En la filosofía de las matemáticas , el problema de identificación de Benacerraf es un argumento filosófico desarrollado por Paul Benacerraf contra el platonismo de teoría de conjuntos y publicado en 1965 en un artículo titulado "What Numbers Could Not Be". [1] [2] Históricamente, el trabajo se convirtió en un catalizador significativo en la motivación del desarrollo del estructuralismo matemático . [3]
El problema de la identificación sostiene que existe un problema fundamental en la reducción de los números naturales a conjuntos puros . Puesto que existe un número infinito de formas de identificar los números naturales con conjuntos puros, no se puede determinar ningún método de teoría de conjuntos particular como la reducción "verdadera". Benacerraf infiere que cualquier intento de hacer tal elección de reducción da como resultado inmediatamente la generación de una falsedad de la teoría de conjuntos de nivel meta, es decir, en relación con otras teorías de conjuntos elementalmente equivalentes que no son idénticas a la elegida. [1] El problema de la identificación sostiene que esto crea un problema fundamental para el platonismo, que mantiene que los objetos matemáticos tienen una existencia real y abstracta. El dilema de Benacerraf con la teoría de conjuntos platónica es argumentar que el intento platónico de identificar la reducción "verdadera" de los números naturales a conjuntos puros, como la revelación de las propiedades intrínsecas de estos objetos matemáticos abstractos, es imposible. [1] Como resultado, el problema de la identificación argumenta en última instancia que la relación de la teoría de conjuntos con los números naturales no puede tener una naturaleza ontológicamente platónica. [1]
La motivación histórica para el desarrollo del problema de identificación de Benacerraf se deriva de un problema fundamental de ontología. Desde la época medieval , los filósofos han discutido sobre si la ontología de las matemáticas contiene objetos abstractos . En la filosofía de las matemáticas, un objeto abstracto se define tradicionalmente como una entidad que: (1) existe independientemente de la mente; (2) existe independientemente del mundo empírico; y (3) tiene propiedades eternas e inmutables. [4] El platonismo matemático tradicional sostiene que algún conjunto de elementos matemáticos ( números naturales , números reales , funciones , relaciones , sistemas ) son tales objetos abstractos. Por el contrario, el nominalismo matemático niega la existencia de tales objetos abstractos en la ontología de las matemáticas.
A finales del siglo XIX y principios del XX, ganaron popularidad varias teorías antiplatónicas, entre ellas el intuicionismo , el formalismo y el predicativismo . Sin embargo, a mediados del siglo XX, estas teorías antiplatónicas planteaban varios problemas propios, lo que posteriormente provocó un resurgimiento del interés por el platonismo. Fue en este contexto histórico donde se desarrollaron las motivaciones para el problema de la identificación.
El problema de identificación comienza con la evidencia de un conjunto de modelos de los números naturales elementalmente equivalentes y basados en la teoría de conjuntos. [1] Benacerraf considera dos de estos métodos basados en la teoría de conjuntos:
Como demuestra Benacerraf, tanto el método I como el II reducen los números naturales a conjuntos. [1] Benacerraf formula el dilema como una pregunta: ¿cuál de estos métodos de teoría de conjuntos proporciona de manera única los verdaderos enunciados de identidad, que dilucidan la verdadera naturaleza ontológica de los números naturales? [1] Cualquiera de los métodos I o II podría usarse para definir los números naturales y, posteriormente, generar enunciados aritméticos verdaderos para formar un sistema matemático. En su relación, los elementos de tales sistemas matemáticos son isomorfos en su estructura. Sin embargo, el problema surge cuando estas estructuras isomorfas se relacionan entre sí en el metanivel. Las definiciones y enunciados aritméticos del sistema I no son idénticos a las definiciones y enunciados aritméticos del sistema II. Por ejemplo, los dos sistemas difieren en su respuesta a si 0 ∈ 2, en la medida en que ∅ no es un elemento de {{∅}}. Por lo tanto, en términos de fallar la transitividad de la identidad , la búsqueda de enunciados de identidad verdaderos falla de manera similar. [1] Al intentar reducir los números naturales a conjuntos, se llega a una falsedad en la teoría de conjuntos entre las estructuras isomorfas de diferentes sistemas matemáticos. Ésta es la esencia del problema de identificación.
También lo demuestra con una historia que Penélope Maddy describe en Realismo en Matemáticas :
"A Ernie y Johnny se les enseña la teoría de conjuntos. Cuando llega el momento de aprender aritmética, a Ernie le dicen, para su deleite, que ya sabe sobre los números; son 0 (llamado 'cero'), {0} (llamado 'uno'), (0, {0}} (llamado 'dos'), y así sucesivamente. Sus maestros definen las operaciones de adición y multiplicación en estos conjuntos, y cuando se hace todo el reetiquetado, Ernie cuenta y hace aritmética como sus compañeros de escuela. La historia de Johnny es exactamente la misma, excepto que le dicen que los ordinales de Zermelo son los números. También cuenta y hace aritmética de acuerdo con sus compañeros de escuela y con Ernie. Los niños disfrutan haciendo sumas juntos, aprendiendo sobre primos, buscando números perfectos, etc. Pero Ernie y Johnny son niños pequeños curiosos; quieren saber todo lo que puedan sobre estas cosas maravillosas, los números. En el proceso, Ernie descubre el hecho sorprendente de que uno es miembro de tres. De hecho, él generaliza: si n es mayor que m, entonces m es un miembro de n. Lleno de entusiasmo, le hace saber este hecho a su compañero de juegos favorito. Pero aquí, lamentablemente, la incipiente colaboración matemática fracasa. Johnny no sólo no comparte el entusiasmo de Ernie, sino que declara que el preciado teorema es completamente falso. ¡Ni siquiera admite que tres tiene tres miembros! [5]
Según Benacerraf, las ramificaciones filosóficas de este problema de identificación hacen que los enfoques platónicos no superen la prueba ontológica. [1] El argumento se utiliza para demostrar la imposibilidad del platonismo de reducir los números a conjuntos y revelar la existencia de objetos abstractos.
