismo de ) al pullback . Si este functor tiene un adjunto izquierdo o derecho, se llaman y , respectivamente. ^[5] Ambos mapean desde atrás hasta . De manera muy aproximada, dado un dominio para cuantificar una relación expresada mediante over, el funtor/cuantificador se cierra y devuelve el subconjunto de . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T\to Y}$ ${\displaystyle X\times _{Y}T}$ ${\displaystyle \exists _{f}}$ ${\displaystyle \forall _{f}}$ ${\displaystyle {\text{Sub}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Sub}}(Y)}$ ${\displaystyle S\subset X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times _{Y}T}$ ${\displaystyle Y}$

Ejemplo : en , la categoría de conjuntos y funciones, los subobjetos canónicos son el subconjunto (o más bien sus inyecciones canónicas). El retroceso de una inyección de un subconjunto en together se caracteriza por ser el conjunto más grande que conoce todo sobre la inyección de en . Por tanto, resulta ser (en biyección con) la imagen inversa . ${\displaystyle \operatorname {Set} }$ ${\displaystyle f^{*}T=X\times _{Y}T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}[T]\subseteq X}$

Para , descubramos el adjunto izquierdo, que se define mediante ${\displaystyle S\subseteq X}$

${\displaystyle {\operatorname {Hom} }(\exists _{f}S,T)\cong {\operatorname {Hom} }(S,f^{*}T),}$

que aquí sólo significa

${\displaystyle \exists _{f}S\subseteq T\leftrightarrow S\subseteq f^{-1}[T]}$.

Considerar . Vemos . Por el contrario, si para an también tenemos , entonces claramente . Así lo implica . Concluimos que el adjunto izquierdo al funtor de imagen inversa viene dado por la imagen directa. Aquí hay una caracterización de este resultado, que coincide más con la interpretación lógica: la imagen de under es el conjunto completo de 's, de modo que no está vacío. Esto funciona porque ignora exactamente aquellos que están en el complemento de . Entonces ${\displaystyle f[S]\subseteq T}$ ${\displaystyle S\subseteq f^{-1}[f[S]]\subseteq f^{-1}[T]}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}[T]}$ ${\displaystyle f(x)\in T}$ ${\displaystyle S\subseteq f^{-1}[T]}$ ${\displaystyle f[S]\subseteq T}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \exists _{f}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]\cap S}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f[S]}$

${\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\mid \exists (x\in f^{-1}[\{y\}]).\,x\in S\;\}=f[S].}$

Ponga esto en analogía con nuestra motivación . ${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists x.\,\psi _{f}(x,y)\land \phi _{S}(x)\}}$

El adjunto derecho al funtor de imagen inverso viene dado (sin hacer el cálculo aquí) por

${\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\mid \forall (x\in f^{-1}[\{y\}]).\,x\in S\;\}.}$

El subconjunto de se caracteriza como el conjunto completo de con la propiedad de que la imagen inversa de con respecto a está completamente contenida dentro . Observe cómo el predicado que determina el conjunto es el mismo que el anterior, excepto que se reemplaza por . ${\displaystyle \forall _{f}S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \forall }$

Véase también conjunto de potencia .

Probabilidad

El hecho gemelo en probabilidad puede entenderse como un complemento: que la expectativa conmuta con la transformada afín, y que la expectativa es, en cierto sentido, la mejor solución al problema de encontrar una aproximación con valor real a una distribución de números reales.

Defina una categoría basada en , donde los objetos sean números reales y los morfismos sean "funciones afines evaluadas en un punto". Es decir, para cualquier función afín y cualquier número real , defina un morfismo . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (r,f):r\to f(r)}$

Defina una categoría basada en , el conjunto de distribución de probabilidad con expectativa finita. Defina los morfismos como "funciones afines evaluadas en una distribución". Es decir, para cualquier función afín y cualquiera , defina un morfismo . ${\displaystyle M(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ ${\displaystyle \mu \in M(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle (\mu ,f):\mu \to \mu \circ f^{-1}}$

Luego, la medida delta de Dirac define un funtor: y la expectativa define otro funtor , y son adjuntos :. (Un poco desconcertante es el adjunto izquierdo, aunque es "olvidadizo" y es "libre".) ${\displaystyle \delta :x\mapsto \delta _{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} :\mu \mapsto \mathbb {E} [\mu ]}$ ${\displaystyle \mathbb {E} \dashv \delta }$ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ ${\displaystyle \delta }$

Adjunciones en su totalidad

Por tanto, existen numerosos functores y transformaciones naturales asociados con cada conjunción, y sólo una pequeña porción es suficiente para determinar el resto.

Una unión entre las categorías C y D consiste en

• Un funtor F  : D → C llamado adjunto izquierdo
• Un funtor G  : C → D llamado adjunto derecho
• Un isomorfismo natural Φ : hom _C ( F –,–) → hom _D (–, G –)
• Una transformación natural ε : FG → 1 _C llamada unidad
• Una transformación natural η : 1 _D → GF llamada unidad

Una formulación equivalente, donde X denota cualquier objeto de C e Y denota cualquier objeto de D , es la siguiente:

Para cada C -morfismo f  : FY → X , hay un D -morfismo único Φ _{Y , X} ( f ) = g  : Y → GX tal que los siguientes diagramas conmutan, y para cada D -morfismo g  : Y → GX , existe un morfismo C único Φ ⁻¹ _{Y , X} ( g ) = f  : FY → X en C tal que los siguientes diagramas conmutan:

De esta afirmación se puede recuperar que:

• Las transformaciones ε, η y Φ están relacionadas por las ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}f=\Phi _{Y,X}^{-1}(g)&=\varepsilon _{X}\circ F(g)&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(F(Y),X)\\g=\Phi _{Y,X}(f)&=G(f)\circ \eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,G(X))\\\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})&=\varepsilon _{X}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(FG(X),X)\\\Phi _{Y,FY}(1_{FY})&=\eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,GF(Y))\\\end{aligned}}}$

• Las transformaciones ε, η satisfacen las ecuaciones unidad-unidad.

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\end{aligned}}}$

• Cada par ( GX , ε _X ) es un morfismo terminal de F a X en C
• Cada par ( FY , η _Y ) es un morfismo inicial de Y a G en D

En particular, las ecuaciones anteriores permiten definir Φ, ε y η en términos de cualquiera de los tres. Sin embargo, los funtores adjuntos F y G por sí solos en general no son suficientes para determinar la conjunción. La equivalencia de estas situaciones se demuestra a continuación.

Los morfismos universales inducen la adjunción hom-set

Dado un funtor adjunto derecho G  : C → D ; en el sentido de morfismos iniciales, se puede construir la conjunción hom-set inducida siguiendo los siguientes pasos.

• Construya un funtor F  : D → C y una transformación natural η.
  • Para cada objeto Y en D , elija un morfismo inicial ( F ( Y ), η _Y ) de Y a G , de modo que η _Y  : Y → G ( F ( Y )). Tenemos el mapa de F sobre objetos y la familia de morfismos η.
  • Para cada f  : Y ₀ → Y ₁ , ya que ( F ( Y ₀ ), η _{Y 0} ) es un morfismo inicial, luego factorice η _{Y 1} o f con η _{Y 0} y obtenga F ( f ) : F ( Y ₀ ) → F ( Y ₁ ). Este es el mapa de F sobre morfismos.
  • El diagrama de conmutación de esa factorización implica el diagrama de conmutación de transformaciones naturales, por lo que η : 1 _D → G o F es una transformación natural .
  • La unicidad de esa factorización y que G es un functor implica que el mapa de F en morfismos preserva composiciones e identidades.
• Construya un isomorfismo natural Φ : hom _C ( F -,-) → hom _D (-, G -).
  • Para cada objeto X en C , cada objeto Y en D , ya que ( F ( Y ), η _Y ) es un morfismo inicial, entonces Φ _{Y , X} es una biyección, donde Φ _{Y , X} ( f  : F ( Y ) → X ) = GRAMO ( f ) o η _Y .
  • η es una transformación natural, G es un funtor, entonces para cualquier objeto X ₀ , X ₁ en C , cualquier objeto Y ₀ , Y ₁ en D , cualquier x  : X ₀ → X ₁ , cualquier y  : Y ₁ → Y ₀ , tenemos Φ _{Y 1 , X 1} ( x o f o F ( y )) = G(x) o G ( f ) o G ( F ( y )) o η _{Y 1} = G ( x ) o G ( f ) o η _{Y 0} o y = G ( x ) o Φ _{Y 0 , X 0} ( f ) o y , y entonces Φ es natural en ambos argumentos.

Un argumento similar permite construir una conjunción hom-set desde los morfismos terminales hasta un funtor adjunto izquierdo. (La construcción que comienza con un adjunto derecho es un poco más común, ya que el adjunto derecho en muchos pares de adjuntos es una inclusión trivialmente definida o un funtor olvidadizo).

la unión entre unidad y país induce la unión entre el hogar y el conjunto

Dados los functores F  : D → C , G  : C → D , y una conjunción unidad-unidad (ε, η): F G , podemos construir una conjunción hom-set encontrando la transformación natural Φ : hom _C ( F -, -) → hom _D (-, G -) en los siguientes pasos: ${\displaystyle \dashv }$

• Para cada f  : FY → X y cada g  : Y → GX , defina

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Psi _{Y,X}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$

Las transformaciones Φ y Ψ son naturales porque η y ε son naturales.

• Usando, en orden, que F es un funtor, que ε es natural y la ecuación unidad-unidad 1 _FY = ε _FY o F (η _Y ), obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi \Phi f&=\varepsilon _{X}\circ FG(f)\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ 1_{FY}=f\end{aligned}}}$

por tanto, ΨΦ es la transformación de identidad.

• Dualmente, usando que G es un funtor, que η es natural y la ecuación unidad-unidad 1 _GX = G (ε _X ) o η _GX , obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \Psi g&=G(\varepsilon _{X})\circ GF(g)\circ \eta _{Y}\\&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\circ g\\&=1_{GX}\circ g=g\end{aligned}}}$

por tanto ΦΨ es la transformación de identidad. Por tanto, Φ es un isomorfismo natural con inversa Φ ⁻¹ = Ψ.

La adjunción hom-set induce todo lo anterior

Dados los functores F  : D → C , G  : C → D , y una adjunción hom-set Φ : hom _C ( F -,-) → hom _D (-, G -), se puede construir una adjunción unidad-unidad

${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$ ,

que define familias de morfismos iniciales y terminales, en los siguientes pasos:

• Sea     para cada X en C , donde     está el morfismo de identidad. ${\displaystyle \varepsilon _{X}=\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in \mathrm {hom} _{C}(FGX,X)}$ ${\displaystyle 1_{GX}\in \mathrm {hom} _{D}(GX,GX)}$
• Sea     para cada Y en D , donde     está el morfismo de identidad. ${\displaystyle \eta _{Y}=\Phi _{Y,FY}(1_{FY})\in \mathrm {hom} _{D}(Y,GFY)}$ ${\displaystyle 1_{FY}\in \mathrm {hom} _{C}(FY,FY)}$
• La biyectividad y naturalidad de Φ implican que cada ( GX , ε _X ) es un morfismo terminal de F a X en C , y cada ( FY , η _Y ) es un morfismo inicial de Y a G en D.
• La naturalidad de Φ implica la naturalidad de ε y η, y las dos fórmulas

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Phi _{Y,X}^{-1}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$

para cada f : FY → X y g : Y → GX (que determinan completamente Φ).

• Sustituyendo FY por X y η _Y = Φ _{Y , FY} (1 _FY ) por g en la segunda fórmula se obtiene la primera ecuación unidad-unidad

${\displaystyle 1_{FY}=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})}$,

y sustituyendo GX por Y y ε _X = Φ ⁻¹ _{GX, X} (1 _GX ) por f en la primera fórmula se obtiene la segunda ecuación unidad-unidad

${\displaystyle 1_{GX}=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}}$.

Propiedades

Existencia

No todos los funtores G  : C → D admiten un adjunto izquierdo. Si C es una categoría completa , entonces los functores con adjuntos izquierdos pueden caracterizarse mediante el teorema del funtor adjunto de Peter J. Freyd : G tiene un adjunto izquierdo si y sólo si es continuo y se satisface una cierta condición de pequeñez: para cada objeto Y de D existe una familia de morfismos

f _yo  : Y → GRAMO ( X _yo )

donde los índices i provienen de un conjunto I , no de una clase adecuada , tal que cada morfismo

h  : Y → GRAMO ( X )

Se puede escribir como

h = GRAMO ( t ) ∘ f _yo

para algunos i en I y algún morfismo

t  : X _yo → X ∈ C .

Una afirmación análoga caracteriza a aquellos functores con un adjunto derecho.

Un caso especial importante es el de las categorías localmente presentables . Si es un funtor entre categorías localmente presentables, entonces ${\displaystyle F:C\to D}$

• F tiene un adjunto derecho si y sólo si F conserva colimits pequeños
• F tiene un adjunto izquierdo si y sólo si F conserva límites pequeños y es un functor accesible

Unicidad

Si el funtor F  : D → C tiene dos adjuntos derechos G y G ′, entonces G y G ′ son naturalmente isomorfos . Lo mismo ocurre con los adjuntos izquierdos.

Por el contrario, si F se deja junto a G , y G es naturalmente isomorfo a G ′, entonces F también se deja junto a G ′. De manera más general, si 〈F , G , ε, η〉 es una adjunción (con unidad–unidad (ε,η)) y

σ : F → F ′

τ : GRAMO → GRAMO ′

son isomorfismos naturales entonces 〈F ′, G ′, ε′, η′〉 es una adjunción donde

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta '&=(\tau \ast \sigma )\circ \eta \\\varepsilon '&=\varepsilon \circ (\sigma ^{-1}\ast \tau ^{-1}).\end{aligned}}}$

Aquí denota composición vertical de transformaciones naturales y denota composición horizontal. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \ast }$

Composición

Las conjunciones se pueden componer de forma natural. Específicamente, si 〈F , G , ε, η〉 es una conjunción entre C y D y 〈F ′, G ′, ε′, η′〉 es una conjunción entre D y E entonces el funtor

${\displaystyle F\circ F':E\rightarrow C}$

se deja junto a

${\displaystyle G'\circ G:C\to E.}$

Más precisamente, hay una conjunción entre F F' y G' G con unidad y cuenta dadas respectivamente por las composiciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}&1_{\mathcal {E}}{\xrightarrow {\eta '}}G'F'{\xrightarrow {G'\eta F'}}G'GFF'\\&FF'G'G{\xrightarrow {F\varepsilon 'G}}FG{\xrightarrow {\varepsilon }}1_{\mathcal {C}}.\end{aligned}}}$

Esta nueva conjunción se llama composición de las dos conjunciones dadas.

Dado que también existe una forma natural de definir una conjunción de identidad entre una categoría C y ella misma, se puede formar una categoría cuyos objetos sean todos categorías pequeñas y cuyos morfismos sean conjunciones.

Limitar la preservación

La propiedad más importante de los adjuntos es su continuidad: cada funtor que tiene un adjunto izquierdo (y por lo tanto es un adjunto derecho) es continuo (es decir, conmuta con límites en el sentido teórico de la categoría); todo funtor que tiene un adjunto derecho (y por lo tanto es un adjunto izquierdo) es cocontinuo (es decir, conmuta con colimits ).

Dado que muchas construcciones comunes en matemáticas son límites o colimits, esto proporciona una gran cantidad de información. Por ejemplo:

• aplicar un functor adjunto derecho a un producto de objetos produce el producto de las imágenes;
• aplicar un functor adjunto izquierdo a un coproducto de objetos produce el coproducto de las imágenes;
• cada funtor adjunto derecho entre dos categorías abelianas es exacto a la izquierda ;
• cada funtor adjunto izquierdo entre dos categorías abelianas es exacto a la derecha .

Aditividad

Si C y D son categorías preaditivas y F  : D → C es un funtor aditivo con un adjunto derecho G  : C → D , entonces G también es un funtor aditivo y las biyecciones hom-set

${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$

son, de hecho, isomorfismos de grupos abelianos. De manera dual, si G es aditivo con un adjunto izquierdo F , entonces F también es aditivo.

Además, si tanto C como D son categorías aditivas (es decir, categorías preaditivas con todos los biproductos finitos ), entonces cualquier par de funtores adjuntos entre ellos son automáticamente aditivos.

Relaciones

Construcciones universales

Como se indicó anteriormente, una conjunción entre las categorías C y D da lugar a una familia de morfismos universales , uno para cada objeto en C y uno para cada objeto en D. Por el contrario, si existe un morfismo universal para un funtor G  : C → D de cada objeto de D , entonces G tiene un adjunto izquierdo.

Sin embargo, las construcciones universales son más generales que los funtores adjuntos: una construcción universal es como un problema de optimización; da lugar a un par adjunto si y sólo si este problema tiene una solución para cada objeto de D (equivalentemente, cada objeto de C ).

Equivalencias de categorías

Si un funtor F  : D → C es la mitad de una equivalencia de categorías , entonces es el adjunto izquierdo en una equivalencia adjunta de categorías, es decir, una conjunción cuya unidad y cuenta son isomorfismos.

Cada adjunción 〈F , G , ε, η〉 extiende una equivalencia de ciertas subcategorías. Defina C ₁ como la subcategoría completa de C que consta de aquellos objetos X de C para los cuales ε _X es un isomorfismo, y defina D ₁ como la subcategoría completa de D que consta de aquellos objetos Y de D para los cuales η _Y es un isomorfismo. Entonces F y G pueden restringirse a D ₁ y C ₁ y producir equivalencias inversas de estas subcategorías.

Entonces, en cierto sentido, los adjuntos son inversos "generalizados". Sin embargo, tenga en cuenta que un inverso derecho de F (es decir, un funtor G tal que FG es naturalmente isomorfo a 1 _D ) no tiene por qué ser un adjunto derecho (o izquierdo) de F . Los adjuntos generalizan inversas de dos lados .

Mónadas

Cada adjunción 〈F , G , ε, η〉 da lugar a una mónada asociada 〈T , η, μ〉 en la categoría D . el funtor

${\displaystyle T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$

viene dado por T = GF . La unidad de la mónada.

${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to T}$

es solo la unidad η de la adjunción y la transformación de multiplicación

${\displaystyle \mu :T^{2}\to T\,}$

viene dado por μ = G ε F . Dualmente, la triple 〈FG , ε, F η G〉 define una comonada en C .

Cada mónada surge de alguna conjunción (de hecho, típicamente de muchas conjunciones) de la manera anterior. Dos construcciones, llamadas categoría de álgebras de Eilenberg-Moore y categoría de Kleisli, son dos soluciones extremas al problema de construir una conjunción que dé lugar a una mónada determinada.

Notas

1. Báez, John C. (1996). "Álgebra II de dimensiones superiores: espacios de 2 Hilbert". arXiv : q-alg/9609018 .
2. Kan, Daniel M. (1958). "Funtores adjuntos" (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 87 (2): 294–329. doi : 10.2307/1993102 . JSTOR  1993102.
3. Lawvere, F. William , "Conjunción en las fundaciones", Dialectica , 1969. La notación es diferente hoy en día; una introducción más sencilla de Peter Smith en estas notas de la conferencia, que también atribuyen el concepto al artículo citado.
4. "Categoría indiscreta". nLaboratorio .
5. Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1992) Gavillas en geometría y lógica , Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 Consulte la página 58 

Referencias

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Categorías abstractas y concretas. La alegría de los gatos (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6. Zbl  0695.18001.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 5 (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001.

enlaces externos

• Lista de reproducción de complementos en YouTube : siete conferencias breves sobre complementos a cargo de Eugenia Cheng de The Catsters
• WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, funtores , transformaciones naturales , propiedades universales .