Francis William Lawvere ( / lɔːˈvɪər / ; 9 de febrero de 1937 - 23 de enero de 2023) fue un matemático estadounidense conocido por su trabajo en teoría de categorías , teoría de topos y filosofía de las matemáticas .
Nacido en Muncie, Indiana , y criado en una granja en las afueras de Mathews, Lawvere recibió su título universitario en matemáticas de la Universidad de Indiana . [1]
Lawvere estudió mecánica de medios continuos y teoría cinética como estudiante universitario con Clifford Truesdell . [2] Aprendió sobre la teoría de categorías mientras enseñaba un curso sobre análisis funcional para Truesdell, específicamente a partir de un problema en el libro de texto de John L. Kelley , Topología general .
Lawvere lo encontró como un marco prometedor para axiomas rigurosos y simples para las ideas físicas de Truesdell y Walter Noll . Truesdell apoyó la solicitud de Lawvere para estudiar más a fondo con Samuel Eilenberg , fundador de la teoría de categorías, en la Universidad de Columbia en 1960. [1] [3]
Antes de completar el doctorado, Lawvere pasó un año en Berkeley como estudiante informal de teoría de modelos y teoría de conjuntos , siguiendo las conferencias de Alfred Tarski y Dana Scott . En su primer puesto de profesor en el Reed College, se le encargó que diseñara cursos de cálculo y álgebra abstracta desde una perspectiva fundamental. Intentó utilizar la teoría axiomática de conjuntos vigente en ese momento, pero la encontró impracticable para los estudiantes de grado, por lo que en su lugar desarrolló los primeros axiomas para la composición más relevante de aplicaciones de conjuntos. Más tarde simplificó esos axiomas en la Teoría elemental de la categoría de conjuntos (1964), que se convirtió en un ingrediente (el caso constante) de la teoría elemental de topos .
Lawvere murió el 23 de enero de 2023 en Chapel Hill, Carolina del Norte, después de una larga enfermedad a la edad de 85 años. [1] [3]
Lawvere completó su doctorado en Columbia en 1963 con Eilenberg. Su disertación introdujo la categoría de categorías como marco para la semántica de las teorías algebraicas . De 1964 a 1967 en el Forschungsinstitut für Mathematik en la ETH en Zúrich trabajó en la categoría de categorías y fue especialmente influenciado por los seminarios de Pierre Gabriel en Oberwolfach sobre la fundación de la geometría algebraica de Grothendieck . Luego enseñó en la Universidad de Chicago, trabajando con Mac Lane , y en el Centro de Graduados de la Universidad de la Ciudad de Nueva York (CUNY), trabajando con Alex Heller. Las conferencias de Lawvere en Chicago sobre dinámica categórica fueron un paso más hacia la teoría de topos y sus conferencias de CUNY sobre hiperdoctrinas avanzaron la lógica categórica especialmente utilizando su descubrimiento de 1963 de que los cuantificadores existenciales y universales pueden caracterizarse como casos especiales de funtores adjuntos .
De regreso a Zúrich en 1968 y 1969, propuso axiomas elementales (de primer orden) para topos que generalizaban el concepto de topos de Grothendieck (véase Historia de la teoría de topos ) y trabajó con el topólogo algebraico Myles Tierney para aclarar y aplicar esta teoría. Tierney descubrió simplificaciones importantes en la descripción de las "topologías" de Grothendieck. Anders Kock encontró más tarde simplificaciones adicionales de modo que un topos puede describirse como una categoría con productos e ecualizadores en los que las nociones de espacio de funciones y subobjetos son representables. Lawvere había señalado que una topología de Grothendieck puede describirse completamente como un endomorfismo del representador del subobjeto, y Tierney demostró que las condiciones que necesita satisfacer son simplemente la idempotencia y la preservación de intersecciones finitas. Estas "topologías" son importantes tanto en geometría algebraica como en teoría de modelos porque determinan los subtopos como categorías de haces.
En 1969, la Universidad de Dalhousie creó un grupo de 15 investigadores apoyados por Killam con Lawvere a la cabeza; pero en 1971 disolvió el grupo. Lawvere fue controvertido por sus opiniones políticas, por ejemplo, su oposición al uso de la Ley de Medidas de Guerra en 1970 , y por enseñar la historia de las matemáticas sin permiso. [4] Pero en 1995, Dalhousie fue sede de la celebración de los 50 años de la teoría de categorías con Lawvere y Saunders Mac Lane presentes.
Lawvere dirigió un seminario en Perugia, Italia (1972-1974) y trabajó especialmente en varios tipos de categorías enriquecidas. Por ejemplo, un espacio métrico puede considerarse una categoría enriquecida. Desde 1974 hasta su jubilación en 2000 fue profesor de matemáticas en la Universidad de Buffalo , colaborando a menudo con Stephen Schanuel . En 1977 fue elegido profesor de matemáticas de la Cátedra Martin durante cinco años, lo que hizo posible la reunión sobre "Categorías en la Física del Continuo" en 1982. Clifford Truesdell participó en esa reunión, al igual que varios otros investigadores en los fundamentos racionales de la física del Continuo y en la geometría diferencial sintética que había evolucionado a partir de la parte espacial del programa de dinámica categórica de Lawvere. Lawvere continuó trabajando en su búsqueda de 50 años de una base rigurosa y flexible para las ideas físicas, libre de complicaciones analíticas innecesarias. Fue profesor emérito de matemáticas y profesor adjunto emérito de filosofía en Buffalo. [3]
Una motivación central para el trabajo de Lawvere es la búsqueda de buenos fundamentos matemáticos (rigurosos) de la física , específicamente de la mecánica del continuo (clásica) (o al menos algunos aspectos cinemáticos de la misma ; Lawvere no parece mencionar hamiltonianos, lagrangianos o funcionales de acción). [5]
En una entrevista (pág. 8) recordó: [2]
Había sido estudiante en la Universidad de Indiana desde 1955 hasta enero de 1960. Me gustaba la física experimental, pero no apreciaba el razonamiento impreciso de algunos cursos teóricos. Así que decidí estudiar matemáticas primero. Truesdell estaba en el Departamento de Matemáticas, pero tenía un gran conocimiento en Física de Ingeniería. Se hizo cargo de mi educación allí. ... en 1955 (y posteriormente) me había aconsejado que continuara el estudio de la mecánica de medios continuos y la teoría cinética. En el verano de 1958, estudié Dinámica Topológica con George Whaples, con el objetivo de comprender tanto como fuera posible en términos categóricos. ... Las categorías serían claramente importantes para simplificar los fundamentos de la física de medios continuos. Concluí que haría de la teoría de categorías una línea central de mi estudio.
Luego, en la misma entrevista (página 11), dijo sobre los primeros años de la década de 1960:
Sentí una fuerte necesidad de aprender más sobre teoría de conjuntos y lógica de expertos en ese campo, siempre con el objetivo, por supuesto, de aclarar los fundamentos de la teoría de categorías y de la física.
El título del texto inicial "Toposes of laws of motion", que a menudo se cita como el texto que introduce la geometría diferencial sintética , atestigua claramente el origen y la motivación de estas ideas en la mecánica clásica . [6]
En una entrevista, William F. Lawvere reflexiona sobre su tiempo como profesor asistente en la Universidad de Chicago en 1967. Menciona que él y Mac Lane enseñaron conjuntamente un curso sobre mecánica , lo que lo llevó a considerar la justificación de métodos intuitivos más antiguos en geometría , acuñando finalmente el término " geometría diferencial sintética ". Este curso se basó en el libro de Mackey Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , lo que indica la influencia de Mackey en la teoría de categorías . [2]
Más adelante en la entrevista, analiza los orígenes de la geometría diferencial sintética y señala que la idea del curso conjunto sobre mecánica surgió de una sugerencia de Chandra. Este curso fue el primero de una serie y, más tarde, Mac Lane dio una charla sobre la ecuación de Hamilton-Jacobi en la Academia Naval en 1970, que se publicó en The American Mathematical Monthly . Explica que comenzó a aplicar la teoría de topos de Grothendieck, aprendida de Gabriel, para simplificar los fundamentos de la mecánica del medio continuo , inspirado por las enseñanzas de Truesdell, las axiomatizaciones de Noll y sus propios esfuerzos en 1958 para categorizar la dinámica topológica.
Una revisión más detallada de estas ideas y su relación con la física se puede encontrar en la introducción a la colección de libros Categorías en Física del Continuo , que son las actas de una reunión organizada por Lawvere en 1982. [7]
En su charla de 1997 "Toposes of Laws of Motion", Lawvere comenta el programa de larga data del cálculo infinitesimal , la mecánica del medio continuo y la geometría diferencial , que apunta a reconstruir el mundo a partir de lo infinitamente pequeño. Reconoce el escepticismo en torno a esta idea, pero enfatiza sus fructíferos resultados a lo largo de los últimos 300 años. Cree que los desarrollos recientes han posicionado a los matemáticos para hacer este programa más explícito, centrándose en cómo la física del medio continuo puede construirse matemáticamente a partir de "ingredientes simples". [6]
En la misma charla, Lawvere menciona que los espacios esenciales necesarios para el análisis funcional y las teorías de campos físicos se pueden encontrar en cualquier topos con un objeto apropiado (T).
En su artículo de 2000 "Comentarios sobre el desarrollo de la teoría de topos", Lawvere analiza su motivación para simplificar y generalizar el concepto de topos de Grothendieck. Explica que su interés surgió de sus estudios anteriores en física, en particular los fundamentos de la física del continuo inspirados por Truesdell, Noll y otros. Señala que, si bien el aparato matemático utilizado en este campo es poderoso, a menudo no se ajusta bien a los fenómenos. Lawvere se pregunta si los problemas y los axiomas necesarios podrían enunciarse de manera más directa y clara, lo que potencialmente conduciría a una explicación más simple pero rigurosa. Estas preguntas lo llevaron a aplicar el método de topos en sus conferencias de Chicago de 1967 sobre dinámica categórica. Se dio cuenta de que era necesario seguir trabajando en la noción de topos para lograr sus objetivos. El tiempo que pasó con los lógicos de Berkeley en 1961-62, escuchando a expertos en fundamentos, también influyó en su enfoque. [8]
Lawvere destaca que varios libros sobre teoría de topos simplificada , incluido el texto reciente y accesible de MacLane y Moerdijk, junto con tres excelentes libros sobre geometría diferencial sintética , proporcionan una base sólida para futuros trabajos en análisis funcional y el desarrollo de la física del continuo.
William Lawvere también ha propuesto formalizaciones en la teoría de categorías , la lógica categórica y la teoría topos de conceptos que están motivadas por la filosofía , en particular en La ciencia de la lógica de Georg Hegel (véase allí para más información).
Esto incluye, por ejemplo, definiciones de conceptos que se encuentran allí, como lógica objetiva y subjetiva, general abstracto, general concreto, particular concreto, unidad de opuestos , Aufhebung , ser, devenir, espacio y cantidad, cohesión, cantidad intensiva y extensiva... y así sucesivamente. [5]
En su obra "Categorías de espacio y cantidad" de El espacio de las matemáticas (1992), William Lawvere expresa su creencia de que los avances técnicos realizados por los teóricos de categorías beneficiarán significativamente a la filosofía dialéctica en las próximas décadas y el próximo siglo. Sostiene que estos avances proporcionarán modelos matemáticos precisos para distinciones filosóficas milenarias, como general versus particular, objetivo versus subjetivo y ser versus devenir. Destaca que los matemáticos necesitan abordar estas cuestiones filosóficas para hacer que las matemáticas y otras ciencias sean más accesibles y útiles. Esto, señala, requerirá que los filósofos aprendan matemáticas y los matemáticos aprendan filosofía. [9]
Un precursor de esta iniciativa es Hermann Grassmann con su Ausdehnungslehre . [10]
El teórico de categorías William Lawvere era un marxista-leninista comprometido ; en un momento dio una charla llamada "Aplicación del marxismo-leninismo-pensamiento de Mao Tse-Thung a las matemáticas y la ciencia".
Según el obituario de Anders Kock, en 1971: [11]
La administración de la Universidad [de Dalhousie] se negó a renovar el contrato con [Lawvere], debido a sus actividades políticas de protesta contra la guerra de Vietnam y contra la Ley de Medidas de Guerra proclamada por Trudeau, suspendiendo las libertades civiles con el pretexto del peligro del terrorismo.
Según el obituario en el sitio del Partido Comunista de Canadá (marxista-leninista) : [12]
Más de 1.000 estudiantes se manifestaron en el vestíbulo del edificio del sindicato de estudiantes de Dal para oponerse al despido arbitrario del profesor Lawvere.
Él veía sus compromisos políticos relacionados con su trabajo matemático de maneras a veces sorprendentes e inesperadas: por ejemplo, aquí hay un pasaje de Quantifiers and Sheaves (1970): [13]
Cuando se han descubierto las contradicciones principales de una cosa, el procedimiento científico consiste en resumirlas en consignas que luego se utilizan constantemente como arma ideológica para el desarrollo y la transformación ulteriores de la cosa. Hacer esto en el caso de la "teoría de conjuntos" requiere tener en cuenta la experiencia de que los pares principales de tendencias opuestas en matemáticas toman la forma de funtores adjuntos, y nos libera de las huellas matemáticamente irrelevantes (∈) dejadas por el proceso de acumulación (∪) del conjunto potencia (P) en cada etapa de una "construcción" metafísica.
En las secciones anteriores del artículo, analiza la "unidad de opuestos" entre la lógica y la geometría. Aclara que su análisis de la contradicción, la ideología y la oposición tiene sus raíces en la tradición marxista , y hace referencia a " Sobre la contradicción " (1937) de Mao en la bibliografía. Además, conecta varios conceptos matemáticos con la dialéctica de Hegel y la teoría del conocimiento de Lenin en otras partes de su obra.
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