La filosofía de las matemáticas es la rama de la filosofía que trata de la naturaleza de las matemáticas y su relación con otras actividades humanas.
Los principales temas que se tratan en la filosofía de las matemáticas incluyen:
La conexión entre las matemáticas y la realidad material ha dado lugar a debates filosóficos desde al menos la época de Pitágoras . El antiguo filósofo Platón sostenía que las abstracciones que reflejan la realidad material tienen en sí mismas una realidad que existe fuera del espacio y del tiempo. Como resultado, la visión filosófica de que los objetos matemáticos existen de algún modo por sí mismos en abstracción se suele denominarPlatonismo . Independientemente de sus posibles opiniones filosóficas, los matemáticos modernos pueden ser considerados en general como platónicos, ya que piensan y hablan de sus objetos de estudio como objetos reales (véase Objeto matemático ). [1]
Armand Borel resumió esta visión de la realidad matemática de la siguiente manera y proporcionó citas de G. H. Hardy , Charles Hermite , Henri Poincaré y Albert Einstein que respaldan sus puntos de vista. [2]
Algo se vuelve objetivo (en contraposición a "subjetivo") tan pronto como estamos convencidos de que existe en las mentes de los demás en la misma forma que existe en las nuestras y de que podemos pensar en ello y discutirlo juntos. [3] Debido a que el lenguaje de las matemáticas es tan preciso, es idealmente adecuado para definir conceptos para los cuales existe tal consenso. En mi opinión, eso es suficiente para proporcionarnos una sensación de una existencia objetiva, de una realidad de las matemáticas...
El razonamiento matemático exige rigor . Esto significa que las definiciones deben ser absolutamente inequívocas y las pruebas deben ser reducibles a una sucesión de aplicaciones de silogismos o reglas de inferencia , [a] sin ningún uso de evidencia empírica o intuición . [b] [4]
Las reglas del razonamiento riguroso fueron establecidas por los filósofos griegos antiguos bajo el nombre de lógica . La lógica no es específica de las matemáticas, pero en matemáticas el nivel de rigor es mucho más alto que en otras disciplinas.
Durante muchos siglos, la lógica, aunque utilizada para demostraciones matemáticas, perteneció a la filosofía y no fue estudiada específicamente por los matemáticos. [5] Hacia finales del siglo XIX, varias paradojas pusieron en tela de juicio el fundamento lógico de las matemáticas y, en consecuencia, la validez de toda la matemática. Esto se ha llamado la crisis fundacional de las matemáticas . Algunas de estas paradojas consisten en resultados que parecen contradecir la intuición común, como la posibilidad de construir geometrías no euclidianas válidas en las que el postulado de las paralelas es erróneo, la función de Weierstrass que es continua pero en ninguna parte diferenciable , y el estudio de Georg Cantor de los conjuntos infinitos , que llevó a considerar varios tamaños de infinito ( cardinales infinitos ). Aún más sorprendente, la paradoja de Russell muestra que la frase "el conjunto de todos los conjuntos" es contradictoria en sí misma.
Se han propuesto varios métodos para resolver el problema cambiando el marco lógico, como la matemática constructiva y la lógica intuicionista . A grandes rasgos, la primera consiste en exigir que todo teorema de existencia proporcione un ejemplo explícito, y la segunda excluye del razonamiento matemático la ley del tercio excluido y la eliminación de la doble negación .
Los problemas de fundamentación de las matemáticas se han resuelto finalmente con el surgimiento de la lógica matemática como una nueva área de las matemáticas. En este marco, una teoría matemática o lógica consiste en un lenguaje formal que define las aserciones bien formadas , un conjunto de aserciones básicas llamadas axiomas y un conjunto de reglas de inferencia que permiten producir nuevas aserciones a partir de una o varias aserciones conocidas. Un teorema de dicha teoría es un axioma o una aserción que se puede obtener a partir de teoremas previamente conocidos mediante la aplicación de una regla de inferencia. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección , generalmente llamada ZFC , es una teoría en la que se han replanteado todas las matemáticas; se utiliza implícitamente en todos los textos de matemáticas que no especifican explícitamente en qué fundamentos se basan. Además, los otros fundamentos propuestos se pueden modelar y estudiar dentro de ZFC.
De ello se deduce que el "rigor" ya no es un concepto relevante en matemáticas, ya que una prueba es correcta o errónea, y una "prueba rigurosa" es simplemente un pleonasmo . Donde entra en juego un concepto especial de rigor es en los aspectos socializados de una prueba. En particular, las pruebas rara vez se escriben con todos los detalles, y algunos pasos de una prueba generalmente se consideran triviales , fáciles o sencillos y, por lo tanto, se dejan al lector. Como la mayoría de los errores de prueba ocurren en estos pasos omitidos, una nueva prueba debe ser verificada por otros especialistas en la materia, y puede considerarse confiable solo después de haber sido aceptada por la comunidad de especialistas, lo que puede llevar varios años. [6]
Además, el concepto de “rigor” puede seguir siendo útil para enseñar a los principiantes qué es una prueba matemática. [7]
Antes del siglo XIX, los conceptos matemáticos básicos, como puntos , líneas , números naturales , números reales (usados para mediciones), etc. eran abstracciones del mundo físico, y comúnmente se consideraba que era suficiente para definirlos. [c]
Como consecuencia de esta cercanía a la realidad física, los matemáticos fueron muy cautelosos cuando los problemas que querían resolver les llevaban a introducir nuevos conceptos que no guardaban relación directa con el mundo real. Estas precauciones se reflejan todavía en la terminología moderna, donde los números que no son cociente de los números naturales se denominan números irracionales , que originalmente significaban que la razón no podía concebirlos. De manera similar, los números reales son los números que pueden utilizarse para la medición, mientras que los números imaginarios no.
Durante el siglo XIX, hubo una activa investigación para dar definiciones más precisas a los conceptos básicos resultantes de la abstracción del mundo real; por ejemplo, la aritmética de Peano para los números naturales, las definiciones formales de límite , serie (sumas infinitas que pueden tener un valor finito) y continuidad de Cauchy y Weierstrass , la definición de números reales de Cauchy y Dedekind . Estas definiciones formales permitieron demostrar resultados contraintuitivos, que son parte del origen de la crisis fundacional de las matemáticas . Por ejemplo, la función de Weierstrass es una función que es continua en todas partes y en ninguna parte diferenciable . Como la existencia de un monstruo así parecía imposible, la gente tenía dos opciones: o aceptaban esos hechos irreales, lo que implica que las matemáticas no necesitan reflejar la realidad física; o cambiaban las reglas lógicas para excluir a tales monstruos. La primera opción condujo a la escuela filosófica del formalismo ; en su forma fuerte, esta escuela puede entenderse como el hecho de que los matemáticos no deben cuidar la realidad física. La segunda opción condujo al intuicionismo y al constructivismo .
Después de intensos debates, el enfoque axiomático se convirtió finalmente en una norma de facto en matemáticas. Esto significa que las teorías matemáticas deben basarse en axiomas (suposiciones básicas que se consideran verdaderas) y un conjunto fijo de reglas de inferencia ; la teoría consiste en los resultados ( teoremas ) que se pueden deducir (probar) del axioma mediante el uso de reglas de inferencia, y solo reglas de inferencia. Las entidades ( objetos matemáticos ) involucradas en los axiomas se consideran definidas por los axiomas, y no se supone nada más sobre su naturaleza. Por ejemplo, la geometría plana puede axiomatizarse con dos tipos de objetos, los puntos y las líneas, y una relación "perteneciente a" o "que pasa por" que relaciona puntos y líneas. Uno de los axiomas es "hay exactamente una línea que pasa por dos puntos". La interpretación de puntos y líneas (de la teoría) como puntos y líneas habituales no importa en absoluto para la validez de la teoría. Esto significa que se puede verificar la exactitud de una prueba sin referirse a ninguna figura, y que un teorema demostrado sigue siendo verdadero independientemente de cualquier interpretación de las entidades involucradas en los axiomas. Por ejemplo, en geometría proyectiva plana , se pueden interpretar puntos como líneas y viceversa. Esto implica que para cada teorema que relaciona puntos y líneas, se obtiene inmediatamente un nuevo teorema intercambiando el papel de los puntos y las líneas (ver dualidad ). Sin embargo, la interpretación de los objetos de una teoría en términos de la realidad física (cuando sea posible) o de abstracciones estudiadas previamente sigue siendo fundamental para guiar la elección de los axiomas, comprender el tema de la teoría y seguir los pasos de una larga prueba.
Este enfoque axiomático se ha aplicado a toda la matemática, a través de ZFC , la teoría de conjuntos de Zermelo - Fraenkel con el axioma de elección . Toda la matemática se ha reconstruido dentro de esta teoría. Salvo que se afirme explícitamente lo contrario, todos los textos matemáticos modernos la utilizan como fundamento de la matemática.
En consecuencia, la relación entre las matemáticas y la realidad física ya no es una cuestión matemática, sino que la naturaleza de esta relación sigue siendo una cuestión filosófica que no tiene una respuesta incontrovertible.
Las matemáticas se utilizan en la mayoría de las ciencias para modelar fenómenos, lo que luego permite hacer predicciones a partir de leyes experimentales. [8] La independencia de la verdad matemática de cualquier experimentación implica que la precisión de tales predicciones depende solo de la adecuación del modelo. [9] Las predicciones inexactas, en lugar de ser causadas por conceptos matemáticos inválidos, implican la necesidad de cambiar el modelo matemático utilizado. [10] Por ejemplo, la precesión del perihelio de Mercurio solo pudo explicarse después de la aparición de la relatividad general de Einstein , que reemplazó a la ley de gravitación de Newton como un mejor modelo matemático. [11]
Todavía existe un debate filosófico sobre si las matemáticas son una ciencia. Sin embargo, en la práctica, los matemáticos suelen agruparse con los científicos, y las matemáticas tienen mucho en común con las ciencias físicas. Al igual que ellas, son falsables , lo que significa en matemáticas que, si un resultado o una teoría es incorrecta, esto se puede demostrar proporcionando un contraejemplo . De manera similar a lo que ocurre en la ciencia, las teorías y los resultados (teoremas) a menudo se obtienen a partir de la experimentación . [12] En matemáticas, la experimentación puede consistir en cálculos sobre ejemplos seleccionados o en el estudio de figuras u otras representaciones de objetos matemáticos (a menudo representaciones mentales sin soporte físico). Por ejemplo, cuando se le preguntó cómo llegó a sus teoremas, Gauss respondió una vez "a través de la experimentación sistemática". [13] Sin embargo, algunos autores enfatizan que las matemáticas difieren de la noción moderna de ciencia al no depender de evidencia empírica. [14] [15] [16] [17]
La eficacia irrazonable de las matemáticas es un fenómeno que fue nombrado y explicitado por primera vez por el físico Eugene Wigner . [18] Se trata del hecho de que muchas teorías matemáticas (incluso las "más puras") tienen aplicaciones fuera de su objeto inicial. Estas aplicaciones pueden estar completamente fuera de su área inicial de las matemáticas y pueden referirse a fenómenos físicos que eran completamente desconocidos cuando se introdujo la teoría matemática. [19] Se pueden encontrar ejemplos de aplicaciones inesperadas de teorías matemáticas en muchas áreas de las matemáticas.
Un ejemplo notable es la factorización prima de los números naturales que fue descubierta más de 2.000 años antes de su uso común para las comunicaciones seguras por internet a través del criptosistema RSA . [20] Un segundo ejemplo histórico es la teoría de las elipses . Fueron estudiadas por los antiguos matemáticos griegos como secciones cónicas (es decir, intersecciones de conos con planos). Es casi 2.000 años después que Johannes Kepler descubrió que las trayectorias de los planetas son elipses. [21]
En el siglo XIX, el desarrollo interno de la geometría (matemática pura) condujo a la definición y estudio de geometrías no euclidianas, espacios de dimensión superior a tres y variedades . En esa época, estos conceptos parecían totalmente desconectados de la realidad física, pero a principios del siglo XX, Albert Einstein desarrolló la teoría de la relatividad que utiliza fundamentalmente estos conceptos. En particular, el espacio-tiempo de la relatividad especial es un espacio no euclidiano de dimensión cuatro, y el espacio-tiempo de la relatividad general es una variedad (curva) de dimensión cuatro. [22] [23]
Un aspecto llamativo de la interacción entre las matemáticas y la física es cuando las matemáticas impulsan la investigación en física. Esto se ilustra con los descubrimientos del positrón y el barión. En ambos casos, las ecuaciones de las teorías tenían soluciones inexplicables, lo que llevó a la conjetura de la existencia de una partícula desconocida y a la búsqueda de estas partículas. En ambos casos, estas partículas se descubrieron unos años después mediante experimentos específicos. [2] [24] [25]
El origen de las matemáticas es motivo de discusiones y desacuerdos. Sigue siendo un tema de controversia si el nacimiento de las matemáticas fue casual o inducido por la necesidad durante el desarrollo de disciplinas similares, como la física. [26] [27]
Muchos pensadores han contribuido con sus ideas sobre la naturaleza de las matemáticas. Hoy en día, algunos filósofos de las matemáticas [¿ quiénes? ] se proponen dar cuenta de esta forma de investigación y sus productos tal como son, mientras que otros enfatizan un papel para sí mismos que va más allá de la simple interpretación y llega hasta el análisis crítico. Existen tradiciones de filosofía matemática tanto en la filosofía occidental como en la filosofía oriental . Las filosofías occidentales de las matemáticas se remontan a Pitágoras , que describió la teoría de que "todo es matemática" ( matematicismo ), Platón , que parafraseó a Pitágoras y estudió el estatus ontológico de los objetos matemáticos, y Aristóteles , que estudió la lógica y cuestiones relacionadas con el infinito (actual versus potencial).
La filosofía griega sobre las matemáticas estuvo fuertemente influenciada por su estudio de la geometría . Por ejemplo, en un tiempo, los griegos sostenían la opinión de que 1 (uno) no era un número , sino más bien una unidad de longitud arbitraria. Un número se definía como una multitud. Por lo tanto, 3, por ejemplo, representaba una cierta multitud de unidades y era, por lo tanto, "verdaderamente" un número. En otro momento, se planteó un argumento similar de que 2 no era un número sino una noción fundamental de un par. Estas opiniones provienen del punto de vista fuertemente geométrico de la regla y el compás de los griegos: así como las líneas dibujadas en un problema geométrico se miden en proporción a la primera línea dibujada arbitrariamente, también los números en una línea numérica se miden en proporción al primer "número" o "uno" arbitrario. [ cita requerida ]
Estas ideas griegas anteriores sobre los números fueron posteriormente trastocadas por el descubrimiento de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos. Hípaso , un discípulo de Pitágoras , demostró que la diagonal de un cuadrado unitario era inconmensurable con su arista (de longitud unitaria): en otras palabras, demostró que no existía ningún número (racional) que representara con precisión la proporción de la diagonal del cuadrado unitario con su arista. Esto provocó una reevaluación significativa de la filosofía griega de las matemáticas. Según la leyenda, los compañeros pitagóricos quedaron tan traumatizados por este descubrimiento que asesinaron a Hípaso para evitar que difundiera su idea herética. [28] Simon Stevin fue uno de los primeros en Europa en desafiar las ideas griegas en el siglo XVI. A partir de Leibniz , el enfoque se desplazó fuertemente hacia la relación entre las matemáticas y la lógica. Esta perspectiva dominó la filosofía de las matemáticas hasta la época de Frege y de Russell , pero fue puesta en tela de juicio por los acontecimientos de finales del siglo XIX y principios del XX.
Un tema recurrente en la filosofía de las matemáticas es la relación entre la lógica y las matemáticas en sus fundamentos comunes. Si bien los filósofos del siglo XX siguieron planteándose las preguntas mencionadas al comienzo de este artículo, la filosofía de las matemáticas en el siglo XX se caracterizó por un interés predominante en la lógica formal , la teoría de conjuntos (tanto la teoría de conjuntos ingenua como la teoría de conjuntos axiomática ) y las cuestiones fundamentales.
Es un profundo enigma que, por un lado, las verdades matemáticas parecen tener una inevitabilidad irresistible, pero, por otro, la fuente de su "veracidad" sigue siendo esquiva. Las investigaciones sobre esta cuestión se conocen como los fundamentos del programa de matemáticas.
A principios del siglo XX, los filósofos de las matemáticas ya empezaban a dividirse en varias escuelas de pensamiento sobre todas estas cuestiones, que se distinguían en líneas generales por sus concepciones de la epistemología y la ontología matemáticas . En esa época surgieron tres escuelas: el formalismo , el intuicionismo y el logicismo , en parte como respuesta a la preocupación cada vez más extendida de que las matemáticas tal como estaban, y el análisis en particular, no estaban a la altura de los estándares de certeza y rigor que se habían dado por sentados. Cada escuela abordó las cuestiones que surgieron en ese momento, ya sea intentando resolverlas o afirmando que las matemáticas no tienen derecho a su condición de nuestro conocimiento más fiable.
Los sorprendentes y contraintuitivos desarrollos en la lógica formal y la teoría de conjuntos a principios del siglo XX llevaron a nuevas preguntas sobre lo que tradicionalmente se llamó los fundamentos de las matemáticas . A medida que avanzaba el siglo, el foco inicial de preocupación se expandió a una exploración abierta de los axiomas fundamentales de las matemáticas, el enfoque axiomático se había dado por sentado desde la época de Euclides alrededor del 300 a. C. como la base natural de las matemáticas. Las nociones de axioma , proposición y prueba , así como la noción de que una proposición es verdadera respecto de un objeto matemático (ver Asignación ), se formalizaron, lo que permitió tratarlas matemáticamente. Se formularon los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos, que proporcionaron un marco conceptual en el que se interpretaría gran parte del discurso matemático. En matemáticas, como en física, habían surgido ideas nuevas e inesperadas y se avecinaban cambios significativos. Con la numeración de Gödel , las proposiciones podían interpretarse como referencias a sí mismas o a otras proposiciones, lo que permitió la investigación de la consistencia de las teorías matemáticas. Esta crítica reflexiva en la que la teoría en cuestión "se convierte en sí misma en objeto de un estudio matemático" llevó a Hilbert a llamar a dicho estudio metamatemática o teoría de la prueba . [29]
A mediados de siglo, Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane crearon una nueva teoría matemática , conocida como teoría de categorías , que se convirtió en una nueva candidata al lenguaje natural del pensamiento matemático. [30] Sin embargo, a medida que avanzaba el siglo XX, las opiniones filosóficas divergieron en cuanto a cuán bien fundadas estaban las preguntas sobre los fundamentos que se plantearon a principios de siglo. Hilary Putnam resumió una visión común de la situación en el último tercio del siglo diciendo:
Cuando la filosofía descubre que algo anda mal en la ciencia, a veces es necesario cambiar la ciencia ( me viene a la mente la paradoja de Russell , así como el ataque de Berkeley a los infinitesimales reales ), pero más a menudo es la filosofía la que tiene que cambiarse. No creo que las dificultades que la filosofía encuentra hoy en día con las matemáticas clásicas sean dificultades genuinas; y creo que las interpretaciones filosóficas de las matemáticas que se nos ofrecen por todas partes son erróneas, y que la "interpretación filosófica" es precisamente lo que las matemáticas no necesitan. [31] : 169–170
En la actualidad, la filosofía de las matemáticas se desarrolla a lo largo de distintas líneas de investigación, a cargo de filósofos de las matemáticas, lógicos y matemáticos, y existen muchas escuelas de pensamiento sobre el tema. En la siguiente sección se abordan las escuelas por separado y se explican sus supuestos.
La visión que sostiene que las matemáticas son la combinación estética de supuestos, y luego también afirma que las matemáticas son un arte . Un matemático famoso que afirma esto es el británico GH Hardy . [32] Para Hardy, en su libro, A Mathematician's Apology , la definición de las matemáticas era más bien como la combinación estética de conceptos. [33]
El platonismo matemático es la forma de realismo que sugiere que las entidades matemáticas son abstractas, no tienen propiedades espaciotemporales o causales y son eternas e inmutables. A menudo se afirma que esta es la visión que la mayoría de la gente tiene de los números. El término platonismo se utiliza porque se considera que dicha visión es paralela a la teoría de las formas de Platón y a un "mundo de ideas" (griego: eidos (εἶδος)) descrito en la alegoría de la caverna de Platón : el mundo cotidiano solo puede aproximarse imperfectamente a una realidad última e inmutable. Tanto la caverna de Platón como el platonismo tienen conexiones significativas, no solo superficiales, porque las ideas de Platón fueron precedidas y probablemente influenciadas por los enormemente populares pitagóricos de la antigua Grecia, quienes creían que el mundo estaba, literalmente, generado por números .
Una de las cuestiones más importantes que se plantean en el platonismo matemático es: ¿dónde y cómo existen exactamente las entidades matemáticas y cómo sabemos de ellas? ¿Existe un mundo, completamente separado del nuestro, que esté ocupado por las entidades matemáticas? ¿Cómo podemos acceder a este mundo separado y descubrir verdades sobre las entidades? Una de las respuestas propuestas es el Conjunto Último , una teoría que postula que todas las estructuras que existen matemáticamente también existen físicamente en su propio universo.
El platonismo de Kurt Gödel [34] postula un tipo especial de intuición matemática que nos permite percibir objetos matemáticos directamente. (Esta visión guarda semejanza con muchas cosas que Husserl dijo sobre las matemáticas y apoya la idea de Kant de que las matemáticas son sintéticas a priori .) Davis y Hersh han sugerido en su libro de 1999 The Mathematical Experience que la mayoría de los matemáticos actúan como si fueran platónicos, aunque, si se les presiona para que defiendan su posición con cuidado, pueden recurrir al formalismo.
El platonismo puro y duro es una variante moderna del platonismo, que surge como reacción al hecho de que se puede demostrar la existencia de diferentes conjuntos de entidades matemáticas en función de los axiomas y las reglas de inferencia empleadas (por ejemplo, la ley del tercio excluido y el axioma de elección ). Sostiene que todas las entidades matemáticas existen y que pueden ser demostrables, incluso si no pueden derivarse todas de un único conjunto coherente de axiomas. [35]
El realismo de la teoría de conjuntos (también platonismo de la teoría de conjuntos ) [36], una posición defendida por Penelope Maddy , es la visión de que la teoría de conjuntos trata de un único universo de conjuntos. [37] Esta posición (que también se conoce como platonismo naturalizado porque es una versión naturalizada del platonismo matemático) ha sido criticada por Mark Balaguer sobre la base del problema epistemológico de Paul Benacerraf . [38] Una visión similar, denominada naturalismo platonizado , fue defendida más tarde por la Escuela de Stanford-Edmonton : según esta visión, un tipo más tradicional de platonismo es consistente con el naturalismo ; el tipo más tradicional de platonismo que defienden se distingue por principios generales que afirman la existencia de objetos abstractos . [39]
La hipótesis del universo matemático de Max Tegmark (o matematicismo ) va más allá que el platonismo al afirmar que no sólo existen todos los objetos matemáticos, sino que no existe nada más. El único postulado de Tegmark es: Todas las estructuras que existen matemáticamente también existen físicamente . Es decir, en el sentido de que "en aquellos [mundos] lo suficientemente complejos como para contener subestructuras autoconscientes [ellos] se percibirán subjetivamente como existentes en un mundo físicamente 'real'". [40] [41]
El logicismo es la tesis de que las matemáticas son reducibles a la lógica y, por lo tanto, no son más que una parte de la lógica. [42] : 41 Los logicistas sostienen que las matemáticas pueden conocerse a priori , pero sugieren que nuestro conocimiento de las matemáticas es solo una parte de nuestro conocimiento de la lógica en general y, por lo tanto, es analítico , no requiriendo ninguna facultad especial de intuición matemática. En esta visión, la lógica es el fundamento adecuado de las matemáticas y todos los enunciados matemáticos son verdades lógicas necesarias .
Rudolf Carnap (1931) presenta la tesis logicista en dos partes: [42]
Gottlob Frege fue el fundador del logicismo. En su influyente obra Die Grundgesetze der Arithmetik ( Leyes fundamentales de la aritmética ), construyó la aritmética a partir de un sistema de lógica con un principio general de comprensión, al que llamó "Ley fundamental V" (para los conceptos F y G , la extensión de F es igual a la extensión de G si y sólo si para todos los objetos a , Fa es igual a Ga ), un principio que consideró aceptable como parte de la lógica.
La construcción de Frege fue defectuosa. Bertrand Russell descubrió que la Ley Básica V es inconsistente (esta es la paradoja de Russell ). Frege abandonó su programa logicista poco después de esto, pero fue continuado por Russell y Whitehead . Atribuyeron la paradoja a la "circularidad viciosa" y construyeron lo que llamaron teoría de tipos ramificados para lidiar con ella. En este sistema, finalmente pudieron construir gran parte de las matemáticas modernas, pero en una forma alterada y excesivamente compleja (por ejemplo, había diferentes números naturales en cada tipo, y había infinitos tipos). También tuvieron que hacer varios compromisos para desarrollar gran parte de las matemáticas, como el " axioma de reducibilidad ". Incluso Russell dijo que este axioma en realidad no pertenecía a la lógica.
Los logicistas modernos (como Bob Hale , Crispin Wright y quizás otros) han vuelto a un programa más cercano al de Frege. Han abandonado la Ley Básica V en favor de principios de abstracción como el principio de Hume (el número de objetos que caen bajo el concepto F es igual al número de objetos que caen bajo el concepto G si y solo si la extensión de F y la extensión de G pueden ponerse en correspondencia biunívoca ). Frege requería que la Ley Básica V fuera capaz de dar una definición explícita de los números, pero todas las propiedades de los números pueden derivarse del principio de Hume. Esto no habría sido suficiente para Frege porque (parafraseándolo) no excluye la posibilidad de que el número 3 sea de hecho Julio César. Además, muchos de los principios debilitados que han tenido que adoptar para reemplazar la Ley Básica V ya no parecen tan obviamente analíticos y, por lo tanto, puramente lógicos.
El formalismo sostiene que los enunciados matemáticos pueden considerarse enunciados sobre las consecuencias de ciertas reglas de manipulación de cuerdas. Por ejemplo, en el "juego" de la geometría euclidiana (que se considera que consiste en algunas cuerdas llamadas "axiomas" y algunas "reglas de inferencia" para generar nuevas cuerdas a partir de las dadas), se puede demostrar que se cumple el teorema de Pitágoras (es decir, se puede generar la cuerda correspondiente al teorema de Pitágoras). Según el formalismo, las verdades matemáticas no tienen que ver con números, conjuntos, triángulos y cosas por el estilo; de hecho, no tienen que ver con nada en absoluto.
Otra versión del formalismo se conoce como deductivismo . [43] En el deductivismo, el teorema de Pitágoras no es una verdad absoluta, sino relativa, si se deduce deductivamente de los axiomas apropiados. Lo mismo se aplica a todos los demás enunciados matemáticos.
El formalismo no tiene por qué significar que las matemáticas no sean más que un juego simbólico sin sentido. Generalmente se espera que exista alguna interpretación en la que se cumplan las reglas del juego (compárese esta postura con el estructuralismo ), pero sí permite al matemático en activo continuar con su trabajo y dejar esos problemas al filósofo o al científico. Muchos formalistas dirían que, en la práctica, los sistemas axiomáticos que se estudiarán serán sugeridos por las exigencias de la ciencia o de otras áreas de las matemáticas.
Un importante defensor temprano del formalismo fue David Hilbert , cuyo programa pretendía ser una axiomatización completa y consistente de todas las matemáticas. [44] Hilbert pretendía demostrar la consistencia de los sistemas matemáticos a partir del supuesto de que la "aritmética finitaria" (un subsistema de la aritmética habitual de los números enteros positivos , elegido por ser filosóficamente indiscutible) era consistente. Los objetivos de Hilbert de crear un sistema de matemáticas que fuera a la vez completo y consistente se vieron seriamente socavados por el segundo de los teoremas de incompletitud de Gödel , que establece que los sistemas axiomáticos consistentes suficientemente expresivos nunca pueden probar su propia consistencia. Dado que cualquier sistema axiomático de este tipo contendría la aritmética finitaria como subsistema, el teorema de Gödel implicaba que sería imposible probar la consistencia del sistema en relación con ella (ya que entonces probaría su propia consistencia, lo que Gödel había demostrado que era imposible). Así, para demostrar que cualquier sistema axiomático de matemáticas es de hecho consistente, es necesario primero suponer la consistencia de un sistema de matemáticas que sea en cierto sentido más fuerte que el sistema que se pretende demostrar como consistente.
Hilbert fue inicialmente un deductivista, pero, como puede quedar claro por lo anterior, consideraba que ciertos métodos metamatemáticos producían resultados intrínsecamente significativos y era realista con respecto a la aritmética finitaria. Más tarde, sostuvo la opinión de que no existía ninguna otra matemática significativa, independientemente de su interpretación.
Otros formalistas, como Rudolf Carnap , Alfred Tarski y Haskell Curry , consideraban que las matemáticas eran la investigación de sistemas axiomáticos formales . Los lógicos matemáticos estudian los sistemas formales, pero suelen ser tan realistas como formalistas.
Los formalistas son relativamente tolerantes y abiertos a nuevos enfoques de la lógica, sistemas numéricos no convencionales, nuevas teorías de conjuntos, etc. Cuantos más juegos estudiemos, mejor. Sin embargo, en los tres ejemplos, la motivación surge de preocupaciones matemáticas o filosóficas existentes. Los "juegos" no suelen ser arbitrarios.
La principal crítica al formalismo es que las ideas matemáticas reales que ocupan a los matemáticos están muy alejadas de los juegos de manipulación de cuerdas mencionados anteriormente. El formalismo, por tanto, no dice nada sobre la cuestión de qué sistemas axiomáticos deben estudiarse, ya que ninguno es más significativo que otro desde un punto de vista formalista.
Recientemente, algunos matemáticos formalistas [¿ quiénes? ] han propuesto que todo nuestro conocimiento matemático formal debería codificarse sistemáticamente en formatos legibles por computadora , de modo de facilitar la verificación automatizada de pruebas matemáticas y el uso de la demostración interactiva de teoremas en el desarrollo de teorías matemáticas y software informático. Debido a su estrecha relación con la ciencia informática , esta idea también es defendida por los intuicionistas matemáticos y los constructivistas en la tradición de la "computabilidad" (consulte el proyecto QED para obtener una descripción general).
El matemático francés Henri Poincaré fue uno de los primeros en articular una visión convencionalista . El uso que hizo Poincaré de geometrías no euclidianas en su trabajo sobre ecuaciones diferenciales lo convenció de que la geometría euclidiana no debía considerarse una verdad a priori. Sostenía que los axiomas en geometría debían elegirse por los resultados que producen, no por su aparente coherencia con las intuiciones humanas sobre el mundo físico.
En matemáticas, el intuicionismo es un programa de reforma metodológica cuyo lema es que “no existen verdades matemáticas no experimentadas” ( LEJ Brouwer ). Desde este trampolín, los intuicionistas buscan reconstruir lo que consideran la parte corregible de las matemáticas de acuerdo con los conceptos kantianos de ser, devenir, intuición y conocimiento. Brouwer, el fundador del movimiento, sostenía que los objetos matemáticos surgen de las formas a priori de las voliciones que informan la percepción de los objetos empíricos. [45]
Una fuerza importante detrás del intuicionismo fue LEJ Brouwer , quien rechazó la utilidad de la lógica formalizada de cualquier tipo para las matemáticas. Su alumno Arend Heyting postuló una lógica intuicionista , diferente de la lógica aristotélica clásica ; esta lógica no contiene la ley del tercero excluido y, por lo tanto, desaprueba las pruebas por contradicción . El axioma de elección también es rechazado en la mayoría de las teorías de conjuntos intuicionistas, aunque en algunas versiones es aceptado.
En el intuicionismo, el término "construcción explícita" no está claramente definido, y eso ha dado lugar a críticas. Se ha intentado utilizar los conceptos de máquina de Turing o función computable para llenar este vacío, lo que ha llevado a la afirmación de que sólo las cuestiones relativas al comportamiento de los algoritmos finitos son significativas y deben investigarse en matemáticas. Esto ha llevado al estudio de los números computables , introducido por primera vez por Alan Turing . No es sorprendente, entonces, que este enfoque de las matemáticas a veces se asocie con la informática teórica .
Al igual que el intuicionismo, el constructivismo implica el principio regulador de que sólo las entidades matemáticas que pueden construirse explícitamente en un cierto sentido deben ser admitidas en el discurso matemático. En esta visión, las matemáticas son un ejercicio de la intuición humana, no un juego con símbolos sin sentido. En cambio, se trata de entidades que podemos crear directamente a través de la actividad mental. Además, algunos partidarios de estas escuelas rechazan las pruebas no constructivas, como el uso de la prueba por contradicción cuando se muestra la existencia de un objeto o cuando se intenta establecer la verdad de alguna proposición. Un trabajo importante fue realizado por Errett Bishop , quien logró probar versiones de los teoremas más importantes en el análisis real como análisis constructivo en su libro Foundations of Constructive Analysis de 1967. [46]
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El finitismo es una forma extrema del constructivismo , según la cual un objeto matemático no existe a menos que pueda construirse a partir de números naturales en un número finito de pasos. En su libro Philosophy of Set Theory , Mary Tiles caracterizó a quienes admiten objetos infinitos numerables como finitistas clásicos, y a quienes niegan incluso los objetos infinitos numerables como finitistas estrictos.
El defensor más famoso del finitismo fue Leopold Kronecker , [47] quien dijo:
Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra del hombre.
El ultrafinitismo es una versión aún más extrema del finitismo, que rechaza no sólo los infinitos sino también las cantidades finitas que no pueden construirse de manera factible con los recursos disponibles. Otra variante del finitismo es la aritmética euclidiana, un sistema desarrollado por John Penn Mayberry en su libro The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets . [48] El sistema de Mayberry es de inspiración aristotélica en general y, a pesar de su fuerte rechazo de cualquier papel para el operacionalismo o la factibilidad en los fundamentos de las matemáticas, llega a conclusiones bastante similares, como, por ejemplo, que la superexponenciación no es una función finita legítima.
El estructuralismo es una postura que sostiene que las teorías matemáticas describen estructuras y que los objetos matemáticos se definen exhaustivamente por sus lugares en dichas estructuras, por lo que no tienen propiedades intrínsecas . Por ejemplo, mantendría que todo lo que se necesita saber sobre el número 1 es que es el primer número entero después del 0. Del mismo modo, todos los demás números enteros se definen por sus lugares en una estructura, la línea numérica . Otros ejemplos de objetos matemáticos podrían incluir líneas y planos en geometría, o elementos y operaciones en álgebra abstracta .
El estructuralismo es una visión epistemológicamente realista en el sentido de que sostiene que los enunciados matemáticos tienen un valor de verdad objetivo. Sin embargo, su afirmación central sólo se relaciona con qué tipo de entidad es un objeto matemático, no con qué tipo de existencia tienen los objetos o estructuras matemáticos (no, en otras palabras, con su ontología ). El tipo de existencia que tienen los objetos matemáticos dependería claramente de la de las estructuras en las que están insertos; diferentes subvariedades del estructuralismo hacen diferentes afirmaciones ontológicas a este respecto. [49]
El estructuralismo ante rem ("antes de la cosa") tiene una ontología similar a la del platonismo . Se sostiene que las estructuras tienen una existencia real pero abstracta e inmaterial. Como tal, se enfrenta al problema epistemológico estándar de explicar la interacción entre tales estructuras abstractas y los matemáticos de carne y hueso (véase el problema de identificación de Benacerraf ).
El estructuralismo in re ("en la cosa") es el equivalente del realismo aristotélico. Se considera que las estructuras existen en la medida en que algún sistema concreto las ejemplifica. Esto genera los problemas habituales de que algunas estructuras perfectamente legítimas podrían no existir accidentalmente, y que un mundo físico finito podría no ser lo suficientemente "grande" para dar cabida a algunas estructuras que, por lo demás, serían legítimas.
El estructuralismo post rem ("después de la cosa") es antirrealista en cuanto a las estructuras de una manera paralela al nominalismo . Al igual que el nominalismo, el enfoque post rem niega la existencia de objetos matemáticos abstractos con propiedades distintas a su lugar en una estructura relacional. Según esta perspectiva, los sistemas matemáticos existen y tienen características estructurales en común. Si algo es cierto de una estructura, será cierto de todos los sistemas que ejemplifican la estructura. Sin embargo, es meramente instrumental hablar de estructuras que "se mantienen en común" entre sistemas: de hecho, no tienen existencia independiente.
Las teorías de la mente corpórea sostienen que el pensamiento matemático es una consecuencia natural del aparato cognitivo humano que se encuentra en nuestro universo físico. Por ejemplo, el concepto abstracto de número surge de la experiencia de contar objetos discretos (lo que requiere de los sentidos humanos, como la vista para detectar los objetos, el tacto y las señales del cerebro). Se sostiene que las matemáticas no son universales y no existen en ningún sentido real, salvo en el cerebro humano. Los humanos construyen las matemáticas, pero no las descubren.
Los procesos cognitivos de búsqueda de patrones y distinción de objetos también son objeto de la neurociencia , si se considera que las matemáticas son relevantes para un mundo natural (por ejemplo, desde el realismo o un grado del mismo, en oposición al solipsismo puro ).
Su relevancia real para la realidad, aunque se acepta como una aproximación confiable (también se sugiere que la evolución de las percepciones, el cuerpo y los sentidos pueden haber sido necesarios para la supervivencia) no es necesariamente precisa para un realismo completo (y todavía está sujeta a fallas como la ilusión , suposiciones (en consecuencia; los fundamentos y axiomas en los que las matemáticas han sido formadas por los humanos), generalizaciones, engaños y alucinaciones ). Como tal, esto también puede plantear preguntas sobre el método científico moderno por su compatibilidad con las matemáticas generales; ya que, si bien es relativamente confiable, todavía está limitado por lo que se puede medir mediante el empirismo , que puede no ser tan confiable como se suponía anteriormente (ver también: conceptos "contraintuitivos" en tales como la no localidad cuántica y la acción a distancia ).
Otro problema es que un sistema numérico no necesariamente es aplicable a la resolución de problemas. Temas como los números complejos o los números imaginarios requieren cambios específicos en los axiomas matemáticos más utilizados; de lo contrario, no se los puede entender adecuadamente.
Como alternativa, los programadores informáticos pueden utilizar el sistema hexadecimal para representar valores codificados en binario de forma "amigable para los humanos" , en lugar del sistema decimal (que resulta práctico para contar, ya que los seres humanos tienen diez dedos). Los axiomas o reglas lógicas que sustentan las matemáticas también varían a lo largo del tiempo (como la adaptación e invención del cero ).
Como las percepciones del cerebro humano están sujetas a ilusiones , suposiciones, engaños, alucinaciones (inducidas) , errores cognitivos o suposiciones en un contexto general, se puede cuestionar si son precisas o estrictamente indicativas de la verdad (ver también: filosofía del ser ), y la naturaleza del empirismo mismo en relación con el universo y si es independiente de los sentidos y el universo.
La mente humana no tiene ningún derecho especial sobre la realidad ni sobre los enfoques de la misma basados en las matemáticas. Si son ciertas construcciones como la identidad de Euler , entonces lo son como mapa de la mente y la cognición humanas .
Los teóricos de la mente encarnada explican así la eficacia de las matemáticas: las matemáticas fueron construidas por el cerebro para ser efectivas en este universo.
El tratamiento más accesible, famoso e infame de esta perspectiva es Where Mathematics Comes From , de George Lakoff y Rafael E. Núñez . Además, el matemático Keith Devlin ha investigado conceptos similares con su libro The Math Instinct , al igual que el neurocientífico Stanislas Dehaene con su libro The Number Sense . Para más información sobre las ideas filosóficas que inspiraron esta perspectiva, véase ciencia cognitiva de las matemáticas .
El realismo aristotélico sostiene que las matemáticas estudian propiedades como la simetría, la continuidad y el orden que pueden realizarse literalmente en el mundo físico (o en cualquier otro mundo que pudiera existir). Contrasta con el platonismo al sostener que los objetos de las matemáticas, como los números, no existen en un mundo "abstracto" sino que pueden realizarse físicamente. Por ejemplo, el número 4 se realiza en la relación entre un montón de loros y el universal "ser un loro" que divide el montón en tantos loros. [50] [51] El realismo aristotélico es defendido por James Franklin y la Escuela de Sydney en la filosofía de las matemáticas y es cercano a la visión de Penélope Maddy de que cuando se abre un cartón de huevos, se percibe un conjunto de tres huevos (es decir, una entidad matemática realizada en el mundo físico). [52] Un problema para el realismo aristotélico es qué explicación dar de los infinitos superiores, que pueden no ser realizables en el mundo físico.
La aritmética euclidiana desarrollada por John Penn Mayberry en su libro The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets [48] también se inscribe en la tradición realista aristotélica. Mayberry, siguiendo a Euclides, considera que los números son simplemente "multitudes definidas de unidades" que se dan en la naturaleza, como "los miembros de la Orquesta Sinfónica de Londres" o "los árboles del bosque de Birnam". El hecho de que existan o no multitudes definidas de unidades para las que la Noción común 5 de Euclides (el todo es mayor que la parte) no sea válida y que, en consecuencia, se consideren infinitas, es para Mayberry esencialmente una cuestión de naturaleza y no implica ninguna suposición trascendental.
El psicologismo en la filosofía de las matemáticas es la posición según la cual los conceptos y/o verdades matemáticas se fundamentan en, se derivan de o se explican mediante hechos (o leyes) psicológicos.
John Stuart Mill parece haber sido un defensor de un tipo de psicologismo lógico, al igual que muchos lógicos alemanes del siglo XIX como Sigwart y Erdmann, así como varios psicólogos , pasados y presentes: por ejemplo, Gustave Le Bon . El psicologismo fue criticado célebremente por Frege en su Los fundamentos de la aritmética , y en muchas de sus obras y ensayos, incluida su reseña de la Filosofía de la aritmética de Husserl . Edmund Husserl, en el primer volumen de sus Investigaciones lógicas , llamado "Los prolegómenos de la lógica pura", criticó el psicologismo a fondo y trató de distanciarse de él. Los "Prolegómenos" se consideran una refutación más concisa, justa y completa del psicologismo que las críticas hechas por Frege, y también es considerado hoy por muchos como una refutación memorable por su golpe decisivo al psicologismo. El psicologismo también fue criticado por Charles Sanders Peirce y Maurice Merleau-Ponty .
El empirismo matemático es una forma de realismo que niega que las matemáticas puedan conocerse a priori . Afirma que descubrimos hechos matemáticos mediante la investigación empírica , al igual que los hechos en cualquiera de las otras ciencias. No es una de las tres posiciones clásicas defendidas a principios del siglo XX, sino que surgió principalmente a mediados del siglo. Sin embargo, un importante defensor temprano de una visión como esta fue John Stuart Mill . La visión de Mill fue ampliamente criticada porque, según críticos como AJ Ayer, [53] hace que afirmaciones como "2 + 2 = 4" resulten como verdades inciertas y contingentes, que solo podemos aprender observando casos de dos pares que se unen y forman un cuarteto.
Karl Popper fue otro filósofo que señaló aspectos empíricos de las matemáticas, observando que "la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de la física y la biología, hipotético-deductivas: las matemáticas puras, por lo tanto, resultan mucho más cercanas a las ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, de lo que parecía incluso recientemente". [54] Popper también señaló que "admitiría un sistema como empírico o científico solo si es capaz de ser probado por la experiencia". [55]
El empirismo matemático contemporáneo, formulado por WVO Quine y Hilary Putnam , se apoya principalmente en el argumento de la indispensabilidad : las matemáticas son indispensables para todas las ciencias empíricas, y si queremos creer en la realidad de los fenómenos descritos por las ciencias, también debemos creer en la realidad de las entidades requeridas para esta descripción. Es decir, dado que la física necesita hablar de electrones para decir por qué las bombillas se comportan como lo hacen, entonces los electrones deben existir . Dado que la física necesita hablar de números para ofrecer cualquiera de sus explicaciones, entonces los números deben existir. De acuerdo con las filosofías generales de Quine y Putnam, este es un argumento naturalista. Argumenta a favor de la existencia de entidades matemáticas como la mejor explicación de la experiencia, despojando así a las matemáticas de ser distintas de las otras ciencias.
Putnam rechazó firmemente el término " platónico " por implicar una ontología demasiado específica que no era necesaria para la práctica matemática en ningún sentido real. Abogó por una forma de "realismo puro" que rechazaba las nociones místicas de la verdad y aceptaba mucho cuasi-empirismo en matemáticas . Esto surgió de la afirmación cada vez más popular a fines del siglo XX de que nunca se podría demostrar la existencia de un fundamento único de las matemáticas . También se lo llama a veces "posmodernismo en matemáticas", aunque algunos consideran que ese término es sobrecargado e insultante para otros. El cuasi-empirismo argumenta que al realizar su investigación, los matemáticos prueban hipótesis y prueban teoremas. Un argumento matemático puede transmitir falsedad de la conclusión a las premisas tan bien como puede transmitir verdad de las premisas a la conclusión. Putnam ha argumentado que cualquier teoría del realismo matemático incluiría métodos cuasi-empíricos. Propuso que una especie alienígena que hiciera matemáticas bien podría depender principalmente de métodos cuasi-empíricos, estando dispuesta a renunciar a menudo a pruebas rigurosas y axiomáticas, y aun así seguir haciendo matemáticas, con tal vez un riesgo algo mayor de que sus cálculos fracasaran. Presentó un argumento detallado para esto en New Directions . [56] El cuasi-empirismo también fue desarrollado por Imre Lakatos .
La crítica más importante a las concepciones empíricas de las matemáticas es aproximadamente la misma que se le hace a Mill. Si las matemáticas son tan empíricas como las otras ciencias, esto sugiere que sus resultados son tan falibles como los de ellas, y tan contingentes como los de ellas. En el caso de Mill, la justificación empírica viene directamente, mientras que en el caso de Quine viene indirectamente, a través de la coherencia de nuestra teoría científica en su conjunto, es decir, la consiliencia según EO Wilson . Quine sugiere que las matemáticas parecen completamente ciertas porque el papel que desempeñan en nuestra red de creencias es extraordinariamente central, y que sería extremadamente difícil para nosotros revisarlas, aunque no imposible.
Para una filosofía de las matemáticas que intenta superar algunas de las deficiencias de los enfoques de Quine y Gödel tomando aspectos de cada uno de ellos, véase Realism in Mathematics de Penelope Maddy . Otro ejemplo de una teoría realista es la teoría de la mente corpórea.
Para obtener evidencia experimental que sugiere que los bebés humanos pueden realizar operaciones aritméticas elementales, véase Brian Butterworth .
El ficcionalismo matemático se hizo famoso en 1980 cuando Hartry Field publicó Science Without Numbers [57] , que rechazó y de hecho revirtió el argumento de indispensabilidad de Quine. Donde Quine sugirió que las matemáticas eran indispensables para nuestras mejores teorías científicas y, por lo tanto, deberían aceptarse como un cuerpo de verdades que hablan sobre entidades que existen independientemente, Field sugirió que las matemáticas eran prescindibles y, por lo tanto, deberían considerarse como un cuerpo de falsedades que no hablan de nada real. Hizo esto dando una axiomatización completa de la mecánica newtoniana sin referencia alguna a números o funciones. Comenzó con la "intermediación" de los axiomas de Hilbert para caracterizar el espacio sin coordinarlo, y luego agregó relaciones adicionales entre puntos para hacer el trabajo que antes hacían los campos vectoriales . La geometría de Hilbert es matemática, porque habla de puntos abstractos, pero en la teoría de Field, estos puntos son los puntos concretos del espacio físico, por lo que no se necesitan objetos matemáticos especiales en absoluto.
Después de haber demostrado cómo hacer ciencia sin utilizar números, Field procedió a rehabilitar las matemáticas como una especie de ficción útil . Demostró que la física matemática es una extensión conservadora de su física no matemática (es decir, todo hecho físico demostrable en la física matemática ya es demostrable a partir del sistema de Field), de modo que las matemáticas son un proceso fiable cuyas aplicaciones físicas son todas verdaderas, aunque sus propias afirmaciones sean falsas. Así, cuando hacemos matemáticas, podemos vernos a nosotros mismos contando una especie de historia, hablando como si los números existieran. Para Field, una afirmación como "2 + 2 = 4" es tan ficticia como " Sherlock Holmes vivía en el 221B de Baker Street", pero ambas son verdaderas según las ficciones pertinentes.
Otra ficcionalista, Mary Leng , expresa su perspectiva sucintamente al descartar cualquier conexión aparente entre las matemáticas y el mundo físico como "una feliz coincidencia". Este rechazo separa al ficcionalismo de otras formas de antirrealismo, que ven las matemáticas en sí mismas como artificiales pero aún así limitadas o ajustadas a la realidad de alguna manera. [58]
Según esta explicación, no existen problemas metafísicos o epistemológicos específicos de las matemáticas. Las únicas preocupaciones que quedan son las preocupaciones generales sobre la física no matemática y sobre la ficción en general. El enfoque de Field ha sido muy influyente, pero es ampliamente rechazado. Esto se debe en parte a la necesidad de fragmentos sólidos de lógica de segundo orden para llevar a cabo su reducción, y a que la declaración de conservadurismo parece requerir cuantificación por sobre modelos abstractos o deducciones. [ cita requerida ]
El constructivismo social considera a las matemáticas principalmente como una construcción social , como un producto de la cultura, sujeto a corrección y cambio. Al igual que las otras ciencias, las matemáticas se consideran un esfuerzo empírico cuyos resultados se evalúan constantemente y pueden descartarse. Sin embargo, mientras que en una visión empirista la evaluación es una especie de comparación con la "realidad", los constructivistas sociales enfatizan que la dirección de la investigación matemática está dictada por las modas del grupo social que la realiza o por las necesidades de la sociedad que la financia. Sin embargo, aunque tales fuerzas externas pueden cambiar la dirección de algunas investigaciones matemáticas, existen fuertes restricciones internas (las tradiciones, métodos, problemas, significados y valores matemáticos en los que están inculturados los matemáticos) que trabajan para conservar la disciplina históricamente definida.
Esto contradice las creencias tradicionales de los matemáticos en activo, según las cuales las matemáticas son de algún modo puras u objetivas. Pero los constructivistas sociales sostienen que, de hecho, las matemáticas se basan en una gran cantidad de incertidumbre: a medida que evoluciona la práctica matemática , el estatus de las matemáticas anteriores se pone en duda y se corrige en la medida en que lo requiere o desea la comunidad matemática actual. Esto se puede ver en el desarrollo del análisis a partir de la reexaminación del cálculo de Leibniz y Newton. Argumentan además que a menudo se le otorga demasiado estatus a las matemáticas acabadas y no el suficiente a las matemáticas populares , debido a un énfasis excesivo en la prueba axiomática y la revisión por pares como prácticas.
La naturaleza social de las matemáticas se destaca en sus subculturas . Se pueden hacer grandes descubrimientos en una rama de las matemáticas y ser relevantes para otra, pero la relación no se descubre por falta de contacto social entre los matemáticos. Los constructivistas sociales sostienen que cada especialidad forma su propia comunidad epistémica y a menudo tiene grandes dificultades para comunicarse o motivar la investigación de conjeturas unificadoras que podrían relacionar diferentes áreas de las matemáticas. Los constructivistas sociales ven el proceso de "hacer matemáticas" como la creación real del significado, mientras que los realistas sociales ven una deficiencia ya sea de la capacidad humana para abstraer, o del sesgo cognitivo humano, o de la inteligencia colectiva de los matemáticos como impedimento para la comprensión de un universo real de objetos matemáticos. Los constructivistas sociales a veces rechazan la búsqueda de fundamentos de las matemáticas como destinada al fracaso, como inútil o incluso sin sentido.
Imre Lakatos y Thomas Tymoczko han hecho contribuciones a esta escuela , aunque no está claro que ninguno de los dos apoye el título. [ aclaración necesaria ] Más recientemente, Paul Ernest ha formulado explícitamente una filosofía constructivista social de las matemáticas. [59] Algunos consideran que el trabajo de Paul Erdős en su conjunto ha avanzado esta visión (aunque él personalmente la rechazó) debido a sus colaboraciones excepcionalmente amplias, que impulsaron a otros a ver y estudiar "las matemáticas como una actividad social", por ejemplo, a través del número de Erdős . Reuben Hersh también ha promovido la visión social de las matemáticas, llamándola un enfoque "humanista", [60] similar pero no exactamente igual al asociado con Alvin White; [61] uno de los coautores de Hersh, Philip J. Davis , también ha expresado simpatía por la visión social.
En lugar de centrarse en debates estrechos sobre la verdadera naturaleza de la verdad matemática , o incluso sobre prácticas exclusivas de los matemáticos como la demostración , un movimiento creciente desde la década de 1960 hasta la de 1990 comenzó a cuestionar la idea de buscar fundamentos o encontrar una única respuesta correcta a por qué funcionan las matemáticas. El punto de partida para esto fue el famoso artículo de Eugene Wigner de 1960 " La irrazonable eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales ", en el que sostenía que la feliz coincidencia de que las matemáticas y la física estuvieran tan bien emparejadas parecía irrazonable y difícil de explicar.
Las teorías realistas y constructivistas suelen considerarse contrarias. Sin embargo, Karl Popper [62] sostuvo que una afirmación numérica como "2 manzanas + 2 manzanas = 4 manzanas" puede tomarse en dos sentidos. En un sentido es irrefutable y lógicamente verdadera. En el segundo sentido es factualmente verdadera y falsable. Otra forma de decirlo es que una única afirmación numérica puede expresar dos proposiciones: una de las cuales puede explicarse desde el punto de vista constructivista y la otra desde el punto de vista realista. [63]
Las innovaciones en la filosofía del lenguaje durante el siglo XX renovaron el interés en si las matemáticas son, como se dice a menudo, [ cita requerida ] el lenguaje de la ciencia. Aunque algunos [ ¿ quiénes? ] matemáticos y filósofos aceptarían la afirmación "las matemáticas son un lenguaje" (la mayoría considera que el lenguaje de las matemáticas es una parte de las matemáticas a la que las matemáticas no se pueden reducir), [ cita requerida ] lingüistas [ ¿ quiénes? ] creen que deben considerarse las implicaciones de tal afirmación. Por ejemplo, las herramientas de la lingüística no se aplican generalmente a los sistemas de símbolos de las matemáticas, es decir, las matemáticas se estudian de una manera marcadamente diferente de otros lenguajes. Si las matemáticas son un lenguaje, son un tipo de lenguaje diferente de los lenguajes naturales . De hecho, debido a la necesidad de claridad y especificidad, el lenguaje de las matemáticas está mucho más restringido que los lenguajes naturales estudiados por los lingüistas. Sin embargo, los métodos desarrollados por Frege y Tarski para el estudio del lenguaje matemático han sido ampliados en gran medida por el estudiante de Tarski, Richard Montague, y otros lingüistas que trabajan en semántica formal para demostrar que la distinción entre el lenguaje matemático y el lenguaje natural puede no ser tan grande como parece.
Mohan Ganesalingam ha analizado el lenguaje matemático utilizando herramientas de la lingüística formal. [64] Ganesalingam señala que algunas características del lenguaje natural no son necesarias al analizar el lenguaje matemático (como el tiempo verbal ), pero se pueden utilizar muchas de las mismas herramientas analíticas (como las gramáticas libres de contexto ). Una diferencia importante es que los objetos matemáticos tienen tipos claramente definidos , que se pueden definir explícitamente en un texto: "En efecto, se nos permite introducir una palabra en una parte de una oración y declarar su parte del discurso en otra; y esta operación no tiene análogo en el lenguaje natural". [64] : 251
Este argumento, asociado con Willard Quine y Hilary Putnam , es considerado por Stephen Yablo como uno de los argumentos más desafiantes a favor de la aceptación de la existencia de entidades matemáticas abstractas, como números y conjuntos. [65] La forma del argumento es la siguiente.
La justificación de la primera premisa es la más controvertida. Tanto Putnam como Quine invocan el naturalismo para justificar la exclusión de todas las entidades no científicas y, por lo tanto, para defender la parte "única" de "todos y sólo". La afirmación de que "todas" las entidades postuladas en las teorías científicas, incluidos los números, deben aceptarse como reales está justificada por el holismo de confirmación . Dado que las teorías no se confirman de manera fragmentaria, sino en su conjunto, no hay justificación para excluir ninguna de las entidades a las que se hace referencia en las teorías bien confirmadas. Esto pone al nominalista que desea excluir la existencia de conjuntos y geometría no euclidiana , pero incluir la existencia de quarks y otras entidades indetectables de la física, por ejemplo, en una posición difícil. [66]
El " argumento epistémico " antirrealista contra el platonismo ha sido presentado por Paul Benacerraf y Hartry Field . El platonismo postula que los objetos matemáticos son entidades abstractas . Por acuerdo general, las entidades abstractas no pueden interactuar causalmente con entidades físicas concretas ("los valores de verdad de nuestras afirmaciones matemáticas dependen de hechos que involucran entidades platónicas que residen en un reino fuera del espacio-tiempo" [67] ). Si bien nuestro conocimiento de objetos físicos concretos se basa en nuestra capacidad de percibirlos y, por lo tanto, de interactuar causalmente con ellos, no hay una explicación paralela de cómo los matemáticos llegan a tener conocimiento de objetos abstractos. [68] [69] [70] Otra forma de plantear el punto es que si el mundo platónico desapareciera, no habría ninguna diferencia en la capacidad de los matemáticos para generar pruebas , etc., que ya es completamente explicable en términos de procesos físicos en sus cerebros.
Field desarrolló sus ideas hasta llegar al ficcionalismo. Benacerraf también desarrolló la filosofía del estructuralismo matemático , según la cual no existen objetos matemáticos. No obstante, algunas versiones del estructuralismo son compatibles con algunas versiones del realismo.
El argumento se basa en la idea de que se puede dar una explicación naturalista satisfactoria de los procesos de pensamiento en términos de procesos cerebrales para el razonamiento matemático junto con todo lo demás. Una línea de defensa es sostener que esto es falso, de modo que el razonamiento matemático utiliza una intuición especial que implica contacto con el reino platónico. Sir Roger Penrose ofrece una forma moderna de este argumento . [71]
Otra línea de defensa consiste en sostener que los objetos abstractos son relevantes para el razonamiento matemático de una manera no causal y no análoga a la percepción. Este argumento fue desarrollado por Jerrold Katz en su libro de 2000 Racionalismo realista .
Una defensa más radical es la negación de la realidad física, es decir, la hipótesis del universo matemático . En ese caso, el conocimiento de las matemáticas por parte de un matemático es un objeto matemático que entra en contacto con otro.
Muchos matemáticos en ejercicio se han sentido atraídos por su disciplina debido a la sensación de belleza que perciben en ella. A veces se oye el sentimiento de que a los matemáticos les gustaría dejar la filosofía en manos de los filósofos y volver a las matemáticas, donde, presumiblemente, reside la belleza.
En su obra sobre la proporción divina , HE Huntley relaciona la sensación de leer y comprender la demostración de un teorema matemático hecha por otra persona con la de un espectador de una obra maestra de arte: el lector de una demostración tiene una sensación de euforia al comprender similar a la del autor original de la demostración, de la misma manera que, según sostiene, el espectador de una obra maestra tiene una sensación de euforia similar a la del pintor o escultor original. De hecho, se pueden estudiar escritos matemáticos y científicos como literatura .
Philip J. Davis y Reuben Hersh han comentado que el sentido de la belleza matemática es universal entre los matemáticos en ejercicio. A modo de ejemplo, proporcionan dos pruebas de la irracionalidad de √ 2 . La primera es la prueba tradicional por contradicción , atribuida a Euclides ; la segunda es una prueba más directa que implica el teorema fundamental de la aritmética y que, según sostienen, llega al corazón de la cuestión. Davis y Hersh sostienen que los matemáticos encuentran la segunda prueba más atractiva estéticamente porque se acerca más a la naturaleza del problema.
Paul Erdős era muy conocido por su idea de un "libro" hipotético que contenía las pruebas matemáticas más elegantes o hermosas. No existe un acuerdo universal sobre si un resultado tiene una prueba "más elegante"; Gregory Chaitin ha argumentado en contra de esta idea.
Los filósofos han criticado en ocasiones el sentido de la belleza o la elegancia de los matemáticos, por considerarlo, en el mejor de los casos, vago. Sin embargo, por la misma razón, los filósofos de las matemáticas han intentado caracterizar lo que hace que una prueba sea más deseable que otra cuando ambas son lógicamente sólidas.
Otro aspecto de la estética que afecta a las matemáticas son las opiniones de los matemáticos sobre los posibles usos de las matemáticas para fines considerados poco éticos o inapropiados. La exposición más conocida de esta opinión aparece en el libro de GH Hardy A Mathematician's Apology , en el que Hardy sostiene que las matemáticas puras son superiores en belleza a las matemáticas aplicadas precisamente porque no se pueden utilizar para la guerra y fines similares.
